因式分解分類講解

1式分解—提公因式法【知識要點】分解因式的概念把一個多項式公成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項。分解因式與整式乘法的關系分解因式與整式乘法的恒等變形。分解因式的一些注意點結果應該是的形式；(2)必須分解到每個因式都不育為止；(3)如果結果有相同的因式，必須寫的形式。公因式多項式中各項都含有的公共的因式，我們把這個因式叫做這個多項式白.提公因式法如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方示叫做提公因式法.確定公因式的方法系數(shù)公因式:應取多項式中各項系數(shù)為;字母公因式:應取多項式中各項字母為.《重點辨析》提取公因式時的注意點多項式的形式I-*￥土意點多項式的首項系數(shù)為負數(shù)(1)首項為負數(shù)，一般要提出“-”號;(2)在括號內的多項式的各項都要變號.如一ma—mb+mc=一m(a+b—c)公因式是多項式公因式是多項式時，可把這個因式作為一個整體提出，如3m(a+b)—2n(a+b)=(a+b)(3m—2n)多項式的某一項恰是公因式提公因式后,括號內的項數(shù)，不增不減，特殊是某一項為1,千萬不要漏掉此項，如ma—mb+m=m(a—b+1)底數(shù)需調整為同底數(shù)冪（a一b）2+（b一a）3可調整為：（a-b）2-（a一b）3或（b一a）2+（b一a）3提公因式后，括號已見分曉有同類項提公因式后，如果括號內有同類項必須合并同類項，如(a一b)2一b(a_b)=(a_b)(a一b_b)=(a_b)(a一2b)

