小學(xué)奧數(shù)課本05-01習(xí)題加講解(上)

/75華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本（五年級?修訂版）上冊目錄第一講數(shù)的整除問題一、基本概念和知識二、例題習(xí)題一習(xí)題一解答第二講質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)一、基本概念和知識二、例題習(xí)題二習(xí)題二解答第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、基本概念和知識二、例題習(xí)題三習(xí)題三解答第四講帶余數(shù)的除法習(xí)題四習(xí)題四解答第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用一、基本概念和知識二、例題習(xí)題五習(xí)題五解答第六講能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征習(xí)題六習(xí)題六解答第七講行程問題習(xí)題七習(xí)題七解答第八講流水行船問題習(xí)題八習(xí)題八解答第九講“牛吃草”問題習(xí)題九習(xí)題九解答第十講列方程解應(yīng)用題習(xí)題十習(xí)題十解答第十一講簡單的抽屜原理習(xí)題十一習(xí)題十一解答第十二講抽屜原理的一般表述習(xí)題十二習(xí)題十二解答第十三講染色中的抽屜原理習(xí)題十三習(xí)題十三解答第十四講面積計(jì)算習(xí)題十四習(xí)題十四解答第十五講綜合題選講習(xí)題十五習(xí)題十五解答第一講數(shù)的整除問題數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強(qiáng).它是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競賽命題的內(nèi)容之一.一i、基本概念和知識.整除一一約數(shù)和倍數(shù)例如：15+3=5,63+7=9一般地，如a、b、c為整數(shù),b?0,且a+b=c,即整數(shù)a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0）,我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）.記作b|a.,否則，稱為a不能被■除，（或b不能整除a）,記作b+a.如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除,a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的約數(shù).例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù),3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù),7是63的約數(shù).2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1:如果a、的能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除.即：如果c|a,c|b,那么c|（a±b）.例如：如果2|10,2|6,那么2|（10+6）,并且2|（10—6）.性質(zhì)2：如果b^c的積能整除a,那么西c都能整除a.即：如果bc|a,那么b|a,c|a.性質(zhì)3：如果b、楮B能整除a,且b和c互質(zhì)，那么c的積能整除a.即：如果b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a.例如：如果2|28,7|28,且（2,7）=1,那么（2X7）|28.性質(zhì)4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.即：如果c|b,b|a,那么c|a.例如：如果3|9,9|27,那么3|27.3.數(shù)的整除特征①能被 2整除的數(shù)的特征 ：個(gè)位數(shù)字是 0、2、4、6、8的整數(shù) .“特征”包含兩方TOC\o"1-5"\h\z面的意義：一方面 ,個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括 0）的整數(shù),必能被 2整除；另一方面 ,能被2整除的數(shù) ,其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括 0）.下面“特征”含義相似.②能被 5整除的數(shù)的特征 ：個(gè)位是0或5.③能被 3（或9）整除的數(shù)的特征 ：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被 3（或9）整除 .④能被 4（或25）整除的數(shù)的特征 ：末兩位數(shù)能被 4（或25）整除 .例如： 1864=1800＋64,因?yàn)?00是4與25的倍數(shù) ,所以1800是4與25的倍數(shù) .又因?yàn)?164,所以1864能被4整除.但因?yàn)?564,所以1864不能被25整除.⑤能被 8（或125）整除的數(shù)的特征 ：末三位數(shù)能被 8（或125）整除 .例如：29375=29000+375,因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?251375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375.⑥能被 11整除的數(shù)的特征 ：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?11的倍數(shù) .例如：判斷 123456789這九位數(shù)能否被 11整除？解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是 9＋7＋5＋3＋1=25,偶數(shù)位上的數(shù)字之和是 8+6+4+2=20.因?yàn)?5—20=5,又因?yàn)?15,所以11123456789.再例如：判斷 13574是否是 11的倍數(shù)？解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（ 4＋5＋1）-（7+3）=0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以1110.因此13574是11的倍數(shù).⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征 ：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?7（11或13）整除 .例如：判斷 1059282是否是 7的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍數(shù) .再例如：判斷 3546725能否被 13整除？解：把 3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù) .因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21—2=819，又13|819，所以13|2821，進(jìn)而13|3546725.二、例題例1已知45|好西為求所有滿足條件的六位數(shù)酒藥口解：?.?45=5X9,???根據(jù)整除性質(zhì)2”可知5|9\笈19934??.y可取0或5.當(dāng)尸=0時(shí),根據(jù)9|湎藥及數(shù)的整除特征③可知區(qū)=5,當(dāng)了=5時(shí).根據(jù)91酒藥及數(shù)的整除特征③可知兄=9「?滿足條件的六位數(shù)是519930或919935.例2李老師為學(xué)校一共買了28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9口.2口元.已知口處數(shù)字相同，請問每支鋼筆多少元？解：9口.2口元=9口2口分28=4X7,???根據(jù)整除性質(zhì)2”可知4和7均能整除9口2匚4|2口可知口處能填0或4或8.因?yàn)?9020,79424,所以口處不能填0和4;因?yàn)?19828，所叫口處應(yīng)該填8.又「9828分=98.28元98.28+28=3.51(元)答：每支鋼筆3.51元.例3已知整數(shù)1Q3瓶5翁繳”整除求所有滿足這<ZPGN0004.TXT/TGN>個(gè)條件的整數(shù).魅：'/11Ia2a3a4a5af???根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5勺和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即11|(15—5a).或11|(5a—15).但是15—5a=5(3—a),5a-15=5(a—3)，又(5,11)=1,因此111(3—a)或11|(a—3).又??.a是數(shù)位上的數(shù)字.「?a只能取0?9.所以只有a=3才能滿足111(3-a)或111(a—3),即當(dāng)a=3日111|15—5a.符合題意的整數(shù)只有1323334353.試TS：如果將例3中的整數(shù)改為1d12%3%445與（其中曰口外，…’.互不相同），且它能被11整除，你能找到一個(gè)符合條件的整數(shù)嗎？例4把三位數(shù)顯接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個(gè)妞，所得的數(shù)fab3ab…3與恰是⑥的倍數(shù),試求充二？199W小94解：./91=7X13,且（7,13）=1.713ab5ab'diSab>L3 33b…3曲口13羽小鋸b L73個(gè)3ab根據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知：原數(shù)空型能被7以及13整除1M3C當(dāng)且僅當(dāng)變?nèi)?--翻整除，也就是3b…3abe?叩能被了以及13整除719強(qiáng)因?yàn)椋?,10）=1,（13,10）=1,所以7,13也就是7,13,因此，用一次性質(zhì)（特征），就去掉了兩組；反復(fù)使用性質(zhì)996次,最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當(dāng)且僅當(dāng)能被7以及13整除又.「91的倍數(shù)中小于1000的只有91X4=364的百位數(shù)字是3,..=364…北=64。例5在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小.分析設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是兩葭因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能分別被％4,5整除,所以它應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：第一，數(shù)字和（8+6+5+a+b+g_是3的倍數(shù).第二,末兩位數(shù)字組頗兩位數(shù)總是4的倍數(shù)。第三，末位數(shù)字c是0或5.町設(shè)要求的六位數(shù)為前頰才艮據(jù)題意可知.4|bcr且c只能取?；?。又???能被4整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)不可能是5.?.c只能取O.因而b只能取自O(shè),2,4,6,8中之一.V福而,且（846+5）除以3余1,??a+b除以3余2.為滿足題意數(shù)值盡可能小”，只需取a=0,b=2.??要求的六位數(shù)是865020.例6求能械26整除的六位數(shù)湎E.分析/26=2X13,能分別被2和］3整除，「,解此題可以從2X1991了人手考慮。解：「2幻991y「.y可能取0、2、4、5、6、8.又13工1991部「?13能整除肅與西的差口當(dāng)y=0時(shí)，由于131910,而13又要整除不與910之差，一13I病=7X13x+9x+13+6??