中考12年麗水市2001-2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析專題12：押軸題

江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯一、選擇題【版權(quán)歸江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室所有，轉(zhuǎn)載必究】1.〔2001年浙江舟山、嘉興、臺州、麗水4分〕一個滑輪起重裝置如下圖，滑輪半徑是10cm，當重物上升10cm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心O，繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為〔假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動，π取，結(jié)果精確到1°〕【】A．115°B．160°C．57°D．29°2.〔2002年浙江麗水4分〕麗水市1995年至2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值年增長率(%)變化情況如下統(tǒng)計圖，從圖上看，以下結(jié)論中不正確的選項是【】A．1995年至1998年，麗水市國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率逐年減小B、自1998年提出撤地設(shè)市的初步設(shè)想以來，麗水市國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率開始上升C、1995年至2001年，麗水市每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值有增有減D、1995年至2001年，麗水市每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值不斷增長3.〔2003年浙江麗水4分〕下面的圖象表示一輛汽車從出發(fā)到停止的行駛過程中，速度〔v〕隨時間〔t〕變化而變化的情況。以下判斷錯誤的選項是【】A、汽車從出發(fā)到停止，共行駛了14分B、汽車保持勻速行駛了8分C、出發(fā)后4分到12分之間，汽車處于停止狀態(tài)D、汽車從減速行駛到停止用了2分4.〔2004年浙江麗水4分〕看圖，列方程組：上圖是“龜兔賽跑〞的片斷，假設(shè)烏龜和兔子在跑動時，均保持勻速，烏龜?shù)乃俣葹閂1米/小時，兔子的速度為V2米/小時，那么下面的方程組正確的選項是【A．B．C．D．5.〔2005年浙江麗水4分〕如圖，在山坡上種樹，∠A=30°，AC=3米AB=【】〔A〕6米〔B〕米〔C〕2米〔D〕【答案】C。【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥扛鶕?jù)余弦函數(shù)定義，得，即〔米〕。應(yīng)選C。6.〔2006年浙江麗水4分〕如圖，四邊形ABCD是由四個邊長為l的正六邊形所圍住，那么四邊形ABCD的面積是【】A．B．C．1D．27.〔2007年浙江麗水4分〕如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△，那么點的坐標是【】A.〔3，4〕B.〔4，5〕C.〔7，4〕D.〔7，3〕8.〔2021年浙江麗水4分〕如圖，⊙O是以數(shù)軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數(shù)軸上運動，假設(shè)過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設(shè)OP=x，那么x的取值范圍是【】A．0≤x≤B．≤x≤C．－1≤x≤1D．x＞∴x的取值范圍是0≤x≤。應(yīng)選A。9.〔2021年浙江麗水3分〕如圖，△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2,l2，l3之間的距離為3,那么AC的長是【】A．B．C．D．710.〔2021年浙江衢州、麗水3分〕如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是【】A． B． C． D．【答案】C?！究键c】由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，兩線交于E點，作DF⊥AC垂足為F點，∵∠BAD=∠CAE=900，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE?！唷螧AC=∠DAE。又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°，∴△ABC≌△ADE〔AAS〕。∴BC=DE，AC=AE。設(shè)BC=a，那么DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC－AF=AC－DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，，即，解得：。∴。應(yīng)選C。11.〔2021年浙江金華、麗水3分〕如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與以下格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是【】 A、點〔0，3〕 B、點〔2，3〕C、點〔5，1〕 D、點〔6，1〕【答案】C。