2021年高考數(shù)學真題試卷（新高考Ⅰ卷）

2021年高考數(shù)學真題試卷(新高考I卷)閱卷入一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。(共8題；共40得分 分)(5分)設集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},則ACIB=( )A.{2} B.{2,3} C.{3,4,} D.{2,3,4)【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)交集的定義易知ADB是求集合A與集合B的公共元素，即{2,3},故答案為：B【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.(5分)已知z=2-i,則(z(z+i)=( )A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i【答案】C【解析】【解答】解：z(z4-i)=(2-i)(24-2i)=44-4i-2i-2i2=6+2i故答案為：C【分析】根據(jù)復數(shù)的運算，結(jié)合共聊復數(shù)的定義求解即可.(5分)已知圓錐的底面半徑為V2,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為( )A.2 B.2V2 C.4 D.4V2【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖弧長，設母線為1,底面半徑為r,則有2irr=180°_.統(tǒng)X2E,解得，=2r=2V2故答案為：B【分析】根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖弧長，結(jié)合圓的周長公式與扇形的弧長公式求解即可.(5分)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x-l)單調(diào)遞增的區(qū)間是( )yr rrA.(0,J) B.(J,7r)【答案】A【解析】【解答】解：由一升2/01以一髀今+2101得—界2時—三孕+21<71,kGZ,當k=0TOC\o"1-5"\h\z時，［弋，即是函數(shù)的一個增區(qū)間，顯然（0, 第，故答案為：A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.（5分）已知FiE是橢圓C：3+^=1的兩個焦點，點M在C上，則IMF1HMF2I的最大值為9 4（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【解答】解：由橢圓的定義可知a2=9,b2=4,|MB|+|MF2|=2a=6,則由基本不等式可得|MFi||MF2|W|MF1||MF2|<（中F與Mzj=%當且僅當|MB|=|MF2|=3時，等號成立.故答案為：C【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式求解即可.（5分）若tan0=-2,則一怨rin2=（）sin0+cos0TOC\o"1-5"\h\zA.-p B.-p C.p D.f5 5 5 5【答案】c【解析】【解答】解：原式=Sinqsin2o+2sin0cos0+cos2e）=sinO（sinO+cosO）2=s，n0sin0+cos0 sin04-cos0 l ）_sin20+sin0cos0_tan204-tan。_2sin20+cos20tan204-1 5故答案為：c【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合二倍角公式求解即可.（5分）若過點（a,b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea【答案】D【解析】【解答】解：由題意易知，當x趨近于-8時，切線為y=0,當x趨近于y時，切線為X=+8,因此切線的交點必位于第一象限，且在曲線丫=6*的下方.故答案為：D【分析】利用極限，結(jié)合圖象求解即可.(5分)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7“，則( )A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】【解答】解：設甲乙丙丁事件發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),則P(A)=P(B)q,P(C)=彘=蔡,P(D)=彘=4對于A,P(AC)=O；1 -1對于B,「(皿=訴=話1 1對于c，p(bc)=e=裕對于D,P(CD)=O.若兩事件X.Y相互獨立，則P(XY)=P(X)P(Y),故B正確.故答案為：B【分析】根據(jù)古典概型，以及獨立事件的概率求解即可閱卷人 二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2得分 分，有選錯的得0分。(共4題；共20分)(5分)有一組樣本數(shù)據(jù)X”X2,…,Xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,y2,…,y”,其中yi=Xi+c(i=l,2,…,n),c為非零常數(shù)，則( )A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】C,D【解析】【解答】解：對于A,-=x1+z?+-+xn> 紅吐二為=3士±&+c=5+c，n7 n n因為c#),所以元H已故A錯誤；對于B,若X|,X2, ,Xn的中位數(shù)為Xk,因為yi=Xi+C,因為C，O,所以yi,y2, ,yn的中位數(shù)為yk=Xk+c#k,故B錯誤;對于c，yi,y2, ,yn的標準差為Sy=￡J(yi-丫)[+仇-丫)?+…(%-丫)?=Vt(xi+C)-(X+c)]2+[(x2+c)-(x+c)]2+-[(xn4-c)-(x+c)]21 =-J(/—y'+(42—y)2+…On—y)2=sx?故c正確；對于D,設樣本數(shù)據(jù)X|,X2, ,Xn中的最大為Xn,最小為Xl,因為yi=Xi+C,所以丫1,2, ?n中的最大為yn,最小為yi,極差為yn-yl=(Xn+C)-(X)+C)=Xn-X|,故D正確.故答案為：CD【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差的定義求解即可.(5分)己知。為坐標原點，點Pi(cosa,sina),P2(cosp,-sin0),P3(cos(a+p),sin(a+p)),A(l,0),則()A.|西|=|0^2| B.麗I=I麗IC.OA^OP^=OP；.OP? D.OATqp^=OP2-OP3【答案】A.C【解析】【解答】解：|OPi|=Vcos2a+sin2a=1,IOP2I=Jcos2s+sir?20=1，故A正確；因為|APi|=J(cosa-1)2+sin2a=，2—2cosa,\AP2\=J(cos4一+siMn=J2-2cos夕，故B錯誤；因為0A-0P3=1xcos(a+夕)+0xsin(a+0)=cos(a+夕)，0P1?OP2=cosacos^?—sinasin.=cos(a+夕)，所以后.0人=01?加2故C正確；因為。4?OP】=1xcosa4-0xsina=cosa，0P2?OP3=(cos/?,—sin??(cos(a+0),sin(a+夕))=cos。xcos(a+S)+(—sin￡)xsin(a+0)=cos(a+20),所以D錯誤故答案為：AC.【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積，及向量的求模直接求解即可.

