對話新課程標(biāo)準(zhǔn)

對話新課程標(biāo)準(zhǔn)張丹：各位老師大家好，下面我們進入到模塊二的學(xué)習(xí)，模塊二有兩個內(nèi)容，一個是對話新課程標(biāo)準(zhǔn)，還有一個是數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育。我們今天特別有幸的請到了東北示范大學(xué)校長史寧中教授，他也是國家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)校正組的組長，今天主若是由我和史老師一起來對話新課程標(biāo)準(zhǔn)。在教師的推行過程標(biāo)準(zhǔn)過程中，也遇到了一些迷惑，這些迷惑有的在新課程的標(biāo)準(zhǔn)中得到認(rèn)識決。下面有幾個問題我想跟史校長交流一下：第一個問題我感覺在新課程標(biāo)準(zhǔn)校正中，一個特別重要的是把過去的雙基也就是基礎(chǔ)知識和基本技術(shù)變成了四基，就是增加了基本數(shù)學(xué)思想和基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，我想問問，為什么要增加這后兩基，它的價值在什么地方？史老師：中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育也許說是整個基礎(chǔ)教育特點是雙基，就是基礎(chǔ)知識和基本技術(shù)，平常人們是這樣說的，基礎(chǔ)知識扎實，基本技術(shù)熟練?；A(chǔ)知識指見解的記憶和命題的理解?；炯夹g(shù)主若是指作題的技術(shù)和證明的技術(shù)，因此我們過去的這些教育對知識自己的掌握應(yīng)該是沒問題的，而且做得很好，那還缺少什么呢？缺少就是現(xiàn)在國家希望培養(yǎng)的人才，就是創(chuàng)新式人才。我們想一下，一個創(chuàng)新式人才除了知識之外，還需要一些什么東西呢？我想主若是思想形式和思想方法，他想問題會不會創(chuàng)新性的想，自然還有一個創(chuàng)新意識問題。這些東西必定經(jīng)過自己參加的活動才能夠?qū)W得會，老師教是教不會的。我們先不說創(chuàng)新式人才，在第一個層次來講，比方說智慧，你說一個人很聰穎，他有智慧，表現(xiàn)在什么地方呢？表現(xiàn)在別人做不了的時候,他能想方法解決了，他就有智慧，他就聰穎，比方在解題過程中，甚至在玩的過程中，他有一個方案，也許在做實驗的過程中他有一個技巧，這些表現(xiàn)的是智慧，因此這些東西是表現(xiàn)在過程之中的，而過程之中的東西只能經(jīng)過過程培養(yǎng)，經(jīng)過語言的闡述是不能夠能培養(yǎng)出來的，怎么思慮問題，怎么教也不能夠，他得自己去想一些問題，他才可能想理解。因此在這個意義上，沒有基本的活動經(jīng)驗是不行的，基本活動經(jīng)驗就是教我們的孩子如何思慮問題，最后要培養(yǎng)這個學(xué)科的思想方法，更高的就是培養(yǎng)學(xué)科的直觀。因為關(guān)于數(shù)學(xué)來說，所有的結(jié)果是看出來的，而不是證出來的，而如何會看結(jié)果，完好部是依賴經(jīng)驗，依賴思想形式和思想方法，因此現(xiàn)在在雙基基礎(chǔ)上變成四基的實質(zhì)是想培養(yǎng)學(xué)生的思想形式和思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的智慧和創(chuàng)立力。張丹：我可否是能夠這樣理解，一個創(chuàng)立型人才，也許創(chuàng)新人才，實際上是兩方面，一方面需要具備知識和技術(shù)，但更重要的是得有直觀，像您說的直觀，有一些思想方法，而這個離不開我們的活動。史老師：你說得特別對。一個創(chuàng)新式人才，簡潔的說，還有很多條件。大概是需維，這兩個都是需要的，當(dāng)還有創(chuàng)新的意識，創(chuàng)新的條件，那是額外的。