【考點】切線的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置O〔2，0〕，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OBD+∠EBF=90°時，BF與圓相切，∴當△BOD≌△FBE時，∴EF=BD=2，F(xiàn)點的坐標為：〔5，1〕。應(yīng)選C。12.〔2021年浙江金華、麗水3分〕小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律．圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)3，6，9，12，…稱為三角形數(shù)．類似地，圖2中的4，8，12，16，…稱為正方形數(shù)．以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是【】A．2021B．2012C．2021D．【答案】D。【考點】探索規(guī)律題〔圖形的變化類〕?！痉治觥坑^察發(fā)現(xiàn)，三角數(shù)都是3的倍數(shù)，正方形數(shù)都是4的倍數(shù)，所以既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的一定是12的倍數(shù)，然后對各選項計算進行判斷即可得解：∵2021÷12＝167…6，2021÷12＝167…8，2021÷12＝167…10，2021÷12＝168，∴2021既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)。應(yīng)選D。二、填空題【版權(quán)歸江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室所有，轉(zhuǎn)載必究】1.〔2001年浙江舟山、嘉興、臺州、麗水4分〕如圖，太陽光線與地面成60°角，一棵傾斜的大樹與地面成30°角，這時測得大樹在地面上的影長約為10m，那么大樹的長約為▲m〔保存兩個有效數(shù)字，以下數(shù)據(jù)供選用：〕．2.〔2002年浙江麗水5分〕如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm，那么正六邊形的邊心距是▲cm?！敬鸢浮俊！究键c】正多邊形和圓，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出：正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm，連接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30度，因而，即正六邊形的邊心距是cm。3.〔2003年浙江麗水5分〕據(jù)麗水市統(tǒng)計局報導(dǎo)，我市2002年第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值分別占全市國內(nèi)生產(chǎn)總值的20.4%，42.9%，36.7%。用圓形統(tǒng)計圖表示這三大產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值結(jié)構(gòu)時〔如圖〕，表示第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的扇形的圓心角應(yīng)畫成約▲度〔精確到1°〕【答案】132。【考點】扇形統(tǒng)計圖。【分析】根據(jù)扇形圓心角的的求法，表示第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的扇形的圓心角為：3600×36.7%≈1320。4.〔2004年浙江麗水5分〕中國象棋棋盤中蘊含著直角坐標系，以下圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬〞走的規(guī)那么是沿“日〞形的對角線走，例如：圖中“馬〞所在的位置可以直接走到A、B等處．假設(shè)“馬〞的位置在C點，為了到達D點，請按“馬〞走的規(guī)那么，在以下圖的棋盤上用虛線畫出一種你認為合理的行走路線▲．【答案】〔答案不唯一〕?！究键c】開放型，網(wǎng)格問題?！痉治觥堪凑疹}意，棋子“馬〞走的規(guī)那么是沿“日〞形的對角線，答案不唯一，如：5.〔2005年浙江麗水5分〕如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，過點D的切線交BA的延長線于點E，假設(shè)∠ADE=25°，那么∠C=▲度．6.〔2006年浙江麗水5分〕選擇－1、A、2、4這四個數(shù)構(gòu)成比例式，那么a等于▲．〔只要求寫出兩個值〕

7.〔2007年浙江麗水5分〕廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)．如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，拋物線的函數(shù)表達式為，為保護廊橋的平安，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E、F處要安裝兩盞警示燈，那么這兩盞燈的水平距離EF是▲米〔精確到1米〕．【答案】18。【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系?！痉治觥坑伞霸谠搾佄锞€上距水面AB高為8米的點〞，可知y=8把y=8代入得：?！郋F=≈18〔米〕。8.〔2021年浙江麗水5分〕如圖，在已建立直角坐標系的4×4的正方形方格紙中，△ABC是格點三角形〔三角形的三個頂點都是小正方形的頂點〕，假設(shè)以格點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似〔C點除外〕，那么格點P的坐標是▲．【答案】〔3，1〕或〔1，4〕或〔3，4〕?！