概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

2.4連續(xù)型隨機(jī)變量

及其概率密度１．連續(xù)型隨機(jī)變量的概念２．三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量３．小結(jié)2.4連續(xù)型隨機(jī)變量

及其概率密度１．連續(xù)型隨機(jī)變量的1

引例一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求X的分布函數(shù).解：由題意有當(dāng)x<0時(shí),F(x)=P{X≤x}=P(φ)=0.當(dāng)x≥2時(shí),F(x)=

P{X≤x}=P(Ω)=1.Xx引例一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同2當(dāng)0≤x<2時(shí),由題意知P{0<X≤x}=kx2其中k為一常數(shù).另一方面1=P{0<X≤2

}=4k→k=?.F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x分布函數(shù)為:當(dāng)0≤x<2時(shí),由題意知另一方面F(x3單調(diào)不降有界連續(xù)函數(shù)x1O2F(x)1考慮函數(shù)

f(x)=x/2,0<x<2;0,其它單調(diào)不降x1O2F(x)1考慮函數(shù)f(x)=x/4f(x)的變上限積分為0,x<0；f(x)的變上限積分為0,5一、概率密度函數(shù)

定義設(shè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)函數(shù)

f(x),對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,均有稱隨機(jī)變量X

是連續(xù)型隨機(jī)變量,稱函數(shù)

f(x)為X的概率密度.一、概率密度函數(shù)定義設(shè)隨機(jī)變量X的分布函6注：連續(xù)型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).注：連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).7

概率密度函數(shù)的性質(zhì)1)2)1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某個(gè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.3)X落入?yún)^(qū)間(a,b］內(nèi)的概率:概率密度函數(shù)的性質(zhì)1)2)13)X落入?yún)^(qū)間(a,b］內(nèi)8注意

對(duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)由此可得這是因?yàn)樽⒁鈱?duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概9P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可見(jiàn)，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=問(wèn)題：概率為零的事件一定是不可能事件嗎？類似可知，P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可見(jiàn)，由P(10

(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有證明(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有證明11例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解(1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)的求(1)a,b的值;(2)X的密度函數(shù);(3)P(X>1\3).例設(shè)隨機(jī)變量X解(1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函12(2)X的密度函數(shù)(2)X的密度函數(shù)13(3)P(X>1\3).(3)P(X>1\3).14例設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a;(2)P(-1\2<X<1\2).;(2)X的分布函數(shù)解(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)例設(shè)隨機(jī)變量X求(1)常數(shù)a;(2)P(-1\2<15概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度16概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度17概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度182.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(１)均勻分布2.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(１)均勻分布19

即對(duì)于(c,c+l)(a,b)，有∪均勻分布的分布函數(shù)：

特點(diǎn)：隨機(jī)變量X落在(a,b)的子區(qū)間的概率與位置無(wú)關(guān)，僅與測(cè)度（即長(zhǎng)度）成正比.即對(duì)于(c,c+l)(a,b20均勻分布常見(jiàn)于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五

入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五

入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。如公交系統(tǒng)中乘客隨機(jī)乘車的等車時(shí)間．均勻分布常見(jiàn)于下列情形：如在數(shù)值計(jì)算中，由于21解設(shè)X表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X的概率密度為例（等待時(shí)間）公共汽車從上午7點(diǎn)開(kāi)始每15分鐘按時(shí)有汽車到站，一乘客在7:00到7:30隨機(jī)到達(dá)車站.求(1)他等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率(2)超過(guò)10分鐘的概率.解設(shè)X表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且22概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度23例

設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,5),求方程4r2+4Xr+X+2=0有實(shí)根的概率

p.解：p=P{(4X)2–4×4(X+2)≥0}=P{X2–(X+2)≥0}=P{(X–2)(X+1)≥0}

=P({X≤－1}∪{X≥

2})

=P{X≤－1}+P{X

≥2}

=P{2≤X

≤5}5－25=35=例設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,5),求方程4r224例

設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.

X的密度函數(shù)為設(shè)A表示“對(duì)X的觀測(cè)值大于3”,Y表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù).解則因而有例設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,25(2)指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為

l

的指數(shù)分布.(l>0)指數(shù)分布的分布函數(shù)：(2)指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱隨機(jī)26指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.證明指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.證明27而于是

指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要原因！

指數(shù)分布在可靠性理論中描繪設(shè)備工作的可靠時(shí)間.

在排隊(duì)論中它被廣泛地用于描繪等待時(shí)間,如電話通話時(shí)間、各種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間等.而于是指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要28例

某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))X服從指數(shù)分布,其概率密度為(1)求元件壽命至少為200小時(shí)的概率.(2)將3只這種元件聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少2只元件失效時(shí)系統(tǒng)失效，又設(shè)3只元件工作相互獨(dú)立.求系統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概率.

例某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))X服從指數(shù)分29解(1)元件壽命至少為200小時(shí)的概率為解(1)元件壽命至少為200小時(shí)的概率為302只及2只以上元件的壽命大于200小時(shí)的概率為故系統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概率為

(2)以Y記3只元件中壽命大于200小時(shí)的元件的只數(shù).由于各元件的工作相互獨(dú)立，又由(1)知一元件的壽命大于200小時(shí)的概率為e-2,故有2只及2只以上元件的壽命大于200小時(shí)的概率為故系統(tǒng)的壽命至31

正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

(3)正態(tài)分布(高斯分布)正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如正態(tài)分32正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義33正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征34概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度35概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度36正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)37正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算方法二38標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布39標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形40查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(2)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度圖形的對(duì)稱性易知：即查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(2)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度圖形的對(duì)稱41概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度42它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.定理1它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何43若~N(0,1)

若X～N(0,1),若~N(0,1)若X～N(0,1),44概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度45概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度46概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度47例2

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?