.(5分)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)A.點P到直線AB的距離小于10C.當NPBA最小時，|PB|=3V2【答案】A,C,D2=16上，點A(4,0),B(0,2),則( )2=16上，點A(4,0),B(0,2),則( )B.點P到直線AB的距離大于2D.當NPBA最大時，|PB|=3V2即x+2y-4=0,設點P(5+4cos0,5+4sin0),則點P到直線AB的距離為4=|5+4cos9+2(5+4sin6)-4|11+4底皿。+幻milj11+4V5/ic/ 11-475/11+4底皿。+幻，叫IJdmax=―網(wǎng)—<10，amin=苫—<2所以A正確B錯誤;又圓心O為(5,5),半徑為4,則|OB|=V(5-0)2+(5-2)2=V34-所以當直線PB與圓相切時，NPBA取得最值，此時，\PB\=y/\OB\2-r2=V34-16=3V2所以CD正確故答案為：ACD.【分析】根據(jù)直線的截距式，利用點到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系求解即可..(5分)在正三棱柱ABC-AB1的中，AB=AAi=l,點P滿足BP=ABC+i(BB1，其中附0,1],〃￡[0.1],則( )A.當入=1時，△ABXP的周長為定值B.當〃=1時，三棱錐P-AiBC的體積為定值C.當入時，有且僅有一個點P,使得&PJ.BPD.當從=4時，有且僅有一個點P,使得&B_L平面ABiP【答案】B,D【解析】【解答】解：由點P滿足BP=ABC+hBB1可知點p在正方形BCGBi內(nèi)，對于A,當入=1時，可知點P在CC1(包括端點)上運動，如下圖所示，AAB|P中，AB1=V2,AP=J2+〃2,8/=,1+(1-)2,因此周長L=AB+AP+B|P不為定值，故A錯誤.

小對于B,當p=l時，可知點P在BCi（包括端點）上運動，如下圖所示,易知BiCi〃平面AiBC,即點P到平面AiBC的距離處處相等,△AiBC的面積是定值，所以三棱錐P-AiBC的體積為定值，故B正確;對于C,當；1=/時，分別取線段BB”CG的中點M,N,可知點P在線段DDi（包括端點）上運動，如下圖所示,

很顯然若點P與D,Di重合，均滿足題意，故C錯誤；對于D,當〃=；時，分別取線段BBi,CG的中點D,D”可知點P在線段DDi(包括端點)上運動，如下圖所示，此時，有且只有點P與點N重合時，滿足題意，故D正確.故答案為：BD閱卷人得分【分析】根據(jù)三角形的周長，棱錐的體積的求法，利用特殊點進行判斷AB即可，根據(jù)線線垂直及線面垂直的判定定理，利用特殊點進行判斷CD即可.三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分(共4題；共20分)(5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a-2X-2-x)是偶函數(shù)，則a=【答案】1【解析】【解答】解：設g(x)=a-2x-2-x,則題意可知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則g(O)=a020=a-1=0,故a=l故答案為：1【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.(5分)已知0為坐標原點，拋物線C：y2=2px(p>。)的焦點為F,P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ1_OP,若|FQ|=6,則C的準線方程為【答案】》=一方【解析】【解答】解：由題意可設P&p),則長"=2,刈=一去因此直線pq的方程為：y—p=—2("—當令y=0,得％=|prp因此|FQ|=^P--=2P=6則p=3因此拋物線C的準線方程為：x=-1=-1【分析】根據(jù)拋物線的定義及幾何性質(zhì)，結(jié)合直線的方程求解即可.(5分)函數(shù)f(x)=|2x-l|-21nx的最小值為【答案】1【解析】【解答】解：①當時，f(x)=2x-l-21nx,則/(%)=2-1=筆3,當X>1時，F(xiàn)(X)>0,當;<*<1時，f(X)<0,所以f(x)min=f(1)=1；②當0<*4凱寸，f(X)=l-2x-21nx,則/，(%)=一2—[=一^^<0，此時函數(shù)f(x)=l-2x-21nx在(0曲上為減函數(shù)，則f(x)min=/6)=2In2>1.綜上，f(X)min=l故答案為：1【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，并比較即可求解(5分)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)此紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折。規(guī)格為20dmxl2dm的長方形紙.對折1次共可以得到10dmx2dm、20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,對折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2。以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折n次，那么E￡=isk=dm.