究键c】網(wǎng)格問題，相似三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥咳鐖D，分△ABC≌△BAP，△ABC≌△APB，△ABC≌△BPA三種情況討論：當△ABC≌△BAP時，點P的坐標是〔3，1〕；當△ABC≌△APB時，點P的坐標是〔1，4〕；當△ABC≌△APB時，點P的坐標是〔3，4〕?！喔顸cP的坐標是〔3，1〕或〔1，4〕或〔3，4〕。9.．〔2021年浙江麗水4分〕如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板〔即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的〕后，得圖③，④，…，記第n(n≥3)塊紙板的周長為Pn，那么=▲.10.〔2021年浙江衢州、麗水4分〕如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點D是的中點，∠AOB=980，∠COB=1200．那么∠ABD的度數(shù)是▲．∴∠ABC=710?！逥是的中點，∴∠CBD=∠BAC。又∵∠BAC=∠COB=600?！唷螩BD=300?！唷螦BD=∠ABC+∠CBD=1010。11.〔2021年浙江金華、麗水4分〕如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B〔2，0〕，∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為．在軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′．〔1〕當點O′與點A重合時，點P的坐標是▲；〔2〕設(shè)P〔t，0〕，當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是▲．【答案】〔4，0〕，4≤t≤2或﹣2≤t≤4?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，解二元一次方程組，一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】〔1〕當點O′與點A重合時，即點O與點A重合，∵∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等邊三角形?！連〔2，0〕，∴BO=BP′=2。∴點P的坐標是〔4，0〕?！?〕∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°?！郞M=t，OO′=t。過O′作O′N⊥軸于N，∠OO′N=30°，∴ON=t，NO′=t?！郞′〔t，t〕。同法可求B′的坐標是〔〕，設(shè)直線O′B′的解析式是，將O′、B′的坐標代入，得12.〔2021年浙江金華、麗水4分〕如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°．(1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是▲；(2)假設(shè)射線EF經(jīng)過點C，那么AE的長是▲．【答案】6；2或5。【考點】直角梯形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形?！痉治觥?1)如圖1，過E點作EG⊥DF，∴EG＝AD＝?！逧是AB的中點，AB＝6，∴DG＝AE＝3。∴∠DEG＝60°〔由三角函數(shù)定義可得〕。∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°?！鄑an60°＝，解得，GF＝3。三、解答題【版權(quán)歸江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室所有，轉(zhuǎn)載必究】1.〔2001年浙江舟山、嘉興、臺州、麗水10分〕方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，設(shè)．〔1〕當a=－2時，求S的值；〔2〕當a取什么整數(shù)時，S的值為1；〔3〕是否存在負數(shù)a，使S2的值不小于25？假設(shè)存在，請求出a的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由．2.〔2001年浙江舟山、嘉興、臺州、麗水10分〕如圖，正方形ABCD，直線AG分別交BD，CD于點E、F，交BC的延長線于點G，點H是線段FG上的點，且HC⊥CE，〔1〕求證：點H是GF的中點；〔2〕設(shè)(0＜x＜1)，，請用含x的代數(shù)式表示y．【答案】解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BG?！唷螪AG=∠AGB?！逜D=DC，∠ADB=∠CDB，∴△ADE≌△CDE，〔SAS〕?！唷螪AE=∠DCE?！摺螮CD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，∴∠ECD=∠GCH。∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，∴在Rt△GCF中，∠HCG=∠FGC，∴∠HCD=∠HFC。∴FH=CH=GH，即H是GF的中點。〔2〕過點E作EM⊥CD于M，那么有?！逜D∥BG，△ADE∽△GBE?！唷！啵??！?，∴。即。又∵，∴?！唷?.〔2002年浙江麗水12分〕如圖，在⊙O中，直徑BC為10，點A是⊙O上的一個點，∠ABC的平分線交⊙O于點E，交AC于點F．過點E作⊙O的切線，交BC的延長線于點D，連結(jié)CE．〔1〕求證：∠ACE=∠DEC；〔2〕假設(shè)AB=AE，求AF的長；〔3〕如果點A由點B出發(fā)，在⊙O的圓周上運動，當點A在什么位置時，AE與BD互相平行．