要知識和思張丹：就是對新增加的數(shù)學(xué)的基本思想和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，我感覺在小學(xué)可能特別數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，您能詳盡的闡述一下數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，終究什么是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

重要的就是史老師：就是老師創(chuàng)立一些背景，從頭徹尾的讓孩子思慮問題，從開始思慮問題,這是很重要的。因為今后要創(chuàng)立的話，開始階段就得能夠思慮，要不然中途沒有人提示，是沒有方法中途思慮的。比方在小學(xué)階段這個冋題是稍微難一點的，但是也是能夠做的，我舉例來說一下，若是想在課堂上完成這樣的授課，比方一個題目就是鑒別正方形，鑒別正方形有很多方法，第一個能夠用眼睛看，但是眼睛看經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤，老師能夠舉出很多例子，橫豎的例子，大家都知道，看豎的比橫的要長一些。張丹：小學(xué)差不多在1、2年級有這個情況，就是你把正方形這么擺他能認(rèn)出來，若是旋轉(zhuǎn)度很多孩子認(rèn)為它不是正方形。史老師：因此光靠眼睛看是不夠的，那最好的方法就是量一量，量四個邊相等就是。你也可以讓學(xué)生試一試，但是若是尺的話，特別是沒有刻度的尺，現(xiàn)在中學(xué)義務(wù)教育階段尺規(guī)作圖尺是沒有刻度的，沒有刻度的尺怎么辦呢？這樣的題給學(xué)生提問題了，學(xué)生能夠把正方形對折，但是對折獲取的不用然是正方形，對折獲取的可能是長方形，那怎么辦，還得斜過來折。因此這樣的時候，老師不要告訴學(xué)生怎么做，老師是啟示讓學(xué)生來做，我認(rèn)為這個就是重要的。比方還有角，比較兩個角的大小，你用量角器自然能夠，不用量角器怎么辦，挪一下筆，自然能夠了，還不讓挪過來比，那學(xué)生就拿圓規(guī)畫一下，爾后再量畫軌跡之間的長度來判斷角的大小，這個學(xué)生就知道，思慮角的問題，實質(zhì)上是研究邊的長和大小也有關(guān)系，這邊和角就聯(lián)系在一起了，這樣的思維我認(rèn)為才是有必要的，我認(rèn)為這個是在課堂上能完成的授課活動經(jīng)驗，就是培養(yǎng)孩子如何去想。這里有一個很重要的問題，我現(xiàn)在在授課中發(fā)現(xiàn)有些老師有一些問題，他組織學(xué)生活動，組織學(xué)生很好此后，他判斷學(xué)生說得對和錯，還是看結(jié)果，這個教育在實質(zhì)上還是結(jié)果的教育，不是過程，他應(yīng)該更多的判斷學(xué)生思慮的過程，可否是有道理，我一再重申，要培養(yǎng)思想方法，這個是很重要的。但是更多的活動可能是超出一堂課的活動，也能夠。比方這回在課標(biāo)里舉的上學(xué)的問題，上學(xué)的時間問題。上學(xué)的時間問題，老師不教孩子懂得這些道理很重要，他有表無所謂了，他沒有表，第一要把家里的表和學(xué)校的表對齊這樣的一些東西是思想很重要的東西，就是在我考慮問題的先決條件如何，這是很重要的問題，爾后把上課一個禮拜的上課時間拿來，有一些數(shù)據(jù)，在這些數(shù)據(jù)里面你能獲取什么結(jié)果，老師要啟示孩子，但是必然要孩子得到一些結(jié)果。