根據(jù)整除性質(zhì)1”,有1319x+6,經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=8時(shí),13|9x+6,??當(dāng)y=0時(shí)，符合題意的六位數(shù)是819910.當(dāng)彳=2時(shí)，因?yàn)?3|工199⑵所以13整除面互與（910+2）之差，也即13整除或歷與2之差*與前相仿，而=7乂13/十13+9皙+6,所以13整除9x+6—2,即13|9x+4.經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=1時(shí),13|9x+4.??當(dāng)y=2時(shí),符合題意的六位數(shù)是119912.同理，當(dāng)y=4時(shí),13|9x+6-4,即13|9x+2,經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng)x=7時(shí),13|9x+2..?.當(dāng)y=4時(shí)，符合題意的六位數(shù)是719914.同理，當(dāng)y=6時(shí),13|9x+6—6.即13|9x.經(jīng)試驗(yàn)可知撫解（因?yàn)槭蟮募邮堑淖罡呶粩?shù)碼，后0）。二當(dāng)y=6時(shí),找不到符合題意的六位數(shù).同理，當(dāng)y=8時(shí),13|9x+6-8,即13|9x-2.經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng)x=6時(shí),13|9x-2.??當(dāng)y=8時(shí)，符合題意的六位數(shù)是619918.答：滿足本題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918四個(gè).習(xí)題一.己知72|演求滿足條件的五位數(shù)。.己知五位數(shù)國藥能被3和9整除，求裝+y的值。|.若五位數(shù)支藥能同時(shí)被2、3、5整除，試求滿足條件的所有這樣的五位數(shù)..將自然數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重復(fù)寫下去組成一個(gè)1993位數(shù)，試問：這個(gè)數(shù)能否被3整除？.一本陳年老賬上記著：72只桶，共口67.9□元.這里口處字跡已不清.請把口處數(shù)字補(bǔ)上，并求桶的單價(jià)..證明：任意一個(gè)三位數(shù)連著寫兩次得到一個(gè)六位數(shù) ，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被7、11、13整除.習(xí)題一解答1.39312.2.8.3.32250、32550、32850.4.解：v1+2+3+-+9=45,3|45,又「?1993除以9余4,???這個(gè)1993位數(shù)的最末4位數(shù)字是1234.「1+2+3+4=10,310,???這個(gè)1993位數(shù)不能被3整除.5口為3、2共367.92元,每只桶5.11元.&證明；設(shè)任意一個(gè)三位數(shù)為正,則六位數(shù)abcabc= 10Q0+abc=1001乂嬴=7XUX]3X^所以，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被7、11、13整除.第二講質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)一、基本概念和知識.質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）一個(gè)數(shù)除了1和它本身,還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).要特別記住：1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)..質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù).例：把30分解質(zhì)因數(shù).解：30=2X3X5.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如12=2X2X3=22X3,2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù).二、例題例1三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210,求這三個(gè)數(shù) .解：.??210=2X3X5X7???可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.例2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是 40,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？解：把 40表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和 ,共有三種形式：40=17+23=11＋29=3+37.17X23=391>11X29=319>3X37=111.???所求的最大值是391.TOC\o"1-5"\h\z答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是 391.例3自然數(shù) 123456789是質(zhì)數(shù) ,還是合數(shù)？為什么？解： 123456789是合數(shù) .因?yàn)樗擞屑s數(shù) 1和它本身外 ,至少還有約數(shù) 3,所以它是一個(gè)合數(shù) .例4連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在 1與20之間,那么顯然其中最多有 4個(gè)質(zhì)數(shù)(如：1?9中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7).如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù) ,而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有 5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是 5,因而5是這個(gè)奇數(shù)的一TOC\o"1-5"\h\z個(gè)因數(shù),即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù) .這樣,至多另 4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù) .綜上所述,連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有 4個(gè)質(zhì)數(shù) .例5把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組 ,使每組數(shù)的乘積相等 .解：:5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,這些數(shù)中質(zhì)因數(shù) 2、3、5、7各共有 2個(gè),所以如把 14(=2X7)放在第一組，那么7和6(=2X3)只能放在第二組，繼而15(=3X5)只能放在第一組 ,則5必須放在第二組 .這樣14X15=210=5X6X7.這五個(gè)數(shù)可以分為 14和15,5、6和7兩組.例6有三個(gè)自然數(shù) ,最大的比最小的大 6,另一個(gè)是它們的平均數(shù) ,且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù) .分析先大概估計(jì)一下，30X30X30=27000,遠(yuǎn)小于42560.40X40X40=64000，遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在30?40之間.解：42560=0X5X7X19=25x(5X7)X(19X2)=32X35X38(合題意)要求的三個(gè)自然數(shù)分別是 32、35和38.例7有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.已知axb=6,bxc=15,axc=10.求axbxc是多少？解：???6=2X3,15=3X5,10=2X5.(axb)x(bxc)x(axc)=(2X3)x(3X5)x(2X5)??.a2xb2xc2=22x32x52(axbxc)2=(2X3X5)2axbXc=2X3X5=30在例7中有a2=22,b2=32,c2=52，其中22=4,32=9,52=25，像4、9、25這樣的數(shù)，推及一般情況 ,我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù) .如.12=1,22=4,32=9,42=16,--,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,???,121,144,…都叫做完全平方數(shù).下面讓我們觀察一下,把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后,各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征.例如：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：9,36,144,1600,275625.解：9=3236=22X32144=32X241600=2"X52275625=32X54X72可見,一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后,各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù) .反之,如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后,各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù) ,那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù) .如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252.例8一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù).分析:a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，???乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù).解：?「1080Xa=23x33x5xa,又???1080=夕><33><5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，「.a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5,因此a最小為2X3X5.??.1080xa=1080X2X3X5=1080X30=32400.答：a的最小值為30,這個(gè)完全平方數(shù)是32400.例9問360共有多少個(gè)約數(shù)？分析360=23X32X5.為了求360有多少個(gè)約數(shù)，我們先來看32X5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23,即得到23X32X5(=360)的所有約數(shù).為了求32X5有多少個(gè)約數(shù),可以先求出 5有多少個(gè)約數(shù) ,然后再把這些約數(shù)分別乘以1、3、32,即得到32X5的所有約數(shù).TOC\o"1-5"\h\z解：記 5的約數(shù)個(gè)數(shù)為 Y1,32X5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y2,360(=23X32X5)的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y3.