自然許多的物理現(xiàn)象均牽涉到短時間內(nèi)量的變化

來源于網(wǎng)絡(luò)來源于網(wǎng)絡(luò)[-自然許多的物理現(xiàn)象均牽涉到短時間內(nèi)量的變化， 例n的暴發(fā)力等等。如果數(shù)據(jù)可以簡化成一個數(shù)學(xué)函數(shù)，那度量測這些瞬間變化率的一個量規(guī)，而導(dǎo)數(shù)即是用量規(guī)所求法、它們的物理觀念，以及有關(guān)Maple[-自然許多的物理現(xiàn)象均牽涉到短時間內(nèi)量的變化， 例n的暴發(fā)力等等。如果數(shù)據(jù)可以簡化成一個數(shù)學(xué)函數(shù)，那度量測這些瞬間變化率的一個量規(guī)，而導(dǎo)數(shù)即是用量規(guī)所求法、它們的物理觀念，以及有關(guān)Maple用來十3.13.23.3343.73.8切線與導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)的求法..…施 Maple的微分指令斗 三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)1r…….或者是運動選手(derivative)即是將介紹導(dǎo)函數(shù)的.3-23-17.3-223-28.3-333-37.3-413-46切線與導(dǎo)函數(shù)本節(jié)介紹了函數(shù)圖形於某一點的切線， 以及切線與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系。首先從幾何上的觀點來探討切線於幾何上的意義。切線假設(shè)P(xo,yo)與Q(xi,yi)為函數(shù)f(x,y)圖形上的兩點，如圖3.1.1P、Q兩點之直線L的斜率為(3.1.1)yi-yo f(X1)-f(xo)msec— —x1-xo x1-(3.1.1)yi-yo f(X1)-f(xo)msec— —x1-xo x1-xo直線L稱對割線(secantline),面直線的斜率將超迎族函凌mtaXih，0,如果令h=x1/0；xomtan4而h)0［；x"x1_x。割線方程式可以簡單的由兩點式或點斜式來求得。當Xi趨近於xo時的延切線(tangentjfne澗斜率f(x1)_f(xxo)」o,由式可得函數(shù)在xo之切線的斜率為(3.1.2)f(xoh)-f(xo)則當xXi展g割牙以(312)式可改寫成|：%：. Il.1I= ..i.-... ' (3.1.3)定義3.1.1切線的斜率設(shè)P(xo,yo)為函數(shù)y=f(x)圖形上的一點，則通過P點之切線的斜率為Maple的student程式庫里提供了showtangent指令，用來繪制函數(shù)於某一點之切線。它的用法與選項與plot指令相似，但需額外指定所欲繪制切線之點。讀者必須注意，在使用 showtangent指令之前，必須先載入student程式庫。showtangent(f(x),x=xo,x=x1..x2,options)以options為選項，范圍取x14x4x2,繪出切f(x)於(xo,f(xo))的切線【例題3.1.1］試求切f(x)=x2圖形於點(1,1)之切線的斜率【解】因xo=1,f(xo)=1,由定義3.1.1?＜知,故可知通過點(1,1)之切線斜率為2。現(xiàn)在再嗒試利用showtangent指令來繪出此條切線，并由圖上來驗證所得之斜率的正確性。載入student載入student繪圖程式庫。繪出通過(1,1)之切線，并指定繪圖的比例為1:1。由圖中約略可見切線的斜率為2,剛好符合本題的計算結(jié)果。>with(student):>showtangent(xA2,x=1,x=o..2,>y=o..2,scaling=constrained);繪制函數(shù)的切線，除了使用showtangent指令之外，也可以利用割線的繪圖來一步步的逼近切線，如此更可說明了函數(shù)圖形之切線於幾何上的意義。接下來以函數(shù)為范例來做說明。首先於函數(shù)圖形上取P、Q兩點，求出通過P、Q兩點之直線方程式并做圖，然

彳爰將Q點往P點移動，看看通過P、Q兩點的直線會有什麼變化。載入plots與student繪圖程式庫。定義f(x)=-(x「3)2+9o繪出f(x)的圖形，由圖中可見其圖形為一開口向下的拋物線。設(shè)定P為f(x)圖形上的一點，其坐標為P(x,y)=(1,f(1))=(1,5)。設(shè)定Q為f(x)圖形上的另一點，其坐標為Q(x,y)=(3,f(3))=(3,9)。利用student程式庫里的slope指令計算連接P、Q兩點之直線的斜率，得到斜率為2。利用點斜式，可以求出通過 P、Q兩點的直線方程式為y=3+2x。繪出f(x)的圖形，并把圖形設(shè)給變數(shù)g1o注意在指令之彳爰加上冒號，目的在不顯示任何輸出，但會執(zhí)行運算。繪出通過PQ兩點的直線y=3+2x與f(x)的函數(shù)圖。很明顯的，直線交f(x)於(1,5)與(3,9)兩點，由此可驗證所求的直線方程式正確無誤?，F(xiàn)在把Q點移近P點，取Q(x,y)=(2,f(2))=(2,8)。計算P、Q兩點連線的斜率，得到斜率為3。這是通過P、Q兩點之直線方程式。繪出通過RQ兩點的直線y=2+3x與f(x)的圖形。由圖中可看出直線交f(x)於(1,5)與(2,8)兩點。接下來，再將Q點往左移，令Q(xy)=(1.1,f(1.1))。計算得P、Q兩點連線的斜率為 3.9。這是通過P、Q兩點之直線方程式。繪出f(x)與通過P、Q兩點的直線圖。由圖中可觀察到 P、Q兩點的連線近似一條切f(x)於P點的切線。最彳爰,取Q=(1.01,f(1.01))。直覺上，現(xiàn)在的Q點相當接近於P點。P、Q兩點連線的斜率為 3.99。綜觀上面的計算，若把Q點越往P點移動，其連線的斜率越接近 4.0。這是利用定義3.1.1來求切線斜率的數(shù)學(xué)式。用value指令來對上式求值，可得斜率之函數(shù)為-2x-+6。因P點的x坐標為1,故可找出當x=1時，切f(x)於P點的切線斜率為4。此值與先前的預(yù)測頗為吻合。事實上，利用(3.1.2)式亦可求出相同的結(jié)果。右式是以(3.1.2)式所求出的數(shù)學(xué)式。用value指令求值，可得相同的答案。>with(plots):>with(student):>f:=x->-(x-3)A2+9;>plot(f(x),x=0..6);>P：=[1,f(1)]；>Q：=[3,f(3)];>m:=slope(P,Q);>eqn:=f(1)+m*(x-1);>g1:=plot(f(x),x=0..6):>display(plot(eqn,x=0..6,>y=0..10),g1);>Q：=[2,f(2)]；>m:=slope(P,Q);>eqn:=f(1)+m*(x-1);>display(plot(eqn,x=0..6,>y=0..10),g1);,ll>Q:=[1.1,f(1.1)];>m:=slope(P,Q);>eqn:=f(1)+m*(x-1);>display(plot(eqn,x=0..6,>y=0..10),g1);>Q:=[1.01,f(1.01)];>slope(P,Q);>Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);L:=value(%);eval(L,x=1);>Limit((f(x)-f(x0))/(x-x0),x0=x);>value(%);>showtangent(f(x),x=1,x=0..6,>y=0..10);solve指令可求得於x=3時，斜率為0>showtangent(f(x),x=1,x=0..6,>y=0..10);solve指令可求得於x=3時，斜率為0。繪出切f(x)於x=3的切線與函數(shù)圖。由圖中可看出，斜率為0之點正是函數(shù)f(x)的極大值。f(3)=9,故可知f(x)的極大值為9。用student程式庫里的maximize指令來驗證，亦可得到相同的極大值。由上面的討論可觀察到，函數(shù)的極值>solve(-2*x+6=0,x);>showtangent(f(x),x=3,x=0..6,>y=0..10);>f⑶；>maximize(f(x),x);(extremal,意指極大或極小值)可能位於函數(shù)斜率為零之處，這showtangent指令可以更快速的繪出函數(shù)於某點的切線。右圖顯示直線切函數(shù)於(1,5)。本例已經(jīng)求出斜率的函數(shù)為-2x+6,而有趣的是，在哪一點斜率會是零？還有，斜率為零的點會有

