2022-2023學(xué)年江蘇高二上學(xué)期數(shù)學(xué)教材同步教學(xué)講義-（蘇教版必修第一冊）

1.3兩條直線的平行與垂直【知識點梳理】知識點一：兩條直線相交、平行與重合.代數(shù)方法判斷兩條直線4:A^+4y+C1=012：4%+用丁+。2=0的位置關(guān)系，可以用方程組'+幻,+￡=。的解進(jìn)行判斷(如下表所示)[A)x+ +C2=0方程組的解位置關(guān)系交點個數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點-A,Bt=0 而 8|G-C|82Ho 或-AG*0或4=旦片6(4鳥。2wo)242B、有唯一解相交有一個交點wo或今耳*0)有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點A=丸4,B]= ,C)=AC2(A*0)或?=[= 2c2*0)^>2 ^^22.幾何方法判斷(1)若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行.(2)若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：設(shè)4:y=kxx+b，：y= +b2>4與4相交w&；=右且4Hb2；4與4重合=4=與且〃=打.簡記表：類型斜率存在斜率不存在

條件=。209。Of1—c(2=90對應(yīng)關(guān)系/1///2Qk}=ko/,///2o兩直線斜率都不存在圖示fl:知識點二：兩條直線的垂直1.兩條直線垂直的幾何方法判斷對應(yīng)關(guān)系（與《的斜率都存在，分別為匕,內(nèi)，則4_L4=K?&=T6與。中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，貝以與4的位置關(guān)系是4IV,y\h1圖示c*?O\~\^0 112.兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷已知直線4，/2的方程分別是4：4》+與丫+4=0（4與不同時為0），/^Ax+與y+Gn。（4,g不同時為0)(1)若a&+46=o<=>/1-L(（2）f<>??//（2）AG-4GxoJ1 2【題型歸納目錄】題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型三：兩條直線垂直的判定題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用題型五：兩直線的夾角題型六：已知直線平行求參數(shù)題型七：已知直線垂直求參數(shù)【典型例題】

題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行例1.(2022.全國?高二課時練習(xí))“直線4與4平行''是"直線4與4的斜率相等'’的()條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要例2.(2022?全國?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(1)/,:y=3x+2,4：y=3x+l；⑵4:x+2y-l=0,/,:x+2y=0；(3)4：x+2=O,12:2x=\.例3.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：⑴4：y=-x+l,l2:y=-x+3-(2)Z):3x-2y-l=0,l2:6x-4y-l=0；(3)/)：2x—5y—7-0,/2:5x—2y—1=0；(4)/)：y-2=0,/2:y+l=0.例4.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))分別根據(jù)下列各點的坐標(biāo)，判斷各組中直線A8與CO是否平行:(1)A(3,-1),B(-l,l),C(-3,5),0(5,1)；⑵A(2,T),B(-V3,-4),C(0,l),D(4,l)；(3)4(2,3),8(2,-1),C(-l,4),D(-l,l)；(4)A(-1,-2),8(2,1),C(3,4),￡>(-1,-1).【技巧總結(jié)】判斷兩條不重合直線是否平行的步驟題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定例5.(2022?全國?高二課時練習(xí))直線or-2y-l=0和直線2y-3x+6=0平行，則直線y=or+6和直線y=3x+i的位置關(guān)系是（ ）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交例6.（2022?湖北?監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）直線的斜率是方程f-x-2=（）的兩根，貝I"與〃的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直例7.（2022?全國?高二課時練習(xí)）下列各組直線中，兩直線相交的為（）y=x+2和y=lx-y+1=0和y=x+5x+my-\=0和x+2y-l=02x+3y+l=0和4x+6y-l=0例8.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知直線（〃z+2）x+（〃z+3）y—5=0和4：6x+（2〃z—l）y—5=0,問實數(shù)機(jī)為何值時，分別有：（1）4與4相交？（2）I川2?（3）4與4重合？【技巧總結(jié)】/（:y=k}x+h}J2:y=k2x+h2,4與6相交。K。玲；4/〃2OK=%2且”1工62；4與，2重合。4=%且4=打.題型三：兩條直線垂直的判定例9.（2022?江蘇?高二）已知A（5,-l）,8（U）,C（2,3）三點，則△ABC為三角形.例10.（2022?吉林油田高級中學(xué)高二期中）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是（）A.or+2y-l=0與2x+oy+2=0 B.6x-4y-3=0與10x+15y+c=0C.2x+3y-7=0與4x-6y+5=0 D.3x-4y+力=0與3x+4y=0例IL（2022?全國?高二課時練習(xí)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：（1）/|-y=3x+2,/2 =——x+1?（2）4：x+2y—1=0,I]:2x—y=0；(3)/j:x+2=0,/2:2y=1.例12.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)4:y=-2x+l,/2:y=-x+3；(2)4:3x—y—1=0,I2：2%+6y—1—0?(3)l1:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)/j：y-2=0,l2:jc+1=0.例13.(2022?江蘇?高二專題練習(xí))三條直線3*+2丫+6=0,2乂-3012丫+18=0和211^—3丫+12=0圍成直角三角形，求實數(shù)m的值.