2018-2022高考真題 導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 解答題全集 （學(xué)生版 解析版）

2018-2022高考真題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)解答題全集(學(xué)生版解析版)一.解答題(共54小題)(2022,天津)已知”，hER,函數(shù)/(、)=?'-?sinv.g(.v)=bVx.(1)求函數(shù)在(0,f(0))處的切線方程：(2)若.y=/(x)和.y=g(k)有公共點(diǎn).(i)當(dāng)”=0時，求/，的取值范圍；(ii)求證：a2+b2>e.(2022?上海)f(.v)=log3(?+x)+Iog3(6-.v).(1)若將函數(shù)/(x)圖像向下移(w>0)后，圖像經(jīng)過(3,0),(5.0),求實(shí)數(shù)“，m的值.(2)若〃>-3且“H0,求解不等式/(x)</(6-k).(2022?浙江)設(shè)函數(shù)/(x)=^+/h.v(.v>0).(I)求/(a)的單調(diào)區(qū)間：(II)已知“，旄R,仙線>=/(K)上不同的三點(diǎn)(Al.f(Xl)).(X2,fC.t2)),(J3.f(A3))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)(?,b).證明:(i)若”>e,則0<b-f(?)<1( 1):2e八、》 r.,2e-a112e-a(ii)若0V“Ve,xiVx2V.n，則一+—7V—+一< —?.e6e，Xjx3a6ez(注：e=2.7l828…是自然對數(shù)的底數(shù))(2022,甲卷)已知函數(shù)/(.r)=.v*-x>g(.v)=.r+?.曲線產(chǎn)=/“)在點(diǎn)(A-)?/(.ri))處的切線也是曲線y=,g(.v)的切線.(I)若xi=-1,求a：(2)求〃的取值危圍.(2022?北京)已知函數(shù)/■)=?/〃(l+.v).(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程：(11)設(shè)g(a)=/(,v),討論函數(shù)g(.v)在［0,+8)上的單調(diào)性：(III)證明：對任意的s,任(0,+8),有y(s+r)>/(,s)+f(/).(2022?甲卷)已知函數(shù)/(k)=y-lnx+x-a.(I)若/(、)20,求”的取值范圍:

(2)證明：若/(K)有兩個零點(diǎn),VI,X2,則v1.(2022?乙卷)己知函數(shù)/(x)=?.v-1-(?+1)Inx.(1)當(dāng)“=0時，求/C)的最大值：(2)若/”)恰有一個零點(diǎn)，求“的取值范用.(2022?新高考I)已知函數(shù)/(x)=/-ax和&(.v)=心-加有相同的最小值.(1)求“：(2)證明：存在直線)=%,其與兩條曲線.丫=/(。和尸g(.V)共有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.(2022?新高考】I)已知函數(shù)/(*)=.?■“'-e'.(1)當(dāng)“=1時，討論/(X)的單調(diào)性：(2)當(dāng).v>0時，/(.v)<-1,求”的取值范困:(3)設(shè)“CN*,證明:(3)設(shè)“CN*,證明:1工1Vlz+1+V2z+2Vn2+n>ln(〃+1).】0.(2021?全國)已知函數(shù)/(.v)=AT-6.V+4//U+/W.(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間:(2)當(dāng).re(1,+8)時，/(.v)>0,求"I的取值范圍.(2021?新高考H)已知函數(shù)/(x)=(.V-1)/-a^b.(I)討論/(x)的單調(diào)性：(II)從下面兩個條件中選一個，證明：/(.r)恰有一個零點(diǎn).(1)1<?<y./；>2?:?0<a<1,bW2a.(2021?北京)已知函數(shù)言.(I)若“=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；(II)若/(K)在'=-I處取得極值，求/(.V)的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值和最小值.(2021?天津)已知”>0,函數(shù)/(x)=ux-.ver'.(1)求曲線/(.i)在點(diǎn)(0,./?(()))處的切線方程：(2)證明函數(shù)/(x)存在唯一的極值點(diǎn)：(3)若助，使得/(.「〃對任意的xWR恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.(2021?浙江)設(shè)”，b為實(shí)數(shù),H?>l,除數(shù)/(a)=a'-b.x^(.vgR).

(I)(II(I)(II)(III)blnb若對任意/>>2，，函數(shù)f(a)有兩個不同的零點(diǎn)，求”的取值范圍；當(dāng)時，證明：對任意/>>J,函數(shù)/(、)有兩個不同的零點(diǎn)XI,也，滿足刈》 e2才+升(注：<=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)(2021?甲卷)設(shè)函數(shù)/(.I)=/1+心-3柿+1,其中“>0.(1)討論/(#的單調(diào)性：(2)若.y=/S)的圖像與x抽沒有公共點(diǎn)，求”的取值范圉.(2021?乙卷)已知函數(shù)/(x)=ln(?-.t),已知x=0是函數(shù)了=爐(.v)的極值點(diǎn).(1)求。；(2)設(shè)函數(shù)g(,O .證明：8 <>-.(2021?新高考I)已知函數(shù)/'(.2=x(1-/at).(1)討論/(.r)的單調(diào)性；(2)設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，旦證明：2V」+]ve.ao(2021?乙卷)已知函數(shù)/(a)=『-』+?x+1.(1)討論/(X)的單調(diào)性：(2)求曲線y=/(.r)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線)=_/”)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).(2021?甲卷)已知”>0且“WI,函數(shù)/(.r)=忘(v>0).(1)當(dāng)a=2時，求/(.V)的單調(diào)區(qū)間：(2)若曲線>，=/”)與直線)=1有且僅有兩個交點(diǎn)，求”的取值范圍..(2020?新課樹)已知函數(shù)/(x)=/-a(,v+2).(1)當(dāng)”=1時，討論/(x)的單調(diào)性；(2)若/(X)有兩個零點(diǎn)，求”的取值范圍.(2020?天津)已知函數(shù)/(?)=?+*//??(AGR),f(.v)為/”)的導(dǎo)函數(shù).([)當(dāng)A=6時，(i)求曲線)，=/(k)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；(ii)求函數(shù)g(,v)=/(a)-f(,v)+5向單調(diào)區(qū)間和極值：(n)當(dāng)時，求證：對任意的xi,me”，+8),口X\>X2t仃2乙>〃必)-/(七)X1-X2 '(2020?北京)已知函數(shù)/(X)=12-a2.(1)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；(11)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)"/(f))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(/),求S(/)的最小值.(2020?浙江)已知l<“W2,函數(shù)/(x)=/-.「“，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：函數(shù)y=/(.r)在(0.+8)上有唯一零點(diǎn)；(H)記m為函數(shù)｝?=/(.6在(0,+8)上的零點(diǎn)，證明：(i)V?-1<vo<,2(.-1)；(ii),vof(ex°)(e-I)(w-I)g.(2020?山東)已知函數(shù)/(x)=ael1"Inx+lna.(I)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(a)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積：(2)若/(x)21,求“的取值范圍.(2020?江蘇)已知關(guān)于X的函數(shù)y=/(x)，.v=g(.r)與h(.v)=kx+b(A,〃eR)在區(qū)間。上恒有/G)沁(a)(.v).(1)若/(.r)=/+2r,g(.v)=-.v^+Zv.D=(-°°.+°°),求h(.r)的表達(dá)式；(2)若/(x)=.r-a+I.g(a)=kbi<c,Ii(.v)=kx-k,D=(0,+??),求出的取值范圍:(3)若f(a)=.v4-Ii-2.g(.v)=4.v2-8,h(,v)=4(?-/).v-3/4+2r(0<|z|<V2),D=[in>w]c[-V2,V2J.iJtijE：n-ni<V7.(2020?江蘇)某地潴備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋也與MN平行，OO'為鉛垂線(O'在A8上).經(jīng)測量，左惻曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離hi(米)與。到OO'的距離“(米)之間滿足關(guān)系式/；1=笳2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離hi(米)與產(chǎn)到OO'的距離b(米)之間滿足關(guān)系式也=-嬴'6反已知點(diǎn)8到OO'的距離為40米.

