偏微分課程課件6-雙曲型方程的有限差分法(III)

（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問(wèn)題1.二階雙曲型方程的邊界處理（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問(wèn)題1.二階雙曲型方程的邊界構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組確定a,b,c得方程組右邊界確定a,b,c得方程組右邊界二階精度的邊界條件二階精度的邊界條件2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對(duì)流方程怎樣給邊界條件使方程適定，區(qū)域?yàn)閄=1不能給邊界條件X=0不能給邊界條件（初始條件）2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對(duì)流方程怎樣給邊界條件使為對(duì)角線元素為負(fù)的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為零的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為正的對(duì)角陣S為A的特征向量的列所構(gòu)成的矩陣-0+為對(duì)角線元素為負(fù)的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為零的對(duì)角陣為對(duì)角線元素處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于正特征值數(shù)目零特征值不需給出邊界條件-0+處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)1111n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，使用外推方法往往是不行。即要用穩(wěn)定的格式構(gòu)造邊界條件.例如：下面的兩個(gè)不可用的邊界條件再如注：改進(jìn)注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，例如：下面的兩個(gè)不可例２：考慮微分方程組（半無(wú)界問(wèn)題）定解條件為：思考：不能給出v(x,t)在x=0處的邊界條件，否則問(wèn)題不適定。例２：考慮微分方程組（半無(wú)界問(wèn)題）定解條件為：思考：不能給出采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第二個(gè)方程：見(jiàn)72頁(yè)方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二維問(wèn)題1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一階精度的。

下面討論穩(wěn)定性：

此格式是一階精度的。下面討論穩(wěn)定性：那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。

那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展開(kāi)，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)(3)分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法(3)分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法例如：以Lax-Wendroff格式來(lái)完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式來(lái)完成二步法顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（4）隱式格式全隱格式顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚順利，解決方案：交替方向隱式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組解決方案：交替方向隱式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隱式格式ADI-1：X方向隱格式Y(jié)方向隱格式等價(jià)于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方向隱格式ＣＮ格式變形去掉高階項(xiàng)ADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方30無(wú)條件穩(wěn)定ADI-2：30無(wú)條件穩(wěn)定ADI-2：31每一個(gè)子步只對(duì)一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣，可以利用追趕法，減少了計(jì)算量；(2)每個(gè)單步都是各方向隱式差分算子的乘積，保證

了格式具有無(wú)條件穩(wěn)定的性質(zhì)；(3)單步格式與相應(yīng)CN格式之差是一個(gè)局部截?cái)嗾`差

不低于CN格式的差分算子，從而保證了格式的局

部截?cái)嗾`差仍為優(yōu)點(diǎn)：31每一個(gè)子步只對(duì)一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對(duì)角占優(yōu)的三3232則稱(chēng)方程組是雙曲型方程組。

如果A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則方程組是雙曲型方程組，也稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)雙曲型方程組。

2.一階雙曲型方程組則稱(chēng)方程組是雙曲型方程組。如果A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則方程組是下面以Lax-Wendroff格式為例，討論差分方程：

利用多元Taylor展開(kāi)，有

下面以Lax-Wendroff格式為例，討論差分方程：利用故有：

利用Fourier方法可討論上式的穩(wěn)定性：可得增長(zhǎng)矩陣：

故有：利用Fourier方法可討論上式的穩(wěn)定性：可得增長(zhǎng)矩如果A,B是對(duì)稱(chēng)陣，可以證明Lax-Wendroff格式的穩(wěn)定性條件是：

為放寬穩(wěn)定性條件，有許多改進(jìn)技術(shù)。如：Strang方法

如果A,B是對(duì)稱(chēng)陣，為放寬穩(wěn)定性條件，有許多改進(jìn)技術(shù)。（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問(wèn)題1.二階雙曲型方程的邊界處理（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問(wèn)題1.二階雙曲型方程的邊界構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組確定a,b,c得方程組右邊界確定a,b,c得方程組右邊界二階精度的邊界條件二階精度的邊界條件2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對(duì)流方程怎樣給邊界條件使方程適定，區(qū)域?yàn)閄=1不能給邊界條件X=0不能給邊界條件（初始條件）2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對(duì)流方程怎樣給邊界條件使為對(duì)角線元素為負(fù)的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為零的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為正的對(duì)角陣S為A的特征向量的列所構(gòu)成的矩陣-0+為對(duì)角線元素為負(fù)的對(duì)角陣為對(duì)角線元素為零的對(duì)角陣為對(duì)角線元素處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于正特征值數(shù)目零特征值不需給出邊界條件-0+處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)4711n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，使用外推方法往往是不行。即要用穩(wěn)定的格式構(gòu)造邊界條件.例如：下面的兩個(gè)不可用的邊界條件再如注：改進(jìn)注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，例如：下面的兩個(gè)不可例２：考慮微分方程組（半無(wú)界問(wèn)題）定解條件為：思考：不能給出v(x,t)在x=0處的邊界條件，否則問(wèn)題不適定。例２：考慮微分方程組（半無(wú)界問(wèn)題）定解條件為：思考：不能給出采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第二個(gè)方程：見(jiàn)72頁(yè)方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二維問(wèn)題1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一階精度的。

下面討論穩(wěn)定性：

此格式是一階精度的。下面討論穩(wěn)定性：那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。

那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展開(kāi)，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)(3)分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法(3)分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法例如：以Lax-Wendroff格式來(lái)完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式來(lái)完成二步法顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（4）隱式格式全隱格式顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚順利，解決方案：交替方向隱式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組解決方案：交替方向隱式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隱式格式ADI-1：X方向隱格式Y(jié)方向隱格式等價(jià)于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方向隱格式ＣＮ格式變形去掉高階項(xiàng)ADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方66無(wú)條件穩(wěn)定ADI-2：30無(wú)條件穩(wěn)定ADI-2：67每一個(gè)子步只對(duì)一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣，可以利用追趕法，減少了計(jì)算量；(2)每個(gè)單步都是各方向隱式差分算子的乘積，保證

了格式具有無(wú)條件穩(wěn)定的性質(zhì)；(3)單步格式與相應(yīng)CN格式之差是一個(gè)局部截?cái)嗾`差

不低于CN格式的差分算子，從而保證了格式的局

部截?cái)嗾`差仍為優(yōu)點(diǎn)：31每一個(gè)子步只對(duì)一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對(duì)角占優(yōu)的三6832則稱(chēng)方程組是雙曲型方程組。

如果A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則方程組是雙曲型方程組，也稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)雙曲型方程組。

2.一階雙曲型方程組則稱(chēng)方程組是雙曲型方程組。如果A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則方程組是下面以Lax-Wendroff格