【技巧總結(jié)】使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看，就是看所給兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步.(2)二用：就是將點的坐標(biāo)代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論.總之，與4一個斜率為0,另一個斜率不存在時，/,1/2;4與4斜率都存在時，滿足/為=-L題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用例14.(2022?浙江?臺州市書生中學(xué)高二階段練習(xí))已知直線人,乙4的斜率分別為小七人，其中且船網(wǎng)是方程2/-3x-2=0的兩根.(1)試判斷44的位置關(guān)系：(2)求勺+&2+&3的值.例15.(2022.全國?高二課前預(yù)習(xí))已知4(<3),8(2,5),C(6,3),。(-3,0)四點，若順次連接A5CD四點，試判斷圖形A8CD的形狀.例16.(2022?全國?高二課時練習(xí))(拓廣探索)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針順序依次為5Q0),P(1J),Q(l-2r,2+f),/?(-〃,2),其中r>0.則四邊形OPQR的形狀為.例17.(多選題)(2022?全國?高三專題練習(xí))(多選)設(shè)點尸(42),0(6,-4),&(12,6),5(2,12),則有( )A.PQ//SR B.PQA.PSC.PS//QS D.PRA.QS例18.(2022?全國?高二課時練習(xí))判斷下列各對直線平行還是垂直：(1)經(jīng)過兩點A(2,3),B(-1,0)的直線//,與經(jīng)過點P(1,0)且斜率為1的直線〃；(2)經(jīng)過兩點C(3,1),0(-2,0)的直線上與經(jīng)過點M(l,-4)且斜率為-5的直線例19.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知在W1BC。中,4(1,2),8(5,0),C(3,4).(1)求點全的坐標(biāo)；(2)試判定□A8C。是否為菱形？例20.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知41,3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,。四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo).例21.(2022?全國?高二課時練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OP。/?的頂點按逆時針順序依次是。(0,0),P(l，0,Q(l—2/,2+r),R(-2t,2),其中re(o,y),試判斷四邊形OPQR的形狀，并給出證明.例22.(2022?安徽宣城?高二期中)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三點，求點D,使直線CD_LAB,且CB〃AD.【技巧總結(jié)】已知直線4，/2的方程分別是4：4工+4>+。1=0(A，耳不同時為0)，litA.x+B.y+C^O(^，區(qū)不同時為0)(1)若AA+8也=0<=>/)112O'(2)O'題型五：兩直線的夾角例23.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線方程為3x-5y+4=0,則斜邊AB所在直線的斜率為()A.或2B.-g或3C.或4 D.-g或5例24.(2022?上海虹口?高二期末)直線2x—3y+l=O與x+5y—10=0的夾角為.例25.(2022?上海市控江中學(xué)高二期中)直線4：2x+y+6=0與4：x-y+l=0夾角的余弦值是.例26.(2022?上海?華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中)直線4：3x+y-l=O與4：2x-y+7=O的夾角的大小,例2小2。22.全國.高二課時練習(xí)〉若直線…一】與直線-陽+2=。的夾角為?求實數(shù)，”的值.【技巧總結(jié)】夾角公式tan(a-p)tana-tan夾角公式tan(a-p)1+tana?tan0題型六：已知直線平行求參數(shù)例28.(2022?湖南?炎陵縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知直線/八x+my—2m—2=0,直線tnx+y-\—m=0,當(dāng)4〃4時，m=.例29.（多選題）（2022?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)（待刪除學(xué)校不要競拍）高二階段練習(xí)）（多選）TOC\o"1-5"\h\z若三條直線2x+y-4=0,x-y+l=。與ar-y+2=0共有兩個交點，則實數(shù)a的值為（ ）.A.1 B.2 C.-2 D.-1例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知《：3x+2ay-5=0,/2:（3a-l）x-ay-2=O,則滿足4〃4的”的值是（）A.-- B.0 C.」或0 D.1或。6 6 6例31.（2022?天津紅橋?高二學(xué)業(yè)考試）若直線心x-y+l=0與直線上工+切=0互相平行，則〃?的值為（）A.-1 B.1 C.-2 D.2例32.（2022?江蘇?高二）設(shè)"為實數(shù)，若直線x+ay+2a=。與直線ar+y+a+l=。平行，則。值為（ ）—1 B.1 C.±1 D.2例33.（2022?江蘇?高二）設(shè)aeR,若直線ar+y-1=0與直線x+ay+1=0平行，則。的值是（ ）A.11,-1 C.0 D.0,1例34.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線以+2y+6=。與直線x+（a-l）y+a2-i=o互相平行，則實數(shù)。的值為（）A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1題型七：已知直線垂直求參數(shù)例35.（2022?上海中學(xué)東校高二期末）若直線乙：3x-/ny+l=0與4：y=2x+l互相垂直，則實數(shù)團(tuán)=例36.（2022糊北十堰?高二階段練習(xí)）關(guān)于直線〃四+2y-5=0,l2：x+（m+l）y+2=O,若4U，則m=.例37.（2022?全國?高二課時練習(xí)）若直線4：ar-（a+l）y+l=0與直線4：2x-ay-l=O垂直，則實數(shù)a=例38.（2022?江蘇?高二）“小=-2”是“直線（2-m）x+緲+3=0與直線x-叼-3=0垂直”的（A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