【答案】5；720-240?竽【解析】【解答】解:對折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4種，面積和為S3=4x30=120dm2;對折4次有1,25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5種，面積和為S4=5xl5=75dm（5分）記b（5分）記bn=a2n，寫出外（5分）求｛On｝的前20項和【答案】（1）2n為偶數(shù)，則a2n+l=a2n+2， <^2n+2=a2n+l+1????a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且玩=a2=%+1=2，???｛fen）是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列,???瓦=2,82=5,bn=3n—1.(2)當n為奇數(shù)時，=%+1—1,???{a?)的前20項和為Qi4-a2-1 a20=+03+…+019)+(。2++…+@20)=[(a2-1)+(°4-1)+…+(?20~1)]+(a2+。4+…+a20)=2（。2+。4+…+。20）—10.由（1）可知，對折n次有n+1中類型，Sn=2roi+1),因此出=240.(條+,+…+竽)，：造=240.僚+景+…+上式相減，得郢4=240?(1+a+妥+…+十一點詈)=240(1~St)貝成k=240(3-陶=720-240.寄k=i\ 2/ 2故答案為：5,720-240?竽n【分析】根據(jù)類比推理可求對折4次及對折n次的圖形種數(shù)，運用錯位相減法可求￡Shk=l閱卷入四、解答題：本題共6小題，共70分。（共6題；共70分）得分17.（10分）已知數(shù)列｛an｝滿足即=1,_an+1>an+l—{Q九+2,n為奇數(shù)n為偶數(shù)b2,并求數(shù)列｛%｝的通項公式;a2+。4++a2o=bi+匕2+ +匕10=2X10H 2-X3=155.{%}的前20項和為2x155-10=300.【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式即可求解；(2)運用分組求和法，結(jié)合項之間的關(guān)系即可求解.(12分)某學校組織"一帶一路"知識競賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽一個問題|5］答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6.且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)。(6分)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：(6分)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由?！敬鸢浮?1)X的取值可能為0,20,100,p(X=0)=1—0.8=0.2,P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,:?X的分布列為X020100p0.20.320.48(2)假設先答b類題，得分為r,則丫可能為o,80,loo,P(y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6X0.8=0.48,???r的分布列為Y08()100P0.40.120.48E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,E（y）＞E（X）,...應先答B(yǎng)類題.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率，并列出X的分布列即可；（2）根據(jù)獨立事件的概率，并列出Y的分布列，根據(jù)期望公式求得E（X）,E（Y）并比較即可判斷.（12分）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a.,b?c,已知b2=ac,點D在邊AC上，BDsinZABC=asinC.(6分)證明：BD=b：(6分)若AD=2DC.求cosNABC.【答案】(1)在4ABe中，AAarACAB吊s\nZ.ABCsinCD'vBDs\nz.ABC=asinC,...歿=_E_②，sinCsin乙48c。聯(lián)立①②得鐳=堂，即ac=b.BD,vb2=ac,??BD=b.(2)若40=2DC,ABC中，cosC二次；￡F③，BCD中，cosC，+?「2 ④，2.叱???③二④，(a2+b2-c2)=3[a2+(1)2-b2]，.2整理得a24-b2—c2=3a2+可—3h2,???2a2— 4-c2=0,vb2=ac

