2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何章末綜合檢測(cè)理含解析新人教A版選修

2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何章末綜合檢測(cè)理（含解析）新人教A版選修2-1、選擇題（本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求1.已知a=(入+1,0,2入),b=(6,2科一1,2),若a//b,則入與科的值分別為()A.11B.5,252-11-一八C.一三，一^D.-5,-252解析：選A.a//b,則存在meR,使得a=nb,又a=(入+1,0,2入)，b=(6,2-1,2),可得1入可得1入=5,入+1=6m彳0=m2科—1,[2入=2m.已知A（1,—2,11）,R4,2,3）,口6,-1,4）三點(diǎn)，則^ABC^（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形解析：選A.AB=(3,4,—8),BC=(2,—3,1),CA=(-5,—1,7),??.BbCA=-10+3+7=0..BCLCA「.△ABB直角三角形.OC=c,點(diǎn)M在OA±,且OC=c,點(diǎn)M在OA±,且OM=2MANTOC\o"1-5"\h\z為BC中點(diǎn)，則M由于（）A.；a—|b+；c232c2.1,.1B.一鏟十”+乃cJa+^b-1c2a22c③已知a±b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；④已知｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，則基向量a,b可以與向量m=a+c構(gòu)成空間另一個(gè)基底.TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析：選C.當(dāng)a^b時(shí)，a,b=0,a,(b+c)+c,(b-a)=a,b+a,c+c,b-c,a=c,b=b,c,故①正確；當(dāng)向量BXBM的能構(gòu)成空間的一個(gè)基底時(shí)，BaBMBN峽面，從而ab、mn四點(diǎn)共面，故②正確；當(dāng)a^b時(shí)，a,b不共線，任意一個(gè)與a,b不共面的向量都可以與a,b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故③錯(cuò)誤；當(dāng)｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底時(shí)，a,b,c不共面，所以a,b,m也不共面，故a,b,m可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故④正確.6.在下列條件中，使M與A、RC一定共面的是()A.OM=2OA-OB-OCB.OM=1OAb1O拼1OC532c.MafMb^Mc=0D.OMFOAFO抖OC=0解析：選C.空間的四點(diǎn)MABC共面只需滿足OM=xOMyOMzOC且x+y+z=1,或存在實(shí)數(shù)x,y使得Mc=xMafyMB7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i,j,k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè)a為非零向量，且〈a,i>=45°,〈a,j〉=60°,則〈a,k〉=()A.30°B,45°C.60°D,90°解析：選C.如圖所示，設(shè)|a|=mm>0),a=ORPAL平面xOy則在Rt^PBO中，|PB=|OP?cos〈a,i>在RtAPCO^,|OC=|OP?cos〈a,j>=???[AB=2,在Rt^PAB中，|PA=|PB2一|AB2

m-??.|Oq)=2,在RtAPDO^,,一IOD1cos〈a,k〉=兩=2，又0°W〈a,k〉<180°,<a,k>=60°..已知點(diǎn)A(-3,4,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA與坐標(biāo)平面yOz所成角的正切值為()3B-5D.1D.1C-3解析：選B.A點(diǎn)在面yOz上的射影為B(0,4,3)且|OB=5,所以O(shè)A與平面yOz所成角0滿足tan0=T7^|-=|.|Otp5.如圖所示，在正方體ABCD-ABGD中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，則下列向量中能作為平面AEF的法向量的是()(1,—2,4)(―4,1,-2)(2,—2,1)(1,2,-2)解析：選B.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),正方體ABCDABGD的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),E(1,1,；),F(2,0,1).故XE=(0,1,g),XF=(—2,0,1).[AE?n=0,[AE?n=0,由工IaF,n=0,1.1八y+2z=0,—2x+z=0,所以、x=2z.當(dāng)z=—2時(shí)，n=(—4,1,—2),故選B.10.正方體ABCDABCD中，二面角A—BD—B的大小為()A.90°B,60°C.120°D,45°解析：選C.如圖，a,則A(a,a,0),a,則A(a,a,0),Ra,0,0),D(0,a,a),B1(a,0,a),于是BA=(0,a,0),BD=(—a,a,a),BB=(0,0,a).設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),貝Un?BA=(x,y,z)-(0,a,0)=ay=0,n-BD=(x,y,z)?(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.aw0,/.y=0,x=z.令x=z=1,貝Un=(1,0,1),同理，平面BBD的法向量F(—1,-1,0).由于cos〈由于cos〈n,m>In||m12,而二面角A-BD—B為鈍角，故為120。.二、填空題(本大題共5小題，把答案填在題中橫線上11.已知a=(2,—1,0),b=(k,0,1),若〈a,b>解析：cos〈a,b>=解析：cos〈a,b>=2kIa||b|鄧?鄧2+1<0,■.k<0,且k2=7~r.1.k=--^p.'1111答案：—*1112.若a=(2,3,—1),b=(—2,1,3)，則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為2.35解析：cos〈a,b>=|a||b|7,得sin〈a,b>=—7—,由公式S=解析：cos〈a,b>=|a||b|b>可得結(jié)果.答案：6.513.如圖，空間四邊形OABC如圖，空間四邊形OABC點(diǎn)Ma,b,c表示Mn則Mn=.解析：Mn=On-Om1,々一1=2(OBbOC—20A1.1..1=-2a+^b+2c.-111答案：—2a+]b+2cN分別為OABC的中點(diǎn)，且條a,Ob=b,Oc=c,用14.點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為14.點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AP=1—>2—>Er-A[>二AA,則23點(diǎn)P到棱AB的距離為解析：EaEaPE如圖所示，過(guò)P作PQL平面ABCDFQ過(guò)Q作QHAB于E,連接PETOC\o"1-5"\h\z3T^L12?-AP=-AB+-ADF-aA,4232一1PQ=^,EO-,32???點(diǎn)P到棱AB的距離為5PE=pQ+eQ=6.答案：56則異面15.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)E是棱CC的中點(diǎn),直線DE與AC所成的角的余弦值是.則異面解析:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0),C(0,4,0)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0),C(0,4,0),D(0,0,4)，E(0,4,2)Ag=(—4,4,0),DE=(0,4,-2).cos<AC,5DEcos<AC,5DE〉=16

