國(guó)小統(tǒng)計(jì)教材-機(jī)率初步概念之設(shè)計(jì)理念與實(shí)際

《國(guó)立嘉義師範(fàn)學(xué)院86學(xué)年度數(shù)學(xué)教育研討會(huì)論文之5》PAGE1第PAGE8頁國(guó)小統(tǒng)計(jì)教材－機(jī)率初步概念之設(shè)計(jì)理念與實(shí)際蔡文煥國(guó)立新竹師範(fàn)學(xué)院數(shù)理教育系摘要依據(jù)八十二年度國(guó)小課程標(biāo)準(zhǔn)，兒童從遊戲中瞭解機(jī)率的初步概念，且註解機(jī)率的初步概念包含如下：（1）部分與全體的關(guān)係（2）大數(shù)法則，也就是大量的試驗(yàn)結(jié)果，趨近於某一數(shù)。並舉例：世界人口，男女人數(shù)趨於平衡，各約佔(zhàn)總?cè)丝谌藬?shù)的1/2。本文將從文獻(xiàn)上探討機(jī)率在小學(xué)中教學(xué)之可行性，及如何進(jìn)行教學(xué)，並對(duì)新課程機(jī)率教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)自我反省。本文共分為五部份進(jìn)行探討：（一）機(jī)率之?dāng)?shù)學(xué)意義，（二）兒童之機(jī)率概念之發(fā)展，（三）機(jī)率之教學(xué)探討，（四）新課程之機(jī)率教材之設(shè)計(jì)，暨（五）機(jī)率課程設(shè)計(jì)之省思與建議。

一、前言國(guó)小新教材包含統(tǒng)計(jì)和機(jī)率。由於統(tǒng)計(jì)教材設(shè)計(jì)之理念和實(shí)際已在低、中年級(jí)之?dāng)?shù)學(xué)教育研討會(huì)中已詳細(xì)介紹過（譚寧君，83；朱建正，85）。故本文僅就機(jī)率部份加以探討。本文共分為五部分：（一）機(jī)率之意義，（二）兒童機(jī)率概念發(fā)展，（三）機(jī)率教學(xué)之探討，（四）新課程機(jī)率之課程設(shè)計(jì)，暨（五）機(jī)率課程設(shè)計(jì)之省思與認(rèn)識(shí)。二、機(jī)率意義當(dāng)人類在觀察或預(yù)測(cè)某一現(xiàn)象時(shí)，會(huì)產(chǎn)生兩類情形，第一類情形是在某些相同條件下，其事件發(fā)生（或試驗(yàn)）的結(jié)果是可以預(yù)測(cè)的，其結(jié)果隱含因果關(guān)係且具有決定性者。然而有些現(xiàn)象，雖然在某些相同的條件下，其事件發(fā)生（或試驗(yàn)）的結(jié)果並不能事先加以確定，是為非決定性者。機(jī)率便是一種指標(biāo)，其用來測(cè)量這種非決定性事件可能發(fā)生的程度有多大。依據(jù)文獻(xiàn)上的討論，機(jī)率的意義大概可分為四種（Shaughnessy,1992;Konold,1991;Hawkins&Kapapia,1984）：古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率），試驗(yàn)機(jī)率（Empricialprobability）（或稱次數(shù)機(jī)率），主觀或直覺機(jī)率（SubjectiveandIntuitiveprobability），暨形式機(jī)率（Formalprobability）。古典機(jī)率是假設(shè)在隨機(jī)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)中每一基本事件發(fā)生的機(jī)會(huì)均等（equallylikely），數(shù)學(xué)家稱此為均勻機(jī)率分配。經(jīng)驗(yàn)機(jī)率是指隨機(jī)結(jié)果的長(zhǎng)期行為，數(shù)學(xué)上，其包含極限和收歛的理論。主觀機(jī)率是二十世紀(jì)所產(chǎn)生的名稱，其在測(cè)量信仰的程度（degreeofbelief）。它似乎可能依賴貝爾定理（BayesTheorem）而將主觀機(jī)率數(shù)學(xué)化，意即依賴可獲得的資訊作為機(jī)率修正的理論。