理論力學(xué)-11動(dòng)量矩定理

1質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心C為固定軸上一點(diǎn)時(shí)，vC=0，則其動(dòng)量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)，可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力（外力系主矢）2§11–1動(dòng)量矩

§11–2動(dòng)量矩定理

§11–3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

§11–4質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理·

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第十一章動(dòng)量矩定理3動(dòng)力學(xué)§11-1動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩(momentofmomentum)

質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：

質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為矢量。動(dòng)量矩：度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。xyzOABprLO4動(dòng)力學(xué)正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同，對(duì)著軸看：順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。單位：kg·ｍ2/s。質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸z的動(dòng)量矩為代數(shù)量。質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z的動(dòng)量矩：xyzOABprLOmvxyA'B'ggLz質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系5質(zhì)系對(duì)軸z動(dòng)量矩：動(dòng)力學(xué)二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩：剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1．平動(dòng)剛體

平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于作用在剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的矩。OxyzMirimivim1v1m2v2rCC6

平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩之和。動(dòng)力學(xué)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3．平面運(yùn)動(dòng)剛體wzMirimivi(momentofinertia)

7動(dòng)力學(xué)解：[例1]

滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑輪B：m2，R2，J2

；物體C：m3,v3

求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。C8§11-2動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理兩邊叉乘矢徑,有：左邊可寫成質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

動(dòng)力學(xué)故：(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttoagivenpoint)

9將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得:質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理（質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式）。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒10運(yùn)動(dòng)分析：動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩定理:解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析:(受力圖如圖示)[例2]

單擺已知m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。FT11注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。動(dòng)力學(xué)微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運(yùn)動(dòng)方程12

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而──質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi：13質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒

當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。動(dòng)力學(xué)將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得14解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理：[例3]

已知:aaFOxFOy運(yùn)動(dòng)分析：

v=r15猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為。動(dòng)力學(xué)[例4]

已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）解：mAgmBgvB系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩守恒16

§11-3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有──剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體:17

特殊情況：動(dòng)力學(xué)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。a=const剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。:剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。18[例5]

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。動(dòng)力學(xué)取輪A為研究對(duì)象：解:FTa119ω2a2F'Tv[例5]

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對(duì)象：動(dòng)力學(xué)解:FTa120補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：化簡(1)

得：化簡(2)

得：動(dòng)力學(xué)ω2a2F'TvFTω1a121Oxyzx'y'z'ri'vir一、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩Cmi§11-4質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)22Oxyzx'y'z'ri'rirCvir質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩與相對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩的關(guān)系：Cmi動(dòng)力學(xué)23Oxyzx'y'z'ri'rirCvir二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理Cmi動(dòng)力學(xué)24動(dòng)力學(xué)二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttothecenterofmass)

向過質(zhì)心的平動(dòng)軸投影：

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于過質(zhì)心的平動(dòng)軸的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)過質(zhì)心的平動(dòng)軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該軸的主矩。25動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩也有守恒問題：若外力對(duì)質(zhì)心的主矩為零，則對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心動(dòng)量矩定理和對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相同的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)（A），一般并不存在這種簡單的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理26三、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可簡化為平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。平面圖形S受力系作用，質(zhì)心為C內(nèi)。動(dòng)力學(xué)取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為:

隨質(zhì)心C的平動(dòng)（xC

,yC

→vC

→aC

）

繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)（→→）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：x'y'27投影形式:平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)jFNFfaCj28[例1]

質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f、f′，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：取輪為研究對(duì)象。a運(yùn)動(dòng)分析：一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng),根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程：FNFfaCaj291．設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。動(dòng)力學(xué)因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。只滑不滾302．設(shè)接觸面足夠粗糙（輪作純滾動(dòng)）。動(dòng)力學(xué)FNFfaCaj輪作純滾動(dòng)的條件：只滾不滑31動(dòng)力學(xué)Ff

=

f′FN表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；當(dāng)時(shí)，解答2適用；當(dāng)f=0

時(shí),解答1適用。FNFfaCaj3．設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。32[例2]均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解：選取圓柱為研究對(duì)象。動(dòng)力學(xué)根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程補(bǔ)充方程：FfAFfBFNBFNA受力分析:運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。33將（4）式代入（1）、（2）兩式，有將上述結(jié)果代入（3）式，有解得：動(dòng)力學(xué)（1）（2）（3）（4）34動(dòng)力學(xué)例3：一質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)桿AC、其C端與質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓盤B的質(zhì)心用光滑鉸鏈連接，在鉛垂平面內(nèi)繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)圓盤和桿的角速度。ACB0Mgmg解：以C為研究對(duì)象。CBCMgFCxFCy圓盤相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。FAxFAy35動(dòng)力學(xué)例3：初始時(shí)=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)圓盤和桿的角速度。ACBCMgmg以系統(tǒng)為研究對(duì)象。AvC36動(dòng)力學(xué)例3：初始時(shí)=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)圓盤和桿的角速度。ACBCMgmgFAxFAyAvC37一．基本概念1．動(dòng)量矩：物體某瞬時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對(duì)過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。

平行移軸定理。動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩定理小結(jié)385．剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)：二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。動(dòng)力學(xué)39三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒若，則常矢量若，則常量四．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理40五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或動(dòng)力學(xué)41六.動(dòng)量矩定理的應(yīng)用

動(dòng)力學(xué)已知運(yùn)動(dòng)，求外力或外力矩。已知外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求角速度或加角速度。已知對(duì)某軸外力矩等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度。注意事項(xiàng)：應(yīng)用動(dòng)量矩定理列方程時(shí),要注意正負(fù)號(hào)規(guī)定的一致性。研究剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，一定要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程，找出質(zhì)心速度與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的關(guān)系。42[例4]

兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí),T形桿具有角速度=4rad/s。求該瞬時(shí)軸承O的反力。解：選T字型桿為研究對(duì)象。受力分析如圖示。動(dòng)力學(xué)由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程FOyFOx43根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得動(dòng)力學(xué)FOyFOx44[例5]

均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計(jì)且不可伸長，不計(jì)軸O處摩擦。求：