【答案】解：〔1〕證明：∵AE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠EBC。又∵DE是⊙O的切線，∴∠DEC=∠EBC。又∵∠ABE=∠ACE，∴∠ACE=∠DEC?！?〕∵AE是∠ABC的平分線，∴?！逜B=AE，∴?！?，即A、E三等分?！唷螮BC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°?！郃E∥BD?！郃C=BE。∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°。在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=10，∴AB=BC=×10=5?！郃B=AE=CE=5?！??！逜E∥BD，∴△AEF∽△CBF?！?。設(shè)AF=x，那么，解得，即AF=。〔3〕由〔2〕可知，當，即A、E三等分時，AE與BD互相平行。4.〔2002年浙江麗水14分〕如圖，直線y1=kx+b經(jīng)過點P(5，3)，且分別與直線y2=3x交于點A、與軸交于點B．設(shè)點A的橫坐標為m(m>1且m≠5)．〔1〕用含m的代數(shù)式表示k；〔2〕寫出△AOB的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式；〔3〕在直線y2=3x上是否存在點A，使得△AOB面積最小?假設(shè)存在，請求出點A的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．5.〔2003年浙江麗水12分〕把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD〔裁剪線〕剪一刀，從這個三角形裁下一局部，與剩下局部能拼成一個平行四邊形A/BCD〔見示意圖1〕?！惨韵绿骄窟^程中有畫圖要求的，工具不限，不必寫畫法和證明〕探究一：〔1〕想一想------判斷四邊形A/BCD是平行四邊形的依據(jù)是▲；〔2〕做一做------按上述的裁剪方法，請你拼一個與圖1位置或形狀不同的平行四邊形，并在圖2中畫出示意圖。探究二：在等腰直角三角形ABC中，請你找出其它的裁剪線，把分割成的兩局部拼出不同類型的特殊四邊形?！?〕試一試-----你能拼出所有不同類型的特殊四邊形有▲；它們的裁剪線分別是▲；〔2〕畫一畫-----請在圖3中畫出一個你拼得的特殊四邊形示意圖。【答案】解：探究一：〔1〕一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形〔或兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形〕。〔2〕如圖：探究二：〔1〕平行四邊形、矩形、等腰梯形和直角梯形。裁剪線為：三角形的三條中位線、裁剪線ED∥BC，且AE：EC=：1?！?〕如圖〔答案不唯一〕：6.〔2003年浙江麗水14分〕如圖，在連長為1的正方形ABCD中，以點A為圓心，AB為半徑作BD，E是BC邊上的一個動點〔不運動至點B，C〕過點E作BD的切線EF，交CD于點F，H是切點，過點E作CE⊥EF，交AB于點G，連結(jié)AE?！?〕求證：△AGE是等腰三角形；〔2〕設(shè)BE=x，△BGE與△CEF的面積比，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；〔3〕在BC邊上〔點B，C除外〕是否存在一點E，能使得GE=EF嗎？假設(shè)存在，請求出此時BE的長；假設(shè)不存在，請說明理由。【答案】解：〔1〕連接AH，∵AH⊥EF，GE⊥EF，∴GE∥AH。∴∠GEA=∠EAH?！逜H=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，∴△AHE≌△ABE〔HL〕?！唷螧AE=∠EAH?！唷螧AE=∠GEA?！郃G=EG，即△AGE是等腰三角形?！?〕∵EH=EB=x，∴EC=1－x，CF=1－FD?！逨D=FH，∴EF=EH+HF=x+FD。在Rt△ECF中，，即，整理得，?！??！摺螧=∠C，GE⊥EF，∴∠GEB=∠FEC?！唷鱃EB∽△EFC?！唷！唷唷?＜x＜1〕?！?〕不存在。理由如下：假設(shè)BC上存在一點E，能使GE=EF，那么。∴，解得x=0或x=1。經(jīng)檢驗x=0或x=1是原方程的解，但動點E不能與B，C點重合，∴x≠0且x≠1?！郆C邊上符合條件的E點不存在。條件容易證明△GEB∽△EFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，從而即可化為，這樣就求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?！?〕假設(shè)BC上存在一點E，能使GE=EF，那么，根據(jù)〔2〕可以得到，解此方程求出x，然后結(jié)合條件就可以判斷E點是否存在。7.〔2004年浙江麗水12分〕⊙O1與⊙O2相切于點P，它們的半徑分別為R、r．一直線繞P點旋轉(zhuǎn)，與⊙O1、⊙O2分別交于點A、B〔點P、B不重合〕，探索規(guī)律：〔1〕如圖1，當⊙O1與⊙O2外切時，探求與半徑R、r之間的關(guān)系式，請證明你的結(jié)論；〔2〕如圖2，當⊙O1與⊙O2內(nèi)切時，第〔1〕題探求的結(jié)論是否成立？為什么？【答案】解：〔1〕當⊙O1與⊙O2外切時，。證明如下：連接O1A，O2B∵兩圓外切，∴O1、P、O2三點共線?！摺鱋1AP和△O2BP是等腰三角形，∠O1PA=∠BPO2，∴∠O1AP=∠O2BP?！唷鱋1AP∽△O2BP?！??！?〕當⊙O1與⊙O2內(nèi)切時，仍然成立。證明如下：連接O1A，O2B，同理可證△PO1A∽△PO2∴?！