(1)求橋A8的長度：(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CO和EF,且C￡為8()米，其中C,E在48上(不包括端點(diǎn)).橋墩￡尸每米造價Z萬元)，橋墩CO每米造價|?(萬元)(k>0),問O'E為多少豕時，橋墩8與EF的總造價最低？AC O'EBMDxOFxN(202()?新i果標(biāo)HI)i殳函數(shù)/(x)=.^+bx+c,曲線.v=/(.t)在點(diǎn)(>/d))處的切線與)?軸垂直.(1)求〃：(2)若/(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(#所有零點(diǎn)的絕對值都不大于L(202()?新課標(biāo)II)已知函數(shù)/(a)=sin2.vsin2.v.(1)討論/(.r)在區(qū)間(0，n)的單調(diào)性；(2)證明：(x)IS堂；QR(3)設(shè)〃￡N*,證明：sin2rsin22\-sin24.v,sin22w.r<—.4(2020?新課標(biāo)H)已知函數(shù)/(1)=2加.r+l.(1)若/(.r)W2v+c,求c的取值范圍：(2)設(shè)“>0,討論函數(shù);？(.r)=.?二的單調(diào)性.(2020?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(a)=/+ar-x.(1)當(dāng)a=l時，討論/⑴的單調(diào)性：(2)當(dāng)Q0時，/(.v)N/P+l,求〃的取值范圍.(2()2()?新課標(biāo)山)已知函數(shù)/(.r)=『-依+必.

(I)討論/(x)的單.調(diào)性：(2)若/“)有三個零點(diǎn)，求*的取值范圍.(2019?全國)已知函數(shù)/Ct)=Vx(a2-ax').(1)當(dāng)”=1時，求/?“)的單調(diào)區(qū)間；(2)若/“)在區(qū)間［0,21的最小值為一多求〃.(2019?新課標(biāo)HD已知函數(shù)/(a)=2?-??+/>.(I)討論/(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a,b,使得了")在區(qū)間［0,I)的最小值為-1且最大值為I?若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.(2019?新課標(biāo)川)已知函數(shù)/")=2p-<M+2.(1)討論/(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)0<“<3時，記/(、)在區(qū)間［0,I］的最大值為M,最小值為"1,求時-〃?的取值范圍.(2019?浙江)已知實(shí)數(shù)“力0，設(shè)函數(shù)/(n)=alnx+y/TTx,x>0.(I)當(dāng)”=一；時，求函數(shù)/")的單調(diào)區(qū)間：(11)對任意.vG［之,+8)均有/(.V)W當(dāng)，求。的取值范圍.注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(2019?新課標(biāo)H)已知函數(shù)/(x)=(a-1)Inx-x-I.證明:/(.v)存在唯一的極值點(diǎn)；f(.V)=0有且僅有兩個實(shí)根，旦兩個實(shí)根互為倒數(shù).(2019?江蘇)設(shè)函數(shù)/(a)=(.v-?)(.V-by(.v-c).a,b,cGR,f(a)為f(n)的導(dǎo)函數(shù).(1)若a=b=c,f(4)=8.求“的值；(2)若“工/),b=c,且/(、)和/(.V)的零點(diǎn)均在集合｛-3，1,3)中，求/(0的極小值：(3)若”=0,?</>$1,c=l.K/(.v)的極大值為“，求證:MW務(wù)(2019?天津)設(shè)函數(shù)/(、)=lnx-a(_v-1)<?',其中“WR.(I)若aWO,討論/”)的單調(diào)性:(II)若0<“q.(i)證明：/(x)恰有兩個零點(diǎn)：(ii)設(shè).ro為/(.，,)的極值點(diǎn)，用為f(X)的零點(diǎn)，R.vi>u)，證明：3.ro-aj>2.(2019?天津)設(shè)函數(shù)/(工)=?co&v,8(,v)為/(.r)的導(dǎo)函數(shù).(1)求/(工)的單調(diào)區(qū)間：TOC\o"1-5"\h\znn, _? n(II)當(dāng)工日一，一|時，證明/(工)+g(a)(--t)20；42 2(III)設(shè)立為函數(shù)“(X)=f(x)-1在區(qū)間(2,m+$2，m+分內(nèi)的零點(diǎn)，其中”€N,77 p-2mr證明：2，m+5-v? .2 s，nx()-c0SXQ.(2019?北京)己知函數(shù)/(x)=/3-/+x.(1)求曲線y=/(.v)的斜率為1的切線方程：(II)當(dāng)x￡[-2,4]時，求證：X-6W/(a)W.v；(III)設(shè)尸(a)=\f(a)-(.v+rt)|(oeR),記尸(.t)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(?).當(dāng)例(?)最小時，求”的值.(2019?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(x)=2siiiv-acosa-x,f(.v)為/(x)的導(dǎo)數(shù).(1)證明：/(.V)在區(qū)間(0,7T)存在唯一零點(diǎn)；(2)若xe[0,nJ時，f(.v)/at,求”的取值范圍.(2019?新課標(biāo)II)已知函數(shù)/(x)=//u—(I)討論/(.r)的單調(diào)性，并證明/(X)有且僅有兩個零點(diǎn)；(2)設(shè)必是/(K)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=阮i在點(diǎn)A(.w./nvo)處的切線也是曲線「="的切線.(2019?新課標(biāo)1)已知函數(shù)/(x)=siat-In(l+.r),f(.t)為/C)的導(dǎo)數(shù).證明：n(I)/(x)在區(qū)間(-I,9存在唯一極大值點(diǎn)：(2)/(.r)有且僅有2個零點(diǎn).(2018?北京)設(shè)函數(shù)/(X)=1?.r-(4a+l)x+4a+3]F.(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與a?軸平行，求“:(II)若八x)在x=2處取得極小值，求?的取值范闈.(2018?北京)設(shè)函數(shù)/(n)=|a9-(3?+1).r+3?+2|/.(I)若曲線y=/Q)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為0,求。：(II)若/(.r)在x=l處取得極小值，求。的取值范圍.(2018?新課標(biāo)川)己知函數(shù)/(、)=(2+x+av2)In(l+.v)-2x.(I)若"=0,證明：當(dāng)-IVxVO時，f(.v)<0；當(dāng)x>0時，f(.v)>0：(2)若x=0是f(.V)的極大值點(diǎn)，求。.(2018?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(a)=ael-Inx-I.(I)設(shè)x=2是/(#的極值點(diǎn)，求“，并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)<2%寸，/(.v)NO.(2018?新課標(biāo)小)已知函數(shù)/(A=a'?-'(I)求曲線)?=/(x)在點(diǎn)(0.-I)處的切線方程：(2)證明:當(dāng)“21時，/(.V)+Q0.(2018?新課標(biāo)H)已知函數(shù)/(.r)=/-av2.(I)若“=I,證明：當(dāng)a-^0時，f(.v)》I：(2)若f(x)在(()，+8)只有一個零點(diǎn)，求5().(2018?浙江)已知函數(shù)/(.r)=y-加工(I)若f(x)在x=.mX2(用工.燒)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(.V))+f(..v2)>8-8加2；(11)若“W3-4歷2,證明：對于任意A>0,直線■+“與曲線產(chǎn)/“)有唯一公共點(diǎn).(2018?天津)已知函數(shù)/(x) g(.v)=log<zx,其中”>1.(I)求函數(shù)八(.v)=/(a) 的單調(diào)區(qū)間：(II)若曲線)?=/(*)在點(diǎn)(.VI,/(.VI))處的切線與曲線產(chǎn)g(X)在點(diǎn)(A-2,g(.口))處的切線平行，證明：川+g(.口)=一筆券；(川)證明當(dāng)“Ne總時，存在直線/,使/是曲線.、,=/(k)的切線，也是曲線.r=g(x)的切線.(2018?江蘇)記/(a),a'(a)分別為函數(shù)/(.v),u(.V)的導(dǎo)函數(shù).若存在.tnCR,滿足/(.vn)=g(.ui)且/(.vo)=&'(.?)),則稱刈為函數(shù)/(、)與8(.V)的一個“S點(diǎn)(I)證明：函數(shù)/(#=入與8(a)=『+2?2不存在“S點(diǎn)”:(2)若函數(shù)/(x)=?？-1與8(A)=/小存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)“的值：(3)已知函數(shù)/(、)=-『+“，&(A=第.對任意〃>0,判斷是否存在6>0,使函數(shù)/3)與8(a)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“s點(diǎn)”，并說明理由.(2018?新課標(biāo)1【)已知函數(shù)/(\)=#-〃(A-+X+I).(I)若〃=3,求/(.r)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：/(a)只有一個零點(diǎn).(2018?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(.、?)=1-x+al>LX.(1)討論/“)的單調(diào)性；(2)若f仆)存在兩個極值點(diǎn)、2，證明："孫)-"""Va-2.41r22018-2022高考真題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)解答題全集(學(xué)生版解析版)參考答案與試屆解折解答題(共54小題)1.(2022?天津)已知〃，bER,函數(shù)/(、)=/-wsinv,g(.v)=lrjx.(I)求函數(shù)y=f(x)在(0,/(O))處的切線方程：(2)若y=/(.若和產(chǎn)g(x)有公共點(diǎn).(i)當(dāng)”=0時，求〃的取值范困：(ii)求證：,P+〃2>e.t解答】解：(I)V/(a)=/-?sin.t. (.v)—eK-acosx,/./(())=1./(0)=1二函數(shù)y=f(x)在(0,1)處的切線方程為.丫=(1-?).V+I：(2)(i)Va=O.：.f(a)=，,又_v=/(.r)和y=g(x)有公共點(diǎn),二方程f(x)=g(x)有解，即e*=bG有解,顯然.rRO,二〃=芻在(0>+°°)上有解，設(shè)八(.V)=禰(.V>0)>.,.”(#=/產(chǎn)二D,2x4x.?.當(dāng)AW(0,-)時，1/(.V)<0：當(dāng)在(-,+8)時，h'(.V)>0.(.V)在(0,1)上單調(diào)遞減，在弓，+8)上單調(diào)遞增，.../(x)min=h8)=且當(dāng).r-0時，/?(.V)—4-00;當(dāng)X-+8時，/,(r)—+oo,.,.h(.v)6[V2e.+8),〃的范圍為1回，+8)：(ii)證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.如則e"。=asinxQ+by/x^t:,由柯西不等式可得/X。=(?5tnx0+b伍)2<(J+/J)(sin2w+xo)p2Xn-p2Xn-vsin/罰又易證.r>0時，x>sinx,eK>e.\：/>x+l,e2xo ex0-(x0+l)??.2 =*7, > 2 =色?stnzx0+x0 stnzx0+x0Xq+x0故)+//>乙(2022?上海)f(x)=logs(〃+.r)+Iog3(6-x).(I)若將函數(shù)/(.t)圖像向下移〃。("A0)后，圖像經(jīng)過(3,0),(5,0),求實(shí)數(shù)小利的值.(2)若〃>-3且。#0,求解不等式/(匯)(6-x).【解答】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(工)=logs(d+x)+Iog3(6-工)，將函數(shù)/(K)圖像向下移加(w>0)后，得y=/(.r)-//7=log3(〃+工)+Iog3(6-a)-，〃的圖像，由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和⑸0),所L,d'°93(3+a)+l-m=0Hog3(5+q)+0-m=0'解彳導(dǎo)a=-2,"?=1.a>-3U時，不等式/(.v) (6-n)可化為logs(n+.v)+]ogs(6-x)Wlog?(〃+6-.t)+log3A*>(a+x>0