由上面的分析可知：Y3=4XY2,Y2=3XY,顯然Y1=2(5只有1和5兩個(gè)約數(shù)) .因此Y3=4XY=4X3XYi=4X3X2=24.所以360共有24個(gè)約數(shù) .說明：Yf4XY2中的4”即為1、2、22、23”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中2的最大指數(shù)加1,也就是360=23X32X5中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)加1;Yz=3XY中的3”即為1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是23X32X5中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1;而Y=2中的2”即為1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即23X32X5中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)加1.因此Y=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24.對于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于對23X32X5(=360)的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù) ,等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指數(shù))加1的連乘的積 .例10求240的約數(shù)的個(gè)數(shù) .解：.?.240=24X31X51,??.240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是(4+1)X11+1)X(1+1)=20,??.240有20個(gè)約數(shù).請你列舉一下 240的所有約數(shù) ,再數(shù)一數(shù),看一看是否是 20個(gè)？習(xí)題二邊長為自然數(shù) ,面積為 105的形狀不同的長方形共有多少種？2.11112222個(gè)棋子排成一個(gè)長方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1個(gè).這個(gè)長方陣每一橫行有多少個(gè)棋子？五個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積是 55440,求這五個(gè)自然數(shù) .自然數(shù)a乘以338,恰好是自然數(shù)b的平方.求a的最小值以及b.求10500的約數(shù)共有多少個(gè)？習(xí)題二解答105=3X5X7,105=1X105=3X35=5X21=7X15,「?共有4種.分析每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多 1個(gè).橫行數(shù)與豎列數(shù)應(yīng)是兩個(gè)相鄰的自然數(shù) .解：11112222=3333X3334答案為3334.7、8、9、10、11.分析.??自然數(shù)a乘以338,恰好是自然數(shù)b的平方，???a與338的積分解質(zhì)因數(shù)以后，每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)之和都是偶數(shù).解：.??338=2X13X13,??.a=2,b=2X13=26.5.解：「10500=2'x3X53X7,又丁(2+1)X(1+1)X(3+1)X(1+1)=48.??.10500的約數(shù)共有48個(gè).第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、基本概念和知識公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù) ,叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè) ,叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).例如：12的約數(shù)有： 1,2,3,4,6,12 ；18的約數(shù)有： 1,2,3,6,9,18.12和18的公約數(shù)有： 1,2,3,6.其中6是12和18的最大公約數(shù) ,記作(12,18)=6.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù) ,叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè) ,叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù).例如：12的倍數(shù)有：12,24,36,48,60,72,84, …18的倍數(shù)有：18,36,54,72,90,…12和18的公倍數(shù)有：36,72,….其中36是12和18的最小公倍數(shù),記作[12,18]=36.互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1,那么這兩個(gè)數(shù)叫做 互質(zhì)數(shù).二、例題例1用一個(gè)數(shù)去除 30、60、75,都能整除,這個(gè)數(shù)最大是多少？分析.?.要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，「?要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù).又??.要求符合條件的最大的數(shù)，???就是求30、60、75的最大公約數(shù).解:5|3060753|612口5245（30,60,75）=5X3=15這個(gè)數(shù)最大是15.例2一個(gè)數(shù)用3、4、5除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？分析由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù).解：[3,4,5]=3X4X5=60,.??用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60.例3有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析:.要截成相等的小段，且無剩余，「?每段長度必是120、180和300的公約數(shù).解：V到L2U。一03002|463 5又???每段要盡可能長，「?要求的每段長度就是120、18解口300的最大公約數(shù).（120,180,300）=30X2=60每小段最長60厘米.120+60+180+60+300+60=2+3+5=10（段）答：每段最長60厘米，一共可以截成10段.例4加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè)零件，第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10個(gè),第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè),要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個(gè)工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù).解5|3 5102 1[3,10,5]=5X3X2=30??.各道工序均應(yīng)加30個(gè)零件.30+3=10（人）30+10=3（人）30+5=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人.例5一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計(jì)，三種飲料共用了65瓶；平均每2個(gè)人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公彳&數(shù).解：?.[2,3,4]=12參加會餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù).又12+2+12+3+12+4=6+4+3=13（并K）,「?可見12個(gè)人要用6瓶A飲料,4并KB飲料,3瓶C飲料，共用13瓶飲料.又「65+13=5,??參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5§,12X5=60（人）.答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人.例6一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個(gè)同樣大小的正方形紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，但有時(shí)會遇到類似此題情況，兩個(gè)數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法.對于例6,可做如下圖解:11L31113111311131591531594774U47747?112703從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個(gè).在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個(gè).然后又在裁剩下的長方形（長477厘米,寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個(gè),且無剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是159厘米.所以,159厘米是2703和1113的最大公約數(shù).讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計(jì)算過程，即：2703+1113，商2余477;1113+477，商2余159;477+159，商3余0.或者寫為2703=2X1113+477,1113=2X477+159,477=3X159.當(dāng)余數(shù)為0時(shí),最后一個(gè)算式中的除數(shù)159就是原來兩個(gè)數(shù)270琳口111我最大公約數(shù).可見,477=159X3,1113=159X3X2+159=159X7,2703=159X7X2+477=159X7X2+159X3=159X17.又???7和17是互質(zhì)數(shù)，?.159是270驕口1113的最大公約數(shù).我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點(diǎn)在于它能在較短的時(shí)間內(nèi)求出任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).例7用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù).解：.「4811=2X1981+849,1981=2X849+283,849=3X283,??(4811,1981)=283.補(bǔ)充說明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),這樣求下去，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù).例8求1008、1260、882和1134四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：:(1260,1008)=252,(882,1134)=126,又(252,126)=126,(1008,1260,882,1134)=126.求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9.