專題6.2 數(shù)學期望中“決策”問題歸納

專題02數(shù)學期望中“決策”問題歸納1.某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周.根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y（百斤）與使用某種液體肥料x（千克）之間對應數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)??并加以說明（精確到0.01）；（若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量鄧艮制，并有如表關(guān)系：周光照量：X（單位:小時）30<X<505O4X47OX>70光照控制儀最多可運行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發(fā)生的概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？nZ（x「x）（y「y）附：相關(guān)系數(shù)公式」，參考數(shù)據(jù)*I=0.55,觸=0.95.￡區(qū)一方2工（%_1Ji=1i=l【答案】（1）見解析;（2）為使商家周利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀.555【解析】試題分析：（1）由折線圖，可得"，依次算得2%工）2,2回一行,2（%工）仇-。，可求得因為￡僅「％（卜-6=（-3”（山所以相關(guān)系數(shù)因為￡僅「％（卜-6=（-3”（山所以相關(guān)系數(shù)「三^(x-xKVj-v)1='0.95>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.（2）分別計算安裝1臺,2臺時所獲周利潤值（期J10望值），數(shù)值大的為所選擇。一2+4+5+&+S-344+4+4+5試題解析:<1）由已知藪據(jù)可得x==5,y==4,55?0+0+0+3xl=67因為”0.75,所以可用線性回歸模型擬合丫與X的關(guān)系.（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀.①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元；②安裝2臺光照控制儀的情形：當X>70時,只有1臺光照控制儀運行,此時周總利潤Y=3000-1000=2000元,當30<X470時，2臺光照控制儀都運行,此時周總利潤Y=2x3000=6000元,故Y的分布列為:Y20006000P0.20.8所以E（Y）=1000x0.2+5000x0.7+9000x0.1=4600元.綜上可知，為使商家周利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀.2.某超市計劃銷售某種食品，現(xiàn)邀請甲、乙兩個商家進場試銷10天.兩個商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每賣出一件食品商家再返利3元；乙商家無固定返利，賣出30件以內(nèi)（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利8元.經(jīng)統(tǒng)計，兩個商家的試銷情況莖葉

圖如下:甲乙28993228993211102010（1）現(xiàn)從甲商家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都小于30的概率；（2）若將頻率視作概率，回答以下問題：①記商家乙的口返利額為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學期望；②超市擬在甲、乙兩個商家中選擇一家長期銷售，如果僅從口平均返利額的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為超市作出選擇，并說明理由.【答案】（1）（2）①見解析；②見解析.3【解析】試題分析：（1）結(jié)合組合知識，利用古典概型概率公式即可求兩天的銷售量都小于30的概率；（2）①X的所有可能取值為：140，145,150,158，166,根據(jù)占典概型概率公式，求出各個隨機變量對應的概率，從而可得X的分布列，進而可得期望值：②先求出甲商家的口平均銷售量，從而可得甲商家的口平均返利額，再由①得出乙商家的口平均返利額，比較返利額的大小可得結(jié)論.試題解析：（1）記“抽取的兩天銷售量都小干3V為事件-4，（2）設(shè)乙商家的日銷售量為處則當『28時,乃=28*5=1403當心29時,后29火5=1455當用30時：分30x5=1505當『31時,乃=30x5+1x8=158:當上32時j元=30乂5一2乂8=166;所以X的所有可能取值為：140,145,150,158,166.所以X的分布列為X140145150158166P110J.5152110……11121用以EX=140x—+145x-+150x—+158x-+166x—=152.8.1055510②依題意，甲商家的日平均銷售量為：28M,2-29x0.4+50^0.2+51^0.1+32x0.1=29.5所以甲商家的日平均返利額為：60-29.5x3=148.5元.由①得乙商家的日平均返利額為152.8元（＞148.5元）,所以推薦該超市選擇乙商家長期銷售.3.隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應運而生，某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖：（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測M公司2017年4月的市場占有率；（2）為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車，現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A、B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會導致單車使用壽命各不相同，考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對這兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如右表：經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率，如果你是M公司的負貴人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？