同濟(jì)第五版高數(shù)3-5極值最值課件

第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值以及求法二、最大值最小值問題第五節(jié)函數(shù)的極值一、函數(shù)的極值以及求法二、最大值最小值問11.極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值以及求法1.極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值22.函數(shù)極值的求法觀察極值點(diǎn)處函數(shù)的特征：定理1(必要條件)駐點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)2.函數(shù)極值的求法觀察極值點(diǎn)處函數(shù)的特征：定理1(必要條件)3例如,于是，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),可以先求出駐點(diǎn)，再確定其是否為極值點(diǎn).例如,于是，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),可以4的極值存在嗎？存在極小值但在處不可導(dǎo).于是,函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.怎樣判定函數(shù)在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處是否取得極值？可能的極值點(diǎn)：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的極值存在嗎？存在極小值但在5(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)設(shè)是駐點(diǎn),觀察其左右兩旁的函數(shù)增減：怎樣判定函數(shù)在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處是否取得極值？(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)設(shè)是駐點(diǎn)6則f(x)在處取得極小值.則f(x)在處取得極大值.有(2)如果符號(hào)相同,則在處無極值.定理2(第一充分條件)而有

(3)如果當(dāng)及時(shí),而有(1)如果有設(shè)f(x)在處連續(xù),且在內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在處取得極小值.則f(x)在處取得7求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:8例1解列表討論：極大值極小值例1解列表討論：極大值極小值9圖形如下：圖形如下：10定理3(第二充分條件)設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得那么極小值.時(shí),函數(shù)在處取得(1)當(dāng)極大值；定理3(第二充分條件)設(shè)在處具有二階11是極小值，是極大值.上例求的極值.又由極值的第二充分條件,可以根據(jù)駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)是否有極值.是極小值，是極大值.上例求的極值.又由極值的第二12證(2)同理可證.在處取得極大值．函數(shù)由第一充分條件(1),知證(2)同理可證.在處取得極大值．函數(shù)由第一13例2解再用定理2(第一充分條件)來判別：例2解再用定理2(第一充分條件)來判別：14注意:注意:15例3解連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)注意:例3解連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是注意16二、最大值與最小值問題求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值則其最大(小)值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.二、最大值與最小值問題求函數(shù)最值的方法:(1)求17特別地

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.

(小)

對(duì)于應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)特別地當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可18例4

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解例4求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解19故函數(shù)在取最小值0;端點(diǎn)函數(shù)值故函數(shù)在取最小值0;端點(diǎn)函數(shù)值20例5

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20Km,AC⊥AB,要在AB線上選定每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20一點(diǎn)D向工廠修一條公路,

已知鐵路與公路例5鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A2120解則令得

故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)從而為最小點(diǎn),設(shè)20解則令得故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)從而為22例6

把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,解

由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為問矩形截面的高h(yuǎn)和b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?例6把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,解由力學(xué)分析知矩23由實(shí)際意義可知,所求最值存在,又駐點(diǎn)惟一,故所求結(jié)果使梁的抗彎截面模量最大，求解即為最好的選擇.由實(shí)際意義可知,所求最值存在,又駐點(diǎn)惟一,故所求結(jié)果使梁的抗241.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)(2)極值的判定法過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值為極大值為極小值小結(jié)(注意使用條件)第一充分條件第二充分條件1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)(2252.連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值最值點(diǎn)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)取得；應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別最大值和最小值.（3）極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.2.連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值最值點(diǎn)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)取得；26思考題1.下列命題正確嗎？思考題1.下列命題正確嗎？27的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.提示:利用極限的保號(hào)性.2.

設(shè)則在點(diǎn)處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.提示:28思考題解答1.不正確．例當(dāng)時(shí)，于是為的極小值點(diǎn)思考題解答1.不正確．例當(dāng)時(shí)，于是29在–1和1之間振蕩故命題不成立．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因而在的兩側(cè)都不單調(diào).在–1和1之間振蕩故命題不成立．當(dāng)時(shí)，當(dāng)30的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.提示:利用極限的保號(hào)性.2.

設(shè)則在點(diǎn)處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.提示:312.