哪些特性？接下來將初淺的探討這兩個問題。是一個重要的觀念，關(guān)於這個部分留到4.2節(jié)再做詳細的介紹，目前讀者僅需要知道於幾何上有這

項性質(zhì)即可。導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)如果刪掉定義3.1.1中x的下標，即可得到微積分學(xué)里一個重要的函數(shù) --導(dǎo)函數(shù)(derivative)。而f(x)的導(dǎo)函數(shù)之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數(shù)。定義3.1.2導(dǎo)函數(shù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)定義為f(x)=limh_0f(x)=limh_0f(x+h)-f(x).1)而f(x)的定義域為使得該極限存在的所有 x所組成求導(dǎo)函數(shù)的過程稱為微分(differentiate),而其方法則稱為微分法。通常以Dx或梟來代表微分運算子(differentialoperator),因止匕f(x)=Dxf(x)=~dxf(x)?！纠}3.1.2］設(shè)f3=x2+3x-4,試依導(dǎo)函數(shù)的定義式來計算f'(x)。"I【解】f(x)=limh>0f(xh)-f(x)x22xhh23x3h-4-(x23x「"I【解】f(x)=limh>0f(xh)-f(x)x22xhh23x3h-4-(x23x「4)(展開平方項)h(2xh3)(消去相同的項)二lim(2xh3)h]0二2x3(約去h)雖然於例題3.1.2中，導(dǎo)函數(shù)的計算頗為煩瑣，然而大多數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式卻是經(jīng)由這個推導(dǎo)過程而得的。導(dǎo)函數(shù)的計算公式留於3.2節(jié)再做討論，在此先看看如何利用 Maple模仿例題3.1.2的步驟來計算導(dǎo)函數(shù)。定義2、 2f(x)=x+3x-4o計算limh—0f(x+h)—f(x)o>f:=x->xA2+3*x-4;>Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);汪總Maple已做了少量的化簡，再輸出右式。>expand(%);>value(%);【例題3.1.3］設(shè)f(x)試依導(dǎo)函數(shù)的定義式來計算 「(x)。【解】f(xh)f(x)-hx(x-h)

h(通分)-1二>expand(%);>value(%);【例題3.1.3］設(shè)f(x)試依導(dǎo)函數(shù)的定義式來計算 「(x)?！窘狻縡(xh)f(x)-hx(x-h)

h(通分)-1二lim h—0x(x-h)(約去h并化簡)(約去h)x函數(shù)的極值是導(dǎo)函數(shù)的一個有趣的應(yīng)用。於 3.1.1節(jié)已提過，導(dǎo)函數(shù)即代表切線的斜率，而函數(shù)的極值則可能(但不一定)位於切線斜率為零之處。下面的范例說明了如何利用導(dǎo)函數(shù)來求解方程式的極值。 -- ,- 「，一定義f(x)=x3+x2-3x+2。繪出f(x)的函數(shù)圖。由圖中可看出f(x)有兩個斜率為零之處，而這兩個位置也就是函數(shù)極值之所在。它們約略位於x之」.4與x定0.7。於數(shù)學(xué)上，這兩個極值稱為區(qū)域極值(localextrema)或相對極值(realtiveextrema),有別於全域極值(globalexterma),因為它們并不是整個函數(shù)的極值。利用定義3.1.2來求f(x)的導(dǎo)函數(shù)。用value指令求解上式，可解得導(dǎo)函數(shù)為3x2+2x-3,這個函數(shù)也就是 f(x)之切線斜率的函數(shù)。定義fp(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。繪出f(x)與fp(x)的函數(shù)圖。讀者可以發(fā)現(xiàn)f(x)為三次曲線，而fp(x)為二次曲線。此外，於函數(shù)f(x)相對極值的點其對應(yīng)的斜率(即fp(x)的值)均為零。用fsolve指令可以解得斜率為零之處的數(shù)值解。>f:=x->xA3+xA2-3*x+2;-i 'j>plot(f(x),x=-3..2);>Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);>value(%);>fp:=unapply(%,x);plot([f(x),fp(x)],x=-3..2,y=-7..8);>sol:=fsolve(fp(x)=0,{x});用expand指令展開上式，可化簡得lim2x+h+3。h0value計算得上式的極限值為 2x+3,與例題3.1.2所得的答案相同。>map(subs,[sol],f(x));而導(dǎo)函數(shù)>map(subs,[sol],f(x));而導(dǎo)函數(shù)f(x)上的某個點的值f(a)則稱為導(dǎo)數(shù)，下面說明了導(dǎo)數(shù)的定義。將所求得的解代入 f(x)中，解得相對極大值為5.416,而相對極小值為0.731。您可以與上圖比對看看這兩個值是否與圖形吻合。函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)本身亦為一函數(shù),