形式機(jī)率是利用數(shù)學(xué)法則（如公理）來定義機(jī)率。形式機(jī)率超過小學(xué)範(fàn)圍故在此不加以討論。雖然Kapadia(1988)宣稱主觀機(jī)率優(yōu)於其它兩者。但是Shaughnessy(1992)強(qiáng)調(diào)教機(jī)率的重點(diǎn)是將一些觀點(diǎn)模式化（amodelingpointofview）在不同的問題型態(tài)和不同的工作任務(wù)（tasks）能用不同的機(jī)率模式去解決。某些機(jī)率實(shí)驗(yàn)可能以均勻機(jī)率空間加以模式化，而某些可能用經(jīng)驗(yàn)機(jī)率的觀點(diǎn)較佳。有時(shí)候，經(jīng)驗(yàn)機(jī)率亦能解決主觀機(jī)率和古典機(jī)率的衝突。正如Kuhn(1962)所言，假如我們?cè)庥鲂碌奶魬?zhàn)，我們最近的模式證明不適當(dāng)，那麼一種新的有關(guān)思考機(jī)率的典範(fàn)將必須演化。因此兒童在學(xué)習(xí)以上的多種模式機(jī)率是適機(jī)的問題，而不是要不要的問題。以下將探討兒童在機(jī)率概率的發(fā)展，再來考慮學(xué)習(xí)時(shí)機(jī)的適切性。三、機(jī)率概念之處理發(fā)展Piaget等（Piaget&Inhelder,1951,1975）。依據(jù)其發(fā)展理論來探討兒童之機(jī)率概念之發(fā)展階段。其宣稱機(jī)率發(fā)展共分為三階段。一般而言，第一階段是在七歲以下，此時(shí)兒童無法區(qū)分事件之必然性和可能性，更沒證據(jù)顯示其具有不確定的概念。依據(jù)皮亞傑之看法，在第一階段的小孩在一個(gè)隨機(jī)的混合事件中將嘗試去尋找次序性。例如假如事件A和B，如事件A出現(xiàn)的次數(shù)較多，下一次兒童將預(yù)測(cè)B，其理由是“B常被跳過”。Piaget和Inhelder亦注意到某些兒童常以所觀察的多量作為預(yù)測(cè)判斷而完全忽略了群體的比值。例如一個(gè)箱子有三個(gè)黑球和一個(gè)白球；另一個(gè)箱子有六個(gè)黑球和二個(gè)白球，當(dāng)問他們從每個(gè)箱子拿出一個(gè)球是否拿到一個(gè)黑球的機(jī)會(huì)一樣，兒童經(jīng)常會(huì)說從有六個(gè)黑球的箱子拿到黑球的機(jī)會(huì)較大，因?yàn)樗辛鶄€(gè)黑球。此時(shí)期兒童亦不具有操作可逆性的特徵。你從袋中抽一個(gè)白球，放回去再抽第二球時(shí)，兒童會(huì)覺得不一樣，其理由是因?yàn)榘浊蛞驯怀檫^了，第二次應(yīng)會(huì)抽到其它的球，因此兒童沒有隨機(jī)的概念。同樣地，此時(shí)期的兒童不具有集合包含關(guān)係，因此亦無法將一事件看做所有可能發(fā)生事件的一部份。第二階段，是七歲到十四歲的兒童，此時(shí)兒童已能認(rèn)清事件之必然性和可能性，但尚沒有有系統(tǒng)的方式去產(chǎn)生一系列的機(jī)率，在這個(gè)階段一個(gè)兒童假設(shè)性地並沒有擁有組合技巧或去產(chǎn)生一個(gè)機(jī)率實(shí)驗(yàn)的一個(gè)抽象模式之?dāng)?shù)學(xué)成熟度。第三階段，十四歲以上，兒童開始發(fā)展組合分析的才能，並且瞭解相對(duì)次數(shù)之極限（大數(shù)法則）之機(jī)率。依Piaget的觀點(diǎn)，比值的概念在機(jī)率概念的發(fā)展中，似乎是極重要。Green(1987,1988)為了探討兒童在皮亞傑機(jī)率發(fā)展階段，曾在英國(guó)探究3000名十一歲到十六歲的學(xué)生。Green發(fā)現(xiàn)大部份十六歲的學(xué)生尚未發(fā)展到形式操作期階段。更而發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)樹枝圖和乘法原則均不甚瞭解，幾乎50%會(huì)選六個(gè)黑球和二個(gè)白球的箱子，其認(rèn)為選到的黑球機(jī)會(huì)比三個(gè)黑球之機(jī)會(huì)大。