6-xX)等價于《a+6-x>0 ，x>0、(a+x)(6-x)<x(a+6-x)fx>-ax<6解得|xVa+6 1x>0、a(x—3)>0當(dāng)-3<?<0時,0<-a<3,3<?+6<6,解不等式得-“VxW3,當(dāng)”>0時,-?<0,rt+6>6,解不等式得3WxV6：綜上知，-3<“V0時，不等式/(.v)W/(67)的解集是(-小3J,”>0時，不等式/(x)W/(6-k)的解集是[3,6).(2022?浙江)設(shè)函數(shù)/(x)=券+加U>0).(I)求/3)的單調(diào)區(qū)間：(II)已知a,左R,曲線y=/(.r)上不同的三點(diǎn)Cu./(.?)),(4,/Cn)).<?,/

g）處的切線都經(jīng)過點(diǎn)（m*）.證明:（i）若〃〉乙則OVZ?-/（q） （—―I）：/e「，2e-a 112e-a（ii）若OVaVe,.viVr2V_g，則一+—rV—+—V r.e6e￡ xAx3a6ez（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）【解答】解：（I）?.?函數(shù)/ =券+/心（x>0）,■"?/U）=-2?+x=^2x^,（x>0），由/'（外二笑”）。，得；J（K）在。+R）上單調(diào)遞增；由r（x）=^?<0,得OVr<*,.?._/（A）在（0,，上單調(diào)遞減.（II）（/）證明：過Co.b）有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)分別為（M,/（.Vl））,（X2?/（A2））?（A3，/（A-3））,：.f（av）-b=f（甘）（XL〃），”=l,2,3）,，方程/（x）-b=f（?v）（x-n）有3個不同的根，TOC\o"1-5"\h\z該方程整理為（二—'r）（工?加-g-!nx+b=O,x2* 2K1e P設(shè)8（x）=（一一一7）（1-。）-5 hd+b,X2*2 lx若OVxVe或工>〃時，/(.V)<0：當(dāng)eV.rV〃時、?(.v)>0,二《(a)在(0,?),(〃，+8)上為減函數(shù)，在3,4)上為增函數(shù)，?：g(A-)有3個不同的零點(diǎn),:?&Q)V0且g(a)>0,:.— )(C-。)——bie+b<Ot且(一——r) —Ina+b>0,e2e2 2e a2a2 2a整理得到bV^+1且6>言+lna=f(?)，此時,b<^+1.且b>"+lna=f(a),此時，b—f(a)—^(^—1)V盤+1—(六+Ina)—善―Ina+b>>0,整理得bV會+1,且心為+lna=f(a),此時，Z?-y(H)—(^—1)<盤+1?(—+Ina)一熱+—券-?兀a，

設(shè)U(a)為(a,+8)上的減函數(shù)，/.p(a)〈楙一看—/？=。，：.0<b-Ha)V；吟-1).(")當(dāng)OVaVe時,同(/)討論，得：*(.V)在(0,a),(乙+8)上為減函數(shù)，在(出〃)上為增函數(shù)，不妨設(shè).VI<A2<.V3?則0VniV〃Vx2VeV.T3，,:s(a)有3個不同的零點(diǎn)，???g(a)<0,且&(e)>0,TOC\o"1-5"\h\ze p 1 c p:.( r)(e~ci)—萬一,7ie+b>0,且(——(〃?〃)—5 Ina4-b<0?e2e2 2b a2a2 2a整理得三+1VbV?+Ina,2e 2eVaiV.12VA3,/.0<.vi?口《0，??/x_.a+e.ea. ..?&(a)-1 +--2-/nx+b,“NX設(shè)，=(,=m6(0.1)?則方程1—苴—出x+b=0即為：—C+盤t?+bit+b=0,即為。(〃,+l)什夕"++b=0,m_e4_e._e記。=—G-7"，4=7">TOC\o"1-5"\h\zX1 x2 x3則0，12,“為-(1)什與F+伍￡+^=0有三個不同的根,設(shè)*=4=幺>1,，〃=-VI,t3Xja e*.2e-a 112e-a要證：一+-r<一+—<- re6(?4與a6e‘即證2+塞vq+qv等一登，367n(q+S)即證」t+J-2一<(皿-13)(而m+i2)367n(q+S)而-(,〃+l)tj+ytx24-lntr+b=0>且?(m+1)t3+yt32lnt3+b=0,J.lntx-lnt3+y(tj2-132)-(m+1)(n-ft)=0.■- ？2_2lnty-lnt3?."+￡3—2—帚一一^x-^一,二即證qX!叫一仇亡3<(m-13)(m2-ni+12)36二即證qX!叫一仇亡3<(m-13)(m2-ni+12)36小出+±3)*(m-13)(m2-m+12)即證 =r -1-t72X),(fc+l)Znk(m-13)(m2-m+12)TOC\o"1-5"\h\z即證, + >0,k-1 72記尊⑹=\"警次,k>l,則0(k)=(%；)2(k--2/nk)>0,/.(p(外在(I,+8)為增函數(shù)，:.⑴(?)><p(,?)..(k+l)/nte (m-13)(m2-m+12) (m+l)￡nm(m-13)(m2-m+12)"k-1 72 m-1 72設(shè)3(,?)=加”+空嗎焉需把3,()<?,<),則3，(r)=(*1)2(3癡-20心”》1+72)>(m-l.⑶n*3)>Q72m(+1)2 72m(zn+l)2.?.3(/?)在(0,I)上是增函數(shù)，；.3(/?)<u)CI)=0.<D,.,,(m-l)(m-13)(m2-m+12)<D,/""+ 72(，n+i) (m+l)￡nmuum-1(m-13)(m2-m+12)(m+l)￡nmuum-1(m-13)(m2-m+12)72/.若OVaVe,.V|V.^V.已，(2022?甲卷)已知函數(shù)/(a)=a3-x,j?(.v)=.1+“，曲線.v=/U)在點(diǎn)(.vi，/(.vi>)處的切線也是曲線F=g(.r)的切線.(I)若內(nèi)=-I,求a：(2)求a的取值范圍.【解答】解：(1)由感意知，,/(-I)=-I-(-1)=0./(.1)=3?-1,/(-1)=3-1=2. y=/(a)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2(a+1),即y=2r+2,設(shè)該切線與g(.t)切于點(diǎn)(mg5)),j?'(.v)=2.v.則g'(4)=2n=2,解得.V2=l,則g(1)=l+?=2+2>解得a=3；f(.v)=3.v2-I,則產(chǎn)/(.r)在點(diǎn)(.vi，處的切線方程為y-(婷-xj=(3xi-l)(x-x}),整理得y=(3xf-l)x-2xf,設(shè)該切線與月(.v)切于點(diǎn)(.V2>K(.12))，n'(a)=2x,則g'(A2)=2X2,則切線方程為y-(xf+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-*+a,則匿亡;％整理得。=x—"=(孥一切一2"=泡-2x；-%Q令力(xQ令力(x)=-X4-2X31-4

