初中數(shù)學(xué)華東師大八年級(jí)上冊(cè)第章勾股定理-勾股定理 市一等獎(jiǎng)

14.1勾股定理這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案．你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？你聽(tīng)說(shuō)過(guò)勾股定理嗎？

這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”．2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)。

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．

你們能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么樣的關(guān)系嗎？小組內(nèi)進(jìn)行討論，然后小組代表交流。議一議BCAABC觀察與思考：1、紅色正方形面積為

平方單位，用它的邊AC表示為

；2、藍(lán)色正方形面積為

平方單位，用它的邊BC表示為

；3、綠色正方形面積為

平方單位，用它的邊AB表示為

。結(jié)論：兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積即AC2+BC2=AB2在等腰直角三角形ABC中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。121如何求綠色正方形的面積？1、探索等腰直角三角形三邊關(guān)系：（圖中每個(gè)小方格代表1平方厘米）CAB2、探索一般直角三角形的三邊關(guān)系：觀察右圖，小組內(nèi)討論合作完成下面的填空：1、正方形P中有

個(gè)小方格，它的面積等于

平方厘米；2、正方形Q中有

個(gè)小方格，它的面積等于

平方厘米；3、正方形R的面積等于

平方厘米。PRQ161699（圖中每個(gè)小方格代表1平方厘米）怎樣計(jì)算出正方形R的面積呢？R“補(bǔ)”法：R的面積＝1個(gè)大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積=“割”法：R的面積＝4個(gè)直角三角形的面積＋1個(gè)單位面積=QPCABR結(jié)論：P的面積+

Q的面積=

R的面積

BC2+AC2=AB2觀察左圖可得：正方形P的面積=9

平方厘米，正方形Q的面積=16平方厘米；正方形R的面積=25平方厘米；猜想：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.探索一般直角三角形的三邊關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A

、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，請(qǐng)根據(jù)以下圖形，用兩種不同方式表示大正方形的面積，證明：a2+b2=c2bacbca“弦圖”直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方大正方形的面積=小正方形面積+4個(gè)直角三角形面積bac證明(一)：證明(二)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方大正方形的面積=小正方形面積+4個(gè)直角三角形面積bacabcccabba

勾股定理

對(duì)任意的直角三角形，如果它的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么一定有即

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abca2+b2=c2直角三角形勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.c2=a2+b2a2=c2－b2b2

=c2-a2abc勾股定理的變形勾股定理abc勾股弦我們發(fā)現(xiàn)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么一定有a2+

b2=

c2

這種關(guān)系我們稱為勾股定理。我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦。勾股定理是我國(guó)最早證明的幾何定理之一,可以說(shuō)是我國(guó)幾何學(xué)的根源。在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理。勾股弦

兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955勾股世界國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家多年

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①已知：a=6,b=8,求c；

②已知：a=40,c=41,求b；

③已知：c=13,b=5,求a；

④已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.例題分析(1)在直角三角形中,已知兩邊,可求第三邊;(2)可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):例2.受臺(tái)風(fēng)威馬遜的影響，一棵樹(shù)在離地面4米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部3米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？4米3米y=0應(yīng)用知識(shí)回歸生活解：依題意得答：這棵樹(shù)折斷前高9米。

小明的媽媽買(mǎi)了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了。你能解釋這是為什么嗎？

我們通常所說(shuō)的29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指其熒屏對(duì)角線的長(zhǎng)度∴售貨員沒(méi)搞錯(cuò).∵∴熒屏對(duì)角線大約為74厘米46厘米58厘米拓展練習(xí)

美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話

人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

有趣的總統(tǒng)證法

S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+abS