選B.由極限的保號(hào)性，2.選B.由極限的保號(hào)性，32作業(yè)習(xí)題3－51.(3);(8);(10);3;5;7;9;15.作業(yè)習(xí)題3－51.(3);(8);(10);3;33練習(xí)題1附錄練習(xí)題1附錄34同濟(jì)第五版高數(shù)3-5極值最值課件35練習(xí)題答案練習(xí)題答案36練習(xí)題2練習(xí)題237同濟(jì)第五版高數(shù)3-5極值最值課件38同濟(jì)第五版高數(shù)3-5極值最值課件39練習(xí)題答案練習(xí)題答案40第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值以及求法二、最大值最小值問題第五節(jié)函數(shù)的極值一、函數(shù)的極值以及求法二、最大值最小值問411.極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值以及求法1.極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值422.函數(shù)極值的求法觀察極值點(diǎn)處函數(shù)的特征：定理1(必要條件)駐點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)2.函數(shù)極值的求法觀察極值點(diǎn)處函數(shù)的特征：定理1(必要條件)43例如,于是，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),可以先求出駐點(diǎn)，再確定其是否為極值點(diǎn).例如,于是，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),可以44的極值存在嗎？存在極小值但在處不可導(dǎo).于是,函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.怎樣判定函數(shù)在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處是否取得極值？可能的極值點(diǎn)：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的極值存在嗎？存在極小值但在45(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)設(shè)是駐點(diǎn),觀察其左右兩旁的函數(shù)增減：怎樣判定函數(shù)在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處是否取得極值？(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)設(shè)是駐點(diǎn)46則f(x)在處取得極小值.則f(x)在處取得極大值.有(2)如果符號(hào)相同,則在處無極值.定理2(第一充分條件)而有

(3)如果當(dāng)及時(shí),而有(1)如果有設(shè)f(x)在處連續(xù),且在內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在處取得極小值.則f(x)在處取得47求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:48例1解列表討論：極大值極小值例1解列表討論：極大值極小值49圖形如下：圖形如下：50定理3(第二充分條件)設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得那么極小值.時(shí),函數(shù)在處取得(1)當(dāng)極大值；定理3(第二充分條件)設(shè)在處具有二階51是極小值，是極大值.上例求的極值.又由極值的第二充分條件,可以根據(jù)駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)是否有極值.是極小值，是極大值.上例求的極值.又由極值的第二52證(2)同理可證.在處取得極大值．函數(shù)由第一充分條件(1),知證(2)同理可證.在處取得極大值．函數(shù)由第一53例2解再用定理2(第一充分條件)來判別：例2解再用定理2(第一充分條件)來判別：54注意:注意:55例3解連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)注意:例3解連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是注意56二、最大值與最小值問題求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值則其最大(小)值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.二、最大值與最小值問題求函數(shù)最值的方法:(1)求57特別地

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.

(小)

對(duì)于應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)特別地當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可58例4

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解例4求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解59故函數(shù)在取最小值0;端點(diǎn)函數(shù)值故函數(shù)在取最小值0;端點(diǎn)函數(shù)值60例5

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20Km,AC⊥AB,要在AB線上選定每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20一點(diǎn)D向工廠修一條公路,

已知鐵路與公路例5鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A6120解則令得

故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)從而為最小點(diǎn),設(shè)20解則令得故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)從而為62例6

把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,解

由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為問矩形截面的高h(yuǎn)和b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?例6把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,解由力學(xué)分析知矩63由實(shí)際意義可知,所求最值存在,又駐點(diǎn)惟一,故所求結(jié)果使梁的抗彎截面模量最大，求解即為最好的選擇.由實(shí)際意義可知,所求最值存在,又駐點(diǎn)惟一,故所求結(jié)果使梁的抗641.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)(2)極值的判定法過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值為極大值為極小值小結(jié)(注意使用條件)第一充分條件第二充分條件1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)(2652.連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值最值點(diǎn)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)取得；應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別最大值和最小值.（3）極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.2.連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值最值點(diǎn)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)取得；66思考題1.下列命題正確嗎？思考題1.下列命題正確嗎？67