+2

X3-2則力'(,r)=9.v-6.V2-3.r=3.r(3.v+l)(工-1),令//'(,v)>0,解得V<rV0或人>1,令"(k)<0,解得xV-/或UVx<l,則.r變化時，"(a[h(A-)的變化情況如下表:

.V(一8，-""fe,L3(-0)0(0,1)1(1,+8)hf(a)-0+0-0+h(a)單調(diào)遞減527單調(diào)遞增14單調(diào)遞減-1單調(diào)遞增則II(.V)的值域?yàn)椋?1,+8),故”的取值范惘為I-I,+OO).(2022?北京)已知函數(shù)/(.V)=exln(l+x).(I)求曲線.v=/(k)在點(diǎn)(0,/(()))處的切線方程：(il)設(shè)g(K)=f(.v),討論函數(shù)&(.v)布[0,+8)上的單調(diào)性：(III)證明：對任意的$,正(0,+8),有/(S+>>f(,y)+/(/).【解答】解：(I)對函數(shù)求導(dǎo)可得：f(x)=ez[Zn(x+l)+^-r].將.、?=()代入原函數(shù)可得/(0)=0,將x=0代入導(dǎo)函數(shù)可得：/(0)=1.故在.v=()處切線斜率為1,故廠0=I3-0),化簡得：>=.1?:(II)解法一：由(I)有：口(.V)=r'(x)=ex[ln(x+1)+品】，7 1a'M=ex[/n(x+1)+^-——7].人E(Hl)令4(x)=,(》+1)+《J Ly，令x+l=A(ARI),x+1(x+1)2設(shè)=Ink m'(k)=(*- +]>0恒成立.故h(x)在|0,+8)單調(diào)遞增,又因?yàn)?(0)=1,故/,(a)>0在[0,+8)恒成立.故g'(x)>0,故X(.V)在[0，+8)單調(diào)遞增；解法二：由(I)有：g(.V)=f'(x)=ex[ln(x+1)4-擊J,(x)=e^/n(x+l)+^T--l-7].k(x+1)設(shè)"I(.r)n(a)=ln(,v+l)+^y，則&(工)=/〃3)?〃(.v),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,"(.v)=/上(0.+8)上是增函數(shù),且"[a)=">(),n'(.v)=-4t 當(dāng)A-e(0,+00)時，〃’(.V)>0,〃(x)單調(diào)遞x+1(x+1) (x+1)增,

且當(dāng)KW(0,+8)時，n(x)=加(x+l)+=T>0，.,..Jf(.v)在［0,+8)單調(diào)遞增.(III)證明：山(11)有g(shù)(.V)在【0,+8)單調(diào)遞增，又g(0)=1.故身(a)>0在［0,+8)恒成立，故f9在［0,+8)單調(diào)遞增，設(shè)W(V)=f(v+r)-f(a).n?(.v)=f(x+r)-f(,v).由(Il)有r(.v)在［0,+8)單調(diào)遞增，乂因?yàn)閤+r>x,所以/(.r+r)>/(.v),故H,(.V)單調(diào)遞增，乂因?yàn)镾>0,故w(.s')>?v(0).BPsf(.r+r)-/(j)>f(r)-/<0).乂因?yàn)楹瘮?shù)/■(())=0.故/(s+f)>f(5)+/(r),得證.(2022?甲卷)已知函數(shù)/(.r)=y-lnx+x-a.(I)若/(x)20,求。的取值范圍：(2)證明：若/(.r)有兩個零點(diǎn)內(nèi)，m，則.vimVI.【解答】解：(l)/(.v)的定義域?yàn)?0,+8),/(*)=e、(x”_卜］=0+?產(chǎn)-1),令，(a)>0,解得.r>l,故函數(shù)/(.V)在(0,1)單調(diào)遞減，(I,+8)單調(diào)遞增,故./(.I)加"=/(1)=e+l-a,要使得/”)20恒成立，僅需什I-g0,故aWs+1，故a的取值范圍是(-8,e+|］：(2)證明：由已知有函數(shù)/(k)要有兩個零點(diǎn)，故/(I)=e+l-a<0,即a>e+l,不妨設(shè)()VzV1VX2，要證明ZQV1,即證明xlV0<xi<l,A—>1,“I即證明：又因?yàn)?(#在(1，+8)單調(diào)遞增，即證明：〃刈)Vf(5)of(Xi)</(《)，構(gòu)造函數(shù)版為)=f(幻一f(J，()<.r<1,d'(幻=廣(x)+9G)=尸)@3一福7,構(gòu)造函數(shù)(.v)=ex4-x-xex-1,mz(x)=ex+1—ex(l—i),因?yàn)镺VxVI,所以1一1vO,故"(a)>()在(0,1)恒成立，故，〃Ct)在(0,I)單調(diào)遞增,

故111(a)<m(1)=0乂因?yàn)閍-1VO,故/?'(.v)>0在(0,I)恒成立，故人(.v)在(0,I)單調(diào)遞增，乂因?yàn)榻?D=0,故It(a)<h(I)=0.故f(xi)vf(2)，即xi.v2Vl.得證.(2022?乙卷)已知函數(shù)/G)=ax---(?+1)Inx.(1)當(dāng)?=0時，求f(.v)的最大值；(2)若/(k)恰有一個零點(diǎn)，求”的取值范圍.【解答】解：(I)當(dāng)”=0時，f(x)=—2一bix(x>0),則/''(X)=當(dāng)一工=易知函數(shù)/(a)在(0,I)上單調(diào)遞增，在(I,+8)上單調(diào)遞減，.V(.r)在K=1處取得極大值，同時也是最大位.函數(shù)/(.V)的最大值為/(I)=-I：(2)[(x)=a+g=ax2-"l)x+l=紂出"一2①當(dāng)?=0時,由(1)可知，函數(shù)/(X)無零點(diǎn)：②當(dāng)“<0時，易知函數(shù)/(x)在(0,I)上單調(diào)遞增，在(1.+8)上單調(diào)遞減，又/(I)=?-1<0,故此時函數(shù)/(.t)無零點(diǎn)：③當(dāng)0<“<1時，易知函數(shù)/”)在(0,1),弓，+8)上單調(diào)遞增，在(1,今單調(diào)遞減,且/(I)=?-KO,f4)=1-a+(a+l)/naVO,11 一乂由(I)可得，-+ExNl,>1-x,則/〃xV工，ln>Jx<Vx,則X X當(dāng)a>I時，/(x)=ax--(a+l)lnx>ax- 2(a+1)-y/x>ax-(2a+3)Vx,故存在m=6+2)2>J,使得/(，")>0,此時,(??)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)：④當(dāng)”=1時，f'(x)=a*NO,函數(shù)/(a)在<0,+8)上單調(diào)遞增，又/(I)=0.故此時函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)：⑤當(dāng)。>1時，易知函數(shù)八.2在(0,；),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(；，1)上單調(diào)遞減，且/(I)=a-1>0，又由(I)n/得，當(dāng)OV.rV]時，，nx>l—則，—1=,則/nx>2(l—?