例9兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是4,最小公倍數(shù)是252,其中一個(gè)數(shù)是28,另一個(gè)數(shù)是多少？解：設(shè)要求的教為及，則荀4U留y7「.x=4Xy28=4X7「.28x=4XyX4X7又??.4是x和28的最大公約數(shù)，(y,7)=1,??.4乂丫乂7是乂和28的最/4公倍數(shù).?..xX28=4X252???x=4X252+28=36「?要求的數(shù)是36.通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個(gè)自然數(shù)，那么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：(a,b)x[a,b]=axb.TOC\o"1-5"\h\z這樣,求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的問題,即可轉(zhuǎn)化成先求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) ,再用最大公約數(shù)除兩個(gè)數(shù)的積,其結(jié)果就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) .例10求21672和11352的最小公倍數(shù) .解：:(21672,11352)=1032(1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得).??[21672,11352]=21672X11352+1032=238392.答： 21672和11352的最小公倍數(shù)是 238392.習(xí)題三甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一 ,甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是 54,甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？一塊長方形地面 ,長120米,寬60米,要在它的四周和四角種樹 ,每兩棵之間的距離相等,最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？已知兩個(gè)自然數(shù)的積是 5766,它們的最大公約數(shù)是 31.求這兩個(gè)自然數(shù) .兄弟三人在外工作 ,大哥6天回家一次 ,二哥8天回家一次 ,小弟12天回家一次 .兄弟三人同時(shí)在十月一日回家 ,下一次三人再見面是哪一天？將長25分米,寬20分米,高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體,不能有剩余 ,每個(gè)立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？一箱地雷,每個(gè)地雷的重量相同,且都是超過 1的整千克數(shù) ,去掉箱子后地雷凈重201千克,拿出若干個(gè)地雷后,凈重183千克.求一個(gè)地雷的重量？習(xí)題三解答甲數(shù)是18,乙數(shù)是54.每兩棵之間的距離是 60米,最少要種樹苗 6棵.解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為將口B.[A,B]=5766+31=186./186=2X3X31,??.這兩個(gè)自然數(shù)為31和186或62和93.10月25日.每個(gè)立方體的體積是 125立方分米 .一共可鋸 60塊.6.3千克.第四講帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：16+3=5-1即16=5X3+1.此時(shí)，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù),我們稱之為帶余數(shù)的除法.一般地，如果a是整數(shù),b是整數(shù)（b?0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r,0wr<b,使得a=bxq+r.當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除.當(dāng)r?0時(shí)，我們稱a不能被b^除,r為a除以b的余數(shù),q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a^b=c|-r,0<r<b.例1一個(gè)兩位數(shù)去除 251,得到的余數(shù)是 41.求這個(gè)兩位數(shù) .分析這是一道帶余除法題 ,且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式入手分析.解：.??被除數(shù)+除數(shù)=商…余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)x商十余數(shù)，?.251=除數(shù)X商+41,251-41=除數(shù)X商，?.210=除數(shù)X商.V210=2X3X5X7,?.210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是 42或70.即要求的兩位數(shù)是 42或70.例2用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù) ,商40,余數(shù)是 16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？解：???被除數(shù)=除數(shù)X商十余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)X40+16.由題意可知：被除數(shù) +除數(shù)=933-40-16=877,?.（除數(shù)X40+16）+除數(shù)=877,??除數(shù)X41=877-16,除數(shù)=861+41,除數(shù)=21,「?被除數(shù)=21X40+16=856.答：被除數(shù)是 856,除數(shù)是21.例3某年的十月里有 5個(gè)星期六 ,4個(gè)星期日,問這年的10月1日是星期幾？解：十月份共有 31天,每周共有 7天,/31=7X4+3,??根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六.??這年的10月1日是星期四.例43月18日是星期日 ,從3月17日作為第一天開始往回?cái)?shù)（即3月16日（第二天） ,15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？解：每周有7天,1993+7=284（周）…5（天），從星期日往回?cái)?shù) 5天是星期二 ,所以第 1993天必是星期二 .例5一個(gè)數(shù)除以 3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù) .這是一道古算題.它早在《孫子算經(jīng)》中記有：“今有物不知其數(shù) ,三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二 ,問物幾何？”關(guān)于這道題的解法,在明朝就流傳著一首解題之歌 ： “三人同行七十稀 ,五樹梅花廿一枝,七子團(tuán)圓正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以 3的余數(shù)乘以 70,用除以5的余數(shù)乘以 21,用除以 7的余數(shù)乘以 15,再把三個(gè)乘積相加.如果這三個(gè)數(shù)的和大于105,那么就減去 105,直至小于 105為止.這樣就可以得到滿足條件的解 .其解法如下：方法1:2X70+3X21+2X15=233233-105X2=23TOC\o"1-5"\h\z符合條件的最小自然數(shù)是 23.例5的解答方法不僅就這一種 ,還可以這樣解：方法2：[3,7]+2=2323除以5恰好余 3.所以,符合條件的最小自然數(shù)是 23.方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題 .例6一個(gè)數(shù)除以 5余3,除以6余4,除以7余1,求適合條件的最小的自然數(shù) .分析“除以5余3”即“加2后被5整除”,同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”.解：[5,6]-2=28,即28適合前兩個(gè)條件 .想：28+[5,6]X?之后能滿足7除余1”的條件？28+[5,6]X4=148,148=21X7+1,又148<210=[5,6,7]所以,適合條件的最小的自然數(shù)是 148.例7一個(gè)數(shù)除以 3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù) .解：想：2+3X?之后能滿足5除余3”的條件？2+3X2=8.再想：8+[3,5]X?之后能滿足7除余4”的條件？8+[3,5]X3=53.」?符合條件的最小的自然數(shù)是53.歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法 .當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后,為了再滿足另一個(gè)條件 ,需做數(shù)的調(diào)整,調(diào)整時(shí)注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù).解這類題目還有其他方法,將會在有關(guān)“同余”部分講到.例8一個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè) .如果每次取 3個(gè),最后剩1個(gè)；如果每次取 5個(gè)或7個(gè),最后都剩 2個(gè).布袋中至少有小球多少個(gè)？解：2+[5,7]X1=37（個(gè)）.「37除以3余1,除以5余2,除以7余2,「?布袋中至少有小球37個(gè).例969、90和12磁某個(gè)正整數(shù)N除時(shí)，余數(shù)相同，試求N1勺最大值.分析在解答此題之前,我們先來看下面的例子：15除以2余1,19除以2余1,即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是 1）.但是19-15能被2整除.由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)a和b,均被自然數(shù)m除,余數(shù)相同,那么這兩個(gè)整數(shù)之差（大-?。┮欢鼙涣?反之，如果兩個(gè)整數(shù)之差恰被m?除，那么這兩個(gè)整數(shù)被m＞的余數(shù)一定相同.例9可做如下解答：?.三個(gè)整數(shù)被N^余數(shù)相同，??N|（90-69），即N[21,N|（125-90），即N|35,?.N＞21和35的公約數(shù).?.要求NK最大值，?.N是21和35的最大公約數(shù).??21和35的最大公約數(shù)是7,?.N＞大是7.習(xí)題四用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù) ,不完全商是 8,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)這四個(gè)數(shù)的和為463,求除數(shù).某數(shù)除以 3余1,除以 4余2,除以 5余3,除以6余4,這個(gè)數(shù)最小是多少？某數(shù)除以 8余3,除以 9余4,除以 12余7,在1000以內(nèi)這樣的數(shù)有哪幾個(gè)？用卡車運(yùn)貨 , 每次運(yùn) 9袋余1袋, 每次運(yùn)8袋余3袋,每次運(yùn) 7袋余 2袋. 這批貨至少有多少袋？57、96、148被某自然數(shù)除 ,余數(shù)相同,且不為零.求284被這個(gè)自然數(shù)除的余數(shù).習(xí)題四解答除數(shù)為47.58.共13個(gè).有：67,139,211,283,355,427,499,571,643,715,787,859,931.