定義3.1.3導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)在x=a的導(dǎo)數(shù)記為f(a),亦即「⑻=limf(a+：-f⑻若函數(shù)”*)在*=2的導(dǎo)數(shù)「(a)存在，亦即則稱f在x=a可微分(differentiable)。若f(x)於定義域內(nèi)的每一點皆可微分，則函數(shù) f(x)稱為可微分函數(shù)(differentiablefunction)0一般而言，若f在x=a可微分，則必可繪出一條通過(a,f(a))點的切線。這也意味著此切線於(a,f(a))不能有斷裂，或者是不連續(xù)的情況發(fā)生?！纠}3.1.4］試討論(a)f(x)=x3,(b)f(x)=樂於x=0的可微分性。【解】(a)因為當x=0時f(0)=0為一定值，故f(x)=x3於x=0為可微分。事實上，因f(x)=x3為平滑且連續(xù)，所以一定可以找到一切線切函數(shù)於任意點，故f(x)處處可微分。(b)當f(x)7rx時， ,f(x)=lim"+h=』 (試驗證之！!)h0h2、.x因f(x)於xW0時并不存在，故f(x)=小於x=0不可微分。.■..- \I ii一般而言，函數(shù)f(x)於x=a不可微分通常發(fā)生於下面三種情況:.函數(shù)的圖形於x=a為一尖角或折點。.函數(shù)於x=a不連續(xù)(斷點)。.函數(shù)於x=a的切線為一垂直線(斜率為電)。下面的范例分別探討了這幾種常見的情況。>f:=x->piecewise(x<=2,>-(2-x)A(1/3)+1,x>2,(x-2)A(1/3)+1);>f:=x->piecewise(x<=2,>-(2-x)A(1/3)+1,x>2,(x-2)A(1/3)+1);>plot(f(x),x=0..4,y=-0.5..2.5);>limit(f(x),x=2,left),>limit(f(x),x=2,right);>limit((f(2+h)-f(2))/h,h=0);If(x)=12H/3書x<2o(x-2)1/3書x>2繪出f(x)的函數(shù)圖。由圖中隱約可見於x=2之處，函數(shù)切線的斜率為一垂直線。計算f(x)於x=2的右極限與左極限，二者均得到1,故可知f(x)於x=2連續(xù)。依定義3.1.2來計算f'(2),其值為無限大，故f(2)并不存在，所以>g:=x->5-abs(xA2-4);>plot(g(x),x=0..4);>limit(g(x),x=2);f(x)於x=2不可微分,定義g(x)=5-x2>g:=x->5-abs(xA2-4);>plot(g(x),x=0..4);>limit(g(x),x=2);繪出g(x)的函數(shù)圖。由圖中可看出於x=2之處圖形有一尖點存在，因而可預(yù)測g(x)於x=2不可微分。g(x)於x=2的雙邊極限存在，故可知g(x)於此處連續(xù)。依(3.1.4)式來測試g(2)是否存>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0,left);依(3.1.4)式來測試g(2)是否存>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0,left);在，計算得limg(2h)-g(2)二4limg(2.*)=4o因左右極限h_0- h不相等，故可知g(2)并不存在。直接以定義3.1.3來求g，(2),Maple回應(yīng)undefined,故可知g(x)於x=2并沒有定義，亦即不存在。r2,,,、x+1,x<1TOC\o"1-5"\h\zTE義p(x)=J -。2x, x>1繪出p(x)的函數(shù)圖。雖然p(x)為一片段函數(shù)，但右圖中顯示於 x=1之處既連續(xù)，且無尖角、折角，或>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0,right);>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0);>p:=x->piecewise(x<=1,xA2+1,x>1,>2*x);>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0,right);>limit((g(2+h)-g(2))/h,h=0);>p:=x->piecewise(x<=1,xA2+1,x>1,>2*x);>plot(p(x),x=-2..3);>limit((p(1+h)-p(1))/h,h=1);>q:=x->piecewise(x<=1,xA2-2,x>1,>x-2);>plot(q(x),x=-2..4);.__FjJ/'-J>limit((q(1+h)-q(1))/h,h=0);p(x)於x=1之處可微分。lim.?、?2,因為雙邊極限存h_0 h在，故可知p(x)於x=1之處可微分。定義q(x)=」x2-2x-ox-2x>1繪出q(x)的函數(shù)圖。雖然 q(x)於x=1之處為連續(xù)，但於此處有折角發(fā)生，故可預(yù)測q(x)於x=1之處不可微分。因雙邊極限并不存在，故可知 q(1)也不存在，因而q(x)於x=1之處不可微分。由上面的討論可知，函數(shù)於某一點為可微分(differentiable)的必要條件之一為--函數(shù)於該點必須要連續(xù)(continuous)。事實上，函數(shù)的連續(xù)性與是否可微分有著密切的關(guān)系，下面的定理說明了這兩者的關(guān)系。定理3.1.1可微分與連續(xù)若函數(shù)f(x)在x=a為可微分，則f(x)在x=a連續(xù)。因此由定理3.1.1可知，若f(x)在x=a可微分，則f(x)在x=a連續(xù)，但此定理反過來并不成立，亦即若f(x)在x=a連續(xù)，則f(x)在x=a并不一定可微分。事實上，前面的幾個范例已說明了這個事實，讀者可由這些范例來做驗證。習(xí)題3.1於習(xí)題1~6中，依導(dǎo)函數(shù)的定義式來求f(x)。1. f(x) =4x3 2. f(x)=x3 23. f(x) =7x22 4. f(x)=x5.f(x)=x 6.f(x)=x4,12於習(xí)題7~9中，給予一函數(shù)f與函數(shù)圖形上的一點p,試計算f於p點之切線斜率f(x)=2x2+3；於點(1,5)。f(x)=x3-4；於點(2,4)。f(x)=1/x；於點(1,1)?？紤]下面的函數(shù)圖。(1)於*=2,哪一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)之值較大？y=f(2)陜哪一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)之值較大？若［兩二曖)，是否意味著f(x)=g(x)必須成立？為什麼？

、2;正以幾時上的觀點來說明為什麼1/x於x=0的導(dǎo)函數(shù)不存在？3.2導(dǎo)函減前求法於上節(jié)中，已介紹了如何以導(dǎo)函數(shù)的定義式來求得函數(shù)的微分。但因其計算的過程頗為煩瑣，故許多微分法則也就相繼發(fā)展而出。 本節(jié)將介紹一些微分的基本公式，以方便導(dǎo)函數(shù)的計算。限於篇幅的關(guān)系，本書并無法對每一個定理都詳加證

