北京東城區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)一模試卷及答案

數(shù)學(xué)第14頁(yè)（共14頁(yè)）北京市東城區(qū)2021—2022學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）高三數(shù)學(xué)2022.4本試卷共6頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）下列函數(shù)中，定義域與值域均為的是（A）（B）（C）（D）（3）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（A）（B）（C）（D）（4）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（A）公差為的等差數(shù)列 （B）公差為的等差數(shù)列（C）公比為的等比數(shù)列 （D）公比為的等比數(shù)列（5）已知，則（A）（B）（C）（D）（6）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為BC上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為（A） （B）（C） （D）（7）在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為（A） （B）（C） （D）（8）已知，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）在平面直角坐標(biāo)系中，直線（）與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)（1，1）的距離的最大值為（A）（B）（C）（D）（10）李明開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶，經(jīng)過(guò)天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶，則用戶超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（本題?。ˋ）31 （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）（12）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則=_________．（13）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，則_；若點(diǎn)，在上，為的焦點(diǎn)，且,,成等比數(shù)列，則__．（14）已知函數(shù)若，則不等式的解集為_(kāi)___；若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．（15）某學(xué)校開(kāi)展“測(cè)量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng).如圖1所示，線段表示角樓的高，，，為三個(gè)可供選擇的測(cè)量點(diǎn)，點(diǎn)，在同一水平面內(nèi)，與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測(cè)量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進(jìn)行測(cè)量，則可以選擇的幾何量的編號(hào)為_(kāi)_________．（只需寫出一種方案）圖1=1\*GB3①兩點(diǎn)間的距離；圖1=2\*GB3②兩點(diǎn)間的距離；=3\*GB3③由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角，=4\*GB3④由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角；=5\*GB3⑤和；=6\*GB3⑥和．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）已知函數(shù)(，).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件=1\*GB3①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（=1\*ROMANI）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上的一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.（18）（本小題13分）根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上常住人口中，各種受教育程度人口所占比例（精確到0.01）如下表所示：受教育程度性別未上學(xué)小學(xué)初中高中大學(xué)?？拼髮W(xué)本科碩士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合計(jì)0.010.070.250.220.150.230.060.01（Ⅰ）已知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例約為85%，從全市常住人口中隨機(jī)選取1人，試估計(jì)該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率.（Ⅱ）從Z市15歲及以上常住人口中隨機(jī)選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（Ⅲ）若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)專科及以上的受教育年限分別為0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教育年限分別為a年和b年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫出a與b的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的值；（Ⅱ）若在上有最大值，求的取值范圍．（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).是否存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在之間，且總有？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.（21）（本小題15分）設(shè)數(shù)列（）.如果，且當(dāng)時(shí)，，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)列A，定義數(shù)列，其中.（Ⅰ）對(duì)，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列；（Ⅱ）對(duì)數(shù)列（），其中，證明：存在具有性質(zhì)P的數(shù)列，使得與為同一個(gè)數(shù)列；（Ⅲ）對(duì)具有性質(zhì)P的數(shù)列A，若且數(shù)列滿足，求證這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè).（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）北京市東城區(qū)2021—2022學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2022.4一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A（5）C（6）D （7）B （8）A （9）B（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11）64 （12）5 （13）4； （14）；（15）①=3\*GB3③=4\*GB3④（答案不唯一）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）.選擇條件=1\*GB3①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即.所以.因?yàn)?，所以，?所以.………7分選擇條件=3\*GB3③=4\*GB3④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即.所以.因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即.所以.7分（Ⅱ）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.所以.所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)?，所以平?所以.因?yàn)樵谌庵?，，所?又因?yàn)椋运倪呅螢檎叫?連結(jié)，則.又因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所?………………6分（Ⅱ）因?yàn)锳B，AC，兩兩垂直，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.可得，，，，，．則，，.設(shè)，則.設(shè)為平面的法向量，則即令，則，，可得．則.解得，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件A＝“該市民年齡為15歲及以上”.事件B＝“該市民受教育程度為碩士研究生”.依題意，，.由概率的乘法公式可得，.因此，從全市常住人口中隨機(jī)選取1人，該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率約為0.051.………………3分（Ⅱ）從Z市15歲及以上的常住人口中隨機(jī)選取1人，受教育程度為大學(xué)本科及以上的概率為0.23＋0.06＋0.01＝0.3.X的所有可能取值為0，1，2.，，，所以X的分布列為X012P0.490.420.09故X的數(shù)學(xué)期望.…………11分（=3\*ROMANIII）a＞b.………………3分（19）（共15分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋傻?則，解得．…5分（Ⅱ）．令，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，因此恒成立，所以.所以在上單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值．=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以.所以在上單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值．=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根為，.由得，且．當(dāng)時(shí)有+↗極大值↘函數(shù)在處取得最大值．綜上，的取值范圍為．……15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，得解得.所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）存在直線符合題意.直線的方程為.由得.由得.設(shè)，則，.設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)椋?由題設(shè)，知，，.所以，.所以.整理，得所以.解得.所以存在直線符合題意.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）；；.………………4分（Ⅱ）由于數(shù)列，其中，不妨設(shè)中恰有s項(xiàng)為1，若，則符合題意；若，則符合題意；若，則設(shè)這s項(xiàng)分別為：，構(gòu)造數(shù)列，令分別為，數(shù)列其余各項(xiàng)分別.經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列符合題意.………………9分（=3\*ROMANIII）對(duì)于符合題意的數(shù)列.=1\*GB3①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，存在數(shù)列符合題意，且數(shù)列與不同，與相同，按這樣的方式可由數(shù)