八年級上冊第十二章全等三角形-八上數(shù)學(xué)角平分線的性質(zhì)(共個課時)

角平分線的定義：

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的角平分線OBAC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC

不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？AOBC活動1

再打開紙片，看看折痕與這個角有何關(guān)系？（對折）情境問題1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動2情境問題ADBCE

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.ABOCED1.以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點；2.分別以點D和E為圓心,以大于二分之一DE長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C.3.作射線OC.請你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同伴進行交流.∴

射線OC就是∠AOB的平分線.活動31〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法?；顒?ABOCD探究角平分線的性質(zhì)

(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活動5

(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究新知

角平分線有什么性質(zhì)呢？

1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點活動5角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED結(jié)論：C探究角平分線的性質(zhì)證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E求證:PD=PE活動5驗證猜想角平分線上的點到角兩邊的距離相等。(4)得到角平分線的性質(zhì)：活動5∵OA平分∠AOBPD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）PAOBCED12幾何語言:

思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,問PE與PD相等嗎?為什么?BOAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等.ACDBE例1:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝8,BD＝5，則點D到AB的距離為？例題講解E解：∵OC平分∠AOB∠C=900，DE⊥AB（已知）∴DC=DE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）∵BC＝8,BD＝5∴DC=BC－BD=3∴DE=3答：點D到AB的距離為3如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F例題講解例3：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題講解A0BMNPC1、如圖，OC平分∠AOB，PM⊥OB于點M，PN⊥OA于點N，△POM的面積為6，OM=6，則PN=_______。2練習(xí)

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF拓展示例

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(角的平分線的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，且AB=10。求：△DBE的周長。CABDE綜合應(yīng)用解：∵AD平分∠BAC∠C=90°,DE⊥AB(已知）

∴CD=DE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等）在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=AD（公共邊）

CD=DE(已證）

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵AC=BC（已知）∴BC=AE（等量代換）∵AB=10∴

C△DBE=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。證明：∵

AD平分∠BAC(已知）

∴∠1=∠2(角平分線的定義）

∵PE∥AB,PF∥AC(已知）

∴

∠1=∠3，∠2=∠4(兩直線平行，同位角相等）

∴∠3=∠4(等量代換）過點D作DG⊥PE,DH⊥PF，垂足分別為G、H

∴DG=DH(角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

即點D到PE和PF的距離相等如圖，△ABC中，AD為∠BAC的平分線，P是AD上一點，PE∥AB，交BC于點E，PF∥AC，交BC于點F.求證：點D到PE和PF的距離相等。G綜合應(yīng)用H1234證明：∵

OC平分∠AOB(已知）

PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD=PE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

∠1=∠2(角平分線的定義）

△POD與△POE為Rt△

在Rt△POD和Rt△POE中

0P=0P（公共邊）

PD=PE(已證）∴Rt△POD≌Rt△P0E（HL）∴OD=OE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）在△FOD和△FOE中

OD=OE

∠1=∠2

OF=0F∴△FOD≌△FOE（SAS）∴DF=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）如圖，0C為∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，F(xiàn)是0C上一點，連接DF、EF.求證：DF=EF。綜合應(yīng)用DP12EG證明：∵

AD平分∠BAC(已知）

DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF(角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

∠1=∠2(角平分線的定義）

△ADE與△ADF為Rt△

在Rt△ADE和Rt△ADF中

AD=AD（公共邊）

DE=DF(已證）∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）在△AGE和△AGF中

AE=AF

∠1=∠2

AG=AG∴△AGE≌△AGF（SAS）

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，EF與AD相交于點G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。拓廣探索21∵∠AGE+∠AGF=1800（平角的定義）∴∠AGE=900∴AD⊥EF（垂直的的定義）EF

如圖，O是△ABC角平分線的交點，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周長為20，求S△ABC

拓展練習(xí)ABCDO

解：過點O作OE⊥AB，OF⊥AC,垂足分別為E、F∵O是△ABC角平分線的交點,OD⊥BC(已知）∴0D=OE=OF(角平分線上的點到角兩邊的距離相等）連接OA∵C△ABC=20，OD=3∴

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC課堂作業(yè)課堂作業(yè)1.課本50頁課后練習(xí)第1、2題（做在書上）3.動感課堂B25~26頁12.3第1~3、6、7、9、10、15、16題課后作業(yè)2.課本51頁習(xí)題12.3第1題（做在書上）義務(wù)教育課程標準實驗教科書八年級上冊人民教育出版社第十二章全等三角形12.3.1角平分線的性質(zhì)（第3-4課時）1、會用尺規(guī)作角的平分線.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2、角的平分線的性質(zhì):OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分線∴

PD＝PE用數(shù)學(xué)語言表述：復(fù)習(xí)探究角平分線的性質(zhì)（一）的逆定理

到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．活動1探究新知證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定歸納、比較X應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理ABOQMN

1．判斷題：（1）如圖，若QM=QN，則OQ平分∠AOB；()X應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理ABOQMN

1．判斷題：（2）如圖，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線；()

√應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理ABOQMN1．判斷題：（3）已知：Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線上．()

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）思考DCS解：作夾角的角

平分線OC，截取OD=2.5cm,

D即為所求。如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上

拓展練習(xí)

已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.例題講解AAAAAAADNEBFMCA證明：∵BD⊥AMCE⊥AN(已知）

∴∠FDC=

∠FEB(垂直的定義）在△FDC

和△FEB中

∠FDC=

∠FEB

（已證）

∠CFD=

∠BFE

（對頂角相等）

CF=BF(已知）

∴△FDC≌△FEB（AAS）∴EF=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

∴OF平分∠

MAN（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建？思考題理論聯(lián)系實踐2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。拓展延伸理論聯(lián)系實踐變式1如圖，△ABC的一個外角的平分線BM與∠BAC的平分線AN相交于點P，求證：點P在△ABC另一個外角的平分線上．變式拓展NABCPM變式2如圖，P點是△ABC的兩個外角平分線BM，CN的交點，求證：點P在∠BAC的平分線上．變式拓展NABCPM證明：∵S△DCE=S△DBF

，CE=BF（已知）∴

DH=DG

(等底等高，面積相