例39.（2022?江蘇?高二）已知直線，：x+（a-l）y+2=0,1216bx+y=。,且口匕則a?+及的最小值為A.- B.y C.— D.三4 2 2 16【同步練習(xí)】一、單選題（2022?江蘇?高二）已知aABC的三個頂點43,0）,8（-l,2）,C（l,-3）,則aABC的高CO所在的直線方程是（ ）A.x+5y—5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x—y-5=0TOC\o"1-5"\h\z（2022?遼寧?二模）己知直線/：ar+y+a=0,直線m:x+ay+a=0,貝i"〃m的充要條件是（ ）A.a=-1 B.a=1C.a=±1 D.a=0（2022?河南?靈寶市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知直線入（a-2）x+4+2=0,l2：x+（a-2）y+a=0,則U上夕是“。=一「’的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件（2022?浙江浙江?高一期中）已知直線4：x+ay-2=O與直線/2：ax+y-a-l=0平行，則。的值為（ ）A.-1 B.1 C.±1 D.05.（2022?江蘇?高二）將直線3x-百y=0繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90,得到新直線的斜率是（ ）A. B.3 C.變 D._克3 3 2 2（2022?安徽滁州?高二階段練習(xí)）已知直角三角形ABC的頂點8（-2,-4）,C（2,-6）,且NBAC=90,點A在直線2x+y+5=0上，則點A的坐標(biāo)為（）.A.（1,-7） B.（T-3）或（1,-7）C.（2,-9） D,（-2,-1）或（2,-9）（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）已知a>0,b>0,直線（a-l）x+2y+3=0與直線x+by-l=0垂直，則：的最小值是（）abA.2+A.2+>/2B.4c.3+2V2D.6二、多選題（2022?重慶?高二期末）下列說法中，正確的是（ ）A.直線2x+y+3=0在〉軸上的截距是3B.直線x+y+l=0的傾斜角為135。C.4L4）,8（2,7）,C（-3,-8）三點共線D.直線3x+4y+l=O與4x+3y+2=0垂直9.（2022?福建泉州?高二期中）下列說法正確的是（ ）A.直線丫=以-2。+4（06/?）必過定點（2,4）B.直線y+l=3x在＞軸上的截距為1C.直線x+百y+l=0的傾斜角為120。D.過點（-2,3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y+l=0（2022?江蘇?高二）已知直線《：x+ay-a=0和直線乙：辦-（2a-3）y+a-2=O,則（ ）12A.4始終過定點q,：） B.若4在x軸和y軸上的截距相等，則。=1C.若3?,貝l]a=0或2 D.若〃〃2，則。=1或-3（2022?江蘇?高二）已知直線《：x-y-l=0,動直線上（k+l）x+ky+k^0（keR）,則下列結(jié)論正確的是（）A.存在左，使得4的傾斜角為90： B.對任意的34與4都有公共點C.對任意的34與4都不重合 D.對任意的3乙與6都不垂直三、填空題（2022?全國?高二課時練習(xí)）直線6：y=-2x+3與4：x+2=0的夾角的大小為.（2022?上海市虹口高級中學(xué)高二期末）過點尸（1,0）且與直線x-2y+6=0平行的直線方程是.（2022?江蘇?高二）若直線與&的斜率公出是關(guān)于k的方程-2二-4A=b的兩根，若hLh,則b=.（2022?全國?高二單元測試）過點（3,5）的所有直線中，與原點距離最大的直線方程為.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知集合4={（兌刈2》-（。+1）k1=0},8={（x,y）|ar-y+1=0},且AQB=0,則實數(shù)a的值為.四、解答題（2022?北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）已知直線4：ar+by+6=O和直線4：（a-l）x+y+2=O,求分別滿足下列條件的。，方的值.⑴直線4過點(-3,0),且直線乙和4垂直;(2)若直線4和平行，且直線4在y軸上的截距為-3；(3)若直線乙和〃重合.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知集合A=[(x,y)三|=a+l),B={(x,y)|(a2-l)x+(a-l)y-15=0),是否存在實數(shù)a,使408=0?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.(2022?江蘇?高二)已知一平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別為(-1,-2)、(3,0)、(5,6),求該平行四邊形的第四個頂點坐標(biāo).(2022?江蘇?高二)已知直線4：6x+3y+l=。，l2:x+(a-2)y+a=0.請從以下三個條件中選出兩個求實數(shù)a,b的值.⑴b=3a；(2)4-L4;(2022?上海市寶山中學(xué)高二期中)求解下列問題：(1)已知4-2,3)、8(-3,0)兩點，求線段AB的中垂線所在直線方程;(2)已知直線4與直線，2：3x+4y-5=0平行，直線4與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12,求直線4的方程.(2022?安徽?淮北市樹人高級中學(xué)高二階段練習(xí)(文))如圖直線/過點(3,4),與x軸、y軸的正半軸分別交于A、8兩點，aAOB的面積為24.點尸為線段AB上一動點，且尸?！ń籓A于點。.(1)(1)求直線A3斜率的大小;(2)若aAPQ的面積5“也與四邊形OQPB的面積滿足：00rt，時，請你確定尸點在A8上的位置，并求出線段PQ的長;(3)在曠軸上是否存在點使aMPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.1.3兩條直線的平行與垂直【知識點梳理】知識點一：兩條直線相交、平行與重合.代數(shù)方法判斷兩條直線4:A^+4y+C1=012：4%+用丁+。2=0的位置關(guān)系，可以用方程組'+幻,+￡=。的解進(jìn)行判斷(如下表所示)[A)x+ +C2=0方程組的解位置關(guān)系交點個數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點-A,Bt=0 而 8|G-C|82Ho 或-AG*0或4=旦片6(4鳥。2wo)242B、有唯一解相交有一個交點wo或今耳*0)有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點A=丸4,B]= ,C)=AC2(A*0)或?=[= 2c2*0)^>2 ^^22.幾何方法判斷(1)若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行.(2)若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：設(shè)4:y=kxx+b，：y= +b2>4與4相交w&；=右且4Hb2；4與4重合=4=與且〃=打.簡記表：類型斜率存在斜率不存在