此時f(x)=ax-l-2(a+1)(1 +^+11.故存在n=- 使得<0,4(a+l)a故函數(shù)/(x)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)：綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(0,+8),(2022?新高考1)已知函數(shù)/(.'?)=--ax和g(x)=?x-加有相同的坡小值.⑴求“：(2)證明：存在直線了=/3其與兩條曲線.v=/(x)和y=K(A-)共有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【解答】ft?：(I)/(a)定義域?yàn)镽,Vy(,r)=e'-(ix,/./(x)=/-〃，若“W0,則/(x)>0,/(x)無最小值，故a>0,當(dāng)/(.V)=0時，.r=/”“，當(dāng)(x)=0時，戶、，當(dāng)*V加“時，/(.V)<0,函數(shù)/3)在(-8,/〃“)上單調(diào)遞減，當(dāng)K>/〃“時，/(.V)>0,函數(shù)/(3在Una,+8)上單調(diào)遞增，故/(x)min=f(.Ina)=a-alna,KCv)的定義域?yàn)?0,+8),*(a)=av-/ha?:(x)=?-p令g'(x)=0,解得A=i,當(dāng)OV.iV：時，g'(x)<0,函數(shù)8(.v)在(0,二)上單.調(diào)遞減，Q a當(dāng)時，g'(.V)>0,函數(shù)K(A)在弓，+8)上單調(diào)遞增，故g(.v)〃而=\+hia,,:函數(shù)f(a)=/-(ix和g(.v)=ax-bix有相同的恢小值:?a-alna—1+/〃〃，

:-alna=1+lna化為Ina -r=0,令h(x)則11(X)=[什1一("1)=1_則11(X)=[(x+1)2X(x+l)Zx(x+l)2Va>0,：.h'(a)="+lo>0恒成立,x(x+l)：.h(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增,乂*；h(I)=0,:,h(a)=h(1)i僅有此一解./.?=1.(2)證明：由(1)知”=1,函數(shù)/(K)="?)在(-8,.)上單調(diào)遞減，在((),+co)上單調(diào)遞增，函數(shù)月(a)=.〕如在(0,1)上單調(diào)遞減，在(I,+8)上單調(diào)遞增，設(shè)u(a)=/(a)-g(x)=/-2x+/nx(a>0),則"'(x)=P-2+；>P-2,當(dāng)xNl時，(x)Ne-2>?，所以函數(shù)〃(x)在(1,+°°)上單調(diào)遞增，因?yàn)椤?1)=e-2>0>所以當(dāng)時，“(#>/((1)>0恒成立，即/C)-g(x)>0在*21時恒成立,所以工21時，f(a)>g(a).因?yàn)?(0)=1,函數(shù)/(工)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(1)=|,函數(shù)月Cv)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(工)與函數(shù)月(.r)的圖象在(0,1)上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為3〃，fg)(0V〃iVl),此時可作出函數(shù)y=/(x)和.v=g(a)的大致圖象,

由圖象知當(dāng)直線y=〃與兩條仙線y=/(x)和y=g(.v)共有三個不同的交點(diǎn)時，直線y=b必經(jīng)過點(diǎn)M(in,f(w)),HP/?=/(in),因?yàn)?(，”)=g(??),所以e'"-，”=，"-/，"”，Bpem-2in+lmn=0,令/(x)=〃=/(，”)得x=e'"-，"=，"-/〃，"，解得.v=，”或x=/〃，"，由 得lnm<O<ni<令f>(.v)=〃=/(,")得.v-Inx—t/"-111=in-bun,解得x=m或x=e'",由0<m<1,得m<V",所以當(dāng)直線與兩條曲線y=/G)和.v=g(.v)共有三個不同的交點(diǎn)時，從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，him.>11.e"\因?yàn)閑'"-2m+lnin=0,所以e'"+hmi=2in,所以加"，泮成等差數(shù)列..?.存在直線>，=〃，其與兩條曲線y=/(x)和.v=gCv)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.(2022?新高考II)已知函數(shù)/(*)=.ve(n-(I)當(dāng)“=1時，討論/(K)的單調(diào)性：(2)當(dāng).。0時，.f(u)<-I.求a的取值范圍；*111(3)設(shè)“CN,證明：-—+/?-+ +/.>ln("+I).Vl2+1 V2z+2\Jn2+n【解答】解：(1)當(dāng)a=]W,f(a)=.r/-ex=ex(x-I),f(.v)=e*(a--1)+/=M,?">0,...當(dāng)xE(0,+8)時，f(a)>0,f(.v)單調(diào)遞增；當(dāng)a-6(-8,o)時，f(A)<0,/(.v)單調(diào)遞減.

(2)令#(.v)=/(.v)+1=W-/+1(.v>0),,：f(.r)<-1,f(x)+l<0,：.f-(x)Vg(0)=0在x>0上恒成立，義g'(.v)=^+xaeM-Z,令h(x)=k'(x),則〃'(x)=〃*+〃-/=“(2e“T+”.i*)-：.h'(0)=2a-1.①當(dāng)2?-l>0,即h'(0)=lim?*3w>(b?*3w>(b使得當(dāng)G(°，*有丁>0,(a)X),所以月(.v)單調(diào)遞增，f；(.to)>g(0)=0,矛盾；②當(dāng)2a-1W。，即?<g,g'(a)=*'+.**'*-/=(l+a.v)鏟-d,若1+aiWO,則R(r)<0,所以g(,v)在［0,+8)上單調(diào)遞減，g(.v)Wk(0)=0,符合題意.若】+m>0,則a'(a)=*+me"<-'=*田""3-/<小+皿i+卻-/MelxAx-ex=0,所以x(A)在(0,+8)上單調(diào)遞減，X(x)<8(0)=0,符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)“的取值范圍是“4(3)由(2)可知，當(dāng)。=g時，f(a)=xe2x—ex<"—I(x>())?令x=tn(14-i)(neN*)得，bi(l+9?e；'nG*3-v-i,TOC\o"1-5"\h\z整理得，/n(l+l). <0.>ln(1+-),fl??Lk=\y fc+1??Lk=\hl(—>=hi<-x府依 1111卜/,111卜/, +XVl2+1 V22+2.+r-- (〃+1),Jn2+n(2()21?全國)已知函數(shù)/(、)=.r-6x+4hix+m.(I)求/求x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)汪(I,+8)時，/&)>0,求m的取值范圍.【解答】解：(I)已知函數(shù)/(x)=.r-6,v+4//Lr+/w,mnr”、Q,4 , 2x2-6x+4 2(x-1)(x-2)則f(x)=2x4-——6= = - .v>0,令了(.V)>0,解得：0cx<1或.r>2,令，(A-)<0,解得：即/3)的單調(diào)熠區(qū)間為(0,1),(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(I,2)：(2)由(1)可得：函數(shù)/(x)在(2,+8)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，則當(dāng).隹(I,+8)時，/(a)"而=/(2)=4/"2-8+，小又當(dāng)(I,+8)時，f(.r)>0,即4加2-8+"7>0,即m>8-4/〃2,即，”的取值范圍為:(8-4加2,+8).(2021?新高考【【)已知函數(shù)/■)=(x-1)e,-??+&.(I)討論/(x)的單調(diào)性：(II)從下面兩個條件中選一個，證明：f(X)恰有?一個零點(diǎn).①;<?<當(dāng)，6>2?；2LbW2a.【解答】解：(I),：/(x)=(,v-1)e'-a/+6,/(.v)=.v(/-2?),①當(dāng)“WO時，當(dāng)x>0時，f(a-)>0,當(dāng)rVO時，f(x)<0.，V(A)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在《0,+8)上單調(diào)遞增，②當(dāng)a>0時，令/(.r)=0.可得x=0或》=加(2o).(i)當(dāng)ova時，當(dāng)心>0或》<加(2o)U-J.f(a)>0,當(dāng)加(2a)VxVO時，f(a)<0,：.f(a)在(-8,加(2a)),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(/〃(2a),0)上單調(diào)遞減,1<f/)"=2時,f(,v)=,v(/-I)旦等號不恒成立，在R上單調(diào)遞增,