究键c】旋轉(zhuǎn)問題，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥恳笈c半徑R、r之間的關(guān)系式，證明△O1AP∽△O2BP是關(guān)鍵，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解。實際上，當動直線AB經(jīng)過兩圓的圓心時，PA=2R，PB=2r，∴。8.〔2004年浙江麗水14分〕如圖，在平面直角坐標系中，OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t〔秒〕表示移動的時間〔0≤t≤6〕，那么〔1〕設(shè)△POQ的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式；〔2〕當△POQ的面積最大時，將△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ，試判斷點C是否落在直線AB上，并說明理由；〔3〕當t為何值時，△POQ與△AOB相似．【答案】解：〔1〕∵OA=12，OB=6，由題意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t，∴OQ=6－t?！?。〔2〕∵，∴當y有最大值時，t=3。∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ沿直線PQ翻折后，可得四邊形OPCQ是正方形?！帱cC的坐標為〔3，3〕。設(shè)直線AB的解析式為，將A〔12，0〕，B〔0，6〕代入得，，解得。∴直線AB的解析式為?！弋攛=3時，，∴點C不落在直線AB上?！?〕①假設(shè)△POQ∽△AOB，那么，即，解得t=4。②假設(shè)△POQ∽△BOA，那么，即，解得t=2。9.〔2005年浙江麗水12分〕如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點B、D，CE與BA的延長線交于點E，連結(jié)OC、OD．〔1〕求證：△OBC≌△ODC；〔2〕DE=a，AE=b，BC=c，請你思考后，選用以上適當?shù)臄?shù)，設(shè)計出計算⊙O半徑r的一種方案：①你選用的數(shù)是▲；②寫出求解過程．〔結(jié)果用字母表示〕【答案】解：〔1〕證明：∵CD、CB是⊙O的切線，∴∠ODC=∠OBC=90°?！逴D=OB，OC=OC，∴△OBC≌△ODC〔HL〕?！?〕①選擇a、b、c，或其中2個。②假設(shè)選擇a、b：由切割線定理：a2=b(b+2r)，得r=。假設(shè)選擇a、b、c：方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=；10.〔2005年浙江麗水14分〕為宣傳秀山麗水，在“麗水文化攝影節(jié)〞前夕，麗水電視臺攝制組乘船往返于麗水〔A〕、青田〔B〕兩碼頭，在A、B間設(shè)立拍攝中心C，拍攝甌江沿岸的景色．往返過程中，船在C、B處均不停留，離開碼頭A、B的距離s〔千米〕與航行的時間t〔小時〕之間的函數(shù)關(guān)系如下圖．根據(jù)圖象提供的信息，解答以下問題：〔1〕船只從碼頭A→B，航行的時間為▲小時、航行的速度為▲千米/時；船只從碼頭B→A，航行的時間為▲小時、航行的速度為▲千米/時；〔2〕過點C作CH∥t軸，分別交AD、DF于點G、H，設(shè)AC=x，GH=y，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕假設(shè)拍攝中心C設(shè)在離A碼頭25千米處，攝制組在拍攝中心C分兩組行動，一組乘橡皮艇漂流而下，另一組乘船到達碼頭B后，立即返回．①求船只往返C、B兩處所用的時間；②兩組在途中相遇，求相遇時船只離拍攝中心C有多遠．【答案】解：〔1〕3、25；5、15?！?〕設(shè)CH交DE于M，由題意：ME=AC=x，DM=75－x，∵GH//AF∴△DGH∽△DAF?！啵?。∴y=8，〔3〕①∵當x=25時，y=8〔小時〕，∴船只往返C、B兩處所用的時間為小時。②設(shè)船在靜水中的速度是a千米∕時，水流的速度是b千米∕時，那么，解得?！嗨鞯乃俣仁?千米船到B碼頭的時間t1==2小時，此時橡皮艇漂流了10千米。設(shè)船又過t2小時與漂流而下橡皮艇相遇，那么〔5+15〕t2=75–25–10，∴t2=2?！啻浑x拍攝中心C距離S=〔t1+t2〕×5=20千米.。11.〔2006年浙江麗水12分〕為了探索三角形的內(nèi)切圓半徑r與周長L、面積S之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)實驗活動中，選取等邊三角形〔圖甲〕和直角三角形〔圖乙〕進行研究．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為點D、E、F．〔1〕用刻度尺分別量出表中未度量的△ABC的長，填入空格處，并計算出周長L和面積S．〔結(jié)果精確到厘米〕ACBCABrLS圖甲圖乙〔2〕觀察圖形，利用上表實驗數(shù)據(jù)分析、猜測特殊三角形的r與L、S之間關(guān)系，并證明這種關(guān)系對任意三角形〔圖丙〕是否也成立？【答案】解：〔1〕填表如下：ACBCABrLS圖甲圖乙〔2〕由圖表信息猜測，得〔或者2s=Lr〕并且此關(guān)系對一般三角形都成立。證明如下：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OA、OB、OD，得：，∴〔或者2s=Lr〕?！究键c】三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用?！痉治觥俊?〕首先運用刻度尺進行準確測量，然后根據(jù)周長等于三邊之和進行計算，根據(jù)面積等于分割成的三個三角形的面積進行計算?！?〕根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，易猜測得到，根據(jù)三角形的總面積等于分割成的三局部的面積進行計算證明。