條件=。209。Of1—c(2=90對應(yīng)關(guān)系/1///2Qk}=ko/,///2o兩直線斜率都不存在圖示fl:知識點二：兩條直線的垂直1.兩條直線垂直的幾何方法判斷對應(yīng)關(guān)系（與《的斜率都存在，分別為匕,內(nèi)，則4_L4=K?&=T6與。中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，貝以與4的位置關(guān)系是4IV,y\h1圖示c*?O\~\^0 112.兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷已知直線4，/2的方程分別是4：4》+與丫+4=0（4與不同時為0），/^Ax+與y+Gn。（4,g不同時為0)(1)若a&+46=o<=>/1-L(（2）f<>??//（2）AG-4GxoJ1 2【題型歸納目錄】題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型三：兩條直線垂直的判定題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用題型五：兩直線的夾角題型六：已知直線平行求參數(shù)題型七：已知直線垂直求參數(shù)【典型例題】題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行例1.(2022.全國?高二課時練習(xí))“直線4與4平行''是"直線4與4的斜率相等'’的()條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】充分性：直線1與4平行，但是人和4都沒有斜率，即當(dāng)4和4都垂直于*軸時，4與4仍然平行，但是，此時不滿足直線4與I的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線'與4的斜率相等，則必有直線乙與4平行，故必要性成立；綜上，“直線4與平行''是"直線4與的斜率相等”的必要非充分條件.故選：B例2.(2022?全國?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(1)/):y=3x+2,l2:y=3x+];4：x+2y—1=0,/2:x+2,y=0；/1:x+2=0,/2:lx=1.【解析】(1)解：設(shè)兩條直線4、4的斜率分別為尤、k2,在y軸上的截距分別為耳、b2,則由4、，2的方程可知尢=他=3,且4工打，所以I川2.(2)解：設(shè)兩條直線《、4的斜率分別為占、右，在y軸上的截距分別為4、%.因為4、4的方程分別可化為4：y=-gx+g，4：y=-1x,所以&=&=-；,且6尸打，所以4〃4.Q)解：由4、4的方程可知，4，》軸，/2，工軸，且兩條宜線A、4在x軸上的截距不相同，所以“/兒例3.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(l)/j:y=-x+l,l2:y=-x+3；(2)4?3x—2y-1=0,/2：6x—4y—1==0；(3)(:2x—5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)/,:y-2=0,/2:y+1=0.【解析】(1)由題意得，兩直線斜率用=&=-1,所以兩直線平行，又兩直線在y軸上截距分別為1和3,所以兩宜線不重合，所以直線4,4平行.3 1一一 3 1(2)直線4變形可得y=：x-7，直線4變形可得丫=色-卜3所以兩直線斜率占=&=5,所以兩直線平行，又兩直線在y軸上截距分別為和所以兩直線不看合，所以直線《4平行.(3)直線4變形可得y=：x-(,宜線4變形可得丫='!'-]，兩直線斜率1w],所以兩直線不平行.(4)直線乙變形可得y=2,為橫線，斜率4=0,直線4變形可得y=T,為橫線，斜率左2=0,所以兩直線平行，因為2X-1,所以不重合，所以直線/”4平行.例4.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))分別根據(jù)下列各點的坐標(biāo)，判斷各組中直線AB與CO是否平行：⑴A(3,-l),3(-1』)，C(-3,5),D(5,l)；⑵A(2,T),fi(-73,-4),C(0,l),￡>(4,1)；(3)4(23),8(2,-1),C(-l,4),(4)A(-l,-2),8(2,1),C(3,4), (1)^B = ,%=?=-：=L，^c=-5~1-=-2,A,8,C不共線，因此AB與CD平行?-J-(-I)(2)3"=0,kCD=0,又兩直線不重合，直線AB與CO平行，(3)直線A8,CD的斜率都不存在，且不重合，因此平行：-2-1 -1-45(4)怎"=[r=',kcD=[a=：#kAB，直線A8與CD不平行，—1-L -1—34【技巧總結(jié)】判斷兩條不重合直線是否平行的步驟

題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定例5.（2022?全國?高二課時練習(xí)）直線公-2y-l=0和直線2y-3x+0=0平行，則直線y=or+b和直線y=3x+l的位置關(guān)系是（ ）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交【答案】B【解析】因為直線ar-2y-l=O和直線2y-3x+b=O平行，所以。=3,匕工1,故宜線丫=以+人為，=3x+b,與直線y=3x+l平行故選：B例6.（2022?湖北?監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）直線/的斜率是方程/_工-2=0的兩根，貝也與4的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】設(shè)方程x2-x-2=O的兩根為4、x2,則xr=-2..?.直線4、4的斜率40=-2,故4與4相交但不垂直.故選：C.例7.（2022?全國?高二課時練習(xí)）下列各組直線中，兩直線相交的為（ ）y=x+2和y=lx-y+l=O和y=x+5x+/ny-l=0和x+2y-l=02x+3y+1=0和4x+6y—1=0【答案】A【解析】對于A中，直線y=x+2和y=l,顯然兩直線相交，所以A正確；對于B中，H線和y=x+5,可存兩H線的斜率都為《=1,所以兩此線平行，所以B錯誤；對于C中，直線x+/ny-l=O和x+2y-l=0,當(dāng)他=2時，兩直線重合；當(dāng)機(jī)工2時，兩直線相交，所以C錯誤；對于D中，直線2x+3y+l=0和4x+6y-l=0,可得兩直線的斜率都是&=-；,所以兩直線平行，所以D錯誤.故選：A.例8.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知直線4：（機(jī)+2）x+（機(jī)+3）y-5=0和《：6x+（2m-l）y-5=0,問實數(shù)根為何值時，分別有：（1）乙與4相交？（2）“4?（3）4與6重合？【解析】（D直線4：（m+2）x+（m+3）y-5=0和小6x+（2m-l）y-5=0,當(dāng)傾斜角相等時:（/n+2）（2m-l）-6（m+3）=0,整理得：（2w+5）（w-4）=0,解得m-j或m=4,所以當(dāng)md-8,-￡|u（-|,4）U（4,+8M，兩條直線相交；（2）由（1）當(dāng)機(jī)=4時，直線乙：6x+7y-5=0和46x+7y-5=0重合，（舍去），機(jī)=-之時，宜線R_；x+gy-5=0和4：6x_6y_5=O平行，所以“=-3；（3）由（2）得m=4時，直線4：6x+7y-5=0和4：6x+7y-5=0重合，所以"7=4.【技巧總結(jié)】設(shè)《：y=&x+412：y=&工+年，4與4相交oK工總；4〃/2。勺=&且白工優(yōu)；

