雙曲線的定義及其標準方程

關于雙曲線的定義及其標準方程第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日1.橢圓的定義和等于常數2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.平面內與兩定點F1、F2的距離的2.引入問題：差等于常數的點的軌跡是什么呢？平面內與兩定點F1、F2的距離的復習|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)

第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=常數②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：||MF1|-|MF2||=常數

（差的絕對值）|MF2|-|MF1|=常數第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<|F1F2|

；oF2F1M

平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.（2）2a>0；雙曲線定義思考：（1）若2a=|F1F2|,則軌跡是？（2）若2a>|F1F2|,則軌跡是？說明（3）若2a=0,則軌跡是？

||MF1|-|MF2||

=2a(1)兩條射線(2)不表示任何軌跡(3)線段F1F2的垂直平分線第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日如何建立適當的直角坐標系？原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxy方案一Oxy(對稱、“簡潔”)Oxy方案二第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2.設點．設M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化簡第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日F2F1MxOyOMF2F1xy若建系時,焦點在y軸上呢?第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日看前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上2、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū)別與聯系?1、如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？問題第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日雙曲線定義雙曲線圖象標準方程焦點a.b.c

的關系

||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日定義

方程

焦點a.b.c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日利用定義法求雙曲線的標準方程1）首先找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點)；2）然后再根據條件尋找動點到兩個定點的距離的差(或差的絕對值)是否為常數，這樣確定c和a的值，3）再由c2＝a2＋b2求b2，進而求雙曲線的方程．第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日方法感悟對雙曲線定義的理解雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了絕對值符號，當2a＝|F1F2|時表示兩條射線．解題時，也要注意“絕對值”這一個條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例3.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日答:再增設一個觀測點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用.第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日例2利用雙曲線的定義求軌跡問題動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內切，求動圓圓心M的軌跡方程．第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程