反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e

第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日§2

無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)

本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分定理11.1第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)2第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日再由柯西準(zhǔn)則的充分性,第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設(shè)第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在滿足第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日證

由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立.第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2判別的收斂性.解顯然設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例3第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證由于第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日證

即第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它的證明.第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日例4

討論的收斂性(k>0).解(i)第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對因第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日瑕積分的性質(zhì)與收斂判別,與無窮積§3

瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論,并舉分的性質(zhì)與收斂判別相類似.因此本節(jié)

例加以應(yīng)用,而不再進行重復(fù)論證.第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日定理11.7

（瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）證柯西準(zhǔn)則，此等價于第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)1性質(zhì)2

第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)3定理11.8

(非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法)第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日定理11.9

(比較法則)第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日推論1第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日推論2第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日推論3可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性.第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1由于第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2解第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日例3解第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日aa

00

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a

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1a

1I(a)發(fā)散收斂定積分J(a)收斂收斂發(fā)散(a)發(fā)散收斂發(fā)散第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日使得第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日因此,由柯西準(zhǔn)則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日由柯西準(zhǔn)則,[證法2]第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的；第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日類似可證:第四