/1與4重合＜=＞匕=右且4=4.題型三：兩條直線垂直的判定例9.(2022?江蘇?高二)已知45,-1),8(1,1),(7(2,3)三點，則△ABC為三角形.【答案】直角【解析】如圖，猜想A8_L8C,aA8C是宜角三角形，由題可得邊AB所在直線的斜率=-g，邊8C所在也線的斜率即c=2,由心/bc=T，得A8J.8C,即NA8C=90,所以aABC是直角三角形.故答案為：直角.例10.(2022?吉林油田高級中學(xué)高二期中)下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一A.or+2y-l=0與2x+oyA.or+2y-l=0與2x+oy+2=0B.6x-4y—3=0與10x+15y+c=0C.2x+3y-7=0與4x—6y+5=0D.3x-4y+/?=0-^3x+4y=0【答案】B【解析】A：a=0時，兩H線分別為：y=[x=-l,此時它們垂直；當(dāng)回時，它們斜率之積為一?(二]=i,則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；b：兩直線斜率之積為：= 故兩直線垂直；TOC\o"1-5"\h\z24 4C:兩直線斜率之積為：乂二=-入，-1，故兩直線不垂直；36 93/3、 9D：兩直線斜率之積為：卜-/工-1,故兩條宜線不垂宜；4I4J16故選：B.例IL(2022?全國?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由:⑴4⑴4：y=3x+2,l2:y=——x+1；3(2)4：x+2y—1=0,/2-2K—y=0；(3)4：x+2=0,/2:2y=1.【解析】⑴解：設(shè)兩條直線4，，2的斜率分別為占，k”則用=3,&=-；，因為"2=3x，j=T，所以/J4；(2)設(shè)兩條直線4，4的斜率分別為《，k2,則匕=-g,k2=2,因為匕玲=(-g)x2=-l,所以/1_L4；(3)解：由兩個方程，可知/"/y軸，，2〃x軸，所以《J./2.例12.(2022?江蘇?高二課時練習(xí))判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)/,:y=-2x+\,l2：y=-x+3；(2)4?3x-y-1=0,/):2x+6y—1—0；(3)/]:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)Z,：y-2=0,/2:x+l=0.【解析】(l)-2xg=-l,兩直線垂直.(2)3x2+(-1)x6=0,兩直線垂直；(3)2x5+(-5)x(-2)=20h0,不垂直；(4乂斜率為0,4斜率不存在，兩直線垂直.例13.(2022?江蘇?高二專題練習(xí))三條直線3*+2丫+6=0,2*—31112丫+18=0和20?—3丫+12=0圍成直角三角形，求實數(shù)m的值.【解析】(1)當(dāng)直線3x+2y+6=0與直線2x-3m2y+18=0垂直時，有6-6m2=0,，m=1或m=-l.若m=l,直線2mx-3y+12=O也與直線3x+2y+6=0垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m=l應(yīng)舍去.m=-1.⑵當(dāng)直線3x+2y+6=0與直線2mx—3y+12=0垂直時，有6m—6=0,m=l(舍).(3)當(dāng)直線2x-3m?y+18=0與直線2mx-3y+12=0垂直時，有4m+9m2=0.. 4.??m=0或m=—,9經(jīng)檢驗，這兩種情形均滿足題意.4綜上所述，m=—1或m=0或m=一§.【技巧總結(jié)】使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看，就是看所給兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步.(2)二用：就是將點的坐標(biāo)代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論.總之，人與4一個斜率為0，另一個斜率不存在時，/,1/2;乙與4斜率都存在時，滿足匕生=-1.題型四：直線平行與垂直的綜合應(yīng)用例14.(2022?浙江?臺州市書生中學(xué)高二階段練習(xí))已知直線444的斜率分別為KKK，其中且％，占是方程2Y-3x-2=0的兩根.(I)試判斷44的位置關(guān)系；(2)求占+求+%的值.【解析】(1)???&,與是方程2--3》-2=0的兩根,又(2x+l)(x-2)=0=_1 N=2解方程得｛5或1,/.kxky=-1,?"U.又"4,：.i2-L4.即乙4的位置關(guān)系為m(2)?：I川2,???％=r.2k、=2由(1)知，%=_],或，k->=2女3=2、 27仁+&+&=1或4+攵2+*3=—.例15.(2022.全國?高二課前預(yù)習(xí))已知A(T3),8(2,5),C(6,3),。(-3,0)四點，若順次連接A3CO四

點，試判斷圖形ABCD的形狀., 5-3 1 0-3 1 , 0-3 . 3-5 1【解析】由斜率公式，得怎5=嚏而=3, = &犯=訴4=-3,怎c=K=—；3-3所以原8=%8，乂因為/c=a（八=0工左二，說明A8與不重合，0—（—4）所以AB〃CD.因為心。*&相，所以A￡＞與BC不平行.又因為&ab，%＞=]X（—司=—?，所以AB-LAD.故四邊形ABC。為直角梯形.例16.（2022?全國?高二課時練習(xí)）（拓廣探索）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針順序依次為a。，。），P（1J）,Q（l-2t,2+t）,R（-2t,2）,其中，＞0.則四邊形OPQR的形狀為.【答案】矩形【解析】由斜率公式得%【解析】由斜率公式得%,=g1—0=2-(2+f)JRQ--2r-(l-2r)--l, 2-0OK~-2t-02+t-t 2_1\-2t-\~^2t~1所以&”=即°，kQR=kpQ,從而OP//RQ,OR//PQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.又G%=-1,所以O(shè)P_LOR,故四邊形。尸。/?為矩形.故答案為：矩形.例17.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)點P（-4,TOC\o"1-5"\h\z2),0(6,-4),/?(12,6),5(2,12),則有( )A.PQ//SR B.PQ±PSC.PS//QS D.PRLQS【答案】ABD-4-2 3 12-6 3【解析】依題意，直線PQ，SR,PS,QS,刊?的斜率分別為：ksR=^~^=r6+4 5 2—12 5, 12-25, 12+4 ,, 6-21k— — b- —A〃一 —, 內(nèi)一2+4-3'3-2-6一”-12+4-4'由即得PQ〃SR，由原。?