參考公式：回歸直線方程為a-初￡-參考公式：回歸直線方程為a-初￡-y)_mAAJa=y-bx.x1年2年3年4年總計A203535w100B10304020100【答案】（1）預測M公司2017年4月份（即7時）的市場占有率為23%;（2）見解析.【解析】試題分析：（1）求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，即可得出結(jié)論（2）分別求出每款車相對應的數(shù)學期望，然后對比即可得到結(jié)論解析：（1）由題意：天=3.5,y=16,￡（x/-y）（y/-y）=35,￡（七一上『=17.5,i=ii=i人35人〃=:^=2,。=y-B?上=16-2x3.5=9,，3=2x+9,17.5x=7時，9=2x7+9=23.即預測M公司2017年4月份（即x=7時）的市場占有率為23%.（2）由頻率估計概率，每輛2款車可使用1年,2年,3年,4年的概率分別為0.2、0.35、0.35>0.1,，每輛N款車的利潤數(shù)學期望為（500-1000）x0.2+（1000-1000）x0.35+（1500-1000）x035+（2000-1000）x0.1=175（元）每輛月款車可使用1年，2年，3年，4年的概率分別為0」，0.3,0.4,0.2,J每輛3款車的利潤數(shù)學利潤為（500-1200）x0.1+（1000-1200）x0.3+（1500-1200）x0.4+（2000-1200）x0.2=150阮）V175>150,?.?應該采購M款車.4.光伏發(fā)電是將光能直接轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù)，具有資源的充足性及潛在的經(jīng)濟性等優(yōu)點，在長期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位，2015年起，國家能源局、國務院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個縣開展光伏扶貧試點，在某縣居民中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其年用量得到以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.用電量（單位:度）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]戶數(shù)7815137（【）在該縣居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學期望；（1【）在總結(jié)試點經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，將村級光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組，該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每下瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度，試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接受益多少元？

【答案】（1）6；（II）115200元.3【解析】試題分析：（1）頻率近似概率及古典概型可求得p（a）=§,由樣本估計總體和，可.知x服從二項分布，EX=np.（2）由樣本期望估計總體期望，得該自然村年均用電量約156000度.由剩余電量可求得收益。3試題解析：（I）記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，其年用電量不超過600度為事件A,貝」P（A）=￡.由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為XJ比服從二項分TOC\o"1-5"\h\zr3、，3布，即乂~￡」0*,^E(X)=10x-=6.（H）設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為七（y）,由抽樣可得E(r)=ioo7gis137E(r)=ioox—+300x—+500x—+700x—+900x—=520則該自然村年均用電量約156000度.5050505050又該村所裝發(fā)電機組年預計發(fā)電量為300000度，故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約144000度,能為該村倉U造直接收益144000x0.8=115200元.5.207年8月8口晚我國四川九賽溝縣發(fā)生了7.0級地震，為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識，某小學在9月份開學初對全校學生進行了為期一周的知識講座，事后并進行了測試（滿分100分），根據(jù)測試成績評定為“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如圖所示：等級不合格合格得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]頻數(shù)6a24b航率/組加0.02廠）。卜…廠0.01f一0.005r-r-O204060X01。麗分（1）求。力,C的值；（2）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談，現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為求J的分布列及數(shù)學期望石（百）：是評估安全教育方案成效的一種模擬函數(shù).