比方最多我需要多長時間，最少需要多長時間，也許平均需要多長時間，讓孩子們在數(shù)據(jù)中能夠獲取平常生活中的很多信息，這樣也是一種思想形式和思想的方法，這樣的課在小學(xué)階段，我特別知道我們的老師們很有創(chuàng)立力，有了一些想法之后，能夠能夠創(chuàng)立出很多授課情況，完成這樣的授課。張丹：您剛剛舉了很多小學(xué)的例子，中學(xué)這方面您能舉一些嗎？史老師：中學(xué)的例子就很多了，啟示學(xué)生思慮是很重要的。那天，事實上我沒有準(zhǔn)備，他們說A平方-B平方這個問題只能用幾何來證，我說那不用然，用代數(shù)來證，這是一個思想方法問題，你要解決A平方-B平方等于最后一個公式，公式給出此后證明是很簡單的，但是公式自己獲取讓孩子自己獲取是很難的，這個是特別重要的過程教育，培養(yǎng)思想形式，怎么辦呢？第一步把問題化解，化到簡單不能夠再簡的程度，這個是平常人的思想，到最簡單的時候再逐漸的把它變成一般，最簡單的形式是什么樣，就是讓B等于1,1的平方還等于1,那這個問題就變成A的平方-1等于多少，爾后讓A選幾個自然數(shù)試一試，選2,那4-1等于3,我啥也不知道，選3,就是9-1等于8,我還不知道什么，那么選4,16-1等于15,可能會知道些什么了，若是還不能夠，那舉5,25-1等于24,要算到6的時候可能一般就知道了，6的平方36-1等于35。要變成兩個數(shù)成績的形式，只有5、7、35。你就可以看到，56少一個，71加一個。那么往回看，24,4和6,4比5小一個，這樣你可能學(xué)生就想到A平方-1，A若是是自然數(shù)，那么可能變成A-1乘以A+1,有了這個啟示后，那對一般的可否成立就可以證了然，爾后把1換乘B,因為公式有了，公式有了推行就好辦了。重點是一開始最原始的公式?jīng)]有，因此這個我認(rèn)為像這樣的培養(yǎng)孩子思慮。有些結(jié)論不用然是老師給出的，我最希望的是老師在授課的過程中讓學(xué)生自己獲取結(jié)論，因此在講課的過程中，老師講課稍微拙一點不重要，所謂的拙啟示學(xué)生思慮的最好的方法就是你跟學(xué)生一塊想，這樣的話，老師一步步引導(dǎo)學(xué)生思慮，最后讓學(xué)生獲取結(jié)論，這樣的話對培養(yǎng)創(chuàng)新式人極為有利的。

才是張丹：聽了您這段話，我感覺對經(jīng)驗可能跟原來認(rèn)識又不一樣樣了，原來經(jīng)驗可能學(xué)生經(jīng)歷一點事情，這是重要的，但是現(xiàn)在我感覺經(jīng)驗特別重要的是思慮。

更多講的是史老師：你可千萬別是解題的經(jīng)驗理解的經(jīng)驗。張丹：特別是你提到思慮有這么幾個，一個是從頭開始思慮，因此課標(biāo)在原來的解決問題的基礎(chǔ)上特別明確提出要發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

解析問題和史老師：這是很重要的。一個所有創(chuàng)立，連問題都發(fā)現(xiàn)不了創(chuàng)立什么呢，因此這個要從小培養(yǎng)，經(jīng)驗的積累是日新月異的，不見效，見效很慢，因此這個時候老師可能不愿意這么教，但是為了國家，為了培養(yǎng)孩子，你必定這么做。我想從小學(xué)到初中甚至到高中，素來在這么教，那可能中國基礎(chǔ)教育就會改變?nèi)蓊仭埖ぃ浩渌岬侥蔷湓?，若是想培養(yǎng)學(xué)生去思慮，老師也要跟著學(xué)生一起思慮。這點我感覺特別重要。還有就是這個問題先談到這。