知識講解萬有引力定律在天體運(yùn)動中應(yīng)用提高

物理總復(fù)習(xí)：萬有引力定律在天體運(yùn)動中的編稿：審稿【考綱要求【考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一、應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運(yùn)1、基把天體（或人造）的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動，其所需向心力由萬有引力提供

F

m

m2r

m(2f)2 T2、黃金代換式GM要點(diǎn)詮釋：在地球表面的物體所受重力和地球?qū)υ撐矬w的萬有引力差別很小，在一般討論計(jì)算時，可以認(rèn)為GMmmg，且有GMgR2r們便可以應(yīng)用變換式GMgR2rr rG

v rR,代入后得vr

gR考點(diǎn)二、宇宙航行1、宇GMmmg（R為地球半徑，所以

7.9kmsR R星的最小發(fā)射速度，也是人造地球繞地球做圓周運(yùn)動的最大速度：：2、近要點(diǎn)詮釋：近地其軌道半徑r近似地等于地球半徑R，其運(yùn)動v

GM R7.9km/s是所有的最大繞行速度；運(yùn)行周期T=85min，是所有 加速度ag9.8m/s2是所有的最大加速度。3、地球 速度繞地球運(yùn)行的人造地 。要點(diǎn)詮釋：同 具有以下特點(diǎn)T=24h③軌道一定：同步的軌道平面應(yīng)與赤道平面平行,在赤道上空32 232由(R

)(Rh)得h T

（T為地球自轉(zhuǎn)周期，M、R質(zhì)量、半徑）代入數(shù)值得h3.6107m。即：同步都在同一軌道上繞地球做勻速圓

3.6104km④環(huán)繞速度大小一定：所有同步繞地球運(yùn)動的線速度的大小是一定的，都是kms向心加速度大小都相同，約為0.22m/s2。由此可知要發(fā)射同步必須同時滿足三個條件s距地面高度有確定值（3.6107m 發(fā)射（如圖。首先，利用第一級火箭將送到180km～200km的高空，然后依靠慣性（A（B為35800km。當(dāng)?shù)竭_(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時，啟動發(fā)，然后改變方向進(jìn)（C例、關(guān)于人造地 和第一宇宙速度，下列說法正確的是 ①第一宇宙速度是人 繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大速②第一宇宙速度是發(fā)射人 所需的最小速③離地面越高，運(yùn)動速度越大，周期越④同一軌道上的人造，質(zhì)量越大，向心加速度越 【答案】【解析第一宇宙速度是所有地球的最大繞行速度是最小發(fā)射速度離地面越高運(yùn)動速度越小，周期越大，同一軌道上 其向心加速度 質(zhì)量無關(guān)。rA【典型例題類型一、比較分析運(yùn)行的軌道參量問F

m

m2r

m(2f

r

r2 T一種表達(dá)式，要注意v、、T、ar（2）人造的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關(guān)系由

m

得v ，v1，所以r越大，v越小r2 rr由GMmm2r得 ，rrr2

，所以r越大越小由Gr2

m(2)2r得T ，T ，所以r越大，T越大22r3向心加速度：maa 距地球表面高度為h時，軌道半徑rRh，近地 ：rR軌道半徑等于地球

GM為了實(shí)現(xiàn)飛船與空間的對接，下列措施可行的是（）使飛船與空間在同一軌道上運(yùn)行，然后飛船加速追上空間實(shí)現(xiàn)對使飛船與空間在同一軌道上運(yùn)行，然后空間等待飛船實(shí)現(xiàn)對飛船先在比空間半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間，兩飛船先在比空間半徑小的軌道上，后飛船逐漸靠近空間，兩【答案】軌道上運(yùn)行，則空間將會使空間進(jìn)入低軌道，也不能實(shí)現(xiàn)對接，故B錯低的軌道上去運(yùn)行，無法實(shí)現(xiàn)對接，D錯誤．故選C。 和rB。如果rArB，則 AAAA

BB的線速度大B的角速度大B【答案】【解析】由Gr2

m(2)2r得T ，軌道半徑r越大，T越大。A錯22r3r 由

得v 軌道半徑越大，線速度越小，B對r2 由GMmm2r得 ，所以軌道半徑r越大，越?。籆對r2由GMmmar2

aGr

，r越大，加速度越小，D【變式2】如圖，a、b、c是在地球大氣層外圓軌道上運(yùn)動的3顆衛(wèi) b、c的線速度大小相等，且大于ab、c的向心加速度大小相等，且大于aC．c加速可追上同一軌道上的b，b可等候同一軌道上的 【答案】 a2b2【變式3】地球同步到地心的距離r可由r 求出。已知式中a的單位是4的單位是s，c的單位是m/s2，則 A．a(chǎn)是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，cB．a(chǎn)是地球半徑，b是同步繞地心運(yùn)動的周期，c是同步的加速C．a(chǎn)是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是同步的加速D．a(chǎn)是地球半徑，b是同步繞地心運(yùn)動的周期，c是地球表面處的重力加速【答案】【解析】由G

m(T

)2

GM

解得r3

gR2T

a、b、cBC錯誤，AD類型二、與相關(guān)的兩個運(yùn)動模型(在地面上的圓周運(yùn)動和在空中的圓周運(yùn)動Rr a2，第一宇宙速度為v2Rr v1

