1194隊(duì)高世皓失事飛機(jī)黑匣子位置建模與求解

20142014年第十一屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)頁競賽評閱（由競賽評委會評閱前進(jìn)行評閱記裁剪 裁剪競賽評閱（由競賽評委會評閱前進(jìn)行參賽隊(duì)伍的參賽號碼：（請各參賽隊(duì)提前填寫好題 摘眾所周知,牽動全球的MH370失聯(lián)事件，至今仍未得到解決。而與之有重要關(guān)變得更加。而我們研究的問題正與此有關(guān)。Excel通過關(guān)系式得出一系列值，然后繪制出飛機(jī)墜落的模擬曲線。完成后再建立一個一個最大臨界值。并利用的散點(diǎn)連線功能繪出其墜落曲線。分析，通過編制的算法得到了問題的解。關(guān)鍵字：模 滑 流體力學(xué)微分方 臨界

一、問題重隨著社會的發(fā)展和人民生活水平的提高，人們越來越熱衷于乘坐飛機(jī)這一遠(yuǎn)航工乘客的生還幾率非常小黑匣子是飛機(jī)的電子記錄設(shè)備之一它能記錄各種飛起落架放收時(shí)間飛機(jī)系統(tǒng)工作狀況和發(fā)工作參數(shù)等因此當(dāng)發(fā)生飛機(jī)事故時(shí)，黑匣子對于分析飛機(jī)失事原因具有重要意義。800公里/45°22.088.0為1，落水時(shí)沿著圖1中指定的虛線方向沉海，給出黑匣子沉在海底的位置，并在1000m，2000m3000m時(shí)離

二、模型的假假設(shè)模型二中能夠控制飛機(jī)滑翔下落x,y三、符號的設(shè)Fx（N）H（m）t飛機(jī)飛行的時(shí)間v:（m/s）v0（m/s）s:t（m）:空氣密度（kg/m3）CXm:（kg）g（m/s^2）D（N）Dmin（N）W（N）滑翔角（重力方向與機(jī)翼垂直方向所夾的銳角，也即飛機(jī)速度方向與水平線角（度min（度V（m/s）L:飛機(jī)以滑翔模型降落時(shí)所受的升力xd:飛機(jī)以滑翔模型降落時(shí)沿速度方向的位移h飛機(jī)以滑翔模型降落時(shí)沿垂直機(jī)翼方向的位移KKmaxCLCLoptCDCDo（m2）（N）（N）（N）（N）u0：（m/s）ct（kgm3

四、問題的分設(shè)海平面為xIVI，y軸垂直于海平面，方向向上為正，坐標(biāo)原1ty處,黑匣子在向3W=20kg*9.78713m/s2二是圓桶受海水的浮B=F=gV=1.025103kgm3*9.78713*0.01m3100.31808N 影響水流阻力及推力的因素主要有:流水與重物的相對速度v，流F(v,,,H,.FFFKSa1a2a3va4FKSa1a2a3v

M,L,TMLT2L2a1(ML3a2(ML1T1)a3M:1a1a2;L:12a13a2a3a4;T:2a3這是4個未知數(shù)3個方程的方程組，以a3作為待定指數(shù)，分別求出a21a3a42a3a132a3a21a3a42a3a132a3，最終得到vS05

FKSvS0

2vS0.5

2其中 無量綱，記

CDFCDS

。同樣，推力也可表示成FCSv2其中CC xy（1）xxF=CSv2CS(v 其中μ0為水流的速度，vx本題中，在黑匣子剛?cè)胨畷r(shí)刻，其水平方向的初速度由第1問的結(jié)果給出，而水平

模前的準(zhǔn)說是在對流層頂部，大部分飛機(jī)嚴(yán)格來說沒有進(jìn)入平流層。對流層和平流層實(shí)際上是沒有明確分界線的，大8000米以上空氣就已經(jīng)很平靜了，絕大多數(shù)班機(jī)（超95%）800011000747747-100747-100511由附錄二可知隨著緯度地變化，重力加速度的變化并不大，其誤差接近0.001以我們不妨取g=( )/3=(9.78186+9.78634+9.79321）/3=9.78713m/s 其中1010202030緯度為30度的重力加速度飛機(jī)的速度：物理v=800公里/小時(shí)=222.22米/“5.7” 取該黑匣子作為模型它的體積為V=0.5m*0.2m*0.1m=0.01m3，其質(zhì)量為20kg。由于黑匣子在水中運(yùn)動時(shí)，其迎水面積對受力有重要影響，為了方便計(jì)算，其簡化為立方體，邊長為0.215m。我們?nèi)『Ｋ拿芏葹?.025103kg/m3