明，有興趣的讀者可以參考相關(guān)的微積分書籍。定理3.2.1常數(shù)的微分為零設(shè)f(x)《為一常數(shù)函數(shù)，則f(x)=0定理3.2.1的證明并不難，把自用=4弋入中，可得故可得證。以幾何的觀點來看，常數(shù)函數(shù)的圖形為一水平線，無論位於何處，其切線的斜率均為零，

故也可由此推測常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為00定理3.2.2乘幕律(powerrule)?i若n為正整數(shù)，則-d(xn)=nxnJ1dx雖然於定理3.2.2中，指數(shù)n為正整數(shù)，但事實上，n為實數(shù)時，本定理亦成立。定理3.2.2可以利

用二項式公式(ab)n=an=nan」b.(7口卷2…nabn」bn (來證明。令f(x)=xn,則消去分子與分母中的共同因子h,於括號內(nèi)除了第一項之外，每一項均含有 ho當hT0時這些項的極限值均為0,故可得利用Maple的limit指令也可以驗證這個結(jié)果：定義f(x)=xn。 >f:=x->xAn;這是求解導(dǎo)函數(shù)的公式。 >Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);利用value指令求解極限值并化簡 >simplify(value(%));定理3.2.3常數(shù)與函數(shù)相乘之微分若c為一常數(shù)，且f為可微分函數(shù)，則cf亦為可微分函數(shù)，且N(cf(x))=屋f(x)dx dx定理3.2.3可以直接將cf(x)代入定義中來驗證明

定理3.2.4和與差的公式若f與g為可微分函數(shù)，則d dd d dd—(f(x)+g(x))=—f(x)+丁g(x), —(f(x)-g(x))=—f(x)-—g(x)dx ddxdx dx ddxdx定理3.2.4說明了函數(shù)之和或差的導(dǎo)函數(shù)，等於各別函數(shù)之導(dǎo)函數(shù)的和或差【例題3.2.1】試求6x3—4x+3的導(dǎo)函數(shù)。(定理3.2.4)【解】 —(6x3-4x3)^d-(6x3(定理3.2.4)dx dxdxdx=6-d-(x3)-4-d-x+0 (定理3.2.1、3.2.3)dxdx=6(3x2)—4=18x2—4 (定理3.2.2)現(xiàn)在利用Maple來驗證所求得的結(jié)果：定義f(x)=6x3—4x+3。 >f:=x->6*xA3-4*x+3; 」J；利用(式，可求得與先前之計算 >limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);相同的答案。:'L口?' 'I 小.【例題3.2.2] 設(shè)f(x)=取,試求通過f上之一點(1,1)的切線方程式。【解】因f(x)代表函數(shù)圖形之切線斜率，故只要計算出「(1),即可利用點斜式來求出通過點(1,1)的切線方程式。依定理3.2.2,可得因此，當

由點式

現(xiàn)在，定義f(x)=Vx因此，當

由點式

現(xiàn)在，定義f(x)=Vx。由(式可求得f(x)將x=1代入f(x),可求得f(1)=1/3,故可知於xv1時，函數(shù)圖形之切線斜率為 1/3。由點斜式可知切線方程式為y=1+(x-1)/3o繪出f(x)=疚的圖形與切線的x=1時，函數(shù)圖形之切線斜率m為V=Votm(x-x。),可得切線方程式為以？Maple來驗證上面的計算過程：f:=x->xA(1/3);limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);subs(x=1,%);y:=1+(x-1)/3;plot([f(x),y],x=0..4);圖形。由圖中可看出切線切函數(shù)圖形於(1,1)這點，故可驗證計算的正確性。值得注意的是，函數(shù)乘積或商的導(dǎo)函數(shù)并不等於各別函數(shù)之導(dǎo)函數(shù)的商或和。 下面的定理列出了函數(shù)乘積與商之導(dǎo)函數(shù)之公式，相關(guān)的證明可以參考本節(jié)的習(xí)題。

定理3.2.5積的公式(productrule)若f與g皆為可微分函數(shù),則—(f(x)g(x))=f(x)—g(x)+g(x)—f(x)

dx dx dxd dg(x)f(x)-f(x)g(x)

dx dxg2(x)d dg(x)f(x)-f(x)g(x)

dx dxg2(x)若f與g皆為可微分函數(shù)，且g(x)#0,則 史白國;dxg(x)【例題3.2.3] 設(shè)f(x)=x22,試求f'(x)。x-1【解】f(x)=2d d 22 (x2-1) x-2-(x-2) (x2-1)x-2 dx dx I= dxx2-1,2 【解】f(x)=2d d 22 (x2-1) x-2-(x-2) (x2-1)x-2 dx dx I= dxx2-1,2 、一，(x一1)-2x(x-2)2 2(x-1)2 2(x2-1)2-x24x-12 2(x-1)(定理3.2.6)接下來，利用jxx x-2TE乂f(x)=2x-1Maple以導(dǎo)函數(shù)的定義式來驗證所求得的結(jié)果。>f:=x->(x-2)/(xA2-1);I一.一7兒/U .*. \\以3.2.1式求導(dǎo)函數(shù)， Maple回應(yīng)與⑴式相同的結(jié)果。>limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);到目前為止，本書均以導(dǎo)函數(shù)的定義式來要求 Maple計算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。事實上,Maple的內(nèi)建指令diff提供了更方便的方法來計算微分，於下節(jié)里，我們將介紹它的使用方法與技巧，讀者更能藉此了解Maple在符號運算上的潛能，以及它所帶來的便利性。習(xí)題3.2於習(xí)題1~6中，試計算各式的導(dǎo)函數(shù)。5f(x)=x3.f(x)=x2-5x65.f(x)=1-3—x。一、232.f(x)=x24x 2x-14.f(x):——3

