第9講 拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用(學(xué)生版)

9/9第9講拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn).重點(diǎn)：會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決拋物線問題．難點(diǎn)：拋物線綜合問題三、教學(xué)方法一學(xué)、二記、三應(yīng)用。知識(shí)梳理：1.拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下2.焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論：以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ為直線AB的傾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線．3．直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)．五、課前測(cè)試1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0,2) B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0等于()A．1 B．2C．4 D．83．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]六、典例剖析題型一、拋物線的幾何性質(zhì)例1(1)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) D．(0,1)(2)若拋物線y2＝eq\f(4,m)x的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________．[方法技巧]涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．課堂練習(xí)1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(1,4)C．4 D．－43.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])以x軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)P(1，m)到焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線的方程是()A．y＝4x2 B．y＝12x2C．y2＝6x D．y2＝12x5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.6.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)三])如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．題型二、焦點(diǎn)弦問題例2已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．[方法技巧]焦點(diǎn)弦問題的求解策略解決焦點(diǎn)弦問題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，解題時(shí)，設(shè)出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，再利用已知條件求解．課堂練習(xí)1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋202.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，過點(diǎn)F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB|·|CD|的值的說法中，正確的是()A．等于1 B．等于4C．最小值是1 D．最大值是43.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知拋物線y2＝2x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(3,2)，則|AB|的最大值為()A．1 B．2C．3 D．44.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線y2＝－4x(y≥0)上，則△PAB的面積的最小值為________．5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.題型三、拋物線與直線位置關(guān)系結(jié)合直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系，請(qǐng)你思考一下怎樣討論直線與拋物線的位置關(guān)系？答設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，(1)若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．(2)若a＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．因此，“直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件．另外，還要注意直線斜率不存在的情形．例3如圖，已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點(diǎn)P(－2,1)，斜率為k.k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2＝4x：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

例4已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．思維升華(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此．反思與感悟直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程、拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況．課堂練習(xí)1、以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2 B．4C．6 D．82、若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為3，延長(zhǎng)PF交拋物線于Q，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則S△OPQ＝________.3、如圖，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(a,0)(a>0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過P作直線交拋物線y2＝2px(p>0)于A、B兩點(diǎn)，設(shè)S△AOB＝t·tan∠AOB.試問：當(dāng)a為何值時(shí)，t取得最小值，并求出最小值．

真題回顧1．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．22．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2 B．4C．6 D．83．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝()A．3 B．6C．9 D．124．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2)C．3 D．25．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)

七、自我測(cè)評(píng)：1．若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線2．設(shè)拋物線y2＝－12x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是1，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．3 B．4C．7 D．133．若拋物線y2＝2x上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)F的距離為eq\f(3,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MFO的面積為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)4．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則||＋||＋||的值為()A．1 B．2C．3 D．45．直線l過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是6，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是1，則此拋物線方程是________．

6．已