北大高等代數(shù)2-21

第二學(xué)期第二十一次課Q[x]內(nèi)多項式的因式分解定義9.12 定義Z[x]

xnaxn1

|aZ,in}。0 1 n if(xZ[x],f(x)0及1g(xh(xZ[xf(x)g(x)h(x)g(x)

f(x在Z[x可約f(x在Z[x不可約。定義9.13 設(shè)

f(x)a0

xnaxn1 a1

Z[x]，這里n1。如果

,a,...,

1f(x本原多項式。0 1 n命題Q[x]內(nèi)一個非零多項式f(x)可以表成一個有理數(shù)k和一個本原多項式f(x)的乘積：f(x)kf(x)，而且k除了差一個1因子外，是被f(x)唯一決定的。證明是很簡單的，可取kd/m，其中dmf(x)系數(shù)的最大公因子，而mf(x)系數(shù)的分母的一個公倍數(shù)。定理（高斯引理）兩個本原多項式的乘積還是一個本原多項式。證明設(shè)

f(x)

axaxn

Z),0g(x)b

1 nbxbxn

i(bZ)0 1 n i是兩個本原多項式。為方便記，下面設(shè)an1

an2

0,bm1

bm2

0。又設(shè)f(x)g(x)ccx

xmn，0 1 mn如果f(x)g(x)不是本原多項式，令素數(shù)p是其系數(shù)的一個公因子。p|a(ir1),p

(rn);p|b

(js1),p

(sm)。而另一方p|c

ic

(ab

ra

jb )a

(a b

sa

b)。該式兩個括rs

rs

0rs

r1

rs

rs0pp|abrs

p是素數(shù)，par

(p,ar

)1，此時應(yīng)有p|b，sf(x)g(x由高斯定理，我們?nèi)菀椎玫矫} 設(shè)f(x)Q[x],degf(x)0命f)其中kQ,f(x)是一個本原f(x在Q[xf(xZ[x內(nèi)可約。證明充分性是顯然的。下面來證必要性。設(shè)f(x)g(x)h(x) ，其中g(shù)( x) ,h(x ) [ ] , 0 de g 。f xg( )

l( x

h( x)，l( l

Q，而g(x),h(x) 本原多項式。此時1 1f(x)kf(x)ll1

g(x)h(x)g(x)h(x為本原多項式，在由前面的命題，f(x)(g(x))h(x，這樣必要性得證。作為高斯引理的又一應(yīng)用，我們可得下面的重要結(jié)論（實際的證明過程與證明“因式唯一分解定理”相似，都是運用數(shù)學(xué)歸納法，詳細書寫見課本）定理（Z[x內(nèi)多項式的因式分解）f(xZ[x內(nèi)一個首項系數(shù)為正數(shù)的多項式且f(x)1f(xZ[x內(nèi)可分解為1f(x)pe11

e (x)1pk1pk

p(x)flll其中p1

, ,pk

為兩兩不同的素數(shù)，p1

(x), ,pl

(xZ[x內(nèi)兩兩不同，次數(shù)1且首項系數(shù)為正的不可約多項式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。這個定理從抽象的觀點可以拓展為：推論唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán)仍是唯一分解整環(huán)。愛森斯坦判別法愛森斯坦判別法是目前為止用來判斷Z[x]內(nèi)一個多項式可約與否的最好結(jié)果。愛森斯坦判別法 設(shè)給定n次本原多項式f(x)aaxa

xnZ[x] (n0 1 npp|ai

p

,p2n

f(x在Z[x內(nèi)0不可約。證明f(xZ[x]內(nèi)可約，即f(x)g(x)h(x)，其中g(shù)(x)bbx

xmZ[x],0 1 mh(x)ccxcxlZ[x].0 1 l這里0deggdegf )為方便計，下面式子中多項式

f(x),g(xh(x)的系數(shù)a,b,

的下標(biāo)大于其對應(yīng)多項式的次數(shù)時，均認(rèn)為等于零。i i i因為an

bcm

pan

pbm

,p|c。lp|

，而a

b

p|

p|

p|

p2

|a，故pc。0

0 0 00 0 0 0 0p|b(i0,...,r1)pb(0rmp|a，而i r ra(bcbc b c)bcr 0r

1r1

r1 r0ppr0

p

,p|r

，p為素數(shù)，矛盾。由此，f(x)0Z[x]內(nèi)不可約。§3 實系數(shù)多項式根的分布復(fù)系數(shù)多項式的根的絕對值的上界命題f(xaxnaxn1aC[x]，其中a