x32.f(x)=(6x24)(5x-1).設(shè)f(x)=6x3+3x2—4,試求出切f於(1,5)的切線方程式。8.試以導(dǎo)函數(shù)的定義式來導(dǎo)出積的公式9.試以定理3.2.5來證明定理3.2.6。(提示：f(x)/g(x)可以寫成f(x)g(x「)。10.如果f'(x)=g(x),這個關(guān)系是否意味著f(x)=g(x)?試解釋之。3.3Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處理函數(shù)的微分。diff是用來計算函數(shù)的微分，而D則是針對函數(shù)運算子所設(shè)計，用以求出運算子的微分式。以下兩個小節(jié)分別介紹這兩個微分指令。微分指令diffMaple以diff來計算函數(shù)的微分。diff可以把一函數(shù)對單一變數(shù)微分，或者是對多個變數(shù)微分。而Diff指令則保留了微分的原式，而不對微分式求值。diff(f(x),x) 或diff(f(x),x) 或diff(f(x),[x])計算微分式》(x)Diff(f(x),x) 保留微分的原式，不對微分式求值視其它x為diff(x視其它x為diff(xA3,x);>>ff((x-2)/(x"2-1),x);diff(a*xA2+b*x+c,x);計算_d_x3。dx計算—i4三［odxx2-1除了指定的變數(shù)之外，Maple的符號為常數(shù)。於此例中，指定變數(shù)，而a,b與c均為常數(shù)。Diff指令(以大寫的D開頭)有別於diff指令，Diff并不對微分式求值，而只會回應(yīng)所輸入的微分式。如果想求出微分式的值，可以使用value指令來達成。止匕外，數(shù)學(xué)上慣用以短f來表示單變數(shù)函數(shù)f對x微分。若f為多變數(shù)函數(shù)，則習(xí)慣上以含f來表示f對x的偏微分(partialdifferentiation)0值得注意的是，Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號 ￡來取代慣用的蔡。Diff以標準的數(shù)學(xué)式來顯示所輸入的 >Diff(xA2+b*x,x);微分指令。於數(shù)學(xué)上，慣用 /來代表對單變數(shù)函數(shù)做微分，但Maple則以偏微分符號等來表示所有的微分式。用右式的語法，可以建構(gòu)一個完整的 >Diff(xA2+b*x,x)=diff(xA2+b*x,x);數(shù)學(xué)式。>diff((f+g)(x),x);>diff((f*g)(x),x)；>diff((f+g)(x),x);>diff((f*g)(x),x)；>diff((f/g)(x),x);>normal(%);這是微分的乘法公式。這是微分的除法公式。normal指令則可以把兩個分式合并成一個分式。您可以對照一下，右式正是定理3.2.6的公式。3.3.2微分運算子D()在介紹微分運算子之前，讀者必須先了解Maple的函數(shù)運算子(functionaloperator)。Maple的內(nèi)建函數(shù)如sin、cos、abs與sqrt等皆為函數(shù)運算子，而函數(shù)運算子加上引數(shù)(如sinx、cosx…等)即成為一個標準的函數(shù)，如圖3.3.1所示。函數(shù)運算子加上引數(shù)即成為一個標準的函數(shù)。圖3.3.1函數(shù)運算子與其引數(shù)的關(guān)系函數(shù)運算子加上引數(shù)即成為一個標準的函數(shù)。圖3.3.1函數(shù)運算子與其引數(shù)的關(guān)系>(sin+sqrt)(x);如果於Maple里自定一個函數(shù)f(x)=x2+3,其語法為f:=x->2*x+3則其中的x->2*x+3即為自定的函數(shù)運算子。因自定的函數(shù)運算子通常頗為冗長且不易記憶，故習(xí)慣上，常會把它設(shè)給一個變數(shù)(如f:=x->2*x+3)習(xí)慣上，常會把它設(shè)給一個變數(shù)(如f:=x->2*x+3),而以這個變數(shù)來代表這一整個函數(shù)運算子。圖3.3.2說明了函數(shù)運算子與其引數(shù)的關(guān)系設(shè)定f為函數(shù)運算子利用函數(shù)運算子來計算設(shè)定f為函數(shù)運算子利用函數(shù)運算子來計算f(6)f:=x->2*x+3f(6)f:=x->2*x+3f(6)函數(shù)運算子函數(shù)運算子圖3.3.2自定的函數(shù)運算子與其引數(shù)的關(guān)系x->2*x+3 是一個函數(shù)運算子。在函數(shù)運算子之彳爰加上一個引數(shù)，Maple即可求得其函數(shù)值。設(shè)定函數(shù)運算子函數(shù)運算子圖3.3.2自定的函數(shù)運算子與其引數(shù)的關(guān)系x->2*x+3 是一個函數(shù)運算子。在函數(shù)運算子之彳爰加上一個引數(shù)，Maple即可求得其函數(shù)值。設(shè)定f為函數(shù)運算子x->2*x+3利用所定義的函數(shù)運算子來計算f(4)的值。於此例中，讀者可以發(fā)現(xiàn)f與sin兩個函數(shù)運算子實有異曲同工之妙。>x->2*x+3;>(x->2*x+3)(4);>f:=x->2*x+3;>f(4),sin(Pi);引數(shù)熟悉了Maple的函數(shù)運算子之彳爰,再來看看微分運算子DoMaple的微分運算子系針對函數(shù)運算子所設(shè)計，給予一函數(shù)運算子，微分運算子D即可求出這個運算子的微分式。因此， D是用在計算函數(shù)運算子的微分，而diff則是用來計算數(shù)學(xué)運算式的微分。由此可知， diff的運算結(jié)果是一個運算式，而D的運算結(jié)果則是一個運算子。D(f)求函數(shù)運算子f的一階微分運算子微分運算子D()D()的用法。D()的用法。的微分理論很快的於下節(jié)中便會介紹，但讀者可以先參考一下微分運算子>D(sin);sin為Maple的一個內(nèi)建函數(shù)運算子，微分此一運算子可得 cos,而cos本身>D(sin);也是一個函數(shù)運算子。diff則是用來計算數(shù)學(xué)式的微分。D(sin)回應(yīng)cos,故D(sin)(x)回cos(x)。同時對數(shù)個函數(shù)運算子的組合微分。注意其結(jié)果是一組函數(shù)運算子。函數(shù)運算子加上引數(shù)即成一般的數(shù)學(xué)表7K式。>diff(sin(x),x);>D(sin)(x);>D(sin+cos+sqrt);>D(sin+cos+sqrt)(x);幾個例子相同於。f:=x->x幾個例子相同於。f:=x->xA3+x+1;g：=D(f);>g(k)；D指令不僅可以用在Maple的內(nèi)建函數(shù)運算子，同時也可以用在自定的函數(shù)運算子，其用與上面的定義一函數(shù)運算子 foD(f)的結(jié)果亦為一函數(shù)運算子。 於右邊的范例中，我們把運算結(jié)果設(shè)給另一變數(shù)go求g(k)的值，得到f(x)在x=k時的導(dǎo)數(shù)。計算(x)+g(x))。計算dr(f(x)g(x)於x=1時的導(dǎo)數(shù)。除去f與g的定義。因f并沒有任何定義，故D(f)回應(yīng)原式。這是函數(shù)運算子的一階微分，并於零這一點求值。此式相當於f(0)O此式相當於f(x)o利用convert指令可以將微分運算子的表示式轉(zhuǎn)換成傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示式。>D(f+g)(x);>D(f*g)(1)；>unassign(f,g);>D(f);>D(f)(0)；D⑴(x)；convert(%,diff);D(sin)得cos,而cos(0)=1。>D(sin)(0);習(xí)題3.3於習(xí)題1~8中，試以Maple的diff指令計算各式。1. 1x3124x-32. 2sin(x-1)"%..I「一).二:_I3.x4/5-sin...x4x.xx5.x2 /2c\127.(x-2)x6.(x3)x\I'.\IIIL8.sin(cosx)9.試以Maple的微分運算子D來計算習(xí)題1~8,并驗證所得的結(jié)果是否相同。