當（3）設(shè)函數(shù)/伯）=_|得（其中。（4）表示g的方差）是評估安全教育方案成效的一種模擬函數(shù).當/（4）之2.5時，認定教育方案是有效的；否則認定教育方案應需調(diào)整，試以此函數(shù)為參考依據(jù).在（2）的條件卜.，判斷該校是否應調(diào)整安全教育方案？【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）見解析.【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖可■求出，得分在［20,40）的頻率從而可得學生答卷數(shù)以及分在［80,100］的頻率，于是可得〃的值，又6+〃+24+b=60,進而可得凡c的值：（2）抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，J可取40,35,30,25,20,根據(jù)組合知識，利用古典概型概率公式求出隨機變量對應的概率，即可得分布列，利用期望公式可得結(jié)果：（3）利用（2）的結(jié)論，由方差公式求出從而得"4）=2<2.5,故需要調(diào)整安全教育方案.試題解析；（1）由頻率分布直方圖可知，得分在［20.40）的頻率為0905x20=0」，故抽取的學生答卷數(shù)為4=60,又由頻率分布直方圖可知，得分在［80」00］的頻率為0.2,所以5=60x02=12.1O又6+0+24+6=60,得0+6=30,所以a=18.c=――=0.015.60x20（2）“合格”與“不合格”的人數(shù)比例為36:24=3:2,因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人,「1Q所以4有40,35,30,25,20共5種可能的取值.。優(yōu)=40）=仔=一，=35）=-^=—，Cc14Cm21AP（^=25）=-^-=—）或353。）*=444035302520P1148213743512104的分布列為1Q所以石（4）=40、訝+35、萬34+30x-+25x—+20x7351210=32.<3>由(2)可得D⑶=(40—32『g+(35—32)1捺+(30—32)汨+(25—32)24+(20-32),擊=16,所以小)=弱=*2<2.5.故可以認為該校的安全教育方案是無效的，需要調(diào)整安全教肓方案.6.某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購買機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個300元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到下面柱狀圖.以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列；(2)若要求尸(X<〃)N0.5,試確定〃的最小值：(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應選用哪個？【答案】(1)答案見解析；(2)19：(3)應選用〃=19.【解析】試題分析：(1)由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列.1117(2)由X的分布列求出P(X<18)=一，P(X<19)=一.由此能確定滿足P(X<n)>0.5中n的最小2525值.17(3)由X的分布列得P(XS19)=—?求出買19個所需費用期望EX】和買20個所需費用期望EX?,由此能求出買19個更合適.試題解析:<1）每臺機器更換的易損零件教為九9,10,11,記事件4為第一臺機器3年內(nèi)換掉？+7個零件（i=L234）」記事件為為第二臺機器3年內(nèi)換掉f+7個零件（i=L234）,由題知尸（4）=尸（4）=尸（4）=尸（M）=尸（昂）=尸㈤）=0.2,尸⑷:尸⑻=0.4,則x的可能的取值為16,17；1S?1%20,21,22,目尸（X=16）=尸（4）P（3j=0.2x0.2=0.04；產(chǎn)（X=[7）=尸（4）尸（與）+尸（4）尸（4）=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16；尸（X=18）=尸（4）尸（殳）+E（4）E（8J+P（4）Pf^）=02x0.2+0.2x0.24-0.4x0.4=0.245尸（X=19）=尸⑷尸㈤）+尸（聞尸（鳥）+尸（4）尸（星）+尸（4）尸闖=0.2x0.2+02x0.2+0.4x0.2+0.2義0.4=0.24弓尸（X=20）=尸（4）尸（凡）+尸（4）尸（星）+尸⑷尸出）=0.4X0.2+0.2x04+0.2x0.2=0.25?（X=21）=尸（4）尸（終）+尸（4）尸（鳥）=。2X0.2+0.2X0.2=0.08;尸（X=22）=P（4）尸（2）=0.2x0.2=0.04；從而X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（2）要尸（xK〃）之0.5,V0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24>0.5,則〃的最小值為19：C）購買零件所需費用含兩部分,一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當篦=19時,費用的期望為19x300+500x0.2+100義0.08+1500乂0.04=5940元，當彳;20時，費用的期望為2Ox3O0+500x0.0￡+1000x0-04=6080元，若要費用最少」所以應選用h=19.7.2018年元旦期間，某運動服裝專賣店舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過400元均可參加1次抽獎活動，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤（如圖），轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向哪個扇形區(qū)域，則顧客可直接獲得該區(qū)域?qū)骖~（單位：元）的現(xiàn)金優(yōu)惠，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次.