12.〔2006年浙江麗水14分〕如圖1，我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DE過點C，AC=DE=6．〔1〕將圖1中的△DEF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)〔DF與AB不重合〕，使邊DF、DE分別交AC、BC于點P、Q，如圖2．①求證：△CQD∽△APD；②連接PQ，設(shè)AP=x，求面積S△PCQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕將圖1中的△DEF向左平移〔點A、D不重合〕，使邊FD、FE分別交AC、BC于點M、N設(shè)AM=t，如圖3．①判斷△BEN是什么三角形？并用含t的代數(shù)式表示邊BE和BN；②連接MN，求面積S△MCN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，試探求AC上是否存在點P，使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值？說明你的理由．【答案】解：〔1〕①證明：∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°，∴∠BCD=∠A=60°?！摺螦DP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE?！唷鰿QD∽△APD。②∵在Rt△ADC中，AC=6，∠A=60°，∴AD=3，DC=。又∵△CQD∽△APD，∴，即，∴CQ=x?！??！?〕①△BEN是等腰三角形。。②∵CM=6－t，CN=，∴。〔3〕存在?！?，∴S△MCN的最大值為。假設(shè)S△PCQ等于S△MCN的最大值，那么，即，解得。∴當AP=或AP=時，S△PCQ等于S△MCN的最大值。13.〔2007年浙江麗水12分〕如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC．〔1〕假設(shè)∠CPA=30°，求PC的長；〔2〕假設(shè)點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M，你認為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？假設(shè)變化，請說明理由；假設(shè)不變，求出∠CMP的值．【答案】解：〔1〕連接OC，PM，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°?！摺螩PA=30°，AB=6cm，∴?！?。〔2〕∠CMP的大小不發(fā)生變化。理由如下：∵PM是∠CPA的平分線，∴∠CPM=∠MPA?！逴A=OC，∴∠A=∠ACO。在△APC中，∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°。∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°?！唷螩MP的大小不發(fā)生變化，為45°。14.〔2007年浙江麗水14分〕如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動，設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊局部面積為S．〔1〕分析與計算：求正方形ODEF的邊長；〔2〕操作與求解：①ODEF▲A．逐漸增大B．逐漸減少C．先增大后減少D．先減少后增大②當正方形ODEF頂點O移動到點C時，求S的值；〔3〕探究與歸納：設(shè)正方形ODEF的頂點O向右移動的距離為x，求重疊局部面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．∴。④當8≤x＜10時，重疊局部為五邊形，如圖④，。⑤當10≤x≤14時，重疊局部為矩形，如圖⑤，。15.〔2021年浙江麗水12分〕如圖是2021北京奧運會某比賽場館的平面圖，根據(jù)距離比賽場地的遠近和視角的不同，將觀賽場地劃分成A、B、C三個不同的票價區(qū)．其中與場地邊緣MN的視角大于或等于45°，并且距場地邊緣MN的距離不超過30米的區(qū)域劃分為A票區(qū)，B票區(qū)如下圖，剩下的為C〔1〕請你利用尺規(guī)作圖，在觀賽場地中，作出A票區(qū)所在的區(qū)域〔只要求作出圖形，保存作圖痕跡，不要求寫作法〕；〔2〕如果每個座位所占的平均面積是平方米，請估算A票區(qū)有多少個座位．【答案】解：〔1〕如圖，以線段MN、EF與、所圍成的區(qū)域就是所作的A票區(qū)?！?〕連接OM、ON、OE、OF，設(shè)MN的中垂線與MN、EF分別相交于點G和H．由題意，得∠MON=90°。∵OG⊥MN，OH⊥EF，OG=OH=15，∴∠EOF=∠MON=90°?！?。∴〔米2〕。∴1156.5÷0.8≈1445?！郃票區(qū)約有1445個座位。徑即可。16.〔2021年浙江麗水14分〕如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為〔2，4〕，直線與軸相交于點B，連結(jié)OA，拋物線從點O沿OA方向平移，與直線交于點P，頂點M到A點時停止移動．〔1〕求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；〔2〕設(shè)拋物線頂點M的橫坐標為m,①用m的代數(shù)式表示點P的坐標；②當m為何值時，線段PB最短；〔3〕當線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，假設(shè)存在，請求出點Q的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為，∵點A坐標為〔2，4〕，∴,。