163.11.第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用一i、基本概念和知識.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù).偶數(shù)通常可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示.特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)..奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)土偶數(shù)二偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù).性質(zhì)2:偶數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù).性質(zhì)3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù).性質(zhì)4:奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù).性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù).二、例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實(shí)際問題.例11+2+3+■?+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法.解法1: 1+2+3+T1993(1+1993〕(1+1993〕X19932=997X1993,又「997和1993是奇數(shù),奇數(shù)X奇數(shù)=＜數(shù),.??原式的和是奇數(shù)解法2:.「1993+2=996-1,.??1?1993的自然數(shù)中，有996個(gè)偶數(shù)，有997個(gè)奇數(shù).??996個(gè)偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又「奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，??997個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù).因?yàn)?，偶?shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù).例2一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150，這個(gè)數(shù)是多少？解法1:???相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2,?.150是這個(gè)要求數(shù)的2倍.?.這個(gè)數(shù)是150+2=75.解法2：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a+1,2a-1(a>1).則有(2a+1)x-(2a-1)x=150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150,x=75.??這個(gè)要求的數(shù)是75.例3元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān).解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除,所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù).送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù) .另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù) =所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù) =偶數(shù)-偶數(shù)二偶數(shù).他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù).所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù).例4已知a、b、c中有一個(gè)是5,一個(gè)是6,一個(gè)是7.求證a-1,b-2,c-3的乘積一定是偶數(shù).證明：??.a、b、c中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，「?a、c中至少有一個(gè)是奇數(shù)，??a-1,c-3中至少有一個(gè)是偶數(shù).又???偶數(shù)x整數(shù)二偶數(shù)，?.(a-1)x(b-2)x(c-3)是偶數(shù).例5任意改變某一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個(gè)新數(shù).試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于999.證明：設(shè)原數(shù)為計(jì)■口設(shè)改變其色?數(shù)字順序后得到的新數(shù)為。假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和為999,即嬴十Jb'I=99%則有a+a'=b+b'=c+c'=9,因?yàn)?不會是進(jìn)位后得到的又因?yàn)閍'、b'、c'是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a，+b，+c，.因此，又有（a+a'）+（b+b'）+（c+c‘）=9+9+9,即2（a+b+c）=3X9.可見：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊（3X9=27）是奇數(shù).偶數(shù)？奇數(shù).因此，等式不成立.所以,此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為 999”是錯誤的 ,命題得證.這個(gè)證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.先假設(shè)某種說法正確,再利用假設(shè)說法和其他性質(zhì)進(jìn)行分析推理 ,最后得到一個(gè)不可能成立的結(jié)論 ,從而說明假設(shè)的說法不成立 .這種思考證明的方法在數(shù)學(xué)上叫 “反證法 ”.例6用代表整數(shù)的字母 a、b、c、d寫成等式組：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=1995axbxcxd-d=1997試說明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在.解：由原題等式組可知：a（bcd-1）=1991,b（acd-1）=1993,c（abd-1）=1995,d（abc-1）=1997.「1991、1993、1995、1997均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)，「.a、b、c、d分別為奇數(shù)./.axbxcxd=<>.「.a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾.??不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù)a、b、c、d.例7桌上有 9只杯子 ,全部口朝上,每次將其中6只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”.請說明：無論經(jīng)過多TOC\o"1-5"\h\z少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”,都不能使 9只杯子全部口朝下 .解：要使一只杯子口朝下,必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使9只杯子口全朝下 ,必須經(jīng)過9個(gè)奇數(shù)之和次 “翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù) .但是,按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn) 6只杯子,無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”,翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次 .因此無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”,都不能使 9只杯子全部口朝下 .例8假設(shè)n盞有拉線開關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動（n-1）個(gè)開關(guān)，能否把所有的燈都關(guān)上？請證明此結(jié)論 ,或給出一種關(guān)燈的辦法.證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上.因?yàn)橐P(guān)上一盞燈 ,必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關(guān) .由于n是奇數(shù),所以n個(gè)奇數(shù)的和=奇數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關(guān)上，拉動拉線開關(guān)的總次數(shù)一定是奇數(shù).但因?yàn)橐?guī)定每次拉動n-1個(gè)開關(guān),且n-1是偶數(shù),故按規(guī)定拉動開關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù) .??奇數(shù)？偶數(shù),??當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),能按規(guī)定將所有燈關(guān)上.