方窠二：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤（如圖），轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針若指向陰影部分，則未中獎，若指向白色區(qū)域，則顧客可直接獲得40元現(xiàn)金，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次.元現(xiàn)金獎勵”為事件A,則元現(xiàn)金獎勵”為事件A,則P（A）=C；后（丫）=3J-l3(1Ay?53,—,故I3J（1）若兩位顧客均獲得1次抽獎機會，且都選擇抽獎方窠一，試求這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客恰好獲得1次抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得現(xiàn)金獎勵的數(shù)學期望;②從概率的角度比較①中該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【1（1）-L（2）①見解析②該顧客選擇第一種抽獎方案更合算729【解析】試題分析：（1）由圖可知，每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應區(qū)域的概率為p=§,設(shè)“每位顧客獲得180=—."合乘法概率公式得到這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)27惠的概率:（2）①方案一：X可能的取值為60,100,140,180,E（X）=100元;方案二:②由①知E（X）＞E（Z）.所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.試題解析：＜1）選擇方案一，若要享受到1SO元的現(xiàn)金優(yōu)惠，則必須每次族轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤都指向60元對應的區(qū)域，由圖可如，每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應區(qū)域的概率為夕='=（.設(shè)‘每位顧客獲得180元現(xiàn)金獎勵”為事件A,則尸=所以兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金獎勵的概率為產(chǎn)二尸（＜＞尸（乂）=盤x盤二焉.（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應區(qū)域的概率為1，每一次轉(zhuǎn)盤指向20元對應區(qū)域32的概率為三.3設(shè)獲得現(xiàn)金獎勵金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.則P（X=60）=C；（|j=*P（x=ioo）=G（3（|Jq；P（X=140）=%）用卷（1\31P（X=180）=C：［-j=-.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得現(xiàn)金獎勵金額的數(shù)學期望為E（X）=60xE（X）=60279927先選擇抽獎方案二，設(shè)欹轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的過程中，指針指向白色區(qū)域的次數(shù)為丫，最終獲得現(xiàn)方獎勵金額為Z兀，1則丫?兀，1則丫?53,—3）,故磯y）=3x；所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得現(xiàn)金獎勵金額的數(shù)學期望為E（Z）=E（40y）=40（元）.②由①知￡（X）＞七（Z）,所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.8.隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應運而生.某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖.，■向ua?nm>nr（【）由折線圖得，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y（%）與月份代碼x之間的關(guān)系.求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測M公司2017年5月份（即x=7時）的市場占有率；年限車型1年2年3年4年總計A20353510100B10304020100（1【）為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車.現(xiàn)有采購成本分別為100。元/輛和1200元/輛的A、B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會導致車輛報廢年限各不形同，考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各10。輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表見上表.經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率，如果你是M公司的負賁人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？????28?雙上3）Z%%-而jz1jZ1——（參考公式：回歸直線方程為。=6x+3,其中6==-,a=y-bx）￡依.亞￡廣府i=1i=l【答案】（1）線性回歸方程為±=2x+9，M公司2017年5月份的市場占有率預計為23%（2）應該采購A款單【解析】試題分析：（1）根據(jù)折線圖及平均數(shù)公式可求出x與的值從而可得樣本中心點的坐標，從而求可"i-x)”i-Y)得公式中所需數(shù)據(jù)，求出［=2,再結(jié)合樣本中心點的性質(zhì)可得,;=9,進而可得y關(guān)于X的2(\-Wi=l回歸方程，將X=7代入回歸方程即可?得結(jié)果；(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，算出每輛A款車可使用1,234年的概率，從而可得每輛A款車可產(chǎn)生的利潤期望值，同理可得每輛B款車可產(chǎn)生的利潤期望值，比較兩期望值的大小即可得出結(jié)論.