(iii)當(dāng)時，當(dāng)x<0或.r>/〃(2?)時，f(a)>0.當(dāng) (2?)IH./(x)<0.f(.v)在(-8,o),Un(2?),+8)上單調(diào)遞增，在(0,In(2?)>上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時，f(a)在(?8,0)上單調(diào)遞減：在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)OVaV*時，/(冷在(-8,/“(2“))和(0,+8)上單調(diào)遞增：在(/?(2?),0)上單調(diào)遞減；當(dāng)a=時，/(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>：時，/(.v)在(-8,0)和(/?(2?),+?>)上單調(diào)遞增：在(0,加(加))上單調(diào)遞減.(II)證明：若選①，由(1)知，/(#在(-8,0)上單.調(diào)遞增，(0,加(2??單調(diào)遞減，(加(2n),+8)hf(A)單調(diào)遞增.注意到f(-Jl)=(-J1-l)e~>l?<0,/(O)=b-l>2a-IX).：.f(.v)在(-Jj,0]上有一個零點(diǎn)；f(In(2<z))=(Jn(2a)-I)2a-aln22a^b>2aln(2a)-2a-ah?2a+2a=aln(2a)(2-In(2n)),]g2由3Va4,得0</〃(2?)<2,J.aln(2a)(2-In(2?))>0,：.fUn(2a))>0,當(dāng)x>0時，f(x)>/(In(2a))>0,此時/(x)無零點(diǎn).綜上：/(、)在尺上僅有一個零點(diǎn).1e2另解：當(dāng)代一I時,有加(2a)6(0,2J.而/1(0)=b-1>2?-1=0.于是f<dn(2a))=〈/〃(2a)-I)?2?-abr(2?)+h=ln(2?)(.2a-In(2a))+(b-2a)>0.所以/(x)在(0,+8)沒有零點(diǎn)，當(dāng)x<0時，/e(0,I),于是/(x)<-(a-+h=>f(-^)<0,所以/(a)在(一電,0)上存在一個零點(diǎn)，命題得證.若選②，則由(I)知：f(X)在(-8,I,,(2w?上單調(diào)遞增，在Un(2a),0)上單調(diào)遞減，在(0,+~)上單調(diào)遞增.

/(/"(2。))=(加(2“)-I)la-ahr2a+b^2aln(2?)-2a-aht22a+2a=aln(.2a)(2,；0<a<1,：.ln(2a)<0,：.aln(2?)(2-In(2?))<0,：./(In(2a))<0....當(dāng),v<()時，/(.v)<fUn(2a))<0,此時f(r)無零點(diǎn).當(dāng)i>0IH./(.v)單調(diào)遞增，注意到/(0)=b-l<2?-KO,取c=、/2(l-b)+2,-：b<2a<\,Ac>V2>l,又易證ec><-+\,:.f(c')=(c-l)ec-ac2+b>(c-l)(c+1)-ac2+b=(1-a)c2+b—+b—1=1—b+l+b—l=l>0,：.J(t)在(0,c)上有唯一零點(diǎn)，即/(工)在(0.+8)上有唯一零點(diǎn).綜上：f(x)在R上有唯一零點(diǎn).(2021?北京)己知函數(shù)/(.r)=學(xué)".(I)若”=0,求曲線.v=/(r)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；(11)若/(x)在》=-I處取得極值，求/(、)的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值和最小值.【解答】解：(I)/(、)=專弊的導(dǎo)數(shù)為(x)=*二等支出=爺9可得F=/(.v)在(I,I)處的切線的斜率為-4,則y=/(.v)在<1,/(I))處的切線方程為y-1=-4Cv-1),即為y=-4.r+5：(1I)/(a)=守的導(dǎo)數(shù)為f(a)=二212+q二2尊凸)=^-6x-2at(x2+a)2 (/+a)2由題意可得「(-I)=(),即萼之=()，解得〃=4,(a+l)z可得f(a)=~z^ff(工)=^^,(W+4)當(dāng).V>4或A<?1時，，(a)X),f(A-)遞增；當(dāng)?IV]V4時，，(x)<0,f(A-)遞減.函數(shù)、=/(.1)的圖象如右圖，當(dāng)L?8,y-()；L+8,\一()，則/(.r)在x=-I處取得極大值1,且為坡大值I：在x=4處取得極小值-；，且為最1-1-4

一在小所以/(x)的增區(qū)間為(-8,-I),(4,+8),減區(qū)間為(-1,4)：f(.V)的最大值為I,最小值為(2021?天津)已知“>(),函數(shù)/號)(I)求曲線/(、)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程：(2)證明函數(shù)/”)存在唯一的極值點(diǎn)：(3)若曲，使得/(a)Wo+/,對任意的xCR恒成立，求實(shí)數(shù)/>的取值范圍.【解答】(1)解:因?yàn)?《幻=?-(x+1)/,所以/(0)=?-I,而/(())=0,所以在(0,/(()))處的切線方程為.丫=(?-I).V<?>())；(2)證明：令/(X)=?-(x+1)et=0,則“=(.v+1)，，令g(.v)=(a+I)/,5Wg'(x)=(,v+2)eK,令g'(a)=0.解得x=-2,當(dāng)慶(-8,-2)時，f：'(a)<0,.?(.v)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(-2,+8)時，g'(x)>(),f.(,v)單調(diào)遞增，當(dāng).v--8時，，g(a)<0,當(dāng)a-+8時，身(x)>0,作出圖象所以當(dāng)“>()時，y=“與y=g 僅有一個交點(diǎn)，令g(〃，)=a,則m>-I.且/(，〃)~a-(?(/?)=0.當(dāng)v€(-8,州)時，a>g(,v),f(a)X),f(.v)為增函數(shù)：

當(dāng)AW(，"，+8)時，“Vg(.V),/(.V)<0,/(.V)為減函數(shù)；所以時是/(X)的極大值點(diǎn)，故/(X)僅有一個極值點(diǎn)：(3)解：由(2)知/(x)“””?=/(，〃)，此時”=(1+/?)e'n,<m>-I),所以{/(a)-a}may=f(.m)-a=(]+，")me"'-me'"-CI+m)e"'= e"'(.m>-i),令h(.v)=(x2-.r-I)eK(x>-1),若存在“，使/(.v)這對任意的.t￡R恒成立，則等價于存在.虎(-1,+8),使得〃(.V)<〃，即〃2〃(.V)min.而/?'(a)=(『+X-2)/=(X-I)(.v+2)e\(a>-I),當(dāng).re(7,I)時，li(.v)<0,h(x)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng).ve(I,+8)時，h-(.v)>0,h(.v)為單調(diào)增函數(shù)，所以h(a),nin—h(1)=--e,故-e,所以實(shí)數(shù)〃的取值范困[-e,+8),(2021?浙江)設(shè)“，〃為實(shí)數(shù)，R?>I,函數(shù)/(a)=a'-bx-￥e2(.vgR).(1)求函數(shù)/(.r)的單調(diào)區(qū)間：()1)若對任意〃>2/,函數(shù)/(、)有兩個不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍：(III)當(dāng)”=e時，證明：對任意〃>1,函數(shù)/(、)有兩個不同的零點(diǎn)2,.心，滿足.口〉hlnhe2h+百(注：e=2.7l828是自然對數(shù)的底數(shù))【解答】解：(I)，(a)=(('lna-b,①當(dāng)〃W0時，由于則"7〃“>0,故/'(x)>0,此時/(x)在R上單調(diào)遞增：?當(dāng)〃>0時，令/*(a)>0,解得x>軻，令/(x)<0,解得xV幽，f Ina」 Ina/nA 也2此時/(K)在(-8,需)單調(diào)遞減，在(需，+8)單調(diào)遞增：綜上，當(dāng)〃W0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8)：當(dāng)〃>0時，f(,v)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,熱)，單調(diào)遞增區(qū)間為(熱，+8)：(II)注意到工--8時，f(,v)一+8,當(dāng)N—+8時，f(V)-*4-?o,b由(I)知，要使函數(shù)7'(.r)有兩個不同的零點(diǎn)，只需f(x)min=f(柴氏)<0即可，

