圓錐曲線綜合測試

第二章本章檢測建議用時實(shí)際用時滿分實(shí)際得分120分鐘150分一、選擇題（本題包括12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)正確）TOC\o"1-5"\h\z=1（a>b>0）的離心率是2^，則雙曲線—一—=1的離心率是（）b22a2b2a.43C.2?灰3右B.C.一D.-224a.43C.22.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為F（板7,0），直線y=X-1與其交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2則此雙曲線的方程是（點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2則此雙曲線的方程是（）X2y21A3-云=1X2??B.422=13X2y2一C.52X2D.T-yi=15X2y23.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓y+萬A.—2B.2C.-4D.4=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（）X24.設(shè)雙曲線一-a2y2<曲線的離心率為（江=1（a>X24.設(shè)雙曲線一-a2曲線的離心率為（5a.4B.5C玉C.2D.崩)以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，且直線與此圓相切，則橢圓的離心率為（）A.￥B.mC.2-V3D.\3-1已知△ABC的頂點(diǎn)A（-5,0）、B（5,0），AABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A.X2y2-=1916B.X2y2-=1169(x>3)X2y2D.16-虧=1(x>4)已知A,BA.X2y2-=1916B.X2y2-=1169(x>3)X2y2D.16-虧=1(x>4)TOC\o"1-5"\h\z■,2,3A.土成B.土§32,3,4c.±4D.±3若點(diǎn)P到A（1,0）的距離與到直線x=—1的距離相等，且點(diǎn)P到直線l：x-y=0的距離等于｝揚(yáng)，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4>2已知雙曲線C：X2—彳=1，過點(diǎn)（1,1）作直線1，使直線l與雙曲線C只有一個交點(diǎn)，滿足這個條件的直線1共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條雙曲線-y=1的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，是雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段、為直徑的兩圓位置關(guān)系為（）A.相交B.相切C.相離D.以上情況都有可能已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0，其中,ab拱,a豐b,c>0它們所表示的曲線可能是下列圖象中的（）已知拋物線上一點(diǎn)0到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A.B.C.D.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請將正確的答案填到橫線上）已知橢圓欄+^2=1與雙曲線丑一22有共同的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的一個交點(diǎn)，mnpq則.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為一，?.C2)，—,平面上有三個點(diǎn)A(—2，y)，B0,3，C(x，y)，若B￡，則動點(diǎn)C的軌跡萬程是.V2y2已知雙曲線方程是X2一萬=1，過定點(diǎn)P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點(diǎn)，并使P(2,1)為P1P2的中點(diǎn)，則此直線方程是.三、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(10分)已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x—3)2+y2=9，動圓M同時與圓R及圓弓相外切，求動圓圓MM的軌跡方程X2y218(12分)設(shè)A，B分別為雙曲線a-瓦T(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長為4-，焦點(diǎn)到漸近線的距離為'3.求雙曲線的方程；一，…項(xiàng)已知直線y=^x—2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使3OM+ON=tOD，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).(12分)如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2),A(x1,y1),B(%,七)均在拋物線上?VOUA\x寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；當(dāng)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，B求y1+y2的值及直線AB的斜率.X2+(y—1)2=16上運(yùn)動，F(xiàn)為圓心，線段AB的—2axX2+(y—1)2=16上運(yùn)動，F(xiàn)為圓心，線段AB的—2ax+y2+a2=1被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的且滿足|MG|?|NG|=|OG|2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；若曲線Q：X2最小值.(2)已知M(—2,0)，N(2,0)，動點(diǎn)G在圓F內(nèi)，MGNG的取值范圍.（12分）已知橢圓—+—=1（a>b>0）的離心率e=—，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為a2b232.（1）求橢圓的方程.（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn).問：是否存在，使以為直徑的圓過點(diǎn)？請說明理由（12分）設(shè)分別為橢圓：至+丑=1（a>b>0）的左、右兩個焦點(diǎn).a2b2（1）若橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)點(diǎn)是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線、的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值.試對雙曲線號-y=1寫出類似的性質(zhì)，并加以證明