心=T得PQLPS，由&.%=T得PRLQS,而怎得”與QS不平行，即選項ABD正確，選項C不正確.故選：ABD例18.(2022?全國?高二課時練習(xí))判斷下列各對直線平行還是垂直：(1)經(jīng)過兩點A(2,3),8(-1,0)的直線。，與經(jīng)過點尸(1,0)且斜率為1的直線〃；(2)經(jīng)過兩點C(3,1),0(-2,0)的直線入，與經(jīng)過點-4)且斜率為-5的直線0.【解析】⑴由題意和斜率公式可得//的斜率&/=壯=1,/2斜率e=1,ki=k2,又直線//"?不電合，所以兩直線平行；1-0 1(2)由題意和斜率公式可得"的斜率公=］石分=§,/2斜率后=-5,krk2=-1,故兩直線垂直.例19.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知在辦88中，4(1,2),8(5,0),C(3,4).(1)求點D的坐標(biāo)；(2)試判定%8C。是否為菱形？【解析】(1)解：設(shè)點。坐標(biāo)為(a,b),因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以乂8=4C￡>,kAD=kBC,0-2b-4所以5T〃-3，b-24-0解根所以￡>(—1,6).TOC\o"1-5"\h\z4-2 6-0(2)因為乂C= =1,kBD=- =-1,3-1 —1—5所以4cA:8￡>=—1,所以ACLBZ),所以。48co為菱形.例20.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知4L3),B(5,l),C(3,7),A,B,C,。四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點。的坐標(biāo).【解析】由題,A(1,3),8(5,1),C(3,7),所以MC=2,kAB=~,kBC=~3,設(shè)。的坐標(biāo)為(x,y),分以下三種情況：①當(dāng)8c為對角線時，有kCD=kAB,kBD=kAC,得47,尸5,即。(7,5)②當(dāng)AC為對角線時，有kCD=kAB,kAD^kBC,所以，原》=^~4=-3,%8=^~^=一:X—1 x-3 2得戶一1,產(chǎn)%即ZX-L9)③當(dāng)A8為對角線時，有kBD=kAC,kAD=kBC所以砥。=匕==_3，X—5 X—1得x=3,y=-3,即53,-3)所以。的坐標(biāo)為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).例21.(2022?全國?高二課時練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次是。(0,0),P(U),0(1-2/,2+r),/?(-〃,2),其中f?0,y),試判斷四邊形OPQR的形狀，并給出證明.【解析】四邊形OPQR是矩形.證明如F：OP邊所在直線的斜率&。尸=f,. 2+1—2QR邊所在直線的斜率kQR= =t，OR邊所在直線的斜率無氏=-；,段邊所在直線的斜率即°所以"op=Aqr?k°R=kPQ,所以°PHQR,OR//PQ,所以四邊形OPQH是平行四邊形.所以所以四邊形。尸。我是矩形.T71 2+， . z—2乂。內(nèi)內(nèi)令kgkpR=-l,即答=無解,l-2r1+21所以。。與依不垂直，故四邊形OPQR是矩形.例22.（2022?安徽宣城?高二期中）已知A（1,-1）,B（2,2）,C（3,0）三點，求點D,使直線CD,AB,且CB〃AD.TOC\o"1-5"\h\z【解析】設(shè)。（x,y）,則％原8=3，28=—2, ，x—3 x-} x3=1八r_3 x=0.??{； .\{ 3.。（0,1）包=_2 y=ikCD-kAB=-\,kCB=kAD _v-l ［技巧總結(jié)］已知直線4，/2的方程分別是/1：4》+4），+6=0（a，用不同時為o）,4：Ax+82y+C2=o（4，與不同時為0）.. A.B-,—A^B.=01（1）若A4+b向=oo4U⑵若'-;' ?/,///22tz?--- a'T~UI題型五：兩直線的夾角例23.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線方程為3x-5y+4=0,則斜邊A3所在直線的斜率為（）TOC\o"1-5"\h\zA.」或2 B.」或3 C.」或4 D.」或53 4 5【答案】C【解析】解：因為等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線方程為3x-5y+4=0,所以AC所在宜線的斜3率為g,即吊=g，3設(shè)直線AC的傾斜角為則tana=g,因為斜邊與直角邊的傾斜角相差45。，則斜邊的傾斜角為。+45?；騛-45。，1■所以tan（a+45o）=3na+=j_^_=4,1-tanai3-53.1tan-1tan(a-45°)tan-1tan(a-45°)=1+tanal+? 45所以斜邊所在直線的斜率為或4.4故選：C.TOC\o"1-5"\h\z例24.（2022?上海虹口?高二期末）直線2x-3y+l=0與x+5y—10=0的夾角為_ .71 2 2【答案】?【解析】直線2犬-3產(chǎn)1=0的斜率吊=：,即傾斜角。滿足1血。=：,直線x+5y-10=0的斜率&=一：，即傾斜角。滿足tan/=一（，_1_2所以tan（??-a）=3"-tana= /I?=川以（°）l+ta”tana ，3所以夕一。=一1，4TT TT又兩直線夾角的范圍為0,y,所以兩宜線夾角為故答案為：4例25.（2022?上海市控江中學(xué)高二期中）直線4：2x+y+6=0與4：x-y+l=。夾角的余弦值是.【答案】叵10【解析】設(shè)412的傾斜角為。，力，/112的夾角為e，則tana=?2,tan夕=1,故tan0=|tan（a—^）1=--/、~-=3,故4,6夾角的余弦值cos0=/ =>—=~~1 1l+（-2）xl Vl2+32W10故答案為：叵10例26.（2022?上海?華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）直線4：3x+y-l=O與4：2x-y+7=O的夾角的大小.【答案】t4【解析】直線4：3x+y-l=O與4：2x-y+7=O的斜率分別為：匕=-3,玲=2設(shè)宜線4：3x+y-l=O與/2：2》一丫+7=0的夾角為。則tan6=^^=^^=l,又。J。,』，則l+Z/21-3x2 |_2J 4故答案為：—4例27.（2022?全國?高二課時練習(xí)）若直線y=x-l與直線工-切+2=0的夾角為J,求實數(shù)〃z的值.4TT【解析】直線y=x-i的斜率為1,則直線y=x-i的傾斜角為丁4n tt直線x-my+2=。與直線y=x-l的夾角為一，所以直線工-陽+2=0的傾斜角為0或7當(dāng)直線x-zny+2=0的傾斜角為0時，實數(shù)m不存在，當(dāng)直線x-叼+2=0的傾斜角為|■時，實數(shù)m=0故機(jī)=0.【技巧總結(jié)】夾角公式tan（a-0=3a-tanp1+tana-tanp題型六：已知直線平行求參數(shù)例28.（2022?湖南?