最短路徑問題

最短路徑問題最短路徑問題最短路徑問題最短路徑問題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:最短路徑問題姓名類型一、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小的問題：一條直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。作法：連接兩個(gè)定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。例1、如圖，在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最?。鞣ǎ哼B接AB，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說明：∵連接A、B兩點(diǎn)的線中，線段最短。∴連接AB，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小=AB一條直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。方法：利用軸對(duì)稱變換將直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，用例1的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例2、如圖，在直線上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小．作法：①作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’；②連接A’B，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說明：連接AP、AA’，∵點(diǎn)A和點(diǎn)A’關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是AA’的垂直平分線，∴PA=PA’，∵兩點(diǎn)之間，線段最短?！啻藭r(shí)PA+PB最小=PA’+PB=AB。類型二、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大的問題：一條直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例3、在直線上求一點(diǎn)P，使的值最大．作法：連接AB，并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。證明：在直線上另取一點(diǎn)P’，連接P’A和P’B，∵三角形的兩邊之差大于第三邊，∴；而連接AB，并延長交直線于點(diǎn)P，此時(shí)，一條直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。方法：利用軸對(duì)稱變換將直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)“三角形的兩邊之差大于第三邊”，用例3的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例4、如圖，在直線上求一點(diǎn)P，使的值最大．作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B’，②連接AB’，并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說明：連接AP、AA’，∵點(diǎn)A和點(diǎn)A’關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是AA’的垂直平分線∴PA=PA’，若在直線上另取一點(diǎn)P’，連接P’A和P’B，∵三角形的兩邊之差大于第三邊，∴∴此時(shí)總結(jié)：“同側(cè)差最大，異側(cè)和最?。晃恢貌粷M足，對(duì)稱后再看；三點(diǎn)共線找交點(diǎn)”。類型三、兩條直線之間的區(qū)域內(nèi)有一定點(diǎn)，兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)，要使連接這三點(diǎn)所得的三角形周長最小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。例5、如圖，在直線上分別求點(diǎn)M、N，使△PMN的周長最小．方法分析：利用軸對(duì)稱，將定點(diǎn)P分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線的另一側(cè)），再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接點(diǎn)P的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。作法：①分別作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);說明：連接MP、NP，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP1的垂直平分線，∴MP=MP1，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P2關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP2的垂直平分線，∴NP=NP2，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴此時(shí)PM+MN+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2類型四、兩條直線的之間有兩個(gè)定點(diǎn)，兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)，要使連接這四點(diǎn)所得的四邊形周長最小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。例1、在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN周長最小.方法分析：利用軸對(duì)稱，將兩個(gè)定點(diǎn)P、Q分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線的另一側(cè)），一側(cè)一個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接點(diǎn)P、Q的對(duì)稱點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。作法：①作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);②作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；說明：連接MP、NQ，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP1的垂直平分線，∴MP=MP1，∵點(diǎn)Q和點(diǎn)Q1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是QQ1的垂直平分線，∴NQ=NQ1，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴此時(shí)PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1例2、如圖，牧童星期天從A處趕了幾只羊到草地放羊，然后趕到小河飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)牧童趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線標(biāo)明放羊與飲水的位置。類型五、架橋修路距離最短的問題兩條平行線之間的距離為d，直線外有異側(cè)兩定點(diǎn)A、B，在上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，試確定動(dòng)點(diǎn)M、N的位置。作法：①從點(diǎn)A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位長度至點(diǎn)A’）②連接A’B，交直線n于點(diǎn)N，③作NM⊥m于M，M、N即為所求。說明：連接AM、BN，此時(shí)，AA’平行且等于MN，四邊形AA’NM是平行四邊形，AM=A’N，，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。例1、如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河（兩岸平行），今要在河上建一座橋（橋與河岸垂直），應(yīng)如何選擇橋的位置才能使A到B的路程最短例2、荊州護(hù)城河在CC＇處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，需經(jīng)過兩座橋DD＇、EE＇，護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直．如何確定兩座橋的位置，可使A到B點(diǎn)路徑最短2、一條直線a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在N的左邊），M、N的距離為定值d，直線a外有異側(cè)兩定點(diǎn)A、B，要使AM+MN+BN的值最小，試確定動(dòng)點(diǎn)M、N的位置。作法：①從點(diǎn)A向右作AA’∥a且AA’=MN=d（即：將點(diǎn)A向右平移d個(gè)單位長度至點(diǎn)A’）②連接A’B，交直線a于點(diǎn)N，③在直線a上點(diǎn)N的左邊截取NM=d，M、N即為所求。說明：連接AM、BN，此時(shí)，AA’平行且等于MN，四邊形AA’NM是平行四邊形，AM=A’N，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。3、一條直線a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在N的左邊），M、N的距離為定值d，直線a外有同側(cè)兩定點(diǎn)A、B，要使AM+MN+BN的值最小，試確定動(dòng)點(diǎn)M、N的位置。作法：①作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)，（問題即轉(zhuǎn)化為2中的問題）②從點(diǎn)A向右作且（即：將點(diǎn)向右平移d個(gè)單位長度至點(diǎn)）③連接，交