---1424-3+4*5+6一11*15+16415*20*21TOC\o"1-5"\h\z試題解析：(I)計算可得乂==3.5,7==16.66.-2,5乂(-5))(?：1，5)又(-3)+(-05)乂0+05乂(?：1)+15乂4425又535工b===2,(-2.5)2+(-1.5)2?(O.5)2+O.52+1.54+2.52175二376.2x35=9??、月度市場占有率丫與月份序號x之間的線性回歸方程為土=2X49.當『7時，￡=2x7+9=23.故M公司2017年5月份的市場占有率詢計為23%.(1【)由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2、0.35、0.35和0.1,??.每輛A款車可產(chǎn)生的利潤期望值為E*=(500-1000)x0.2+(1000-1000)x0.35+(1500-1000)x035+(2000-1000)x0.1=175(元).頻率估計概率，每輛B款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1、0.3、0.4和0.2,二每輛B款車可產(chǎn)生的利潤期望值為：E《2=(500-1200)X0.1+(1000-1200)x03+(1500-1200)x0.4+(2000-1200)x0.2=150(元)，?:E">EJ:,應該采購A款單車.【方法點晴】本題主要考查折線圖的應用與線性回歸方程，以及離散型隨機變量的分布列與期望，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系：②計算工7242它的值；③計算回歸系數(shù)新；④寫出回歸直線方程為。=6x+3；回歸直線過樣本點中心&7)是i=1i=1一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.9.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布⑴假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在〃一3(7,〃+3。)之外的零件數(shù)，求P(矣1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在5—3。，4+3乃之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢杳.5=9.①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；5=9.②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95J16J16212,其中h為抽取的第i個零件的尺i=l一1一經(jīng)計算得x=—,16乙i=i寸，i=l,2,…，16.用樣本平均數(shù)7作為卜I的估計值U，用樣本標準差S作為。的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(-3nn+3n)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計〃和。(精確到0.01).附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(//,a-),則P(/，-3<7<Zv〃+3c)=0.9974.0.997416X).9592,^'0.008-0.09.【答案】⑴P(X>1)=0.0408,E(X)=0.0416(2)(i)監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的，(ii)卜1的估計值為10.02,。的估計值為0.09【解析】試題分析；(1)通過P(X=0)可求出P=l-p(X=0)=0.0408,利用二項分布的期望公式計算可得結(jié)論；⑵⑴由⑴及知落在⑺-3g…十3g)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理3■9A9■?5)通過樣本平均數(shù)*、樣本標準差s估計、?？芍?3。仁3。)=(9.334,10,606>,進而需剔除.70/。)之外的數(shù)據(jù)g.22,利用公式計算即得結(jié)論?試題解析：(1)由題可知尺寸落在(卜「3o,沖3。)之內(nèi)的概率為0.9974,則落在(卜i-3o,n+3o)之外的概率為1?0?9974=0.0026,因為P(X=0)=C°x(1-0.9974)0x0.99741<5^0.9592,lo所以P(X>1)=1-P(X=0)=0.0408,又因為X?B(16,0.0026),所以E（X）=16x0.0026=0.0416：（2）（L）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在口+3〉之外的概率只有0,0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在9-3。，1r3。）之外的零件的概率只有0,0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由7=9.97,s^O.212,得p的估計值為.=9.97,a的估計值為。=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個零件的尺寸在（：-3汽”+33之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.pu,p。剔除＜u-3h“+33之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1—（16x9.97-9.22）=10.02,15因此N的估計值為10.02.16^x,2=16x0.212z+16x9.97%1591.134,i=1剔除（」-3cu+3n）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為1—（1591.134-9.222-15x10.022）^0.008,15因此o的估計值為［GoUSy）.09.10.某公司要根據(jù)天氣預報來決定五一假期期間5月1口、2口兩天的宣傳活動，宣傳既可以在室內(nèi)舉行，也可以在廣場舉行.統(tǒng)計資料表明，在室內(nèi)宣傳，每天可產(chǎn)生經(jīng)濟效益8萬元.在廣場宣傳，如果不遇到有雨天氣，每天可產(chǎn)生經(jīng)濟效益20萬元；如果遇到有雨天氣，每天會帶來經(jīng)濟損失10萬元.