哈工大信號與系統(tǒng)

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分時域求解系統(tǒng)響應(yīng)方法可以歸納 分析系統(tǒng)就是求解微分方程的過程，在數(shù)學(xué)上已有成解微分方程與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)卷積得到。所以，求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和作我們要掌握的重要內(nèi)容系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模微分方程的求解系統(tǒng)響應(yīng)的經(jīng)典零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響起始點的跳單位沖激卷積積分及其利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模輸入—輸出描述法（通信系統(tǒng)中應(yīng)用較方便狀態(tài)變量描述法（近代控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用n階微分方程表征系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系。在多輸入多n個一階微分方程表征系如果給出系統(tǒng)方框圖表示系統(tǒng)模型，每個方框圖反映某種數(shù)算功能，根據(jù)各方框圖輸出與輸入之間的約束關(guān)系，也可以

+ +_

d2r(t)dt_43

dr(t)

r(t)e2

加法器：r(tAe(t)Ae(t)

標(biāo)量乘法器：r(t)=Ar(t) d2r(t)

4

3r(t)

dt 為不同的實根，并已知初始值r(0),r'(0),r(n1)(0)入e(t在t0r(t)rh(t)rp(t)

Aeak

nk nk由輸入e(t)的形式設(shè)特解（含有未知常數(shù)程，比較對應(yīng)項系數(shù)，解得未知常數(shù)，確定特解。在全解r(t)令t0，代入r(0),r'(0) ,r(n1)(0)初始值，定出系（k=1，2，…，n在全解中，由特征方程的根確定的齊次解rht)是系統(tǒng)的自由響應(yīng)，與輸入同形式的特解rpt)稱為強(qiáng)迫響應(yīng)，系統(tǒng)的完全響應(yīng)是由Ak與強(qiáng)迫響應(yīng)rpt)i0ijjn ar(i)(t)i0ijj

be(j)次齊次解就是滿足齊次n

air(it) 特征方程為：an

n1...a 特征根

1,2,...,齊次解為

Aeaii–若 為k重根，其余特征根為單根，則齊i解為r(t)

Ati

n

ik 例：求微分方 2r(t5

dr(t

6r(t e(tdt d的齊次解:特征方程為特征根為

561 齊次

r(t)Ae2t

A 二特將激勵e(t)代入微分方程右端，得“自由項”，依據(jù)自由項的形式在表中(p159表6.2-1試選特解函數(shù)B(t并代入方程左端，根據(jù)方程右端對應(yīng)項系數(shù)相等的原全N階微分方程的完全解為r(t)

n

Aeait

i將給定的邊界條件r(0-r’(0-irn-1(0-)代入完全解表達(dá)式可得聯(lián)立方 rn-1(0-)=A1an-1+Aa 例勵為2f(t)時，其全響應(yīng)為 y2t)(e2sin2t)U(ty4t。解（1）yxtyfty(t)y(t)y(t)(2e3t yf(t)(e3tsin2t)U(t y3(t)yx(t)yf(tt0))Ut (2)y4(t)2yx(t)0.5yf(t(5.5e-3t0.5sin2t)U(t4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)（1零輸入響rzit)齊次方程求得齊次解nrzi(t)Aziknk

ak由初始狀態(tài)r(0),r'(0), ,r(n1)(0)定出系數(shù)Azik（k=1，2，…，n得到零輸入響應(yīng)rzi(t)。零輸入響應(yīng)滿足線性。（2）rzs(t)：其解的形式及求特解方法與經(jīng)典nrzs(t)Azskn

ak

r0)Azskr0r0rn10)否有跳變。所以這里的齊次解并不與經(jīng)典法中的等同。零狀態(tài)滿足線性。（3）零輸入響應(yīng) r(t)

zik

ak

Azsk

ak

(t

n全響應(yīng)中( Azsknk

akt

與經(jīng)典法中的齊解及自由響應(yīng)相對應(yīng)，rp(t)與強(qiáng)迫響應(yīng)對應(yīng)。零輸響應(yīng)rzit)和零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)分別滿足線5單位沖激響應(yīng) 據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)求出h(t)1．卷積積分及其性（1）y(t)f1(t)*f2(t)f1()f2(t

f2()

(t（2）查表法解析法：利用定義式與卷積的性質(zhì)計算圖解法：借助函數(shù)圖形定積分的區(qū)間 其卷積結(jié)果存在的時間①代數(shù)性質(zhì)f1(t)*f2tf2t*f1(t*f2tf3tf1(t)*f2tf1(t*f3②微分積分性質(zhì)

d[f(t)*f(t)]

df1(t)*

(t)

(t)*df2

tt

f1()*f2()df1(t)*tt12f2(t)*tt12

f2

y(i)(t)

f(j)(t)*

(ij)y(tt0)f1(t)*f2(tt0)f1(tt0)*f2f1(tt1)*f2(tt2)f1(tt2)*f2(tt1)y(tf(t)*(t)f f(t)*(tt0)f(tt0

t2tf(t)*u(t)t

f(t)*'(t)ff(t)*(k)(t)f(k)f(t)*(k)(tt0)f(k)(tt07利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)對