炎陵縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線//：x+my-2m-2^0,直線〃：mx+y-1-m=0,當(dāng)《〃4時，m=【答案】1【解析】因為4〃％且4斜率…定存在，所以用=&，，即--=-m,m=±\m又因為《，4為兩條不同的直線，所以，〃工-1,所以，”=1故答案為：1例29.（多選題）（2022?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)（待刪除學(xué)校不要競拍）高二階段練習(xí)）（多選）若三條直線2x+y—4=0,x—y+l=。與ar-y+2=。共有兩個交點，則實數(shù)。的值為（）.A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】AC【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行....直線*_y+l=0和直線2x+y—4=0不平行，直線x-y+l=0和直線以一丫+2=0平行或直線2x+y-4=0和直線ar-y+2=0平行.?.?x-y+l=0的斜率為1,2x+y-4=0的斜率為-2,ar-y+2=0的斜率為0,二。=1或a=-2時，兩直線分別平行且不用合，符合題意故選：AC例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知4：3x+2ay-5=O,/2:（3a-l）x-ay-2=0,則滿足《〃乙的。的值是（）A.-- B.0 C.」或。 D.［或06 6 6【答案】C【解析】由可得3-（F）_（3a_l>2a=O,得a=0或a=_3,當(dāng)a=0時，/1：3x-5=O,l2:-x-2=0,符合題意；當(dāng)°=-，時，/1：3x-^y-5=O,/2:3x-^-y+4=0,符合題意；6 3 3故滿足4〃，2的。的值為?；?5.故選：c.6例31.（2022?天津紅橋?高二學(xué)業(yè)考試）若直線（：x-y+l=。與直線3工+沖=0互相平行，則加的值為（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】解：若直線hx-y+i=o與直線LX+沖二?；ハ嗥叫衜0.--=一*一,-11解得，〃=-1故選：A.例32.（2022?江蘇?高二）設(shè)〃為實數(shù)，若直線工+做+2。=0與直線ox+y+a+l=。平行，則。值為（ ）A.—1 B.1 C.±1 D.2【答案】A【解析】由題意1-/=0,。=±1,。=1時，2a=a+l=2,兩直線重合，舍去，。=一1時，2a=-2.a+1=0.滿足兩宜線平行.所以a=T.故選：A.例33.（2022?江蘇?高二）設(shè)aeR,若直線以+丫-1=0與直線犬+0+1=0平行，則。的值是（ ）A.1 B.1,-1 C.0 D.0,1【答案】A【解析】。=0時，兩直線為y-i=o、直線x+i=o,顯然不平行；所以a*0,兩直線為y=-?+1,y=--（x+l）,a所以一。=—,且—工1,aa解得a=l.故選：A.例34.(2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))已知直線or+2y+6=0與直線x+(a-l)y+/-l=O互相平行，則實數(shù)。的值為()A.-2B.2或-1C.2D.-1【答案】D【解析】直線ar+2y+6=0斜率必存在，故兩直線平行，則-(=一±，即〃-。-2=0,解得a=2或一1,當(dāng)a=2時，兩直線重合，=故選：D.題型七：已知直線垂直求參數(shù)例35.(2022?上海中學(xué)東校高二期末)若直線4：3x-/ny+l=0與6：y=2x+l互相垂直，則實數(shù)【答案】-6［解析］由L：y=2x+1,即2x-y+［=0,乂直線4與直線，2互相垂直，故3x2+(—m)x(—l)=O,解得m=-6,故答案為：-6.例36.(2022?湖北十堰?高二階段練習(xí))關(guān)于直線如+2y-5=0,6：x+(/zi+l)y+2=0,若14，則tn=.2【答案】【解析】若《，(，則帆+2(m+1)=0,解得m=-；.2故答案為：例37.(2022?全國?高二課時練習(xí))若直線4：ar-(a+l)y+l=0與直線4：2x-ay-l=O垂直，則實數(shù)a=【答案】?；?3【解析】因為直線4：ar-(a+l)y+l=0與直線/2：2》---1=0垂直，所以有2。一(。+1)(-4)=0=4=0或。=一3,故答案為：?；?3例38.(2022?江蘇福二)“m=-2”是“直線(2-m)x+沖+3=0與直線x-陽-3=0垂直”的(A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線(2-m)x+my+3=0與直線x-四，-3=0垂直，則2-旭-病=0，即機(jī)2+w—2=0,解得加=—2或1,因為{-2} {-2,1},所以，“m=-2”是“直線(2-m)x+/ny+3=0與直線*-沖-3=0垂直”的充分非必要條件.故選：A.例39.(2022?江蘇?高二)已知直線/：x+(a-l)y+2=0,%：昌x+y=Q, 則的最小值為()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.； C.— D.最4 2 2 16【答案】A【解析】解：A-L41則版+a-l=0，:，a=l-6b,所以。2+62=(1-揚y+%2=4匕2-2亞+1,二次函數(shù)的拋物線的對稱軸為匕=-2巨=也，2x4 4當(dāng)人=立時，1+從取最小值J.4 4故選：A.【同步練習(xí)】一、單選題(2022?江蘇?高二)己知aABC的三個頂點43,0),3(-1,2),。(1,-3),則△回(7的高CO所在的直線方程是()A.x+5y-5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x—y—5=0【答案】D, 0-2 1 , 1c【解析】由題意知：砥P=黑石司=-5，則心。=-%一=2,故8所在的直線方程為y+3=2(x-l),即2x-y-5=0.故選：D.（2022?遼寧?二模）己知直線/：ar+y+a=0,直線m:x+ay+a=0,則/〃m的充要條件是（ ）A.a=-1 B.a=lC.a=±lD.a=0【答案】A【解析】因為直線/：ar+y+a=0,直線m：x+ay+a=0,易知a=0時，兩直線垂直，所以/〃機(jī)的充要條件是f=1工q，即a=-l.1aa故選：A.（2022?河南?靈寶市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知直線4：（。一2卜+帆+2=0,/2：x+（a-2）y+?=0,則“4JJ?”是“。=-「’的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B［解析］當(dāng)a=_］時，4：y=-3x+2,4：y=gx_g,k「&=-3xg=-l,所以/1J./?；當(dāng)/K時，可得（a-2）xl+a（a-2）=（a-2）（a+l）=。，解得〃=-1或a=2,所以是“a=-1”的必要不充分條件.故選：B.（2022?浙江浙江?高一期中）已知直線4：x+ay-2=O與直線/2：ax+y-a-l=0平行，則。的值為（ ）A.-1 B.1 C.±1 D.0【答案】AIxl-axa=0【解析】因為“4,所以卜?a_iH-2a）H0'解得。