若氣象臺預報5月1口、2口兩天當?shù)氐慕邓怕示鶠?0%.（1）求這兩天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的決策者，你會選擇哪種方式進行宣傳（從“2天都在室內(nèi)宣傳皿2天都在廣場宣傳“這兩種方案中選擇）？請從數(shù)學期望及風險決策等方面說明理由.【答案】（1）0.48.（2）選擇“2天都在室內(nèi)宣傳”.【解析】試題分析：（1）第（1）問，利用互斥事件的概率公式求這兩天中恰有1天下雨的概率.（2）第（2）問，先求出兩種情況下產(chǎn)生的經(jīng)濟效益的收益的均值，再根據(jù)均值確定方案.試題解析：（1）設(shè)事件A為“這兩天中恰有1天下雨”，則P（A）=0.4x0.6+0.6x0.4=0.48.所以這兩天中恰有1天下雨的概率為0.48.2天都在室內(nèi)宣傳，產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為16萬元.設(shè)某一天在廣場宣傳產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為X萬元，則X-1020P0.40.6=（-10）*0.4+20x0.6=?《萬元》.所以兩天都在廣場宣傳產(chǎn)生的經(jīng)濟效益的數(shù)學期望為16萬元.因為兩種方案產(chǎn)生經(jīng)濟效益的數(shù)學期望相同，但在室內(nèi)活動收益確定，無風險，故選擇2天都在室內(nèi)宣傳”.《這樣作答也可以：在廣場宣傳雖然冒著虧本的風險，但有產(chǎn)生更大收益的可能，故選擇。天都在廣場宣段）11.小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種口薪薪酬方案.甲方案:底薪100元，每派送一單獎勵1元：乙方案：底薪140元，每口前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元.（1）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中口薪），（單位：元）與送貨單數(shù)〃的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的口平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天2（n-1）2/7/、中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在-——（〃=1,2,3,4,5）時，1010口平均派送量為50+2〃單.若將頻率視為概率，回答卜.列問題：0020.40.6031流送.明①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的口薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的口薪X的分布歹IJ,數(shù)學期望及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.（參考數(shù)據(jù)：0.62=0.36,1.42=1.96,26=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.不=1971.36）■“■140,（〃K55,”eN）【答案】（l）y={八）；（2）見解析「12〃—520,（〃>55,〃cN）【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件寫出函數(shù)關(guān)系式，分別求出分布列，然后算出數(shù)學期望與方差（2）運用不同的比較方法求出最優(yōu)解解析:（1）甲方案中派送員日薪）《單位：元》與送單數(shù)〃的函額關(guān)系式為：）=100+冷片WN,乙方案中派送員日薪v（里位二元）與送單數(shù)舛的由數(shù)關(guān)系式為；二日"）6，12制一520：伽>55/e.V）①由已知，在這100天中，該公司派送員口平均派送單數(shù)滿足如下表格：單數(shù)5254565860頻率0.20.30.20.20.1所以X甲的分布列為:X甲152154156158160p0.20.30.20.20.1所以石(X甲)=152x0.2+154x0.3+156x0.2+158x0.2+160x0」=155.4,S『=0.2x(152-155.4『+03x(154-155.4)2+0.2x(156-155.4)2+0.2x(158-155.4『+0.1x(160-155.4)2=6.44所以X乙的分布列為：X/.140152176200p0.50.20.20.1所以石(Xj)=140x0.5+152x0.2+176x0.2+200x0[=155.6,Sz2=0.5x(140-155.6)2+0.2x(152-155.6)2+0.2x(176-155.6)2+0.lx(200-155.6)2=404.64②答案一：由以上的計算可知）雖然但兩者相差不大，且遠小于邑2,即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.答案二：由以上的計算結(jié)果可以看出，石（X甲）〈石（X/）,即甲方案口工資期望小于乙方案口工資期望，所以小明應選擇乙方案.12.某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的包裹，除1kg收費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg（不足1依,按1kg計算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：包裹重量（單位：kg)1234一3包裹件數(shù)43301584公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表:包裹件數(shù)范圍0-100101~200201~300301~400401~500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計算該公司未來3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101?400之間的概率；（2）（1）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；（11）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每口利潤的數(shù)學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？48【答案】（1）3?。?）（i）15兀;（ii）答案見解析.【解析】試題分析：（1）先計算出包裹件數(shù)在101?400之間的天數(shù)為48,然后得到頻率，估計出概率，