於習(xí)題10~12中，試以Maple的微分運算子D來計算各式。10.f(x)=】4x2+2,求f'(4)。4x311.f(x)=2

sinxcosx12.f(x)=xx,求f(1)。13.設(shè)f(x)=x4—6x2+4x—4o(1)試繪出f(x)的圖形，范圍取-3MxM3。⑵繪出f(x)的圖形，范圍取-3<x<3o(3)f(x)=0的點約位於何處？試由所繪的圖形來說明。⑷試以solve指令求出f(x)=0所有的解，并由函數(shù)圖形來驗證所求得的答案。(5)f(x)的最高點與最低點約位於何處？試由函數(shù)的圖形來說明。(6)於f(x)的最高點與最低點之處，f'(x)的值為何？試由函數(shù)的圖形來說明。3.4三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)本節(jié)將探討如何計算三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而於推導(dǎo)的過程中，所有的角度均以強度為單位。附錄附有三角函數(shù)簡單的復(fù)習(xí)，有需要的讀者可逕行參考。於本節(jié)一開始先來推導(dǎo)sinx的導(dǎo)函數(shù)，其它三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均可藉由sinx的導(dǎo)函數(shù)與微分的基本公式來導(dǎo)出。由導(dǎo)函數(shù)的定義，&sinx=limdxh0sin(xh)-sinx(導(dǎo)函數(shù)的定義)=limhj0sinxcoshcosxsinh-sinx(將sin(x+h)展開)(提出sinx與cosx)cosh-1=sinxlim cosxlih」0h 1稍彳爰將證明cosh一1lim一h0.(3.4.2)故（式可以化簡成d…—sinx=cosxdx(3.4.3)d…—cosx=-sinxdxdtanx=sec2xdxcosx的導(dǎo)函數(shù)可仿照上例,

由（3.4.2）式，可得(3.4.4)tanx的導(dǎo)函數(shù)可由與式來推導(dǎo)而得：

於是，可得(3.4.5)其它三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)之證明將留做習(xí)題:dcotx=-csc2xdx(3.4.6)d?！猻ecx=secxtanxdxd… ……cscx=-cscxcotxdx(3.4.7)(3.4.8)⑻lilimsinhh0h定理3.4.1(b)him0cosh-10定理3.4.1的證明頗為有趣，以下先證出（a）的部份，而（b）的證明則可習(xí)題。如圖於紙上繪一個半徑為1的四分之一圓，并交x軸於A點。繪一線段OC交圓於B點,軸。3.4.1所小，先而CA垂直於x半徑r=1由圖中可看出△OAB的面積（扇形OAB的面積cAOAC的面積角形面積為底乘庖除二，而扇形面積為A2H,其中r為半徑，日為角度。所以△OAB的面積=sinh/2,幅黑if4婀鬻/2>plot([cos(h),sin(h)/h,1],>h=-Pi/2..Pi/2,y=0.4..1.2);d... .這是一sinx的te義式。dxd利用value求值，得到一sinx=cosx。dx直接以diff指令計算>plot([cos(h),sin(h)/h,1],>h=-Pi/2..Pi/2,y=0.4..1.2);d... .這是一sinx的te義式。dxd利用value求值，得到一sinx=cosx。dx直接以diff指令計算—sinxodx以微分運算子 D也可以求得相同的結(jié)果。繪出sinx(紅色)與其導(dǎo)函數(shù)(即cosx,綠色)的圖形。由圖中可看出於sinx的極大值處，其導(dǎo)函數(shù)的值為零，相同的，當導(dǎo)函數(shù)cosx的值為極大時，sinx的值亦為零。計算tanx的導(dǎo)函數(shù)。由三角恒等式2 2 'secx=1+tanx,故可知tanx的導(dǎo)函>value(%);>diff(sin(x),x);>D(sin)(x);>plot([sin(x),diff(sin(x),x)],>x=-Pi..2*Pi);>Diff(tan(x),x):%=value(%);d, 2數(shù)亦可與成￡tanx=sec這是secx的導(dǎo)函數(shù)。>Diff(sec(x),x):%=value(%);習(xí)題3.4於習(xí)題1~3中，試導(dǎo)出各恒等式。d一…2一cotx--cscxdxdsecx=secxtanxdx3.dcscx二-cscxcotxdx4.試證明(提示：將co止的分子與分母同乘cosh+1,經(jīng)運算彳爰再利用(3.4.10)式來計算)h於習(xí)題5~10中，試計算各微分式。5.—(sinxcosx)dx6.dxsinxtanx故可得將上式同乘2/sinh,再取倒數(shù)，可得式系在0che/2的區(qū)間內(nèi)所推導(dǎo)而得，事實上，在0對下_n/2區(qū)間內(nèi)，式亦成立，因為當h-,0時,cosh=1,故由夾擊定理可推得(3.4.10)定理3.4.1(b)式的證明可由(3.4.10)推導(dǎo)而得，這個部分留做習(xí)題。有趣的是，如果把的每一個函數(shù)繪於5/2<hcn/2的范圍內(nèi)，則更可以了解夾擊定理所表現(xiàn)的真實意義：繪出cosh,sinh/h與1?的函數(shù)圖。圖中顯示最頂端的水平線為y=1,而最底端的曲線為cosh,而sinh/h的圖形則被“夾擊"在1與cosh之間。由圖中可看出當hT。時，sinh/h=1。接下來，再來看幾個Maple計算三角函數(shù)之導(dǎo)函數(shù)的范例。>Limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h=0);

7.dtanx，2dxsinx8.7.dtanx，2dxsinx8.凡畫

dxxsecx Isinxd dsinxcscx9.(tanxsecx) 10.- dx dxtanx11.試求y=sin但—x；之圖形在點(0,1)之切線方程式，并繪圖來驗證所求得的結(jié)果23.5鏈鎖律本節(jié)將探討合成函數(shù)(compositefunction)的微分，而合成函數(shù)的微分需要用到一些小技巧。在此先