關(guān)燈的辦法如下:設(shè)燈的編號為1,2,3,4,做如下操作：第一次,1號燈不動，拉動其余開關(guān)；第二次,2號燈不動，拉動其余開關(guān)；第三次,3號燈不動，拉動其余開關(guān)；第n次,n號燈不動，拉動其余開關(guān).這時(shí)所有的燈都關(guān)上了.例9在圓周上有1987個(gè)珠子,給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍(lán)，或一次紅、一次藍(lán).最后統(tǒng)計(jì)有1987次染紅,1987次染藍(lán).求證至少有一珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色.證明：假設(shè)沒有一個(gè)珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設(shè)第一次染m^珠子為紅色，第二次必然還僅染這*珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為2敞.「2廿1987（偶數(shù)？奇數(shù)）??假設(shè)不成立至少有一個(gè)珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色.例10如下頁圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹，如果把三塊愛護(hù)樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛起點(diǎn)、牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個(gè)是偶數(shù)，題目已得證；如果a、b都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證.?抹4 b求I — —IC米例11某校六年級學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競賽，試題共40道,評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題給3分,答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù).解：對每個(gè)學(xué)生來說，40道題都答對共得120分，是個(gè)偶數(shù).如果答錯一道，相當(dāng)于從12陰中扣4分.不論答錯多少道，扣分的總數(shù)應(yīng)是4的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分.從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，如果有某題不答，應(yīng)從120里減去（3-1）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù),也是偶數(shù).所以從120里減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù).因此，每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù).例12某學(xué)校一年級一班共有25名同學(xué)，教室座位恰好排成5行，每行5個(gè)座位.把每一個(gè)座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位 .問：讓這25個(gè)學(xué)生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析.我們把每一個(gè)黑、白格看作是一個(gè)座位.從圖中可知，已在黑格座位”上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格座位”上的同學(xué)要換到鄰座，又必須全坐到黑格座位”上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等.解：從上圖可知：黑色座位有13個(gè)，白色座位有12個(gè),13?12,因此，不可能使每個(gè)座位的人換為鄰座位.例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法.因?yàn)檎麛?shù)按奇偶分類只有兩類，所以將這類問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關(guān)系.例13在中國象棋盤任意取定的一個(gè)位置上放置著一顆棋子 馬”,按中國象棋的走法，當(dāng)棋盤上沒有其他棋子時(shí)，這只馬”跳了若干步后回到原處，問：馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國象棋中，馬“走日”字，如果將棋盤上的各點(diǎn)按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出，馬”走任何一步都是從黑色點(diǎn)走到白色點(diǎn)，或從白色點(diǎn)走到黑色點(diǎn).因此，馬”從一色點(diǎn)跳到另一同色點(diǎn)，必定要跳偶數(shù)步.?小-一?界?巴?因此，不論開始時(shí)馬”在棋盤的哪個(gè)位置上，而且不論馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步.例14線段A葩兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)染紅色，另一個(gè)端點(diǎn)染藍(lán)色.在這個(gè)ABSI段中間插入n個(gè)交點(diǎn)，或染紅色，或染藍(lán)色，得到n+1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個(gè)端點(diǎn)不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù).證明：當(dāng)在A升插入第一點(diǎn)時(shí)，無論紅或藍(lán)色，兩端色不同的線段仍是一條.插入第二點(diǎn)時(shí)有三種情況：①插入點(diǎn)在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數(shù)不變.②插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，且插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色相同，則兩端不同色線段條數(shù)不變.③插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，但插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色不同，則兩端不同色線段條數(shù)增加兩條.因此插入第二個(gè)點(diǎn)時(shí)端點(diǎn)不同色的線段數(shù)比插入第一個(gè)點(diǎn)時(shí)端點(diǎn)不同色的線段數(shù)（=1）多0或2,因此是奇數(shù)（1或3）.同樣，每增加一個(gè)點(diǎn)，端點(diǎn)不同色的線段增加偶數(shù)（0或2）條.因此，無論n是什么數(shù)，端點(diǎn)不同色的線段總是奇數(shù)條.習(xí)題五.有10吐自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個(gè)偶數(shù)？.有一串?dāng)?shù)，最前面的四個(gè)數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面相鄰四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字.問：在這一串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)嗎？.求證：四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)..把任意6個(gè)整數(shù)分別填入右圖中的6個(gè)小方格內(nèi)，試說明一定有一個(gè)矩形，它的四個(gè)角上四個(gè)小方格中的四個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)..如果兩個(gè)人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時(shí)以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為.（A）必為奇數(shù)，（B）必為偶數(shù)，（C）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)..一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)..有12張卡片，其中有3張上面寫著1,有3張上面寫著3,有3張上面寫著5,有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20?為什么？.有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動4只杯子，經(jīng)過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？.電影廳每排有19個(gè)座位,共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置.問：這種交換方法是否可行？.由14個(gè)大小相同的方格組成下列圖形(右圖)，請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個(gè)由兩個(gè)相鄰方格組成的長方形.里習(xí)題五解答.偶數(shù)至多有48個(gè)..提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)..設(shè)四個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,n為整數(shù),則它們的和是(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=2nX4+16=8n+16=8(n+2).