a1

(R D．v1

【答案 a2ra1r，C錯，B r對于同 和以第一宇宙速度運(yùn)行 都有v 所以r

ADRr舉一反Rr 的質(zhì)量m之比Mm81，行星的半徑R行

星與之間的距離r與行星的半徑R行之比rR行=60。設(shè)表面的重力加速度為gGr2mg 表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的千六百分之一。上述結(jié)果是否正確?g衛(wèi)=0.16g【解析】所得的結(jié)果是錯誤的。①式中g(shù)衛(wèi)并不是表面的重力加速度，而是繞行RG表面 RG2衛(wèi)

g

RG2RG行

gg=mR

所以

類型三、宇宙飛船的發(fā)射、運(yùn)行問題（變軌問題變軌問題：繞地球穩(wěn)定運(yùn)行時，萬有引力提供了做圓周運(yùn)動的向心力，r rG

，得v ，由此可知，軌道半徑r越大，的線速度v越小，當(dāng)rvGr

和需要的向心力 不再r等，將偏離原軌道運(yùn)動。當(dāng)

m

時，做近心運(yùn)動，其軌道半徑r變小r2 由于萬有引力做功，因而速度v越來越大。反之，當(dāng)

m

時，做離心運(yùn)動 r越來越大，速度v如發(fā)射“一號”時，到達(dá)P點(diǎn)要“制動”或者說“剎車”，就是，要向前噴氣，減小軌道半徑，做近例3發(fā)射地球同步時可認(rèn)為先將發(fā)射至距地面高度為h1的圓形近地軌道上，在經(jīng)過A點(diǎn)時點(diǎn)火（噴氣發(fā)工作）實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道，橢圓軌道的近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B。在沿橢圓軌道（遠(yuǎn)地點(diǎn)B在同步軌道上，如圖所示。兩次點(diǎn)火過程都使沿切向方向加速，并且點(diǎn)火時間很短。已知同步的運(yùn)動周期為T，地球的半徑Rg，求：（1）在近地圓形軌道運(yùn)行接近A點(diǎn)時的加速度大?。?）同步軌道距地面的高度((Rh 21

（2）

gR2T 【解析（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，質(zhì)量為m，萬有引力常量為G、在近地圓軌道動接近A點(diǎn)時的加速度為aA，根 第二定

1(Rh1

G

1解得aA(Rh)21設(shè)同步軌道距地面高度為h2，根據(jù)第二定律有3gR2T3gR2T 2(Rh T2

(Rh2

由上式解得：h2 式GMgR2

Gr2

的高度要用到黃金代換表舉一反【課堂：萬有引力在天體運(yùn)動中的應(yīng)用例5【變式1】發(fā)射地球同步時，先將發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢軌道2運(yùn)，最后再次點(diǎn)火，將送入同步軌道3。道1、2相于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)（如圖，則分別在、2、3軌上正常運(yùn)行時，以下說法正確的是()A．在軌道3上的速率大于在軌道1上的速B．在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速C．在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速度大于它在軌道QD．在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度等于它在軌道PP 【答 D【變式2 M MMN對接前，MN【答案】錯。“神舟八號”開始軌道低，軌道半徑小，線速度大，經(jīng)過一定時間就會“追上”（不是真這樣就可以實(shí)現(xiàn)對接。CD對。類型四、被遮攔的時間問題、相距最近最遠(yuǎn)問例4、某顆地球同步正下方的地球表面有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被光照射的此。試問：春分那天（光直射赤道）在日12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，3gT【答案】t【解析】設(shè)所求的時間為t，用m、M分別表示和地球質(zhì)量，r表 到地心的距離。有Gr

mr(2T春分時，光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E表示赤道，S表示，A表示觀察者，O表示地心。由圖看出當(dāng)S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時針方向其正下方的觀察者將看不見它.據(jù)此再考慮到對稱性，有rsin

t2GM

T3gT【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出平面圖形，利用幾何關(guān)系，“看不見”式t

T舉一反。位置的視野內(nèi)。現(xiàn)有一個可看成漫反射體的人造，其圓形軌道與地球的赤道共面R=6.4106mg=10m/s2，試估算：。(1)軌道離地面的高度(2)的線速度的大小v(結(jié)果保留2位有效數(shù)字（1）h=R（2）【解析 從北極沿地軸往下看的地球俯視圖如圖所示設(shè)離地高h(yuǎn)，Q點(diǎn)日8h時能看到它反射的陽光，8h，Qθ。（1）

8

hR2

=6.4106m（2）因 軌道半徑rR地+h2R根據(jù)萬有引力定律，引力與距離的平方成反比，軌道處的重力加速gg地=2.5m

mv 5.7103m/或者：軌道半

r

G(2R)2m

GM1212解得v 7.9103m/s5.6103m1212例5（2015 O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動（A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的A2m，B、Cm（1）A（2）B（3）C（4）三星體做圓周運(yùn)動的周期T

2

（1）AB、CFBAFCAG

FA

3FBA

2（2BAFABFBAG

mBCFCBGa2mFB

F2F2F2 2由對稱性知，OABCRCRBA223Gm2

2m B

7Gm2

m2 )2a B聯(lián)立解得R 3R，在三角形中，(3a ()R，解得R )2a B 7 即7RB4 7（4）把⑤式代入④式，得2 ，即T 【課堂：萬有引力在天體運(yùn)動中的應(yīng)用例6例5利星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量已知（）M

1m1，繞圓心運(yùn)動的軌道半徑為r1，2星的質(zhì)量為m2r2則r1r2

研究m1，根據(jù)萬