∴OA所在直線的函數(shù)解析式為?！?〕①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，∴〔0≤≤2〕。∴頂點M的坐標為(,)?！鄴佄锞€函數(shù)解析式為?！喈敃r，〔0≤≤2〕。∴的P坐標是〔2，〕。②∵PB==，又∵0≤≤2，∴當時，PB最短。〔3〕存在。當線段PB最短時，此時拋物線的解析式為，假設(shè)在拋物線上存在點Q，使，設(shè)點Q的坐標為〔，〕，①當點Q落在直線OA的下方時，過P作直線PC∥AO，交y軸于點C，∵PB=3，AB=4，∴AP=1。∴OC=1?！郈點的坐標是〔0，〕?！唿cP的坐標是〔2，3〕，∴直線PC的函數(shù)解析式為。∵，∴點Q落在直線上?！?。解得，即點Q〔2，3〕。∴點Q與點P重合。∴此時拋物線上不存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等。②當點Q落在直線OA的上方時，作點P關(guān)于點A的對稱稱點D，過D作直線DE//AO，交y軸于點E，〔2〕①根據(jù)點M在y=2x上可得相應(yīng)坐標，即可用頂點式表示出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，求出當x=2時的函數(shù)值即為點P的坐標。②PB的長，實際就是P點的縱坐標，因此可根據(jù)其縱坐標的表達式來應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出PB最短時，對應(yīng)的m的值?！?〕分點Q落在直線OA的下方和點Q落在直線OA的上方兩種情況討論即可。17.〔2021年浙江麗水10分〕如圖,在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC交AB于點D.〔1〕尺規(guī)作圖：過A，D，C三點作⊙O〔只要求作出圖形，保存痕跡，不要求寫作法〕；〔2〕求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；〔3〕假設(shè)過A，D，C三點的圓的半徑為,那么線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似.假設(shè)存在，求出DP的長；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】解：〔1〕作圖如下：〔2〕證明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°?！郃D是⊙O的直徑。連結(jié)OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°。又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°?！唷螧CO=∠ACB－∠ACO=120°－30°=90°?！郆C⊥OC?！郆C是⊙O的切線?！?〕存在?！摺螧CD=∠ACB－∠ACD=120°－90°=30°，∴∠BCD=∠B,即DB=DC。又∵在Rt△ACD中，DC=AD,∴BD=。①過點D作DP1//OC，那么△P1DB∽△COB，?！連O=BD+OD=，∴P1D=×OC=×=。②過點D作DP2⊥AB，那么△BDP2∽△BCO,∴。∵BC＝，∴。18.〔2021年浙江麗水12分〕直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設(shè)運動時間為t秒.〔1〕填空：菱形ABCD的邊長是▲、面積是▲、高BE的長是▲；〔2〕探究以下問題：①假設(shè)點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；②假設(shè)點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨攖=4秒時的情形，并求出k的值.【答案】解：〔1〕5；24；?！?〕①由題意，得AP=t，AQ=10－2t，如圖1，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得：△AQG∽△ABE，∴。∴QG=。∴(≤t≤5)?！?≤t≤5)，∴當t=時，S最大值為6。②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可。當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.。以下分兩種情況討論:第一種情況：當點Q在CB上時,∵PQ≥BE>PA，∴只存在點Q1，使Q1A=Q1P如圖2，過點Q1作Q1M⊥AP，垂足為點M，Q1M交AC于點F，那么AM=由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,∴?！?。∴CQ1==。∴,∴。第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q2，Q3，分別使AP=AQ2，PA=PQ3，=1\*romani〕假設(shè)AP=AQ2，如圖3，CB+BQ2=10－4=6，∴，∴。=2\*romanii〕假設(shè)PA=PQ3，如圖4，過點P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB，得?！逜E=,∴AN＝?！郃Q3=2AN=,∴BC+BQ3=10－。∴.∴。綜上所述，當t=4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或。19.〔2021年浙江衢州、麗水10分〕小剛上午7：30從家里出發(fā)步行上學(xué)，途經(jīng)少年宮時走了步，用時10分鐘，到達學(xué)校的時間是7：55．