一.故選：A.（2022?江蘇?高二）將直線3x-&y=0繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90,得到新直線的斜率是（ ）A.一3 B.近 C.也 D.一立3 3 2 2【答案】A【解析】直線3x-Gy=0的斜率為百由題意可知新直線與直線3x-Gy=0互相垂直，則新直線的斜率為-乎故選：A（2022?安徽滁州?高二階段練習(xí)）已知直角三角形A8C的頂點8（—2,Y）,C（2,-6）,且NBAC=90,點A在直線2x+y+5=0上，則點A的坐標(biāo)為（ ）.A.（1,-7） B.（-L-3）或（1,一7）C.（2,-9） D.（一2,—1）或（2,-9）【答案】B【解析】設(shè)A（x,—2x—5）,則AB=（―2—x,2x+1）,AC=（2—x,2x—1）,?.ZBAC=90.BPABLAC,.-.ABAC=（-2-x）（2-x）+（2x+l）（2x-l）=0,解得：x=+l；.?.4（1,一7）或4（一1,—3）.故選：B.（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）已知a>0,b>0,直線（a—l）x+2y+3=0與直線x+by-l=0垂直，則 H7的最小值是（）abTOC\o"1-5"\h\zA.2+V2 B.4 C.3+20 D.6【答案】C【解析】因為直線（a-Dx+2y+3=0與直線x+切一1=0垂直，所以（a-l）xl+2b=0,即a+力=1,所以1+1=（'+,］（4+26）=3+%+且23+2、隹?=3+2應(yīng)（當(dāng)且僅當(dāng)”=夜-1，6=土史時，等號ab\ab） ab\ab 2成立）.故選：C.二、多選題（2022?重慶?高二期末）下列說法中，正確的是（ ）A.直線2x+y+3=0在V軸上的截距是3B.直線x+y+l=0的傾斜角為135。C.A（l,4）,B（2,7）,C（-3,-8）三點共線D.直線3x+4y+l=0與4x+3y+2=O垂直【答案】BC

【解析】A.直線2x+y+3=0在y軸上的截距是-3,A錯:B.直線x+y+l=O的斜率為一1,傾斜角為135。，B正確；TOC\o"1-5"\h\z7-4 -R-4C.由A(l,4),B(2,7),C(-3.-8)得心"===3,kAC=——=3=kAH,所以A,B,C三點共線，C正確；2—1 —3—13 4一D.直線3x+4y+l=0與4x+3y+2=0的斜率分別為,乘積為1,不垂直，D錯誤.故選：BC.(2022?福建泉州?高二期中)下列說法正確的是( )A.直線尸以-勿+4(。€用必過定點(2,4)B.直線y+l=3x在y軸上的截距為1C.直線x+by+l=0的傾斜角為120。D.過點(-2,3)且垂直于直線x-2y+3=。的直線方程為2x+y+l=?！敬鸢浮緼D【解析】對于A,直線y=or—2?+4(aeA),即y=a(x—2)+4,恒過點(2,4),A正確；對于B,直線y+l=3x,即y=3x-l,在y軸上的截距為7,B不正確：對于C,直線x+&y+l=0的斜率2=-且，其傾斜角為150,C不正確；3對于D,直線x-2y+3=0的斜率為，則垂直于直線x-2y+3=0的直線斜率為-2,直線方程為：y-3=-2(x+2),即2x+y+l=0,D正確.故選：ADTOC\o"1-5"\h\z(2022?江蘇?高二)已知直線《：x+ay-a=0和直線上orT*T^+a-ZMO,則( )2 -A.4始終過定點(§,§) B.若乙在x軸和)，軸上的截距相等，則”=1C.若口4,貝以=0或2 D.若〃4，貝lja=l或一3【答案】AC【解析]]:or-(2a-3)y+a-2=0化為a(x-2y+l)+3y-2=°,1 2 12由x-2y+l=0且3y-2=0解得x= =即直線4恒過定點(；,令，故A正確；若4在x軸和y軸上截距相等，則4過原點或其斜率為-1，則a=2或-_(2：_3)=Tn"l'故B錯誤;若小公則lxa+ax(3-2a)=0解得。=0或2,故C正確:

若I川2，則先由lx（3-2o）=axa解得°=1或-3,再檢驗當(dāng)。=1時44重合，故D錯誤.故選：AC（2022?江蘇?高二）已知直線4：x-y-l=0,動直線上（女+1卜+母+%=0（&R）,則下列結(jié)論正確的是（）A.存在左,使得4的傾斜角為90 B.對任意的女,乙與4都有公共點C.對任意的34與4都不重合 D.對任意的34與4都不垂直【答案】ABD【解析】對于A：當(dāng)左=0時，宜線4：x=0,此時宜線4的傾斜角為90，故選項A正確；對于B,直線4與4均過點（O，T），所以對任意的k，4與4都有公共點，故選項B正確;對于C,當(dāng)％=-；時，直線4為L），-；=0,即x-y-l=0與4重合，故選項C錯誤;解D,直線4的斜率為1,若4的斜率存在，則斜率為―—―I,所以4與，2不可能垂直，所以對任意的kk,乙與4都不垂直，故選項D不正確;故選：ABD.三、填空題（2022?全國?高二課時練習(xí)）直線4：y=-2x+3與4：x+2=0的夾角的大小為.【答案】y-arctan2jr【解析】由小方程知其傾斜角為；r-arctan2；由4方程知其傾斜角為1，冗1與4的夾角為萬-arctan2.故答案為：y-arctan2.（2022?上海市虹口高級中學(xué)高二期末）過點尸（1,0）且與直線x-2y+6=0平行的直線方程是.【答案】x-2y-l=0【解析】因為所求直線與直線x-2y+6=0平行，所以設(shè)所求直線方程為x-2y+，〃=0（，〃*6）由題可得1—0+帆=0，即/M=—1,所以所求直線方程為x-2y-l=0.故答案為：x-2y-l=0(2022?江蘇?高二)若直線//與b的斜率公、公是關(guān)于k的方程-2二-4%=。的兩根，若I山2,則b=.【答案】-2【解析】因為斜率A、公是關(guān)于上的方程-2K-4Z=b的兩根，所以￡&=|，b因為〃_L〃，所以2/=]=T,即6=-2,故答案為：-2(2022?全國?高二單元測試)過點(3,5)的所有直線中，與原點距離最大的直線方程為.【答案】3x+5y-34=0【解析】設(shè)43,5),由幾何關(guān)系知，當(dāng)直線與。4垂直時，原點到直線的距離最大，5 3 3期\,故直線斜率為-直線方程為y-5=-#-3),整理得：3x+5y-34=0故答案為：3x+5y-34=0(2022.全國.高二課時練習(xí))已知集合A={(x,y)|2x—(a+l)y-l=。},8={(x,y)|or-y+l=0},且AQB=0,則實數(shù)a的值為.【答案】1【解析】?.?集合A={(x,y)|2x-(a+l)y—1=0},B={(x,y)|ar-y+l=。},且AAB=0，直線2x-(a+l)y-l=0與直線ar-y+l=0平行，即-2=-a(a+l),且2w-a,解得a=l.故答案為：1.四、解答題(2022?北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí))己知直線4：如+力+6=0和直線4：(a-l)x+y+2=O,求分別滿足下列條件的a1的值.⑴直線4過點(-3,0),且直線4和4垂直；(2)若直線4和i2平行，且直線/,在y軸上的截距為-3；⑶若直線《和4重合.【解析】(1)由于直線乙和4垂直，故心(。-1)+力1=0,又直線4過點(一3,0),故-3a+6=0,聯(lián)立兩式，解得。=2,b=