第二個特別關(guān)注的問題就是在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，進一步明確了一些核心詞，比方說數(shù)感，符號意識，運算能力，建模思想，空間見解，幾何直觀，推理能力，數(shù)據(jù)解析見解還有就是創(chuàng)新意識，您能不能夠?qū)@幾個核心詞中的幾個也許整體您給做進一步的講解。史老師：我想一個老師要講好課，第一要對整個課的前后關(guān)系應(yīng)該特其他清楚，一步步的，你要教的知識在關(guān)系中處于什么地位，這是第一步要清楚的。第二步是你說的核心詞，這個是在知識以上的東西，這個要搞清楚。第三步老師要知道教書的重點和難點是什么。重點和難點是不相同的，重點是在知識過程中起重點作用的一些東西，難點是學(xué)生很難掌握。若是這三個層次的東西都掌握清楚了，它講課就會很自如了，剛剛談的數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗，只是上個層次的，現(xiàn)在正好進到下一個層次。像數(shù)感，數(shù)感這個東西主若是對小學(xué)而言的。數(shù)感，數(shù)是什么東西呢，數(shù)是從數(shù)量抽象而出來的，兩匹馬，兩頭牛抽象出二，二自己是不存在的，存在的是兩匹馬和兩頭牛，因此在孩子們突然接觸到抽象出來的東西此后，對數(shù)和現(xiàn)實生活中的表現(xiàn)應(yīng)該成立一個關(guān)系，這個關(guān)系是很重要的，這個關(guān)系如何成立呢？你想數(shù)是從數(shù)量抽象出來的，數(shù)量的實質(zhì)是什么，數(shù)量的實質(zhì)是多和少，多和少動物必然知道這個事，這個實質(zhì)。一個狼來了，狗能夠?qū)Ω叮瑏砹艘蝗豪撬厝慌?，它就知道多和少，多和少抽象出?shù)的關(guān)系變成了大和小，所以數(shù)的實質(zhì)是大和小。這個是很重要的。因此孩子們應(yīng)該感覺到這一點，我在要談?wù)剺?，地球和太陽之間的距離的時候用光年用多少，我在談到家里到城市某一個地方去的話，用公里來談，談校內(nèi)的情況可能就用幾百米來談，談教室的情況可能幾米，在桌上可能是幾厘米，這個感覺應(yīng)該很清楚，這樣的話，突然出一個東西跟你平常的感覺不對的話，你就會提出自己的見解，怎么會不對呢。因此我認(rèn)為這個就是數(shù)感，成立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，而且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多少之間的關(guān)系，這個大概是數(shù)感很重要的本詰問題。張丹：其他在新課標(biāo)中，也許在教材中，把估計也作為了培養(yǎng)數(shù)感的一個特別重關(guān)于估計也許是估計這方面您感覺它對人的價值。

要的內(nèi)容。史老師：估計是特別重要的，對培養(yǎng)數(shù)感估計也是特別好的。估計和數(shù)的運算有什么差異呢？估計的運算腦子里必然要想到量感，恰似你談到公里的時候，那就是小數(shù)點一位就足夠了，估計，甚至只要談到公里就可以了，不要談到米，但是你談到屋里的大小的時候，你就得談到米的單位，在米的單位下進行運算就可以了，厘米我能夠不忌憚，但是在桌上畫的時候，那能夠他到厘米的單位，再往毫米就不估計。這樣的運算叫做估計，因此你在買東西的時候，一般的東西以元為單位，你就估計到元，若是買電器產(chǎn)品，以千元為單位，就估計到千元。因此估計在實質(zhì)上還是一種基于對數(shù)量的運算，而不是數(shù)理運算。自然在算的過程中是數(shù)，但是腦子里想的那些東西應(yīng)該是數(shù)量，就是有量剛的，這個是估計的實質(zhì)，要走開了這個實質(zhì)，估計就沒有意義了。因此你先算完了此后再四舍五入，估計不是近似估計。