大部份的學(xué)生幾乎沒有隨機(jī)概念。因此Green給了三點(diǎn)建議：（a）比值概念在機(jī)率概念理解上是相當(dāng)重要；(b)學(xué)生當(dāng)在瞭解且使用機(jī)率一般語言，諸如“至少”，“確定”，“可能”，或“不可能”時(shí)，顯示觀念模糊且很弱；(c)只有在學(xué)校中藉由廣泛，有系統(tǒng)的教學(xué)課程才可能減少一些錯(cuò)誤的想法。在美國(guó)NAEP(theNationalAssessmentofEducationProgress)(Carpenter,Corbit,Kepner,Lindquist,andRey;1981)中有幾道題在測(cè)驗(yàn)美國(guó)兒童之機(jī)率概念。Carpenter等亦發(fā)現(xiàn)學(xué)生在原始情境中似乎具有某些機(jī)率的直觀概念且隨著年齡在增長(zhǎng)，只是學(xué)生不知道如何用數(shù)學(xué)來描述他們的直覺。理由是他們可能沒有被教導(dǎo)如何去建立一個(gè)機(jī)率模式，藉此去描述他們的機(jī)率直覺觀念。對(duì)Fischbein(1984)而言，一種直觀是一種認(rèn)知的信仰。直觀對(duì)信仰者而言是立即的，整體的，且很明顯的。Fischbein曾將直觀分為原始直觀和二階直觀。原始直觀是指教學(xué)尚未介入之前所具有的觀念信仰；二階直觀是經(jīng)過被建構(gòu)我們所接受且能應(yīng)用的認(rèn)知信仰，其是在一種特殊文化團(tuán)體內(nèi)經(jīng)驗(yàn)或教學(xué)的結(jié)果。對(duì)Fischbein而言，這種直觀是可調(diào)適的，因此可受到有系統(tǒng)的教學(xué)所影響。因此，F(xiàn)ischbein不同於Piaget在於教學(xué)可促使兒童由具體操作期提昇至形式操作期。總而言之，依據(jù)皮亞傑之說法，似乎小學(xué)很難發(fā)展機(jī)率之大數(shù)法則概念，但Fischbein卻認(rèn)為可教。以下將由一些教學(xué)研究來探討機(jī)率單元能不能在小學(xué)中實(shí)施教學(xué)。四、機(jī)率在小學(xué)教學(xué)之可行性探討大部份可行性之研究均指出小學(xué)上半段，和中學(xué)的兒童在教學(xué)之前均已擁有某些機(jī)率的初級(jí)觀念，並且可在此年齡階段施以機(jī)率之教學(xué)，以下將一些研究羅列如下：作者樣本結(jié)果Jones(1974)一～三年級(jí)診斷研究?jī)和瘯?huì)受到顏色影響操作對(duì)兒童思考機(jī)率造成干擾White(1974)Mckinley(1960)Shulte(1968)中小學(xué)學(xué)生經(jīng)過一個(gè)機(jī)率單元之教學(xué)後，機(jī)率之概念有顯著增加。機(jī)率之成就和計(jì)算能加，語言，一般數(shù)學(xué)成就成正相關(guān)，但和態(tài)度無關(guān)。Fischbein等(1970）小學(xué)之教學(xué)，基於皮亞傑的比例問題增進(jìn)學(xué)生對(duì)結(jié)果之預(yù)測(cè)九~十歲之進(jìn)步最大Fischbein&Gazit(1984)教12機(jī)率單元學(xué)院生實(shí)驗(yàn)組比控制組之教學(xué)效果要好Moyer(1974)實(shí)驗(yàn)組學(xué)到許多機(jī)率概念，但在計(jì)算技巧，推理能力，或態(tài)度上沒有顯著性差異從以上之教學(xué)研究可知，在小學(xué)中、高年級(jí)便可施以機(jī)率概念之教學(xué)之可能性，依據(jù)Shaughnessy之看法，機(jī)率教學(xué)須安排有系統(tǒng)的密集課程，他曾對(duì)學(xué)院生施以12週的機(jī)率教學(xué)，顯然學(xué)生能很成功的克服機(jī)率迷失概念，但尚有一部份學(xué)生仍然未改變其原始的信仰。他認(rèn)為信仰和概念是慢慢改變的。