取x版10105，異面直線DE與AC所成角的余弦值為「10答案：丁5三、解答題（本題共5小題，解答寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.

GGAMB如圖，在平行六面體ABCDAB1C1D中，CM=2MAAN=2ND且AB=a,Ab=b,AA=c,試用a,b,c表示向量Mn解：???Mn=MA^AA+An=-1(Afe+AD)+AA+2(AA+Ab)33=-1A31.1.1,1,1.1=--a+-b+-c,?-MIN=--a+-b+-c.333333P為DD的中點(diǎn)，M為四邊形ABCD勺中心.求證：對(duì)17.在正方體ABCDAP為DD的中點(diǎn)，M為四邊形ABCD勺中心.求證：對(duì)AB上任一點(diǎn)N,都有MNLAP證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(1,0,0)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(1,0,0),P；0,0,2j1Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,N(1,y,1).???麗MN=(-1)x〉0xIy-??.AP1MN即AB上任意一點(diǎn)N都有MNLAP18.如圖所示，在四棱錐P-ABC用，底面ABCD1矩形，PAL平面ABCDPA=AD=2,AB=1,BMLPD于點(diǎn)M⑴求證：AMLPQ(2)求直線CD與平面ACMf成角的余弦值.解：(1)證明：???PAL平面ABCDAB?平面ABCD??PALAB.ABLADADAPA=A,?.ABL平面PAD.PD?平面PADABLPD又..BMLPDABHBM=B,?.PDL平面ABIM.AM?平面ABMAMLPD(2)如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),R0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0)..AMLPDPA=AD??.M為PD的中點(diǎn)，，M的坐標(biāo)為(0,1,1).?.AC=(1,2,0),A陣(0,1,1),CD=(-1,0,0).設(shè)平面ACM勺一個(gè)法向量為n=(x,y,z),x+2y=0由n^ACn,AMT得十,|y+z=0令z=1,得x=2,y=-1.n=(2,-1,1).設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為a,皿.|Cbn|乖則sina=~=~~.iCd?in|3cosa=*，即直線CD與平面AC所成角的余弦值為喙.19.AB如圖，四棱錐P-ABCM,底面ABC泗平行四邊形，/DAB=60°,AB=2ADPDL底面ABCD(1)證明：PALBD(2)若PD=AD求二面角A-PB-C的余弦值.解：(1)證明：因?yàn)?DAB=60°,AB=2AD由余弦定理得BD=,3AD從而BD+AD=AB",故BDlAD又因?yàn)镻DL底面ABCD可得BDLPD又因?yàn)锳mPD=D所以BDL平面PAD故PALBD

(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(1,0,0),B(0,板0),a-1,g0),R0,0,1),At(-1,小,0),電(0,事,-1),BO(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),[n,AB=0,—x+J3y=0,貝心即,TIn-Pb=0,N3y-z=0,因此可取n=(弧1,小).設(shè)平面PBCW法向量為m則nrPB=0,i一、m?BC>0,一?一…■.一小_一，，一一小一4可取m=(0,—1,一43),〈mn>等于一面角A—PB-C的平面角，cos〈m,n>=—定27故二面角A-PB-C的余弦值為一27720.角梯形,⑴角梯形,⑴(2)⑶如圖，在四^麴tP—ABCDK側(cè)面PADL底面ABCD側(cè)^^PA=PD=也，底面ABC西直其中BC//ADABIADAD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).求證：POL平面ABCD求異面直線PB與CD所成角的余弦值；求點(diǎn)A到平面PCD勺距離.解：⑴證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OcOdOp勺方向分別為x軸，y軸，z軸的正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則A(0,—1,0),B(1,—1,0),qi,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以O(shè)p=(0,0,1),AD-(0,2,0),Op-Ab-0,所以，polad又側(cè)面PADL底面ABCD平面PAET平面ABCDADPC?平面PAD所以POL平面ABCD(2)Cb=(-1,1,0),PB=(1,—1,-1),所以cos〈的CDPb-Cd-1-11的CdV3xV2坐，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為孚.

33(3)設(shè)平面PCD勺法向量為n=(x。，y。，z。)，CP=(-1,0,1),Cb=(-1,1,0),[n-Cfe0由1一，得In-CD=0—X0+Zg0—Xo+y0=0即xo=yo=zo,取X0=1,得平面PCD勺一個(gè)法向量為n=(1,1,1).又AC(1,1,0),從而點(diǎn)A到平面PCD勺距離|Ac-n|22出d=不廠3.221D-a+-b--c332解析：選B.因MN=O