張丹：現(xiàn)在也有些誤區(qū)很多老師把估計就像您說的教成了四舍五入，也許讓學(xué)生走開了背景去算，因此也造成了一些迷惑。那么我感覺就是數(shù)感的核心就是數(shù)量和數(shù)之間的關(guān)系的理解也許是感悟。那您進一步談?wù)劮栆庾R它的核心，它的實質(zhì)是什么？史老師：符號太重要了，沒有符號就沒有數(shù)學(xué)，因為數(shù)學(xué)上用數(shù)進行的所有運算都是個案，而數(shù)學(xué)要研究一般問題，一般問題只能經(jīng)過符號來計算，因此在教符號的時候，要注意兩件事情，第一件事情，符號能夠像數(shù)相同進行運算和證明。第二件事情就是經(jīng)過符號獲取的結(jié)論是擁有一般性的，2+3等于3=2,7+8等于8+7,你算出100個數(shù)都是個案，只有證了然A+B等于B+A才是擁有一般性的，我想這是符號一個很重要的問題。張丹：從詳盡到一般，也許從個案到一般是符號的為了表達一般的結(jié)論而獲取的東西。那就是進一步我們用符號去刻劃的過程中，可能有兩個我感覺特其他重要，一個是符號之間的運算也許數(shù)之間的運算，也就是運算能力，其他我用符號解決冋題的過程中會產(chǎn)生一些模型，所謂建模思想。那就是運算能力和建模思想這兩個的東西您也再進一步的談一談。史老師：運算能力是很重要的，但是運算能力不是計算速度的快慢，現(xiàn)在很多地方特別重申計算的速度，其實不是重要的，一個是會算，第二個別算錯，這兩個是實質(zhì)的。會算不是靠照本宣科的會算，應(yīng)該懂得道理，運算這個事情不懂得道理是不能夠的，事實上，現(xiàn)在地址，整個數(shù)學(xué)只有5種運算，加減乘除和極限，極限就是今后微積分這些東西了。運算一開始都是從加法來的，它的逆運算變成了減法，它的簡略運算變成了乘法，除法又是乘法的逆運算，因此這個事情必定掌握得特其他清楚，這樣的話為什么要先乘除后加減呢？老師講課總是說規(guī)定，為什么先算括號里后算括號外呢，是規(guī)定，為什么加法結(jié)合律為什么對減法也成立，是規(guī)定，為什么分配律對除法也成立呢，這些東西都是規(guī)定的話，這個學(xué)生你除了靠大量的計算外，他很簡單出錯的，比方為什么先乘除后加減呢？比如2加3乘3,為什么是2加9等于11，為什么這樣呢，就是我剛剛說的，乘法是加法的簡略運算。2加3乘3是這個意思，就是2加3再加上3再加上個3,若是是這樣的話，必定是2加9等于11,他說不用然，規(guī)定的事情，我們老說規(guī)定，規(guī)定的事情有兩個可能，一個可能是這么也行，那么也行，比方數(shù)軸，我們規(guī)定向右，其實規(guī)定向座也行，交通必定往右側(cè)通行，左側(cè)通行也無所謂，但是這一點，大家規(guī)定得一樣，不一樣樣大家沒有共同語言了，因此這個是一種規(guī)定；還有一種規(guī)定事實上是一種合理的東西，為了把它說得更簡單一點就變化了規(guī)定。就像我剛剛說的先乘除加減，實質(zhì)上它是吻合常理，為了把這個話說得更簡潔一些。因此我們在授課過程中，不應(yīng)該所有的都說規(guī)定，能講得還稍微講一下，孩子們理解了算理此后，就不簡單錯了，靠照本宣科只有靠大量的練習(xí)沒有方法，這樣就會造成孩子們課業(yè)負(fù)擔(dān)過重，因此這塊我認(rèn)為還是很重要的。剛剛你跟我談到模型的問題，模型是一種數(shù)學(xué)很重要的東西，我基本理解模型是這樣的一種東西，其實不是2X就是模型，甚至方程5X加3等于7就是模型，這不用然，它可是用來表示模型的一種工具。