值得一提的是他認(rèn)為能成功地克服迷失概念是歸之於其教學(xué)模式，其步驟為：首先學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做一猜測(cè)，接下來須去執(zhí)行一個(gè)具有結(jié)構(gòu)的工作任務(wù)，收集並組織他們的資料，然後學(xué)生須基於這些資料去回答唯一的問題，並且在經(jīng)過比對(duì)他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和他們最初的猜測(cè)時(shí)，迷失概念很明顯地和實(shí)驗(yàn)證據(jù)產(chǎn)生衝突。最後師生須建立一個(gè)機(jī)率模式藉此來說明所蒐集的實(shí)驗(yàn)資料。此時(shí)學(xué)生須比較三方面所獲得的資訊：他們最初的猜測(cè)，實(shí)驗(yàn)實(shí)證的結(jié)果，和由機(jī)率模式所預(yù)測(cè)的結(jié)果。透過這樣的整體教學(xué)，學(xué)生之直觀概念和他們實(shí)驗(yàn)的觀查慢慢由所建立的機(jī)率模式所調(diào)和。Delmas和Bart(1987)的報(bào)告中亦提到如迫使學(xué)生很明顯地比較他們的預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果則能幫助他們?nèi)ダ盟踢^的實(shí)驗(yàn)機(jī)率模式。另外Konold(1991)藉用物理教育之教學(xué)技巧來教機(jī)率概念如下：學(xué)生被鼓勵(lì)去進(jìn)行1.檢驗(yàn)他們的信仰是否和其它人的信仰一致。2.檢驗(yàn)他們的信仰的內(nèi)在一致性。3.檢驗(yàn)自己的信仰和實(shí)證的觀查是否吻合。事實(shí)上此教學(xué)過程可以跟Shaughnessy之教學(xué)模式結(jié)合。雖然此兩教學(xué)模式均用於學(xué)院生的教學(xué)，但筆者認(rèn)為亦可用作為小學(xué)機(jī)率教學(xué)模式之參考。五、新課程機(jī)率之教材設(shè)計(jì)民國(guó)六十四年之公佈的課程標(biāo)準(zhǔn)在統(tǒng)計(jì)與圖表部份中將能獲得概率（機(jī)率）的初步認(rèn)識(shí)，放在第六學(xué)年度（64年課程標(biāo)準(zhǔn)，P140）。而民國(guó)八十二年新修訂的國(guó)民小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中統(tǒng)計(jì)圖表部份六年級(jí)亦列有從遊戲中瞭解機(jī)率的初步概念並加以註解，意即機(jī)率的初步概念包含兩部份：1.部分與全體的關(guān)係2.大數(shù)法測(cè)，也就是大量的試驗(yàn)結(jié)果，趨近於某一數(shù)。例：世界人口，男女人數(shù)趨於平衡，各約占總?cè)丝谌藬?shù)的1/2。（82年國(guó)民小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，P131）。64年課程標(biāo)準(zhǔn)和82年課程標(biāo)準(zhǔn)之不同地方，64年課程標(biāo)準(zhǔn)列的是概率，而82年課程標(biāo)準(zhǔn)列的是從遊戲中瞭解機(jī)率的初步概念且指定為大數(shù)法則。筆者在編寫此單元時(shí)，對(duì)於機(jī)率的初步概念為瞭解大數(shù)法則，即上述所談的經(jīng)驗(yàn)機(jī)率，不予置評(píng)，但需在短短幾節(jié)課而且是第一次上的機(jī)率單元教學(xué)要學(xué)生去瞭解極限概念的大數(shù)法則深感困惑。依據(jù)皮亞傑之發(fā)展觀點(diǎn)，兒童須在十四歲以上才能瞭解相對(duì)次數(shù)之極限觀點(diǎn)，兒童須在十四歲以上才能瞭解相對(duì)次數(shù)之極限機(jī)率概念。雖然，F(xiàn)ishbein認(rèn)為可透過有系統(tǒng)之教學(xué)而能提升皮亞傑之發(fā)展階段，但尚缺乏實(shí)證研究來支持國(guó)小兒童能瞭解實(shí)驗(yàn)機(jī)率之概念。