0而n1。令0 1 nAmax{|a1

|,|a2

0|, ,|a|}nf(x的任一復(fù)根，有|1A/|a|。0證明如果A0，則0，命題成立。下面設(shè)A0。如果|1A/|a0

|，那么，因為f()0，故有|an||an1a||a|||n1|a|0 1 n 1 n|n11)|n11)/(||1)現(xiàn)在||n1，故從上式立刻得到|anA||n/(||1)0兩邊消去||n，得|1A/|a0

|，矛盾。(1A/|a0

|,1A/|a0

|)。斯圖姆定理名詞 給定實數(shù)序列

a,a,,a1 2 n變號變號數(shù)。又給定實系數(shù)多項式的序列f(x),f1

(x), ,fn

(x) （1）aRf1

(a),f2

(a), ,fn

(a)的變號數(shù)稱為多項式序列（1）在xa處的變號數(shù)，記作W(a)。相應(yīng)地，我們把W(x)稱為多項式序列（1）的變號數(shù)函數(shù)。定義9.14斯圖姆序列） 現(xiàn)設(shè)f(x)是一個次數(shù)n1的無重根的實系數(shù)多項式。實系數(shù)多項式序列如果滿足下列條件：

f(x)f(x),f0

(x),f2

, ,fs

(x) （2）相鄰兩個多項式f(x),f (x)(i,s1)沒有公共根；i i1fs

(x)沒有實根；fif ()f ()0；i1 i1

(x)

)如果f(xf(xf1

x的一個充分小的鄰域內(nèi)為遞增函數(shù)，則稱序列（2）為f(x)的一個斯圖姆序列。斯圖姆定理）設(shè)f(x)是一個無重根的實系數(shù)多項式，它有一個斯圖姆序列2以W(xabf(xabf(x)在區(qū)間(ab內(nèi)實根的個數(shù)等于W(aW(b。證明將斯圖姆序列（2）中各個多項式的實根通通收集在一起，并按大小依次排列如aa1

a。k因為在區(qū)間(,a),(a,a )(ik1),(a

中任一多項式都無實根，1 i i1 k因而它們在這些區(qū)間內(nèi)都不變號。于是，在這些區(qū)間內(nèi)，W(x)為常數(shù)。下面我們只要證明：ai

不是f(x)的根，則在ai

左右兩邊W(x)的函數(shù)值相等；ai1。

是f(x)的根，則在ai

左端W(x的函數(shù)值比ai

右端W(x)的函數(shù)值大對每個ai

，我們來考察斯圖姆序列（2）中如下兩種類型的小段：ai

不是（2）中t個連續(xù)多項式f (x),f (x), ,f (x) （3）j1 j2 jt的根(t2)ai

的一個鄰域(ai

,ai

內(nèi)（3）中每個多項式都不變號，從而在此小鄰域內(nèi)（3）的變號數(shù)函數(shù)為常數(shù)。ai

是（3）

(x)(0js)的根，考察（3）的小段jf (x),f(x),f (x) （4）j1 j j1（（iiai

(x)和f

j1

(x

(a)i

j1

(a)0iai

的一個鄰域(ai

,ai

(x)

j1

(x)0，于是在此鄰域內(nèi)（4）的變號函數(shù)恒等于1，也是常數(shù)?，F(xiàn)設(shè)a不是f(x)的根。這時序列（2）中任意兩個相鄰多項式f (x)f (x)或?qū)儆趇 j1 j1類型（3）的小段，或?qū)儆陬愋偷男《?，又由斯圖姆序列的條件知這兩類型的小段無重迭（但左端或右端的多項式可以相同，根據(jù)上面a（b）的討論在每個小段變號數(shù)函數(shù)在鄰域(ai