所以，四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)..證明：設(shè)填入數(shù)分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有4假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，則有：?偶數(shù)？奇數(shù)一..假設(shè)不成立，命題彳#證..應(yīng)選擇(B).參考例3..是偶數(shù).參考例3..不能.因?yàn)?個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20..能.例如第一次78910第二次3456第三次2345第四次1345.這種交換方法是不可行的.參考例12.10.利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長方形，因?yàn)閳D形中一種顏色有8格,另一種顏色有6格,而每個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長方形是一黑格一白格，7個(gè)這樣的長方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.第六講能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征大家知道，一個(gè)整數(shù)能被2整除，那么它的個(gè)位數(shù)能被2整除；反過來也對，也就是一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除，那么這個(gè)數(shù)本身能被2整除.因此，我們說J個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除”是這個(gè)數(shù)能被2整除”的特征.在這一講中，我們通過尋求對于某些質(zhì)數(shù)成立的等式來導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征 .為了敘述方便起見，我們把所討論的數(shù)NS為：N=33a盧]%=…+七x10*■+a3X10J+叼X10-FaCir有時(shí)也表示為一二…DCBA@我們已學(xué)過同余，用mod21示除以2取余數(shù).有公式：①gao(mod2②*aiao(mod4③*aaa(mod<8④*a3a22自(mod16這幾個(gè)公式表明一個(gè)數(shù)被2(4,8,16)整除的特性,而且表明了不能整除時(shí)，如何求余數(shù).止匕外，被3(9)整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被3(9)整除.我們借用同余記號及一些運(yùn)算性質(zhì)來重新推證一下 .如(mod9，如果，N=aa2aiao=a3X1000+ax100+ax10+a=a3X(999+1)+a2X(99+1)+a[x(9+1)+a。=(a3+a2+a〔+a0)+gx999+aX99+ax9),那么，等式右邊第二個(gè)括號中的數(shù)是9的倍數(shù)，從而有IN=a3+a2+a〔+a0(mod9對于mod3,理由相仿，從而有公式：⑤N^(…+a3+a2+a〔+a。) (mod9,N^(…+a3+a2+a[+a。) (mod3.對于被11整除的數(shù)，它的特征為：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差(大減小)能被11整除.先看一例.N=31428576，改寫Nfe如下形式：N=6+7(11-1)+5(99+1)+8(1001-1)+2(9999+1)+4(100001-1)+1(999999+1)+3(10000001-1)=6-7+5-8+2-4+1-3+7X11+5X99+8X1001+2X9999+4X100001+1X999999+3X10000001.由于下面這兩行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍數(shù)，所以N=6-7+5-8+2-4+1-3(mod1).小學(xué)生在運(yùn)算時(shí),碰上小減大”無法減時(shí),可以從上面NW表達(dá)式最后一行中借用”11的適當(dāng)倍數(shù)(這樣，最后一行仍都是11的倍數(shù))，把它加到小減大”的算式中,這樣就得到：[殳兇=""亂7端則日e沏FN^11+6-7+5-8+2-4+1-3=3(modi).現(xiàn)在總結(jié)成一般性公式(推理理由與例題相仿).貝UN三(ao-ai+a2-a3+a4-a5+a6-a7+…)(modi)或者：⑥N^((a0+a2+a4-+-)-(a1+a3+a5+?))(modi)(當(dāng)不夠減時(shí)，可添加11的適當(dāng)倍數(shù)).因此，一個(gè)自然數(shù)能被11整除的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差(大減小)能被11整除.我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數(shù)的情況.下面研究被7、11、1整除的數(shù)的特征.有一關(guān)鍵性式子：7X11X13=1001.如有一個(gè)數(shù)有六位，記為N二FEDCEA,那么M=FEDxW0Q+=FEDX(log)-FED+^A=面義(7X11X13)所以N^被7、11、13整除，相當(dāng)于京\面或面-瓦￡(以大減小)能被7、11、13整除.總結(jié)為公式：?N=-GFEDCBA=^A-'-GFED(mod7)i(mod11);(mod13(當(dāng)近時(shí),可在瓦瓦-',?GFED上加上7或11或13的適當(dāng)倍數(shù)).表述為：判定某數(shù)能否被7或11或13整除,只要把這個(gè)數(shù)的末三位與前面隔開,分成兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)，取它們的差(大減小)，看它是否被減11或1整除.此法則可以連續(xù)使用.例：N=31428576判定N^否被11整除.TOC\o"1-5"\h\z31428 852- 576 -3030852 822因?yàn)?2%能被11整除，所以環(huán)能被11整除.例：N=215332.判定渥否被7、11、13整除.由于117=13X9,所以117能被13整除，但不能被由11整除，因此帷被13整除,

不能被7、11整除.此方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)判定一個(gè)較大的數(shù)能否被7或11或13整除時(shí),可用減法把這個(gè)大數(shù)化為一個(gè)至多是三位的數(shù)，然后再進(jìn)行判定.如N=987654321.判定附也否被13整除?9g7第一或-333第一或654而654=50X13+4，所以原數(shù)不能被13整除.如直接計(jì)算，很費(fèi)力:987654321=75973409<13+4.下面研究可否被17、19整除的簡易判別法.回顧對比前面，由等式1001=7X11X13的啟發(fā)，才有簡捷的隔位相減判整除性”的方法.對于質(zhì)數(shù)17,我們有下面一些等式：17X6=102,17X59=1003,17X588=9996,17X5882=99994,我們不妨從17X59=1003出發(fā).由于N=FEDCBA=面*1000+而天=FEDX（1003-3）+氏X（modi?）。（亦可在充1-3乂而上加上17的適當(dāng)倍數(shù)）◎因此，判定一個(gè)數(shù)可否被17整除,只要將其末三位與前面隔開,看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除.例：N=31428576判定附也否被17整除.第一步；314ZS 第二步;708><L -2T994224 -429（93X3）575-93708而429=25X17+4,所以N^能被17整除.例：N=266102方也否被17整除?第一步： 956- 2193第一步： 956- 21935C7X3)X 379S3"- 027—956又935=55X17.所以NET被17整除.下面來推導(dǎo)被19整除的簡易判別法

尋找關(guān)鍵性式子：19X52=988,19X53=1007.由于N=FEDCBA=而X（W00）+而X=FEDX（W07-7）=FEDX1007-FCTA-7xfed三面義西oC亦可在而K-7X面上加上小的適當(dāng)倍數(shù)）=因此，判定一個(gè)數(shù)可否被19整除,只要將其末三位與前面隔開,看末三位與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減小）是否被19整除.例：N=123456789可否被19整除?第一步：123456X 7第一步：123456X 7864192- 789-863403X7_ _356-41 603（5X7）-4035638又603=31X19+14，所以N^能被19整除.例：N=6111426T否被19整除？第一步：6111第二步：3512< I-29402X7）42777 5- -26 5742351又57=3X19,所以NnT被19整除：321654X19=6111426.F面來推導(dǎo)被23、29整除的簡易判別法尋找關(guān)鍵性式子，隨著質(zhì)數(shù)增大，簡易法應(yīng)該在N的位數(shù)多時(shí)起主要作用，現(xiàn)有23X435=10005,29X345=1000a由此啟發(fā)得到一個(gè)末四位隔開的方法：由于N=GJEDCBA= 乂IFUUO+DCBA=OTEX10005-5XCTE+DCBA,所以N三DCBA-5X,Gnod23）； .（亦可在或而,上加上23或29的適當(dāng)倍數(shù)）=因此，判定一個(gè)數(shù)可否被23或2嵯除,只要將其末四位與前面隔開,看末四位與前面隔出數(shù)的5倍的差（大減小）是否被23或29整除.例：N=6938801能否被23或29整除？693 8801乂5 -34653465. 5336，又5336=23X232=23X29X8,所以很快判出NEI被23及29整除.最后，如讀者還想尋找以上數(shù)的更簡明判別法，或被31以上質(zhì)數(shù)整除的判別法都是可以去探索的.