一、選擇題B解析：由橢圓—+—=1(a>b>0)的離心率為，得.設(shè)，則,.又雙曲線中，.a2b2D解析：設(shè)雙曲線方程為.將代入，整理得.由根與系數(shù)的關(guān)系得，則.又解得，，所以雙曲線的方程是X2解得，，所以雙曲線的方程是X2y2解析:因?yàn)闄E圓z+5=1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(2,0),則p623.D4.Dx2y2b4.Dby=—x，a消去y得，x2y=x2by=—x，a消去y得，x2y=x2+1—x+1=0有唯一解，所以A=一4=0，b—=2acv'a2+b2e=—aD解析：由題意得，，.在直角三角形中，，即，整理得.等式兩邊同除以，得，即，解得或(舍去).故=|CF|，6的雙曲線的右支，C解析:如圖，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|所以|CA|—|CB|=8—2=6.=|CF|，6的雙曲線的右支，根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是：以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為x2y2方程為虧一16=1("D解析：由題意知焦點(diǎn)F(1,0)，直線AB的斜率必存在且不為0，故可設(shè)直線AB的方程為y=k(x—1)(k#0)，代入y2=4x中化簡得ky2—4y—4k=0，4設(shè)A(x，y)，B(x，y)，則y+y=?，①yy=—4.②112212k12又由FA=—4FB可得y1=—4y2，@4聯(lián)立①②③式解得k=土板.3|t2—2t|112—2t|令FB解析：點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x，設(shè)P(t2,2t)，則點(diǎn)P到直線x—y=0的距離為,成，.、5，解得4t2—8t±5=0，「.t=—5或t=S，共112—2t|令F2D解析：數(shù)形結(jié)合可知過點(diǎn)(1,1)，當(dāng)斜率不存在時和與兩條漸近線平行時所在的直線都符

合.除此之外還應(yīng)考慮設(shè)直線方程y=kx+1—k與雙曲線方程聯(lián)立消元利用判別式為0可求得k5=5也符合.所以有4條.2B解析：如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，若在雙曲線左支上，則，即圓心距為兩圓半徑之和，此時兩圓外切；若在雙曲線右支上，同理可求得，此時兩圓內(nèi)切，所以兩圓位置關(guān)系為相切.B解析：方程可化成，可化成.對于人：由雙曲線圖象可知：，，.?.，即直線的斜率應(yīng)大于0，故錯；對于C：由橢圓圖象可知：，，.?.，即直線的斜率應(yīng)小于0，故錯；同理錯.所以選B.B解析：依題意知，所以，所以，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.又，所以直線的斜率為.由題意得，解得.二、填空題解析：因?yàn)闄E圓—+匹=1與雙曲線七-q=1有共同的焦點(diǎn)，所以其焦點(diǎn)位于軸上，由其對稱性可設(shè)在雙曲線的右支上，左、右焦點(diǎn)分別為,由橢圓以及雙曲線的定義可得，，由①②得，.所以.6解析：由題意，得F(T，0)，設(shè)點(diǎn)，，則有=1，解得=.因?yàn)?，，=，，所以此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為=-2，因?yàn)?2WW2，所以當(dāng)=2時，取得最大值+2+3=6.15.y2=8x解析：AB=(y)〔0，yj—(—2,y)=BC=(x，y)—k15.y2=8x解析：AB=(y)〔0，yj—(—2,y)=BC=(x，y)—k0，y:????AB1BC，.AB-BC=0，.?.2,—<.動點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x.(y)x，K=0，即y2=8x.k16.4x—y—7=0解析：設(shè)點(diǎn)P1(x1P2(x2則由氣2—虧=1得k=y2-yix—x2(x+x)

y2+y1將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x2—56x+51=0，因?yàn)锳>0，故此直線滿足條件.三、解答題