,ai

)（）的變號數(shù)函數(shù)為每個小段變號數(shù)函數(shù)之和，ai

的鄰域(ai

,ai

內(nèi)W(x為常數(shù)，即ai

左端與ai

右端W(x)的函數(shù)值相等。如果ai

f(x的根。這時序列f(x),f1

(x)不屬于上述3（4）類型，故只需考察序列f(x),f1

的變號數(shù)在ai

iv，f(x

(x

的某鄰域(a

,

f(a

(a)0，故在a1 i i i i 1 i if(x),f1

(x)異號，即有一個變號，而在ai

f(xf1

(x)同號，即無變號?，F(xiàn)在不管a(ai

,ai

)內(nèi)W(x)的值沒有影響。由此知此時ai

左端W(x)的值比右端的大1。x從a向bf(x的一個實根時，W(x1，在其他情況下W(x的值不變。故在(abf(x的實根個數(shù)為W(aW(b)。斯圖姆序列的構(gòu)造方法設(shè) f(x) 是一個無重根的實系數(shù)多項式，取f(x)f(x),f0

(xf(x)(設(shè)degf(x1)f1

(x)f0

(x)，得f(x)q0

(x)f1

(x)r(x),1r(x或degr(xdeg

(x)1 1 1r(x0f1

(xr(xf1

(xf1

(x)，得f(x)q1

(x)f2

(x)r2

(x),r(x)0或degr2

(x)degf2

(x).r(x0，過程到此結(jié)束。否則，取f2

(x)r2

(xf3

(x)去除f2

(x)，，經(jīng)過若干步后，我們有

f (x)q(x)f(x)s1 s s我們可以證明下面的這個實習(xí)數(shù)多項式序列就是f(x)f(x是一個有重根的實系數(shù)多項式序列，設(shè)其素因式標(biāo)準(zhǔn)分解式為f(x)a0

p(x)k111

p(x)krrrf(xp1

(x) pr

(x)的實根分布就可以了。§4 單變量有理函數(shù)域域上的一元有理分式域的定義R為一整環(huán)，命S{(ba|abRa0}S中規(guī)定為(b,a)(d,c)bcad逐一驗證“反身性為一等價關(guān)系。用(ba表示與(ba)等價的元素的全體。現(xiàn)記S關(guān)于的等價類的集合為S，則(baS中的元素。下面在S上定義二元運算：(a,b)(c,d)(adbc,bd)d)(ac,bd)可以驗證：,是良定義的，即與等價類代表元的選擇無關(guān)；(S對加法構(gòu)成交換群，(S{0}對乘法也構(gòu)成交換群，且加法和乘法滿足分配律。(SR的分式域商域，將(S中的元素(ab記為a，則(S ,中的元素的運算規(guī)則與通常的分式運算完全一致。b 定義9.15 域上的一元有理分式域）若RK[x]，則記(S,為K(x)，并將其稱之為域上的一元有理分式域，其元素形如

g(x)(f(x)0)。f(x)有理分式的準(zhǔn)素分解式定義9.16準(zhǔn)素分式在K(x)內(nèi)的一個分式q(x)p(x)k如果其中p(x)是首一不可約多項式，而degq(x)degp(x)，則稱之為準(zhǔn)素分式。定理 K(x)內(nèi)任意分式可分解為一個多項式和若干準(zhǔn)素分式之和。證明g(xK(xf(xg(x))1,degg(xdegf(xf(x的1f(x)1素因子標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則存在u(x),v(x)K[x]，使得

f(x)p1

(x)e

sp(x)essssu(x)p1于是

e

v(x)(p12212

(x)e

p(x)es

)1 1g(x) (u(x) 1

(x)e

v(x)(

(x)e

p(x)e

))g(x)12sf(x) p12s2s12s

e p(x)e1ss1s u(x)g(x)

v(x)g(x)歸納的做下去)2p(x)e22

p(x)esss

p(x)e1q11qq=1q

(x) q

(x)

(x)

(且不難得degq(x)degp(x)e)ii1p(x)e11

p(x)e222

p(x)e i isssq(x表成q(xK[x線性組合：ii iiq(