把這一節(jié)得到的公式簡列于下：N二…GFEDCBA①N三通-…GFED(mod7)jCm電dll)；(modl3)i②…GFED(mod17)；(mod59)i?-7X"-GFED(modl9)5(mod53)i?N=DCBA-5X…GFE(mod23)i(mod29)；⑤Nm^X+WK…GFED(mQd31)彳⑥N=^A+1X…GFED(m源57)*(可在上述這些同余式的右端加上相應(yīng)質(zhì)數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)) .后兩式?jīng)]有證明,讀者不難從999=37X27,992=31X32啟發(fā)出隔位加”的判別法.習(xí)題六.公式1003=17X59曾用于推導(dǎo)判定被17整除的公式，請說明公式②也是判定被59整除的簡便公式..說明公式③也是判定被53整除的簡便公式..61是質(zhì)數(shù)，并且10004=61X164，你能利用這一等式導(dǎo)出判定被61整除的簡便公式嗎？.67是質(zhì)數(shù),1005=67X15,請證明:N=GFEDCBA三至X-5XCTED(mo467^)(可在右端加上67的適當(dāng)倍數(shù))..994=71X14,71是質(zhì)數(shù)，請導(dǎo)出判定被71整除的公式..N=3142857列否被37整除？.已知整除卜2K3煙區(qū)喟色被11整除,求k可能的值。.判別517214316+72皿能否祓6整除？能否被9整除?說明理由寸.任明2毋-2'+2匚2#+2「1能被9整除。.求使2僦能被7整除的所有自然數(shù)r習(xí)題六解答___ LN=GFEDCBA=GFEDX(1QQ3-3)+CBAm^^3XGFEDCm)d59)◎N=GFEDX(1007-7)+^A(?「1007=19X53)=^E-7XGFEDCmod53)◎工N=DCBA-bGFEX(100。/4)=DCBAHX標(biāo)(mod61)?.N=NFEGCBA=GFEDX(1005-5)5XGFED(mod67)o.N=GFEDCBA=GFEDX(994+61jXGFED+^7(tnodVl)o.N=3142857A31428+576—32004三4+32=36(mod37.所以不可以..x=1.g.N=517214316+72加-0〔mcd2)；N=0(mod3),nN-O(mod6).N=3(mod9)09.寫成二進(jìn)制N=(laooioooioo)3-(10001000)口=(nooiiooiO.I6)皿=(10。。u直接作二進(jìn)制除法FM廣(looij2=(loiioii)父??.9|N.所以，可以整除6,不能整除9.10.⑺『(111)八(2rL-l)io=[100…UT)2=(11"'1)?因此，7I2也1當(dāng)且僅當(dāng)口為3的倍數(shù)第七講行程問題這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強(qiáng)的題目.為此，我們需要先回顧一下已學(xué)過的基本數(shù)量關(guān)系：路程犍度X時(shí)間；總路程=速度和X時(shí)間；路程差=速度差X追及時(shí)間.例1小華在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間開始解一道題，當(dāng)時(shí)時(shí)針、分針正好成一直線，解完題時(shí)兩針正好第一次重合.問：小明解這道題用了多長時(shí)間？分析這道題實(shí)際上是一個(gè)行程問題.開始時(shí)兩針成一直線，最后兩針第一次重合.因此,在我們所考察的這段時(shí)間內(nèi)，兩針的路程差為30分格，又因?yàn)闀r(shí)針每小時(shí)走盼格，即它的速度為3分格/分鐘，而分針的速度為1分分格/分鐘，所以，當(dāng)它們第一次重合時(shí),一定是分針從后面追上時(shí)針.這是一個(gè)追及問題，追及時(shí)間就是小明的解題時(shí)間.解t30^(1~)二30+瞿工蒐,(分鐘)1Jsa LJLa 11小明解題共用了32^分鐘.例2甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米.甲從A地,乙和丙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地間的距離.畫圖如下:印.乙用目于c點(diǎn)，此時(shí)

另在啾分析結(jié)合上圖，如果我們設(shè)甲、乙在點(diǎn)Cf遇時(shí)，丙在D電，則因?yàn)檫^15分鐘后甲、丙在點(diǎn)中目遇，所以C應(yīng)間的距離就等于（40+60）X15=1500（米）.又因?yàn)橐液捅峭瑫r(shí)從點(diǎn)地發(fā)的，在相同的時(shí)間內(nèi)，乙走到C女，丙才走到D點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi)乙比丙多走了1500米，而乙與丙的速度差為50-40=10（米/分），這樣就可求出乙從母花的時(shí)間為1500+10=150（分鐘），也就是甲、乙二人分別從AB出發(fā)到C電相遇的時(shí)間是150分鐘，因此，可求出A、B的距離.解：①甲和丙15分鐘的相遇路程：（40+60）X15=1500（米）.②乙和丙的速度差：50-40=10（米/分鐘）.③甲和乙的相遇時(shí)間：1500+10=150（分鐘）.④A、B兩地間的距離：（50+60）X150=16500（米）=16.5千米.答：AB兩地間的距離是16.5千米.例3甲、乙、丙是一條路上的三個(gè)車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和小明同時(shí)分別從甲、丙兩站出發(fā)相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過乙站100米時(shí)與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立即返回，經(jīng)過乙站300米時(shí)又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫圖如下：中點(diǎn)相謾H \ 4 分析結(jié)合上圖，我們可以把上述運(yùn)動分為兩個(gè)階段來考察:①第一階段一一從出發(fā)到二人相遇：小強(qiáng)走的路程=一個(gè)甲、乙距離+10瞇,小明走的路程=一個(gè)甲、乙距離-100米.②第二階段一一從他們相遇到小強(qiáng)追上小明，小強(qiáng)走的路程=2個(gè)甲、乙距離-100米+300米=2個(gè)甲、乙品巨離+20瞇,小明走的路程=100+300=400（米）.從小強(qiáng)在兩個(gè)階段所走的路程可以看出：小強(qiáng)在第二階段所走的路是第一階段的2倍,所以，小明第二階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應(yīng)走400+2=200（米），從而可求出甲、乙之間的距離為200+100=300（米）.解略.例4甲、乙、丙三人進(jìn)行200米賽跑，當(dāng)甲到終點(diǎn)時(shí)，乙離終點(diǎn)還有20米，丙離終點(diǎn)還有25米，如果甲、乙、丙賽跑的速度都不變，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有多少米？分析在相同的時(shí)間內(nèi)，乙行了（200-20）=180（米），丙行了200-25=175（米）,則丙的速度是乙的速度的05+1X0= 那么，在乙走204TOC\o"1-5"\h\z米的時(shí)間內(nèi)，丙只能走：20萬w=19：（米），因此，當(dāng)乙到次冬點(diǎn)時(shí)，36 9丙離終點(diǎn)還有25-19可=5,（米）口髀okx200-25 35辟士2d-20X――——=2^-20X-200—20 36■25T9；-55（米）曾當(dāng)乙到終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有55米口例5甲、乙二人分別從A、B兩地同日t出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.先畫圖如下：TOC\o"1-5"\h\z（ , 甲 \ f 型一~J ；道及I i~—i相遇\o"CurrentDocument"： ii i退及點(diǎn)口 工相遇點(diǎn)C ￡分析若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C,甲追及乙的地點(diǎn)為D,則由題意可知甲從A!UC用6分鐘.而從雄2則用26分鐘，因此，甲走C到應(yīng)間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6）=20（分）.同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于B3口BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50X（26+6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600+20=80（米/分），由此可求出A、B間的距離.解：50X（26+6）+（26-6）=50X32+20=80（米/分）（80+50）x6=130X6=780（米）答：AB間的距離為780米.例6一條公路上,有一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人 ,騎車人速度是步行人速度的3倍,每隔6分鐘有一輛公共汽車超過步行人 ,每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人 ,如果公共汽車始發(fā)站發(fā)車的時(shí)間間隔保持不變 ,那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？分析要求汽車的發(fā)車時(shí)間間隔,只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了,但題目沒有直接告訴我們這兩個(gè)條件,如何求出這兩個(gè)量呢？由題可知：相鄰兩汽車之間的距離（以下簡稱間隔距離）是不變的,當(dāng)一輛公共汽車超過步行人時(shí) ,緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離 ,每隔6分鐘就有一輛