17.解：如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B,根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC11-|AC」=|MA|,|MC2|—|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC21—|MC11=|BC21—|ACj=3—1=2.這表明動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2,且小于|RC2|=6.的距離小)，根據(jù)雙曲線的定義，動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離大，到C1這里a=1，c=3，貝Ub2=8，y2的距離小)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為X2—號=1(xW—1).818.解：(1)由題意知a=2?3一條漸近線為yb=方即bx—2'?J3y=0，X18.解：(1)由題意知a=2?3一條漸近線為yb=方即bx—2'?J3y=0，X2y2b2=3，「.雙曲線的方程為我一JL」二=13(2)設(shè)M(x，y)，N(x，y)，D(x，y)，則Ux+x=tx，y+y=ty，112200120120將直線方程代入雙曲線方程得x2—16、.&x+84=0，則x1+x2=1^/3，y1+y2=12，.<Ix4焰了r，o醞-42=1,〔123t=4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為⑷」3，3).19.解：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0).,/點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，22=2pX1，解得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x，準(zhǔn)線方程是x=—1.⑵設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則k=~-(x#1)，k=~—(x#1)，PAX-11PBX-12.「PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，...、=—、.由點(diǎn)A(x，y)，B(x，y)均在拋物線上，得y2=4x，①y2=4x，②11221122y-2__y-24142由①一②得，y^—y2=4(x1—x2)，y1+2=—(y2+2)..y1+y2=—4....k=4=—=-1(x#x).ABx-xy+y12121220.解：(1)由題意得|PA|=|PB|，.|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2,動點(diǎn)P的軌跡E是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"y2X2設(shè)該橢圓的方程為廠=1(a>b>0),a2b2則2a=4,2c=2,^Pa—2,c—1,故b2=a2—c2=3,y2x2<動點(diǎn)P的軌跡E的方程為亍+5=1.曲線Q:x2—2ax+y2+a2=1,即(x—a)2+y2=1,「.曲線Q是圓心為(a,0),半徑為1的圓.而軌跡E為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其左、右頂點(diǎn)分別為(一??"&0),(也，0).若曲線Q被軌跡E包圍著，則一???../3+1Wamj3—1,「?a的最小值為—\'3+1.(2)設(shè)G(x,y),由|MG|?|NG|=|OG|2得:\：(x+2)2+yS(x-2)2+y2=x?+y2.化簡得x2—y2=2,即x2=y2+2,「.MG-NG=(x+2,y)?(x—2,y)=x?+y2—4=2(y2—1).?「點(diǎn)G在圓F：x2+(y—1)2=16內(nèi)，「.x2+(y—1)2<16,TOC\o"1-5"\h\z0W(y—1)2<16習(xí)一3<y<5n0Wy2<25,「.一2W2(y2—1)<48,MGNG的取值范圍為［—2,48).解：(1)直線的方程為.X2一依題意得解得所以橢圓方程為亍+y2=1.(2)假若存在這樣的值，由得(1+3k2)x2+12kx+9=0,所以D=(12k)-36(1+3k2)>0.①設(shè)C(x,y)、D(x,y)，則②1122X而yy=(kx+2)(kx+2)=k2xx+2k(x+x)+4.12121212當(dāng)且僅當(dāng)時，以為直徑的圓過點(diǎn)，則X^=-1,x+1x+112即yy+(x+1)(x+1)=0,1212\o"CurrentDocument"所以(k2+1)xx+(2k+1)(x+x)+5=0.③121277將②式代入③式整理解得k=-.經(jīng)驗(yàn)證，k=-使①成立.\o"CurrentDocument"667綜上可知，存在k=2,使得以為直徑的圓過點(diǎn).6解：(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，由橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和是4,得，即.又點(diǎn)A又點(diǎn)A桫螺在橢圓上,一，1桫,