因此在設(shè)計(jì)此機(jī)率教材時(shí)，筆者把機(jī)率之初步概念分為二個(gè)階段為：第一階段是透過兒童個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來判斷未發(fā)生事件發(fā)生可能性大小的粗略概念。如：事件一定會(huì)發(fā)生，會(huì)發(fā)生且可能性很大，會(huì)發(fā)生和不會(huì)發(fā)生的可能性差不多，會(huì)發(fā)生但發(fā)生的可能性很小，一定不會(huì)發(fā)生。以上各種情形必須根據(jù)兒童往昔已發(fā)生過的經(jīng)驗(yàn)而對(duì)未來相同事件發(fā)生可能性加以預(yù)測(cè)。例如：可問學(xué)生下列問題，而學(xué)生依據(jù)往昔經(jīng)驗(yàn)而加以回答。1.說說看「明天太陽會(huì)從東邊出來」這種情形可能發(fā)生嗎？你怎麼知道的呢？2.說說看「後天太陽會(huì)從北方落下」這種情形可能發(fā)生嗎？你怎麼知道的呢？3.說說看「不小心把瓷碗從桌上掉到水泥地上，碗會(huì)破」這種情形可能發(fā)生嗎？這種情形發(fā)生的可能性大，還是不發(fā)生的可能性大？4.說說看「下一次統(tǒng)一發(fā)票開獎(jiǎng)時(shí)，爸媽會(huì)中頭獎(jiǎng)」這種情形可能發(fā)生嗎？你怎麼知道的呢？這種情形發(fā)生的可能性大？大一點(diǎn)點(diǎn)？還是大很多？以上各種問題，可藉由兒童對(duì)此事件以往發(fā)生的經(jīng)驗(yàn)作為此事件未來發(fā)生之可能性程度之判準(zhǔn)。第二階段是對(duì)未發(fā)生事件之發(fā)生程度之預(yù)測(cè)，但學(xué)生沒有足夠的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，必需和事件相同的條件下去製造一些經(jīng)驗(yàn)，然後藉此收集資料並分析資料，而後根據(jù)這些資料所分析的結(jié)果去判斷當(dāng)此事件未來發(fā)生時(shí)的可能性大小。而這裡跟大數(shù)法則唯一大不同的地方是，不需要去決定此事件發(fā)生程度是一個(gè)定值，而只要落在某個(gè)範(fàn)圍就可以了。例如：一個(gè)箱子裝有七個(gè)白球和三個(gè)黑球。從箱子中任意抽出一球，抽到白球的可能性較大或抽到黑球的可能性較大呢？第二階段的教學(xué)為先猜測(cè)抽到那種球可能性大（直觀），然後進(jìn)行抽球試驗(yàn)，以白球抽到的次數(shù)和黑球的次數(shù)相比較之下，去判斷抽到白球的可能性較大或抽到黑球之可能性較大。另外一個(gè)題目是箱子中有七個(gè)球，黑球和白球，由每組抽30次球。依據(jù)白球和黑球抽到的次數(shù)比去判斷白球和黑球的個(gè)數(shù)各幾個(gè)。六、新課程機(jī)率教材設(shè)計(jì)之省思首先比較現(xiàn)行課程和新課程設(shè)計(jì)之差別如下：（1）現(xiàn)行課程內(nèi)容包含實(shí)驗(yàn)機(jī)率和古典機(jī)率；而新課程只探討機(jī)率之初步概念，包含實(shí)驗(yàn)機(jī)率和主觀機(jī)率之初步概念但尚未進(jìn)入機(jī)率模式之建立。（2）現(xiàn)行課程共花240分鐘來教機(jī)率單元，且在十二冊(cè)最後一單元；而新課程包含認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)，讀圓形圖和長(zhǎng)條百分圖及機(jī)率合起來共200分鐘且放在第十一冊(cè)。（3）現(xiàn)行課程直接進(jìn)入機(jī)率模式之教學(xué)；新課程由兒童之日常生活經(jīng)驗(yàn)慢慢導(dǎo)入事件發(fā)生程度之量化。由此可知現(xiàn)行課程較重視機(jī)率模式之建立而忽略了兒童原有機(jī)率初步概念之建立。新課程較重視兒童之機(jī)率初步概念之建立，但在機(jī)率之模式之形成尚不足夠。由於時(shí)間因素故無法按Shanghessy之教學(xué)模式來進(jìn)行。