需-b?需+e2Vo對任意b>海均成立，令t=軻，則</-6+/<0,即e""u-W+JVO,即e"*i-b.駟+e2<0,即±-b-Ina.\b-b.In總+e2lna<0對任意b>2e2均成立，記a(b)=h-h-Inj^+e2lna,b>2e2,則g(b)=1- +b華喘)=In(lna)—Inb,令(b)=0,得b=lna,①當(dāng)lna>2e2tWa>e2e2^f,易知g(/?)在(2j,加a)單調(diào)遞增，在(加小+?)單調(diào)遞減，此時g(fe)Wg(Ina)=hui-Ina*ln\+e1lna=lna9(e2^\)>0.不合題意；②當(dāng)加“W2o2,U|Jl<a<e2e2W,易知g(b)在(2/，+8)單調(diào)遞減，此時g(b)<g(2e2)=2e2-2e2,，n品+e2lna=2e2-2e2\(n(2e2)-In(/〃a)]+//〃〃，故只需2-2[/“2+2-加(加a)]+加〃WO,即加a+2/n(Ina)W2+2加2,則加aW2,即aWe;綜上，實(shí)數(shù)〃的取位范困為(I,e2]；(III)證明：當(dāng)〃=e時，f(a)=/-/“+/,f(a)=d-Z?,令/(a)=0>解得n=lnh>4,易知/a)mbi=f(，也)=e[nb-b-Inb+e2=b-blnb+e2<b-46+/=?-3b<，-3U(i-3/)〈O.(X)有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)為Nl,.□，fl.口V/汕V*2,ltl/(x2)=e"_bX2+e2=0,可得必-詈+mJ.要證今>3皆必+目，只需證當(dāng)》，只需證e*>,=e？T-2e2+e2=e2r-e2<e^-e2<0,則勺V等，；?要證e*z>"挈勺，只需證6必>尻汕，只需證工2>/〃(blnb),2e“而/(加(R汕))?bin(hlnh)+e2=hlnb-bln(blnb)^<b!nb-bln(4方)+/=b?Znj+e2=e2-bln4<0?4

(blnb),即得證.(2021?甲卷)設(shè)函數(shù)=J『+“x-3〃*+l,其中“>0.(I)討論/(k)的單調(diào)性；(2)若y=f(.v)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求”的取值范圍.【解答】解：(1)f(.V)=2a%+“_m=2a2x2+ax-3=(2ax+3：(ax-l),v>(b因?yàn)椤?gt;0,所以一4<0<1,1所以在(0,-)上，f(工)VO,f(.v)單調(diào)遞減，a在(士+b)上,f(a)>0,/(.V)單調(diào)遞增.a綜上所述，/(.V)在(0,-)上單調(diào)遞減，在(i+8)上/(.、?)單調(diào)遞增.a a(2)由(1)可知，/(a),Hm=/(-)=?2X(-)2+?xi-3/n-+l=3+3/n?,a a aa因?yàn)閥=f(,v)的圖像與▲軸沒有公共點(diǎn)，所以3+3/〃”>0,所以<!>->e所以〃的取值范圍為(-,+8).e(2021?乙卷)已知函數(shù)/(.r)—In(.a-a),已知x=0是函數(shù)y=V(x)的極值點(diǎn).(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)8(a)=鏘卒.證明：R(.V)<1.【解答】(1)解：由題意，/(A-)的定義域?yàn)?-8.a),令/(工)=.tf(.v)?則I(.V)=xln(</-.v)?xE(-8,〃),則/'(a)=加(a-.v)+.v =ln(a—x)+ ,a-x a-x因?yàn)?r=0是函數(shù)產(chǎn)af(工)的極值點(diǎn)，則有，(0)=0,即加a=0,所以a=l.當(dāng)a=l時」(x)=/n(l-x)+ =ln(l-x)4-^^4-1,0./,(0)=0,因?yàn)?，)=呂+一1因?yàn)?，)=呂+一1(1-x)2x-2(I/<n,則f(.V)在(?8,1)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)*6(-8,0)時，，(x)>0,

當(dāng)工W(0,1)時,f(.v)<0.所以。=1時，工=0是函數(shù).V=.W(])的一個極大值點(diǎn).綜上所述，”=1：(2)證明:ill(I)可知，M(.l)=工加(I-A),要證需公即需證明藍(lán)葭)5因?yàn)楫?dāng).隹(-8,())時,式/〃(1?工)V0,當(dāng).他(0,1)時，n/〃V0,所以需證明x+加(1-x)>xln(I-.v)?即.v+(1-a)In(1-a)>0,令h(.v)=.v+(1-x)//?(1-.v),則h'(a)=(I-.v)- +1-/n(l—x)=—In(1-x),i_x所以4(0)=(),當(dāng).ve(- 0)時，If<x)<0.當(dāng)aE(0,1)IH，If(.v)X),所以x=0為〃(x)的極小值點(diǎn),所以〃(.v)>h(0)=0,EPx+ln(1-a)>xln(1-.v),x+tn(l-x)

xtn(l-x)所以嗡c(2021?新高考I)己知函數(shù)/(a)=.v(1-/nr).(1)討論/(.r)的單調(diào)性；(2)設(shè)a,6為兩個不相等的止數(shù)，且。/〃“-”/汕="-。，證明：2V(+：Ve.【解答】(1)解：由函數(shù)的解析式可得/(a)=I-Inx-I=-Inx,：.xe(0,I).f(.v)X),f(a)單調(diào)遞增，.ve(1.+8),f(.v)<(),f(x)單調(diào)遞減，則/(K)在(0,l)單調(diào)遞增，在(I,+8)單調(diào)遞減.(2)證明：由人得一工，“工+：伍3=?一工,aa/)b/)aH*(1-In?=^(1一/》rh(i)/(.v)在(o,i)單調(diào)遞增，在(i,+?>)單調(diào)遞減，所以f(.V)miLX—f(1)=1,旦/(e)=(),

令4=)洶4則川，刈為/(.t)=k的兩根,其中&W(0,I).不妨令gW(0,1),,V2G(1?e),則先證2V."+x2,BPiil:xi>2~.vi?即證/(.c)=f(xt)<f(2-.vi)?令力(.v)=/(.v)?/(2?.r),則力'(.v)=/(a)+/(2?.t)=?/〃.?/〃(2-工)=-加卜?(2?x)］在(0,I)單調(diào)遞減，所以“(.v)>hf(I)=0,故函數(shù)"(.v)在(0,I)單調(diào)遞增，:?h(.vi)<h(I)=0..*./(.vi)<f(2-.vi)?/.2<.vi<x2>得證.同理，要證ni+.v2Ve,(法一)BPiiE\<X2<c-Ai,根據(jù)(I)中/Q)單調(diào)性，即證/(4)=/(.vi)>f(,e-,vi),令(p(.v)—f(.v) .v6(0>I)>則(p*(.v)=-ln{x(e-x)|>令s'(.w)=0,xE(0,.vo),<p*(.v)>0,<p(.v)單調(diào)遞增，xE(加,I),cp>(.v)<0,<p(.v)單調(diào)遞減，乂OV.Yc時，f(.v)>0,且/(。)=0,故l咻(p(x)=0,(P(I)=/(l)?/(e?1)X),A(p(.v)>0恒成立，.Vi+X2<(?得證，(法二)f(.V|)=/(A2),KI(I-//LVl)=.V2(I?/n.V2),又.tie(0,I),故I-//in>L.n(I-Inxi)>.vi,故工|+&<工］(I-//UI)+42=.V2(I-加?V2)+X2，.V2W(I，￡)，令g(.v)=.v(I-//u)+.r,gf(a)=I-Inx,xe(I,e),在(I,c)上，&'(.v)X),g(a)單調(diào)遞增，所以g(.v)<g(e)=c.