???6a2—llac+3c2=0，即。=5或。=上，若a=當時，b（6分）證明：OALCD：（6分）證明：OALCD：（6分）若4OCD是邊長為1的等邊三角形.點E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.【答案】（1）;HB=4。，。為BD中點，???AO1BD,4。u面ABD,面ABD1面BCD且面ABDn面BCD=BD,?%A。J.面BCD,:.AO1CD.（2）以。為坐標原點，。。為y軸，。4為z軸，垂直00且過。的直線為x軸,則cosz4BC=^^=S^S=^=，（舍），2ac召斜6若a=|c,b2=ac=^c2，cosZ.ABC=次+°2一上2_*2+c2_#* cosZ.ABC=2-ac 3c2 3c2 12【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理求解即可;（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合方程思想和分類討論思想求解即可.（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O為BD的中點.ACACBDA7BDA7設C瞭加)，0(0,LO)，B(0,-l,0),4(0,0,m),E(0,1,|m),EB=(0,—tn),BC=(^?7?0),設Hi=(x1,y1,z1)為面EBC法向量，(EB?n1——yi-^tnzi—0[BC-n7=號X[+ =0f2y1+mz1=0I+V3y1=0'2令%=1，?,?Zi=-而，%i=-V3，?，?E=(一8，1，一令，面BCD法向量為CM=(0,0,771),cos(河OA)=|—I=￥解徂m-t+4 2,解得m=1JmzOA=1,1:.S&abd=2xBDxOA=2X2xl=l,,7 _1c..73vA-BCD=3?、aABD-lxcl= ,【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；(2)利用向量法，結(jié)合二面角的平面角求得m=l,再根據(jù)棱錐的體積公式直接求解即可.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知點Fi(-V17,0),F2(V17,0),點M滿足|MFJ-|MF2|=2.記M的軌跡為C.(6分)求C的方程;(6分)設點T在直線％上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|-|TB|=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和【答案】(1)IMF/-IMF2]=2,軌跡C為雙曲線右半支，c2=17,2a=2,■■a2=1,b2=16<???x2- =l(x>0)?(2)設n),設AB：y—〃=ki(x—2)，聯(lián)立[””中4，a(16—kx2)/+(燈2—2krn)x— 2—n24-krn-16=0,_k12-2k1nTOC\o"1-5"\h\z?,?“i+'2= 27T-'k]4—162+n2-k^^n+16“l(fā)+*2=k]2—16 ，|TA|=J1+/C12(%i—》,|TB|=Jl+ki2(w-1,deel“f2、， I、， 1、 (n2+12)(H-ki2)1^1?\TB\=(1+fci)(%i—2)(右一力= 心今1匚 ，乙乙k]'-161設PQ-y—九=12(%—引,EEeci (n2+12)(l+k22)同理\TP\\TQ\= 0——乙--,“2-16v\TA\?\TB\=\TP\?\TQ\,1+的2_1+32i+—1Z—=]+_1Z—ki2-16~k22-16，加2_i6 k22T6，?.的2-16=k22—16,即的2=k22,vk1=#k2，*?Ze1+k?=0.【解析】【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義直接求解即可；(2)利用直線與雙曲線的位置關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式求解即可.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)(6分)討論f(x)的單調(diào)性(6分)設a,b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b證明：2<4+]<eab【答案】(1)f(x)=x(l-Inx),xe(0,+00)f???f(%)=1—Inx—1=-Inx???xe(0,1),/z(x)>0,/(x)/xe(l,+oo),fz(x)<0,f(x)\.?./(%)在(0,1)單調(diào)遞增，f(x)在(l,+8)單調(diào)遞減由hlna—alnd=a—b,得—-ln-+rlnT=T--aabbba即j(l-ln^)=1(l-lnj)令，l=x2則%1，%2為/(x)=k的兩根，其中kG(0,1).不妨令Xie(0,1),x2e(l,e),則2-Xi>1先證2<Xi+工2，即證x2>2-即證/(x2)=/(x1)</(2-x1)令九(x)=f(x)-f(2-X)則h(x)=/(x)+f(2—x~)=-Inx—ln(2—x)=—ln[x(2-x)]vXE(0,1)???x(2-x)6(0,1)???”(％)>0恒成立，:.h(x)7???h(x)<h(l)=0???2Vxi+不得證同理，要證%1+X2<e即證理%2)=f(%1)<理e-巧)令①(x)=f(x)-f(e-x),xG(0,1)則(p(x)=—ln[x(e—x)],令(p(x0)=0xE(0,3),@'(x)>0,(p(x)7xE(Xq,1),(p'(x)<0,(p(x)\又x>0,/(x)>0,且/(e)=0故xt0,w(0)>0,<p(l)=/(l)-/(e-l)>0???(p(x)>0恒成立:.+%2Ve得證11二2V一+丁Ve

ab【解析】【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)根據(jù)化歸轉(zhuǎn)化思想，將不等式問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)與>(%)=/(%)-f(e-X)的最值問題，利用h，(x)與40)研究函數(shù)函數(shù)h(x)與@0)的單調(diào)性及最值即可.

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）70.0(46.7%)主觀題（占比）80.0(53.3%)題量分布客觀題（占比）14(63.6%)主觀題（占比）8(36.4%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）解答題：本題共6小題，共70分。6(27.3%)70.0(46.7%)選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。4(18.2%)20.0(13.3%)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分4(18.2%)20.0(13.3%)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。8(36.4%)40.0(26.7%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比1普通(45.5%)2容易(27.3%)3困難(27.3%)4、試卷知識點分析