筆者相信讓兒童去比較最初的猜測(cè)，實(shí)驗(yàn)實(shí)證的結(jié)果，和由機(jī)率模式所預(yù)測(cè)的結(jié)果等三方面資料，對(duì)兒童機(jī)率概念的發(fā)展是很重要的。新課程之設(shè)計(jì)之機(jī)率模式之重點(diǎn)是先由主觀機(jī)率模式之建立而後遂漸進(jìn)入實(shí)驗(yàn)機(jī)率模式。主觀機(jī)率仍建立在對(duì)某事件發(fā)生之信仰程度，而此程度仍隨著其以往或現(xiàn)在（試驗(yàn)所得）對(duì)事件發(fā)生之經(jīng)驗(yàn)頻率而提高其對(duì)此事件在未來發(fā)生可能性之信仰程度。在100次試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)中某事件發(fā)生1次或發(fā)生10次其對(duì)此事件下次（或未來發(fā)生）之可能性之信仰程度必定截然不同。因而兒童必須建立在預(yù)測(cè)一事件之未來發(fā)生可能性是依據(jù)此事件已發(fā)生之頻率之高低而決定其可能性的程度，並非以此事件之發(fā)生一次來判斷。但是此主觀機(jī)率模式之建立由於時(shí)間之限制，在新課程設(shè)計(jì)並沒有好好發(fā)展，因此也連帶影響到兒童對(duì)未來事件發(fā)生之可能性的判準(zhǔn)與瞭解。另一項(xiàng)新課程設(shè)計(jì)之反省是，課程並沒有將兒童之對(duì)事件之發(fā)生之原始概念（或迷失概念）引入課程設(shè)計(jì)，如從三個(gè)黑球和一個(gè)白球的箱子中和從六個(gè)黑球和二個(gè)白球的箱子中各抽出一個(gè)球，則那個(gè)箱子抽到黑球的可能性較大。如此一來便能產(chǎn)生認(rèn)知衝突的教學(xué)，並透過主觀機(jī)率模式之檢驗(yàn)結(jié)果而加以修正。但是國(guó)內(nèi)對(duì)兒童機(jī)率直觀概念或迷失概念的研究文獻(xiàn)似乎不多，林登茂（78年）曾對(duì)國(guó)小教材－大數(shù)法則之教學(xué)研究提到實(shí)驗(yàn)機(jī)率之比值之迷失，但目前為止尚很少對(duì)國(guó)小兒童之機(jī)率直觀（迷失）概念作有系統(tǒng)之研究。故在新課程設(shè)計(jì)時(shí)無法引入，仍是一大缺失。許多研究顯示機(jī)率初步概念之教學(xué)可提早至國(guó)小中低年級(jí)來進(jìn)行，NCTM（1989）之課程標(biāo)準(zhǔn)已建議在K-4中進(jìn)行有關(guān)機(jī)會(huì)或可能性的教學(xué)，是否在我國(guó)國(guó)小課程亦可考慮提早在四年級(jí)便進(jìn)行初步機(jī)率主觀念之建立，而在高年級(jí)時(shí)再導(dǎo)入經(jīng)驗(yàn)機(jī)率之模式。參考文獻(xiàn)Carpenter,T.P.,Corbitt,M.K.,Kepner,H.S.,Lindquist,M.M.,&Reys,R.E.(1981).Whatarethechancesofyourstudentsknowingprobability?TheMathematicsTeacher,74.342-344.Cobb,P.(1989).Adouble-edgedsword.(ReviewofIntuitioninscienceandmathematics.)JournalforResearchinMathematicsEducation,20.213-218.DelMas,R.C.,&Bart,W.M.(1987,April).Theroleofanevaluationexerciseintheresolutionofmisconceptionsofprobability.PaperpresentedattheAnnualmeetingoftheAmericanEducationalResearchAssociation.Fischbein,E.(1987).Intuitio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