運用二項分布求出結(jié)果（2）運用公式求出每件包裹收取的快遞費的平均值（3）先將天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，分別計算

出不裁員和裁員兩種情況的利潤，從而作出比較484解析:（0樣本包惠件數(shù)在101~400之間的天數(shù)為48,頻率/二六二三,6054故可估計概率為-,顯然未來3天中,包熏件數(shù)在101?400之間的天數(shù)X服從二項分布，即X~B；3,，故所求概率為C；xI-包裹重量（單位：kg）1234一3快遞費（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584（2）（1）樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表:故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為10x43+15x30+20x15+25x8+30x4_W0（元）,故該公司對每件快遞收取的費用的平均值估計為15兀.（11）根據(jù)題意及（2）（1）,攬件數(shù)每增加1,可使前臺工資和公司利潤增加15x』=5（元）,3將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍0-100101~200201~300301~400401~500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每口攬件數(shù)情況如下:包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)y50150250350450頻率0.10.10.50.20.1EY50x0.1+150x0.1+250x0.5+350x0.2+450x0.1=260故公司平均每日利潤的期望值為260x5—3幻00=1000（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下:包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)Z50150250300300頻率0.10.10.50.20.1EZ50x0.1+150x0.1+250x0.5+300x0.2+300x0.1=235故公司平均每口利潤的期望值為235x5—2x100=975（元）.因975<1000.故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.13.光伏發(fā)電是將光能直接轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù)，具有資源的充足性及潛在的經(jīng)濟性等優(yōu)點，在長期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位，2015年起，國家能源局、國務院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個縣開展光伏扶貧試點,在某縣居民中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其年用量得到以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.用電量（單位:度）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]戶數(shù)7815137（【）在該縣居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學期望：（1【）在總結(jié)試點經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，將村級光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組，該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度，試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接受益多少元？【答案】（1）6；（II）115200元.3【解析】試題分析：（1）頻率近似概率及古典概型可■求得P（A）=§,由樣本估計總體和，可.知X服從二項分布，EX=np.（2）由樣本期望估計總體期望，得該自然村年均用電量約156000度.由剩余電量可求得收益。3試題解析：（I）記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，其年用電量不超過600度為事件A,則P（A）=".由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶7記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X，X服從二項分TOC\o"1-5"\h\z「3、彳布，即X~B10「，故E（X）=10x二=6.15）5（H）設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為石（丫），由抽樣可得721s177石（丫）=100'—+300、一+500*—+700、一+900乂一=520則該自然村年均用電量約156000度.'/5050505050又該村所裝發(fā)電機組年預計發(fā)電量為300000度，故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約144000度，能為該村創(chuàng)造直接收益144000x0.8=115200元..某教育培訓中心共有25名教師，他們?nèi)吭谛Ｍ庾∷?為完全起見，學校派專車接送教師們上下班.這個接送任務承包給了司機王師傅，正常情況下王師傅用34座的大客車接送教師.由于每次乘車人數(shù)不盡相同，為了解教師們的乘車情況，王師傅連續(xù)記錄了100次的乘車人數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：乘車人數(shù)1516171819202122232425頻數(shù)244