解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h.再看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:例2公共汽車車門的高度是按男子與車門解:設(shè)車門高度為48因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表49由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.003.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，4、3

準(zhǔn)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集50將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值512.4連續(xù)型隨機(jī)變量

及其概率密度１．連續(xù)型隨機(jī)變量的概念２．三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量３．小結(jié)2.4連續(xù)型隨機(jī)變量

及其概率密度１．連續(xù)型隨機(jī)變量的52

引例一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求X的分布函數(shù).解：由題意有當(dāng)x<0時(shí),F(x)=P{X≤x}=P(φ)=0.當(dāng)x≥2時(shí),F(x)=

P{X≤x}=P(Ω)=1.Xx引例一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同53當(dāng)0≤x<2時(shí),由題意知P{0<X≤x}=kx2其中k為一常數(shù).另一方面1=P{0<X≤2

}=4k→k=?.F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x分布函數(shù)為:當(dāng)0≤x<2時(shí),由題意知另一方面F(x54單調(diào)不降有界連續(xù)函數(shù)x1O2F(x)1考慮函數(shù)

f(x)=x/2,0<x<2;0,其它單調(diào)不降x1O2F(x)1考慮函數(shù)f(x)=x/55f(x)的變上限積分為0,x<0；f(x)的變上限積分為0,56一、概率密度函數(shù)

定義設(shè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)函數(shù)

f(x),對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,均有稱隨機(jī)變量X

是連續(xù)型隨機(jī)變量,稱函數(shù)

f(x)為X的概率密度.一、概率密度函數(shù)定義設(shè)隨機(jī)變量X的分布函57注：連續(xù)型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).注：連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).58

概率密度函數(shù)的性質(zhì)1)2)1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某個(gè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.3)X落入?yún)^(qū)間(a,b］內(nèi)的概率:概率密度函數(shù)的性質(zhì)1)2)13)X落入?yún)^(qū)間(a,b］內(nèi)59注意

對(duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)由此可得這是因?yàn)樽⒁鈱?duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概60P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可見(jiàn)，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=問(wèn)題：概率為零的事件一定是不可能事件嗎？類似可知，P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可見(jiàn)，由P(61

(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有證明(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有證明62例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解(1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)的求(1)a,b的值;(2)X的密度函數(shù);(3)P(X>1\3).例設(shè)隨機(jī)變量X解(1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函63(2)X的密度函數(shù)(2)X的密度函數(shù)64(3)P(X>1\3).(3)P(X>1\3).65例設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a;(2)P(-1\2<X<1\2).;(2)X的分布函數(shù)解(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)例設(shè)隨機(jī)變量X求(1)常數(shù)a;(2)P(-1\2<66概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度67概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度68概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度692.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(１)均勻分布2.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(１)均勻分布70

即對(duì)于(c,c+l)(a,b)，有∪均勻分布的分布函數(shù)：

特點(diǎn)：隨機(jī)變量X落在(a,b)的子區(qū)間的概率與位置無(wú)關(guān)，僅與測(cè)度（即長(zhǎng)度）成正比.即對(duì)于(c,c+l)(a,b71均勻分布常見(jiàn)于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五

入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五

入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。如公交系統(tǒng)中乘客隨機(jī)乘車的等車時(shí)間．均勻分布常見(jiàn)于下列情形：如在數(shù)值計(jì)算中，由于72解設(shè)X表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X的概率密度為例（等待時(shí)間）公共汽車從上午7點(diǎn)開(kāi)始每15分鐘按時(shí)有汽車到站，一乘客在7:00到7:30隨機(jī)到達(dá)車站.求(1)他等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率(2)超過(guò)10分鐘的概率.解設(shè)X表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且73概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度74例

設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,5),求方程4r2+4Xr+X+2=0有實(shí)根的概率

p.解：p=P{(4X)2–4×4(X+2)≥0}=P{X2–(X+2)≥0}=P{(X–2)(X+1)≥0}

=P({X≤－1}∪{X≥

2})

=P{X≤－1}+P{X

≥2}

=P{2≤X

≤5}5－25=35=例設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,5),求方程4r275例

設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.

X的密度函數(shù)為設(shè)A表示“對(duì)X的觀測(cè)值大于3”,Y表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù).解則因而有例設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,76(2)指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為

l

的指數(shù)分布.(l>0)指數(shù)分布的分布函數(shù)：(2)指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱隨機(jī)77指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.證明指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.證明78而于是

指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要原因！

指數(shù)分布在可靠性理論中描繪設(shè)備工作的可靠時(shí)間.

在排隊(duì)論中它被廣泛地用于描繪等待時(shí)間,如電話通話時(shí)間、各種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間等.而于是指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要79例

某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))X服從指數(shù)分布,其概率密度為(1)求元件壽命至少為200小時(shí)的概率.(2)將3只這種元件聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少2只元件失效時(shí)系統(tǒng)失效，又設(shè)3只元件工作相互獨(dú)立.求系統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概率.

例某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))X服從指數(shù)分80解(1)元件壽命至少為200小時(shí)的概率為解(1)元件壽命至少為200小時(shí)的概率為812只及2只以上元件的壽命大于200小時(shí)的概率為故系統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概率為

(2)以Y記3只元件中壽命大于200小時(shí)的元件的只數(shù).由于各元件的工作相互獨(dú)立，又由(1)知一元件的壽命大于200小時(shí)的概率為e-2,故有2只及2只以上元件的壽命大于200小時(shí)的概率為故系統(tǒng)的壽命至82

正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

(3)正態(tài)分布(高斯分布)正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如正態(tài)分83正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義84正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征85概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度86概率論課件之連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度87正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)88正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算方法二89標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布90標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形91查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(2)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度圖形的對(duì)稱性易知：即查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(2)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分