lt[lX2（1?Inx2）+.v2〈e，所以用+f2Ve,得證,則2v[+：<《.(2021?乙卷)已知函數(shù)/(a)=F-『+,“+1.(1)討論/(x)的單調(diào)性：(2)求曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線)，=_/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解：⑴/(a)=3a--2.v+u,、=4-12“，①當(dāng)△&(),即aN：時，由于/(x)的圖象是開口向上的拋物線，故此時/'(A2%則/(a)在R上單調(diào)遞增：②當(dāng)△>0,即avg時，令/(.v)=0.解得X]=上網(wǎng),x2=~~~3^fl,令/(a)>0,解得.Y."或.。處令，(.V)<0,解得*<K<X2，(.V)在(-8,Ai),(X2，+8)單調(diào)遞增，在(XI，.V2)單調(diào)遞咸；綜上，當(dāng)aN1時，/(.v)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<寺時，/(x)在(一8,if書,d嗎3、+8)單調(diào)遞增，在(：平3a,1+J；-3a)單調(diào)遞減(2)設(shè)曲線_y=/(.v)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為I,切點(diǎn)為(Xo，No,-xq2+axo+1),/(%0)=3/2—2Xq+Q,則切線方程為y-(x03-Xq2+axQ+1)=(3x()2_2x0+a)(x-x0).將原點(diǎn)代入切線方程有，2x03-xo2-i=0,解得何=1,，切線方程為)，=(〃+1)K，令.t3-x2+av+1=(rt+l)K,即A3-.V27+1=0,解得A=】或工=-I,二曲線)?=/”)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線>=/a)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,/1)和(-I*~a-I).(2021?甲卷)已知“>0且“Hl,函數(shù)/(.r”,(.v>0).(I)當(dāng)“=2時，求/(.r)的單調(diào)區(qū)間：(2)若曲線.y=f(x)與直線)，=1有且僅有兩個交點(diǎn)，求”的取值范圍.【解答】解：⑴a=2時，/(a)=p.”.、2x2x-2xln2x2x(2-x/n2)也2?(卷r)f〈'"=一(PJ3-=2K= 2" ，

TOC\o"1-5"\h\z2當(dāng)工W((), )時，f(.v)>0?當(dāng).vW( ,+8)時,f(.v)VO,ln2 ln2故/(、)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,二)，單調(diào)遞減區(qū)間為(二，+8).In2 Ln2(2)由題知/(工)=1在(0,+8)有兩個不笫實(shí)根，InxInaf(.v)=lo.d=。=。如=.t加no = ,xa令g(#="，，")=與百，g(-V)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單X Xc調(diào)遞減，又當(dāng).r<1時，g(.v)<0,g(I)=0.g(e)=1.當(dāng),v>1時，g(.v)>0.2().(2020?新課標(biāo)I)已知函數(shù)=e'-a(.i+2).(I)當(dāng)“=I時，討論/(x)的單調(diào)性；(2)若/(x)有兩個零點(diǎn)，求”的取值范圍.【解答】解：由題意，/Ct)的定義域?yàn)?-8,+oo),口/(.?.)(I)當(dāng)a=I時，f(.v)=?'-I.令/(.V)=0.解得,r=0..?.當(dāng).隹(-8,o)時，/(、)VO,/(K)單調(diào)遞減，當(dāng)xW(0.+8)時，f(a)>0,f(.v)單調(diào)遞增-：.f(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(().+8)上單調(diào)遞增：(2)當(dāng)“W0時，/(a)=/-?>0恒成立，f(x)在(-8,+oo)上單調(diào)遞增，不合題意：

當(dāng)“>0時，令/(A-)=0,解得.v=加"，當(dāng).但(-8,加“)時，f(,v)<0,/(.r)單調(diào)遞減，當(dāng)Una,+~)時，f(A)>0./(.v)單調(diào)遞增././(.V)的極小值也是最小值為/(/〃“)=a-aUna+2')=-a(1+/??).乂當(dāng)k1-8時，y(v)—+8,當(dāng).r—+8時，y(v)—+8.，要使/(.v)有兩個零點(diǎn)，只要/(/??)<0即可，則1+/〃”>0,可得“e1綜上，若/(X)有兩個零點(diǎn)，則”的取值范圍是(一，+8).e(2020?天津)已知函數(shù)/(x)=P+khix(AeR),f(.v)為/(.r)的導(dǎo)函數(shù).(I)當(dāng)仁6時，(i)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(I,/(I))處的切線方程：(ii)求函數(shù)g(.r)=/(x)-f(.r)+1的單調(diào)區(qū)間和極值；(II)當(dāng)時，求證：對任意的內(nèi)，X2日1,+8),且.">.口，有“(x】)；'(X2)>f(Xi)-f(X2)Xi-X2'【解答】解；([)")當(dāng)—6時，f(.v)=?+6/?tv,故/(a)=3.r+p：.f(1)=9,：f(1)=1.二曲線￥=/(*)在點(diǎn)(I./(1))處的切線方程為k1=9(a-1).即9x-y-8=0.(//)g(.v)=f(.V)-f(.v)+-=a3+6//lv-3a"-4--,.v>0?“g=3.…士生a，令(x)=0,解得x=l,當(dāng)OVxVl,g'(.r)<0,當(dāng).r>l,g'(a)>0,函數(shù)g(.r)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，k=1是極小值點(diǎn)，極小值為g(l)=1.無極大值(11)證明：山/(.v)=.3klnx,則，(a)=3?+*.

對任意的工|,人2日1,+8),且口>q，令&=',，>],X2則(.VI-.V2)[f(.VI)+/(.V2)I-21/*(.VI)-/(X2)|=(.VI-.V2)(3.VJ2+—+3a*22+—)-2xl x2(內(nèi)3M=.V|3-.V23-3.V|2A2+3.V|A'22+Jt(---)-2kbr^fx2Mx2=X23(?-3r+3/-I)+k-2，M,①令力(a)=工一；-2加工，工>1,當(dāng).r>l時，h'(.v)=1+4-2=(1—：)2>0,：.h<A)在(1,+8)單調(diào)遞增，:當(dāng)/>1,li(/)>h(1)=0,即/一；一2/〃，>0,V.v2^I.r3-3r+3r-1=(7-I)3>0,k2-3,???.口3(尸-3?+3l1)+人(/一：一2加1-3(s；-2加r)=尸-3尸+6W+,T,②，由(I)(”)可知當(dāng)后1時，月(r)>g(1)即產(chǎn)-3』+6加/+微>1,③,由①?③可得(”-.門)U"(.口)+/(.V2)]-2l/(.Vl)-/(X2)|>0,:.當(dāng)4-3時，對任意的Ai，x26[l.+~),且Xl>X2，有/'(小)+/'[2)>2 X1-X2(2020?北京)已知函數(shù)/(.r)=12-?.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；(II)設(shè)曲線)?=/(▲)在點(diǎn)(八/3))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(r).求S⑺的最小值.【解答】解：(1)f(.v)=12-F的導(dǎo)數(shù)/*(,v)=-2x,令切點(diǎn)為《，”，”),可得切線的斜率為-2/〃=-2,/.??=1,.?.”=12=1=11,/.切線的方程為v=-2a+I3：(II)曲線F=/(x)在點(diǎn)(，，/(/))處的切線的斜率為人?=-2r,切線方程為「-(12-z2)=-2t(.v-/),

令l=0,可得y=【2+尸，令y=0,可得.v=±+f,、 116 ,>：.S(r)=|*|-r4-y|*(12+r).由S(T)=S(r),可知5(r)為偶函數(shù)，不妨設(shè)，＞0,1-不妨設(shè)，＞0,1-4

=5

則(什竽)(12+r),.OG 144, 3(產(chǎn)-4)(尸+12)??S (7)=4(3廣+24-了)=不 ^2 -由S'(r)=(),得r=2?當(dāng)t>2時，S'(/)>0,S(r)遞增：當(dāng)0<r<2時，S'(r)<0,S(/)遞減，則S(/)在t=2處取得極小值，且為最小值32,同理可得，<0時，S(r)在f=-2處取得極小值，且為量小值32,所以S(Q的最小侑為32.(2020?浙江)已知1V“<2,函數(shù)/(#=/-其中e=2.7l828…為自然對數(shù)的底數(shù).(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)：(II)記M為函數(shù)),=/(.V)在(0?+8)上的零點(diǎn)，證明：(i)Va-1<VO<V2(a-lj：(ii)x()f(,e%)2(e-I)(?-I)a.【解答】證明：(1),.y\)=eK-x-a=Q(,t>0).：,f(x)="-l>0恒成立，：.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，Vl<?^2,A/(2)=e2-2-?^e2-4>0,又/(O)~I-?<0.函數(shù)y=/(.r)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn).(II)(/)f(ad)=0,,'.ex°-vo-?=0,yja—1<Xo-J2(ci-1),ex°—x()—1<x()2<2(ex°— —1),令g(.v)=eK-x-\-.r(0<x<2).h(a)=e'-x-1-y,(0<.r<2).一方面，h1(a)=d-1-x=/“(a).《'(％)=ex-1>0,???/(a)>hf(0)=0,：.h(.v)在(0,2)單調(diào)遞增，：.h(