【學堂練習】下列各式從左邊到右邊的變形，哪些是分解因式，哪些不是?(2)a2-2b=(a+5)(a-5)-1(1)x2+x=x2(1+-1);(4)x2+4x+4=(x+2)2(6)(x-3)((2)a2-2b=(a+5)(a-5)-1(4)x2+4x+4=(x+2)2(6)(x-3)(x+1)=x2-2x-3把下列各式分解因式(1)9a2-6ab+3a(2)一4x4y-6x2y3+2xy4【經(jīng)典例題】例1、把下列各式分解因式(2)2a(x一2y)一3b(2y一x)一(2)2a(x一2y)一3b(2y一x)一4c(x-2y)(4)15b(3a-b)2+25(b-3a)3(5)(x-y)2-3(y-x)3+2(y-x)4(6)(a+x)m(5)(x-y)2-3(y-x)3+2(y-x)4例2.利用分解因式計算(1)(1)2.9x1234.5+11.7x1234.5-4.6x1234.5(2)299—2982100—2992例3.已知a+b=—,ab=2，求代數(shù)式a2b+2a2b2+ab2的值。3例4、利用因式分解說明：367-612能被140整除?！倦S堂練習】TOC\o"1-5"\h\z1.下列各式從左到右的變形中是因式分解的是()A、(a一1)(a+b)=a2+a一2B、x2——=(x+-!-)(x——D、m(m+4)+4=(m+2)2y2yyC、x—y=D、m(m+4)+4=(m+2)2已知二次三項式2x2+bx+c分解因式2(x—3)(x+1)，則b,c的值為()A、b=3,c=—1B、b=—6,c=2C、b=—6,c=—4D、b=—4,c=—6下列各式的公因式是a的是()A、ax+ay+5B、4ma+6ma2C、5a2+10abD、a2—4a+ma將3a(x—y)—b(x—y)用提公因式法分解因式，應提出的公因式是()A、3a—bB、3(x—y)C、x—yD、3a+b把多項式m^(a-2)+m(2-a)分解因式的結果為()A、(a-2)(m2+m)B、(a-2)(m2-m)C、m(a-2)(m-l)D、m(a-2)(m+l)多項式2x2y-xy的公因式是；多項式是6“2加一9瀝2(?3的公因式是分解因式：xy-xy2=。a(m一心一b(n—mV=(m—心()。已知：a+b=133,ab=1000oa^b+ab^的值為。把下列各式分解因式(1)2a^b-6?2/?2+2瀝2(2)-3/阮2+12sZ?2c2+9/阮3(3)a{x-y)-Z?(x-y)(4)2(y-x)2-x(x-y)【課后強化】1.3*2+仇￥—4分解因式為（3尤+4）（尤一1）,則m的值為-3xy-6mxy+9nxy=-3xy()把下列各式分解因式(1)3x2y-6xy2+12xyza(x—ci)+b(a—x)—c(x—(i)=(2)3x2(x-y)+6x(y-x)(3)2(x-y)3+4(y-x)2(4)a(a+b)(a-b)-a(a+Z?)2因式分解一公式法■分組分解法【知識要點】乘法公式逆變形平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2-(a+b)2,a2-2ab+b2-(a-b)2常見的兩個二項式冪的變號規(guī)律：①(a-b)2n=(b-a)2n；②(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.(n為正整數(shù))把一個多項式分解因式，一般可按下列步驟進行：如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；如果多項式?jīng)]有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；如果上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組分解方法?！緦W堂練習】1、如果9X2+kx+25是一個完全平方式，那么k的值是()A15B±15C30D土302、下列多項式，不能運用平方差公式分解的是()A、一m2+4B、-x2-y2c、x2y2-13、把下列各式分解因式：(3)16x2y2-1(1)4a2-b(3)16x2y2-1(4)m2—12m+361(5)x2—xy+y24(6)—x2+2xy—y2(7)x2—y2+ax+ay(8)4x4一a2—6a一9【經(jīng)典例題】例1.用公式法分解因式：(2)(x+2)2-(y-3)2(1)(a(2)(x+2)2-(y-3)2(3)a2b2-4ab+4(3)a2b2-4ab+4⑸16(x-1)2一25(x+2)2(6)(x2一x)2+6(x2一x)+9例2.用分組分解法分解因式4ax一4ay一x+y(2)a2一9+8ab+16b2(3)a2-b2-4a+4b(4)a2一b(3)a2-b2-4a+4b例3.用合適的方法分解因式:(1)5m2a4-5m2b4(2)12m2n2-12m2n+3m2(3)4a2(m一n)+b2(n—m)(4)4m(3)4a2(m一n)+b2(n—m)例4.利用分解因式計算：(2)2022+202x196+982((2)2022+202x196+982例5.若a+b=3,ab=-2,求a3+a2b+ab2+b3值?！倦S堂練習】TOC\o"1-5"\h\z對于多項式尤5-尤3+x2-1有如下四種分組方法：其中分組合理的是()①(x5—x3)+(x2—1)②(X5+X2)—(X3+1)③(x5—x3+x2)—1④x5—(X3—X2+1)A.①②B.①③C.②④D.③④AABC的三邊滿足H4+b2c2-a2c2-b4=0，則△ABC的形狀是.已知a+b=2，利用分解因式，求代數(shù)式1a2+ab+1b2。

4、分解下列因式：(2)(X2+1)2一4(2)(X2+1)2一4X2(3)m2+2n—mn—2m(4)a2+2ab+b2—a—b552—452(2)992+198+11552—452(2)992+198+11-1A二1

1-6(-1)+(-6)=-7例1、分解因式：X2+5X+6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合，艮口2+3=5。12解：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x31一一3=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例2、分解因式：x2—7x+6解：原式=x2+[(—1)+(—6)]x+(—1)(—6)=(x—1)(x—6)

練習1、分解因式(1)尤2+14x+24(2)a2-15a+36(3)x2+4尤-5練習2、分解因式(1)x2+x-2(2)y2-2y-15(3)x2-10x-24(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：(1)(2)(3)分解結果：ax2+bx+cTOC\o"1-5"\h\za=aaa,cc=ccaLcb=ac+acb=ac+ac12211221ax2+bx+c=(ax+c)(ax+c)例(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：(1)(2)(3)分解結果：分析：1、x"-23-5(-6)+(-5)=-11解：3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)(2)3x2—7x+2練習3、分解因式：(1)5x2+7x-6(3)10x2-17x+3(4)一6y2+11y(2)3x2—7x+2(3)10x2-17x+3(4)一6y2+11y+10(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式例4、分解因式：a2-8ab-128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1，16b8b+(-16b)=-8b解：a2-8ab-128b2=a2+[8b+(-16b)]a+8bx(-16b)=(a+8b)(a-16b)練習4、分解因式(1)x2-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab一6b2(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例5、2x2-7xy+6y21y八2y