型的建立與求飛機(jī)在發(fā)生事故時(shí)突然失去動力飛機(jī)降落過程中如下圖所示，速度V0200m/s，h010000mOx軸上；而在空Ox軸。2*gH1gt2t 2*g2H=10000t=45sFv2sC

vv0svt1at

=1.22505kg/m3Cx由以上得 v2+v-v=0

v-

10.25t 0st-

10.25t05.54t

對（5.6） 45

(10.25t)

計(jì)算（5.7）得Smin

5.54t/x軸正方向?；钑r(shí)飛機(jī)軌跡傾角即滑翔角DWsinLWcos

dVcos dh

dVsin 一般情況下飛機(jī)滑翔角 較小，上述方程可進(jìn)一步簡化為下式DW*L d

dhV*由式（1.10）=D=D=—

Dmin

可以得知，當(dāng)飛機(jī)在最大升阻比 對應(yīng)的迎角飛行時(shí)滑翔軌跡最平，此時(shí)

min由于飛機(jī)重量不變，所以最平坦的飛機(jī)滑翔出現(xiàn)在氣動阻力最小的時(shí)候。查閱文獻(xiàn)[3]CDo/知，K=Kmax時(shí)，CL=CLCDo/于是對于滑翔的飛機(jī)速度由（5.10）SCSCLSAV 由下圖可知升致阻力因子（即極曲線彎度系數(shù)）A，零升阻力系數(shù)CDo與典型巡航速度Ma的關(guān)系，本以波音747-100型為例，其典型巡航速度為0.84，故由下圖得CDo=0.017,A=0.2。設(shè)飛機(jī)在10000m高空失去動力后以滑翔模型墜落到海面過程中經(jīng)過的地面水平距離R，由式（5.10）可得如下關(guān)系式： d V

RhfKR

其中h從式(5.14)KKmax時(shí)，飛機(jī)滑翔距離最長。即滑翔角最22

①TH0.0065k,THTHo已知 =288.15K，大氣密度為： =1.22505kg/ 查閱文獻(xiàn)[3H=

=

H10000m=0.991222kgH747-100可得W=237730kg*9.78713m/s2 .415N；且A=0.2; SCSCLSAV =177.515m/②h=10000m；A=0.2

CDo=0.017；22

smax③212由文獻(xiàn)資料[4]得212

12Kmax2

所以最小滑翔角 ：

=- rad=-

上視地球?yàn)闄E圓球，緯度１°之距離（公里）111.13335－0.55984cos2ψ＋0.00117cos4ψ（ψψ=22°d=110.7322°1°經(jīng)度差對應(yīng)的東西距離是104公里。由飛機(jī)區(qū)域邊界值可得點(diǎn)區(qū)域?yàn)椋耗暇?1°14′至 東經(jīng)87°11′至xIVI，y方向向上為正,坐標(biāo)原點(diǎn)為黑匣子落水點(diǎn)所對應(yīng)的海底位置1。 推0F=CSv2CS( 推0

v

x其中0為洋流流動的速度，此時(shí)00vxx（1）由問題一可知黑匣子在t=0V=177.515m/smin2.112963177.515m/s① 第二定律知黑匣子在海水中水平方向（即x軸方向）滿足下面微分方程2

初始條件為

=0，t=0時(shí)

V177.515m/s方程

Sv2mdvx CDSdtx vx

1at1A，代入vV177.515ms1v0vxxv x

1

xln(1a1v0

②y在yF浮=gV 阻力FCSv2CSv2，其中v是重物在水中垂直方向的絕對速度。 mggVCSv2=m

t=0y0；由于黑匣子入水速度與水平方向夾角為2.112963，所以其在豎直方向的分速度可以忽略不計(jì)，即vy=0。vy重=gtg

gV

=-mdvy

（6.7

vy

=-gV排m

③阻力對速度的影響，根 第二定律可知CDSy

vy

2=-mdvy

2-CDSydt=dvy2

=1，aCDSy

y阻 vyvy重-vy浮-vy

vgtgV排t

y（1gb)*t2

CD1.05,代入可得：aCDSy=

b1.025103*9.78713*0.01（6.4xln(1+a1v0t)ln(12.4874828*v0t y

（ （

g )*t 將v0=V=177.515m/s代入式（6.15）xln(1+a1v0t) （gy （g

2m 將y=6000m代入式（6.16）運(yùn)用求解 t= 48354391106022e- 將上述t代入xt的關(guān)系式得x1v0=V=100.28m/s代入式（6.15）x2x1x2之間，即在附錄一圖1I區(qū)域范圍X 第二定律得黑匣子滿足下面微分方程CS(v)2m t=0，x=0，dxvCD

)2md即CDsdtm

)x )x

a1t

0

A

CDm

代入初始條件t=0, =VX=100.28m/s解A

；a1t

0t

xt1ln(1at(100.28 yF祖=CDSyρVy2（Vy2是黑匣子水平方向的絕對速度）G=mg， .cn/discovery/airplane/models/33.html，201