舉一個范例來做說明，於前幾節(jié)里已經(jīng)學(xué)過如何微分函數(shù)IP—1I J._f(x)=sinx與g(x)=2x2+1那麼，要如何利用已知的微分方法，來求得合成函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)呢？首先，設(shè)u=2x2+1,貝Uy=sinu,於是如果把案看成是一個簡單的除法，則祟可以改寫成將與式代入式，可得再把u=2x2+1代入上式，即可得如此便可求得合成函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)函數(shù)。式所用的微分方法稱為鏈鎖律(chainrule),下面的定理說明了鏈鎖律的法則。定理3.5.1鏈鎖律設(shè)g在x為可微分，且f在g(x)為可微分，則合成函數(shù)f：g在x為可微分，且如果設(shè)y=f(g(x))且u=g(x),則定理3.5.1可以改寫成dy=dydu (3.5.4)dxdudx讀者可以注意到，此式與式相同。TOC\o"1-5"\h\z【例題3.5.11設(shè)y=W(x3+6x)12,試求包。

dx dx【解】令u=x3+6x,y=u12,由式，可得有些函數(shù)可能須要用到兩次，或者是兩次以上的鏈鎖律才能求得其導(dǎo)函數(shù)。 下面的范例說明了這個情形。【例題3.5.2]設(shè)y=—sin3(x2+4),試求—。

dx dx【解】 設(shè)u=sin(x2+4),則丫-3,所以dyd.3,2八dyduc2d.,2—ns——sin(x4)=—L——=3u—sin(x4) (a)dxdx dudxdx

要求出上式中的—sin(x2+4),必須再用一■次鏈鎖律。設(shè)v=x2+4,z=sinv,於是dxdzd. 2八dzdv—=—sinx(4)=要求出上式中的—sin(x2+4),必須再用一■次鏈鎖律。設(shè)v=x2+4,z=sinv,於是dxdzd. 2八dzdv—=—sinx(4)=———=cos(2x) (b)dxdx dvdx將(b)式入(a)中可得於許多的應(yīng)用中,計算(f(x))n=fn(x)的微分可直接利用廣義的乘幕律(generalpowerrule)此定律的敘述如下：定理3.5.2廣義的乘幕律___ I若f(x)為x的可微分函數(shù)，則-dfn(x)=n.fn-1(x)Af(x)dx dx讀者該不難發(fā)現(xiàn)，事實上，廣義的乘幕律僅是鏈鎖律的一個應(yīng)用。 通常這個定律可用來快速的計算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。例如，卜面為Maple應(yīng)用在鏈鎖律之計算的幾個例子。Maple也是利用鏈鎖律來計算合成函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。計算*sin3(x2+4)。您可以比較右式的結(jié)果，看看與例題3.5.2的結(jié)果是否相同。這是合成函數(shù) f(g(x))的Maple表示>diff((xA3+6*x)A12,x);>diff(sin(xA2+4)A3,x);>(f@g)(x)；法，其中f@g為合成函數(shù)運算子。對合成函數(shù)運算子的微分。右邊的結(jié)果可以看成((D(f))@g)D(g),亦即D(f)合成g,再將其結(jié)果乘上 D(g)。與上例做比較，f即為sin,而g則為sqrtD(f)=cos,D(g)=1/(2sqrt),故Maple回應(yīng)cos@sqrt/(2*sqrt)。加上引數(shù)則可求得 dxsinJx。利用diff指令直接對sinxx微分，也可以得到相同的結(jié)果。D(f@g)；D(sin@sqrt);D(sin@sqrt)(x);diff(sin(sqrt(x)),x);習(xí)題3.5於習(xí)題1~8中，計算dy/dxy=x21y=43x2+43 2 12.y=(6x■5)y=sin5(,x1)y=tan2:xy=4cos(sinx)7.2x3y= 24x2-6x2.y=x2.x2.設(shè)f(x)=-2-7(1x)(1)試驗證(T,1)為圖形上的一點。(2)試求出通過點(-1,1)的切線方程式，并繪圖來驗證所求得的結(jié)果。

10.設(shè)f(x)=J4x+1(1)試繪出f(x)的圖形。(2)試求函數(shù)圖形上的一點p(x,y),使得通過p的切線與y軸截交於(0,2)這點u為小魚的數(shù)目，而x為11.u為小魚的數(shù)目，而x為小蝦的數(shù)目。(1)試解釋dy/du、du/dx與dy/dx的涵義。(2)試以食物鏈的關(guān)系來解釋鍵鎖律dy

dxdy

du(2)試以食物鏈的關(guān)系來解釋鍵鎖律dy

dxdy

dudu

dx3.6高階導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)為一可微分函數(shù)，則f(x)稱為f的一階導(dǎo)函數(shù)(firstorderderivative)。如果再把f(x)微分一次，則可記之為f"(x),而函數(shù)f,(x)稱為f的二階導(dǎo)函數(shù)(secondorderderivative)依此類推，可定義f的三階、四階?…導(dǎo)函數(shù)：一般而言，f(x)的n階導(dǎo)函數(shù)可以寫成f(n)(x),或者是《f(x)0例如f"(x)則可以寫成f⑵(x),或者

是/f(x),而f(x)的三階導(dǎo)函數(shù)可寫成「"(x)、f(3)(x)或者是4f(x)?！纠}3.6.1]試求f(x)=6x2+5x—4的一階、二階、三階與四階導(dǎo)函數(shù)。【解】 依式，可得f(x)的高階導(dǎo)函數(shù)：因0的導(dǎo)函數(shù)為零，故其余較高階的導(dǎo)函數(shù)均為0【例題3.6.2】試求/sMx

dx【解】利用鏈鎖律，d2—sinx=2sinxcosx,dx=2cos2x-sin2xMaple計算二階以上之導(dǎo)函數(shù)的指令與一階相同，只是語法稍有不同。下表列出了diff指令與微分運算子D在二階以上之導(dǎo)函數(shù)的用法。diff(f(x),x$n)或diff(f(x),[x$n)])diff(f(x),x$n)或diff(f(x),[x$n)])計算微分式 nf(x)dx(D@@n)⑴(D@@n)⑴計算函數(shù)運算子f的n階導(dǎo)函數(shù)定義f(x)=xsinx定義f(x)=xsinx。這是f'(x)的定義式。求出f(x)=xcosx+sinx,再利用unapply設(shè)定fp(x)=xcosx+sinx。這是f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)之定義式。以value指令即可求得f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)，即f"(x)的值。計算高階導(dǎo)函數(shù)的指令f:=x->x*sin(x);Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);fp:=unapply(value(%),x);Limit((fp(x+h)-fp(x))/h,h=0);value(%);以diff計算f1x)的值，可以得到相同的結(jié)果。計算於x=多時，f(x)的二階導(dǎo)數(shù)之值。利用微分運算子D來計算f”(x)。以微分運算子D來計算「仔)的值。計算《sin2x。注意本例中所得的答dx2案與例題3.6.2相同。如果函數(shù)f沒有任何的定義，則以>diff(f(x),x$2);以diff計算f1x)的值，可以得到相同的結(jié)果。計算於x=多時，f(x)的二階導(dǎo)數(shù)之值。利用微分運算子D來計算f”(x)。以微分運算子D來計算「仔)的值。計算《sin2x。注意本例中所得的答dx2案與例題3.6.2相同。如果函數(shù)f沒有任何的定義，則以>diff(f(x),x$2);>eval(%,x=Pi/2);(D@@2)(f)(x);(D@@2)⑴(Pi/2);Diff(sin(x『2,x$2):%=value(%);移去f的所有設(shè)定。這是函數(shù)運算子的二階微分式。(D@@2)表示函數(shù)運算子的二階微分。這是函數(shù)運算子的n階微分。這是計算函數(shù)運算子的一階微分，再將一階微分的結(jié)果平方。D運算子來計算f的導(dǎo)函數(shù)時,