真正的模型應(yīng)該是這樣它闡述了現(xiàn)實世界也許是想象的一個故事，故事比方方程，故事在某一個量它倆是相同的時候就把方程成立起來了，比方最典型的模型是什么，就是行程等于時間乘速度，這也是個模型，這個模型知道了，列方程，恰似甲乙，總是甲乙，一個人先走，一個人后走，倆人一塊走，有一個人到哪漫步半天再聚也行，都能夠，但是有一點是必定達到的，要不然就是在距離上他倆相等，要不就是在時間上他倆相等，要不就是在速度上他倆相等，這個就是模型，掌握故事的核心，他們在量上是等價的，因此能夠成立方程，這個我想是模型，要掌握成這樣，模型就不是很多了，這樣我們的授課就可以進行得比較好。張丹：這個我感覺也是比較有啟示的，原來我們對運算能力，在小學(xué)要算快算對，實質(zhì)上今天我們談到了不行是是，第一是算對，但同時背后的道理也很重要。模型給我們的啟示也是，像我們原來很多的應(yīng)用題，分了很多種類，其實實質(zhì)上可能像您說，原來有什么追擊問題，相遇問題，同向的，反向的，但實質(zhì)上它實質(zhì)上都是行程、時間速度這樣的一種關(guān)系。因此有人說，方程好象就是適用兩種不一樣的方式來講一個故事，因此就畫出了等號。其他我發(fā)現(xiàn)在課標(biāo)中還有一個很有意思的例子，新課標(biāo)關(guān)于雞兔同籠，它與我們原來的辦理很不一樣樣。原來在中學(xué)主若是用了二元一次方程組來辦理，在小學(xué)更多的是用所謂的假設(shè)兔子站起來，這種方法，學(xué)生根本就想不到，但是課標(biāo)的辦理和它不大相同。史老師：對，課標(biāo)的例子是我想的，我就是想，孩子們?nèi)绾文軌颢@取公式。還是我一直的思想。今后我感覺雞兔同籠，差兩腿太難了，變簡單點，把問題盡可能化簡，爾后再一般化，這是基本思想，今后我就變成椅子和凳子了，椅子是4個腿，凳子是3個腿。一共有16個椅子和凳子，一共有60個腿，問有幾個椅子和凳子。一般是能夠講道理，讓孩子列公式，事實上不用然必定這么講，正常的數(shù)學(xué)想法就是你試一試，若是16個都是椅子的話會怎么樣，16個都是椅子的話，你發(fā)現(xiàn)64個腿，腿多了，要減椅子加凳子，16個椅子加1個凳子，63個腿，還是多，那么再減，這樣的話，孩子就能把結(jié)果獲取，而且能夠把公式獲取。這么樣，一個是啟示孩子如何一步步的思慮問題，還有一個就是增加孩子學(xué)習(xí)的自信心。你看我多厲害，我公式都能夠獲取，因此這樣的授課我倒是認(rèn)為應(yīng)該試一試一下，因此數(shù)學(xué)不用然都是從講道理開始的，因為道理孩子們不用然能聽懂，但是你能夠試一試，讓孩子在過程中考慮出道理來。大不了就是多一個少一個差一個腿，把這個理悟出來的話，我甚為這個就是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也好，也是數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)也好，我想就是這樣的。張丹：這個確實是挺有意思，因為我近來也聽了這樣的課，孩子真的能從試一試的的過程中發(fā)現(xiàn)很多規(guī)律，有的孩子開始是一個一個的往下減，減減他若是發(fā)差的數(shù)量很大的話，他會跳著。史老師：慢慢的他會自己想問題了。張丹：還有的孩子是從一半開始試，先看是往上走，還是往下走。因此孩子確實就像您剛剛說，我們把學(xué)生教的更加聰穎更加智慧。而不是可是的就是照著題來解題。還有就是我從前也聽您說過，關(guān)于學(xué)生特別重要的是讓學(xué)生試一試，這件事是特別重要的。史老師：事實上，所有的重要的成就，都是試出來的，在一個特別簡單的環(huán)境下，試出來的，爾后在談在特別一般的情況下會怎么樣。甚至能夠這么說，很好的一些科學(xué)文章，你看著很復(fù)雜，但是寫的人腦子里的東西是很簡單的，他只有在很簡單的時候，才能夠清楚，才能夠嚴(yán)禁。張丹：其他在標(biāo)準(zhǔn)中，圖形這方面，提了兩個重點詞，一個是空間見解，今后又增加了幾何直觀。