高數(shù)-第一章8節(jié)函數(shù)連續(xù)性

1第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2可見,函數(shù)在點(diǎn)一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;3continue若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有4對(duì)自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:5例.

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).6在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一,函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn).在無定義;7間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).8為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:9顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).10內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式11思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2.設(shè)時(shí)提示:3.P65題3,*8為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),12P65題*8提示:作業(yè)P654;5第九節(jié)13備用題

確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).14定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增.在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減)(證明略)在[1,1]上也連續(xù)單調(diào)(遞減)遞增.15定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即單調(diào)遞增,16例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,17例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).18二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而19例2.

求解:原式例3.求解:令則原式說明:由此可見當(dāng)時(shí),有20例4.求解:原式說明:若則有21例5.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時(shí)連續(xù);而故x=1為第一類間斷點(diǎn).在點(diǎn)x=1

不連續(xù),22

內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)

初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.23思考與練習(xí)續(xù)?反例

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?作業(yè)P693(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6提示:“反之”不成立.第十節(jié)24注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn),25例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

26二、介值定理由定理1可知有證:設(shè)上有界.定理2.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使(證明略)推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.27定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A與B之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)證:作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn)使即推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)使至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值.28例.證明方程一個(gè)根.證:顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即說明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)至少有則則內(nèi)容小結(jié)29*三.一致連續(xù)性已知函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),即:一般情形,就引出了一致連續(xù)的概念.定義:對(duì)任意的都有在I上一致連續(xù).顯然:30例如,但不一致連續(xù).因?yàn)槿↑c(diǎn)則可以任意小但這說明在(0,1]上不一致連續(xù).定理4.上一致連續(xù).(證明略)思考:P74題*7提示:設(shè)存在,作輔助函數(shù)顯然31內(nèi)容小結(jié)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在321.任給一張面積為A的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理