—2/、-3y_

(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)例10、x2y2-3xy+2把xy看作一個整體1'、、/-11"'-2(-1)+(-2)=-3解：原式=(xy-1)(xy-2)練習5、分解因式：(1)15x2+7xy一4y2(2)a2x2-6ax+8綜合練習10、(1)8x6一7x3-1(2)12x2-11xy-15y2(3)(x+y)2—3(x+y)-10(4)(a+b)2一4a一4b+3考點1：分解因式的意義1、下列從左到右的變形，屬于分解因式的是()A.(x+3)(x—2)=x2+x—6B.ax—ay+1=a(x—y)+1C.x2一土=(x+L)(x—L)D.3x2+3x=3x(x+1)y2yy

2、若多項式x2+ax+b可分解為(x+1)(x—2),試求a、b的值?？键c2：提公因式法分解因式1.多項式6a3b2—3a2b2—21a2b3分解因式時，應提取的公因式是()A.3a2bB.3ab2C.3a3b2D.3a2b22.把多項式2(x—2)2—(2—x)3分解因式的結果是()A.(x—2)2(4—x)B.x(x—2)2下列各組代數(shù)式?jīng)]有公因式的是()A.5a—A.(x—2)2(4—x)B.x(x—2)2下列各組代數(shù)式?jīng)]有公因式的是()A.5a—5b和b—aC.(a—b)2和一a+b4、分解下列因式(1)一8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3C.—x(x—2)2D.(x—2)2(2—x)B.ax+1和1+ayD.a2—b2和(a+b)(a+1)x2y(x—y)+2xy(y—x)16(x—y)2—24xy(y—x)(4)-27x2(3x-y》-9y(y-3x)A、15B、±5C、30D±30⑴(2009年北京)分解因式：-a2+14瀝+4952=。⑵(2005年上海市)分解因式：m4-16〃4=。分解下列因式：(1)上m2-3n2(2)a2b2-14ab+493

(3)9(a-b)2-(3)9(a-b)2-16(a+b)29(a-b)2+24^一b)+16考點4：分組分解法分解因式(1)4x2-2x-y2-y4m2一9〃2—4m+1(1一〃2)(1—/?2)—4瀝?2-4a+4-c2考點5：綜合運用提公因式法、公式法分解因式1、(1)(2009年北京)分解因式：4m3-m=；(2)(2008年上海)分解因式：8x2y-8xy+2y=。2、分解下列因式：(1)8a4—2a2(2)9x2(m-n)-y^(n-m

考點6：分解因式的應用1、利用因式分解方法計算：(1)4.45x13.7+445x0.889-44.5x0.26(2)8002-1600x798+79822、已知b一a=6,ab=7，求a2b一ab2的值。3>AABC的三邊滿足a2-2bc=c2-2ab，則△ABC是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、銳角三角形4、若a為整數(shù)，證明(2a+1)2-1能被8整除?！倦S堂小測】1、下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是()(a+3)(a-3)=(a+3)(a-3)=a2-9(C)a2b+ab2=ab(a+b)2、把多項式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于((A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)3、下列多項式中不能用平方差公式分解的是((A)-a2+b2(B)-x2-y2x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(D)x2+1=x(x+)x)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1))16m4-25〃2〃2(C)49x2y2-z24、下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是()(D)3-2n(D)3-2n+1(A)m+1+—^(B)-x2+2xy-廣(C)-a2+14ab+49b25、把多項式p2(a-1)+pG-a)分解因式的結果是()A、(a-1)p2+p)B、(a-1)p2-p)C、p(a—1)(p-1)D、p(a-1)(,+1)6、已知x2+y2+2x-6y+10=0,貝l」x+y=()A