就關(guān)于這兩個詞您感覺它們的重視是什么？史老師：空間見解主若是對小學(xué)來說。幾何直觀是對初中來說，實質(zhì)是幾何直觀,剛剛我談到了，要培養(yǎng)學(xué)科的直觀，這個不只是數(shù)學(xué)，大概所有的學(xué)科都要培養(yǎng)學(xué)科的直觀，關(guān)于數(shù)學(xué)來說，能夠有代數(shù)的直觀，能夠有幾何直觀，能夠有統(tǒng)計直觀，但是代數(shù)的直觀特其他困難，統(tǒng)計的直觀也特其他困難。沒有相當(dāng)?shù)挠?xùn)練是成立不起來的，最簡單的就是幾何直觀，為什么因為幾何直觀看得見摸得著。對小學(xué)的時候不能夠?qū)W(xué)生要求太高。這樣的話，知道一些方向。空間見解的核心不是一個點，而是兩個點。因此數(shù)學(xué)在實質(zhì)上研究是關(guān)系，兩個點之間的方向關(guān)系是空間直觀。比方從這個點，你猜我看在哪邊，其實這個比較難的，若是能這個想清楚，這個孩子邏輯思想能力就挺強的，就是在你那看，我在什么地方，這樣的思想若是都能完成的話，這個孩子邏輯思想能力就很強，這里空間好象是一個直觀，其實有一個邏輯思想能力，它們之間的關(guān)系。張丹：空間見解不行是是簡單的視覺，是思慮的邏輯，有推理在里面。那么自然的推理能力也是數(shù)學(xué)一個特別重要的東西，過去我們可能對推理就是幾何證明，現(xiàn)在的推理還有在課標(biāo)中有演繹推理，自然演繹推理不行是限制在幾何，還有一個以歸納為主的叫核心推理，也許叫什么，您對推理的歸納和演繹之間您是怎么看的？史老師：第一我們得說什么要推理，推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思想過程。那么一個推理可否是有道理，也許是一個推理可否是有邏輯的，就是應(yīng)該有一條主線能夠把思想過程穿起來，那就是有邏輯的。這樣說話就沒有邏輯了，蘋果是一種味道，蘋果是酸的，酸的是一種味道，那么蘋果就是一種味道，這也是推理，這個推理不正確，所謂不正確是沒有邏輯，為什么沒有邏輯，沒有一條主線能夠把這些穿起來，因此一個推理可否有邏輯的核心，就是一條主線能夠從頭徹尾的命題判斷內(nèi)涵里有一個共同點，素來從頭徹尾能夠貫徹下來，這是邏輯推理，就是有道理的推理。爾后有兩種情況，一個是命題的范圍由大到小推理，這個叫做演繹推理。犯人都有死，這個命題很大，蘇格拉底是人，命題小了，蘇格拉底又死了，這樣的，是這么包含下來的一種推理，這種推理是永遠(yuǎn)不會錯自，因此這種推理叫做演繹推理。還有一種推理是從小到大的推理，從小到大的推理是這樣的，蘇格拉底是人，蘇格拉底又死，柏拉圖是人，柏拉圖又死，亞里士多德是人，亞里士多德又死了，因此我推斷，犯人都有死，這個推理不用然是對的，因為它是從小命題，你命題范圍大了，那些命題可能又不能夠立的，從小到大的推理，這個不用然是對的，不用然對的，但是是發(fā)現(xiàn)真理的方法。就像我剛剛舉的A平方減1的，我才推到了6,我就給公式給出來了，那這個公式很可能是錯的，不用然是對，爾后再用演繹推理再證明一下，因此這兩個思想過程是極為重要的，一個是發(fā)現(xiàn)結(jié)果也許展望結(jié)果的方法，一種是你展望了結(jié)果可否正確的檢驗方法。因此這兩個方法，若是你想培養(yǎng)創(chuàng)新式人才，這兩個方法都必定教，重視任何一個都是不對的。這里還有一個問題，就是演繹推理一開始因為歐幾里得的原因，他證明的第一個幾何題是這么一個題，給一個長度，能夠依照這個長度，做一個等邊三角形，爾后他用圓規(guī)在這畫一下，在這畫一下，一連線，爾后證明等邊三角形，用了等量的等量，還是等量的公義，他的證明形式就是說完此后括號是因為什么原因，結(jié)果今后證明都是這么證的，這么證不吻合人的正常思想。