的導(dǎo)函數(shù)。>unassign(f);>D(D(f));>(D@@2)(f);>(D@@n)(f);>(DA2)(f);Maple會以特定的格式來表示f3.7隱微分法習(xí)於習(xí)題1~8中,題3.6試計算各微分式。1.I,…22.h;/,d3——tanxdx3.5.7.d4cosxdxd2 2—2secxdxd：x.x12dx39.設(shè)n、，y=’,試求口。1-x dxn10.設(shè)f(x)=4x4+6x2-12x+4。4.6.8.Wx3dxd3 1dx3x21d：sin..xdx(1)試繪出f'(x)與f*(x)的圖形。(2)試找出所有的區(qū)間使得f“(x)〉0。如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的型式，則前幾節(jié)所介紹的微分法便不適用，因此必須嗒

試另一種方來求得函數(shù)f的微分。例如，考慮方程式顯然的，上式并無法把它表示成y=f(x)的型式。有趣的是，要如何由來求出dy/dx呢?要解決這個問題，可依照下面的步驟來進行：d2.3、d最(xy)=dx(2xy)(把等號的兩邊對x做微分)2x3y2*2dx(視y為x的函數(shù)，利用定理352來微分/(x))把dy/dx當成一個變數(shù)并求解之，即可得(372)Maple的(372)Maple的diff指⑴⑵⑶⑷(1)式相同。把eqn對x微分兩次可得右式。於右式中，-*已解出，而李正是本題中所要求的解。由上式解出總o將與代入上式即可解出與。x4y■片dy2(1-x)~= 2dx3y-1以這種方法求解導(dǎo)函數(shù)的方法稱為隱微分法 (methodofimplicitdifferentation)。利用令也可以模仿上面的步驟，求出的隱微分。設(shè)定eqn=x2+y(x)3=2x+y(x)。注 >eqn:=xA2+y(x)A3=2*x+y(x);意於右式中，我們明確的設(shè)定y為x的函數(shù)，即y=y(x)。把上面的方程式對 x微分，可得如右 >diff(eqn,x);式的微分式。讀者可以注意到，右式中的-gy(x)即是本范例中所要求的隱x微分。用solve指令求解4y(x),即得方程 >s01Ve(%,{di的(x),x)});x式x2+y(x)3=2x+y(x)的隱微分。讀 ，,「者可對照式，看看是不是解出了相同的結(jié)果！【例題3.7.1］設(shè)x2—4y2=3,利用隱微分法求d2y/dx2。

1I11 .IyI.【解】對x2-4y2=3的兩邊做隱微分，可得於是可以解得\i.1■1,r ?I-3//u 'Idyxdx4y對(1)式的兩邊再做一次隱微分，可得d2y_dx4y-x(4dy/dx)TOC\o"1-5"\h\zdx2dx4y (4y)2將(1)式代入(2)式，得到,2 2 2dy4y-x(x/y)4y-x2一._2 -“3dx16y 16y最彳爰，將原方程式x2-4y2=3代入(3)式并化簡之，可得\||d2y_-3,2二Tdx16y利用Maple的diff指令也可以解出本例中的二階隱微分:定義方程式x2-4y(x)2=3。 >eqn:=xA2-4*y(x)A2=3;把上式對x微分，可得右式的輸出。 >diff(eqn,x);由上式可解得工=+。注意此式與 >so11：=so1ve(%,{diff(y(x)，x)});x4y>sol2:=diff(eqn,x$2);>solve(sol2,diff(y(x),x$2));>subs(sol1,%);

利用原方程式x2_4y2=3來化簡 >simPl利用原方程式x2_4y2=3來化簡 >simPlify(%,{eq哂;上式，可得最精簡的式子。讀者可以注意到，右邊的輸出與(4)式相同。事實上，於Maple的環(huán)境里計算隱微分并不必像例題3.7.1股的復(fù)雜，Maple提供了一個簡單的implicitdiff指令，可以更方便的計算函數(shù)的n階隱微分implicitdiff(f(x,y)=0,y,x)implicitdiff(f(x,y)=0,y,x$n)求方程式f(x,y)=0的隱微分5dxn、,求n階隱微分UdxnMaple的隱微分指令計算x2+y3=2x+y的隱微分。定義隱函數(shù)f(x,y)=sin(xcosy)。已知函數(shù)f(xy),以隱微分法求dy/dx。這是函數(shù)f(x,y)於x=3,y=1的微分值(斜率)。以隱微分法求d2y/dx2?！纠}3.7.2】考慮方程式>implicitdiff(xA2+yA3=2*x+y,y,x);>f:=(x,y)->sin(x*cos(y));>implicitdiff(f(x,y)=0,y,x);IIIII1;;;>subs({x=3,y=1},%);>implicitdiff(f(x,y)=0,y,x$2);1x2-1x4--y2=—,試以Maple求解下列兩個問題:2 4 2 36(a)試求出切線為水平線的x軸坐標值。(b)於x軸的坐標值為何時，圖形之切線為一垂直線 ？【解】 首先對方程式ax2Tx4T2y2=36做圖，以求得一些幾何上的概念。因此方程式為一隱函數(shù)，故可利用plots程式庫里的implicitplot指令來做隱函數(shù)的繪圖：定義eqn定義eqn為1x2-4-x4--2y2>eqn:=xA2/2-xA4/4-yA2/2=1/36;繪出eqn的圖形。由圖中可看出隱函數(shù)之圖形為一封閉的曲線。上圖顯示了水平之切