為了估測路程等有關(guān)數(shù)據(jù)，小剛特意在學(xué)校的田徑跑道上，按上學(xué)的步行速度，走完100米用了150〔1〕小剛上學(xué)步行的平均速度是多少米/分？小剛家和少年宮之間、少年宮和學(xué)校之間的路程分別是多少米？〔2〕下午4：00，小剛從學(xué)校出發(fā)，以45米/分的速度行走，按上學(xué)時的原路回家，在未到少年宮300米處與同伴玩了半小時后，趕緊以110①小剛到家的時間是下午幾時？②小剛回家過程中，離家的路程s(米)與時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖，請寫出點B的坐標，并求出線段CD所在直線的函數(shù)解析式．設(shè)線段CD所在直線的函數(shù)解析式是，將點C，D的坐標代入，得，解得?！嗑€段CD所在直線的函數(shù)解析式是。20.〔2021年浙江衢州、麗水12分〕△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O(如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．〔1〕當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；〔2〕如果拋物線〔a≠0〕的對稱軸經(jīng)過點C，請你探究：①當時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；②設(shè)b=－2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？假設(shè)存在，直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕∵點O是AB的中點，AB=，∴。設(shè)點B的橫坐標是x(x>0)，那么根據(jù)勾股定理得， 解得(舍去)。 ∴點B的橫坐標是?！?〕①當時，拋物線為：，即。∴拋物線的對稱軸為。以下分兩種情況討論：情況1：設(shè)點C在第一象限(如圖1)，那么點C的橫坐標為，∵，∴點C的橫坐標為?！帱cC的坐標為。如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，過點C作CE⊥y軸于點E，那么由△ADO∽△CEO得：，即?！?。∴點A的坐標為?！逜，B兩點關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標為。將點A的橫坐標代入右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；將點B的橫坐標代入右邊，計算得，即等于點B的縱坐標?！嘣谶@種情況下，A，B兩點都在拋物線上。情況2：設(shè)點C在第四象限(如圖2)，那么點C的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為，經(jīng)計算，A，B兩點都不在這條拋物線上。②存在。m的值是1或－1。 21.〔2021年浙江金華、麗水10分〕在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在軸和軸的正半軸上，設(shè)拋物線過矩形頂點B、C．〔1〕當n=1時，如果=﹣1，試求的值；〔2〕當n=2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；〔3〕將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B落到軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O．①試求當n=3時的值；②直接寫出關(guān)于n的關(guān)系式．又由勾股定理，得B〔，0〕，∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得，解得，。答：的值是。②答：關(guān)于n的關(guān)系式是。22.〔2021年浙江金華、麗水12分〕如圖，在平面直角坐標系中，點A〔10，0〕，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作軸垂線，分別交軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．〔1〕當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；〔2〕當DE=8時，求線段EF的長；〔3〕在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，假設(shè)存在，請求出此時點E的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕連接BC，∵A〔10，0〕，∴OA=10，CA=5?！摺螦OB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°?！嗷B的長=。〔2〕連接OD，∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA=90°。又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線?！郞D=OA=10。在Rt△ODE中，OE=?！郃E=AO﹣OE=10﹣6=4，由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。∴，即，∴EF=3?！?〕設(shè)OE=，①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，∴E1〔，0〕。當∠ECF=∠OAB時，有CE=5﹣，AE=10﹣，∴CF∥AB，有CF=AB。∵