所以我到是想，初中的證明過程，孩子們只要思慮的自己有邏輯的話，就應(yīng)該算對，不應(yīng)該過分的追求形式，形式不是主要的,還是實質(zhì)。證明的實質(zhì)是主要的。張丹：就是培養(yǎng)他能夠從頭到尾的有條例的思慮是重要的，至于他用什么樣的形式表達，我感覺不用然要一致的形式。史老師：什么叫有條例，我想我也講解了。張丹：在核心詞中，我感覺還有一個核心也是大家特別關(guān)注的。在原來的課標(biāo)中把它叫做統(tǒng)計見解，在新課標(biāo)中，把它叫做數(shù)據(jù)解析見解，可能大家就在思慮，第一為什么要改個詞。第二個現(xiàn)在的數(shù)據(jù)解析見解的一些實質(zhì)是什么。史老師：這個是特別核心的，統(tǒng)計現(xiàn)在在加了統(tǒng)計的內(nèi)容，統(tǒng)計內(nèi)容我感覺加得是特別有必要的。我看到外國對中國義務(wù)教育階段的培養(yǎng)素來賞識的是加了統(tǒng)計，這個是很好的事情。但是統(tǒng)計不能夠按數(shù)學(xué)那么教，因為它的數(shù)學(xué)點不一樣樣，數(shù)學(xué)的出發(fā)點是公義也許假設(shè)。統(tǒng)計出發(fā)點是數(shù)據(jù)。因此我說一個講課的方法，你們看看這個差異在什么地方：拋一個硬幣，正面、反面。可能會出這樣的題，連續(xù)拋5個都是正面,第6個是正面的可能性是多大，答案還是二分之一，為什么是這樣，你假設(shè)了出現(xiàn)正面二分之一，是你假設(shè)的，你用假設(shè)的東西來進行回答，那是數(shù)學(xué)，不是統(tǒng)計，要搞統(tǒng)計的話，連續(xù)出了5個二分之一，我就思疑硬幣不是平均的。因此你講課這么講，恰似說一個袋子里有5個球，4個白球，一個紅球，但是你并告訴學(xué)生，讓孩子摸，摸完此后，因為白球比紅球多，最后你問孩子，白的多還是紅的多，經(jīng)過這些數(shù)據(jù)，能夠知道一些什么，能夠獲取一些信息，這些東西就叫做數(shù)據(jù)見解，這是統(tǒng)計的基本思想。張丹：就相當(dāng)于從數(shù)據(jù)中去進行一些推斷也許說從數(shù)據(jù)中幫助我們做一些決定，這是特別重要的。史老師：就是在數(shù)中含有信息，這個信息能夠?qū)ξ覀兊臎Q策供應(yīng)參照。張丹：您說到這，讓我想起我前一段時間也是在東北師范大學(xué)上學(xué)的時候，在東北師大附小，把您的問題讓學(xué)生去做了，也是不告訴他袋子里有多少個球，讓孩子們?nèi)ゲ麓永锸羌t的多還是白的多，孩子就不讓他打開。學(xué)生去摸，在摸的過程中，他確實領(lǐng)悟到，我多摸，摸摸我看看。而且特別有意思，有一個孩子回答我印象很深刻，我今后問他這么一個問題，說你們感覺這個游戲好不好玩，可能孩子感覺好玩，但是也有孩子也提出了，你為什么不讓我們打開袋子來看一看，就直接看就得了，今后我就把這個問題拋給孩子，有一個孩子說若是球特別多的時候，不一樣意我打開的時候不能夠，他又聯(lián)想，比方說我想知道池塘里有多少個魚，我根本沒有方法一個一個的打開看，因此我就可以從中撈一個，看看里面是金魚多還是什么多，由此我推斷魚的比率。史老師：但是現(xiàn)實生活中，大部分我們不知道，我們還想知道，但是這個例子是一開了。以后逐漸學(xué)得多了，他就要往這方面走了。張丹：因此今后說，可否是也是屬于他的經(jīng)驗。史老師：孩子有這樣的思慮，千萬不要打擊孩子的積極性，就讓他這么想，有想象里是創(chuàng)立的基礎(chǔ)。張丹：我想從這個角度看統(tǒng)計，確實統(tǒng)計能夠激發(fā)人們?nèi)ゲ孪?，去?chuàng)立很多東西。史老師：統(tǒng)計在實質(zhì)是歸納。從事一些情況來展望一般的情況。這是典型的歸納的想法。張丹