2023年人教版高考數(shù)學總復習第一部分考點指導第三章函數(shù)及其應用第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性【考情要求】1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義..會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性..了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.【高考考情】考點考法：高考命題常以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性、周期性和圖象的對稱性及其應用.函數(shù)的奇偶性與單調性、周期性的綜合問題是高考熱點，常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象O =一/知謂梳理.思傕激活》一 O【歸納?知識必備】.函數(shù)的奇偶性⑴(1)前提：定義域關于原點對稱.(2)圖象特征：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.(3)定義：對于定義域內的任意x,都有f(—x)=—f(x)(奇的f(—x)=f(x)(偶).，注解1①函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“整體”性質；②若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)=0..周期函數(shù)定義(1)存在性：存在非零常數(shù)7：(2)任意性：對于定義域內任意實數(shù)x,都有/■(x+7)=f(x),7為函數(shù)的周期?注解2①若函數(shù)的周期為7,則〃7(〃eZ)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)，叫做函數(shù)的最小正周期；②f(x+〃7)=f(x).【智學?變式探源】1.必修一P85T22.必修一P85T1.(改變選項)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A.y=x(xG[0,1]) B.y=3/C.y=~ D.y=\x\—\X【解析】選C.利用奇函數(shù)的定義，首先定義域關于原點對稱，排除選項A；又奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x),排除選項BD.2.(改變問法)如圖，給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象，則f(—2)+f(—l)的值為.答案：一2慧考?四基自測3.基礎知識4.基本方法5.基本應用6.基本能力【解析】選B.A中的圖象關于原點或y軸均不對稱，故排除；C,D中的圖象表示的函數(shù)的定義域不關于原點對稱，不具有奇偶性；B中的圖象關于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù).4.(方程組法求函數(shù)值)已知M是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且A-1)+g⑴=2,AD+g(一1)=4,則g(l)等于()A.4B.3C.2D.1【解析】選B.因為/'(x)是奇函數(shù)，所以/1(-1)=一/0).又g(x)是偶函數(shù)，所以g(—D=g(D.因為/'(—1)+g(l)=2,所以g(l)—f(D=2.①又/'(1)+g(—1)=4,所以/1(1)+g(l)=4.②由①②,得g⑴=3..(利用奇偶性求參數(shù))已知函數(shù)f(x)=x3(a?2'—2P是偶函數(shù)，則^=.【解析】設g(x)=a?2'—2:由已知得g(x)為奇函數(shù)，則g(0)=a?2°—2f=a—1=0,因此a—1.答案：1.(分段函數(shù)求值)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當*￡［一1,1)時，f(x)=-4y+2,-1WK0,Xy-4y+2,-1WK0,Xy0^X1,【解析】函數(shù)的周期是2,所以/[|)=府-2)=, 考點櫬究建法培優(yōu)，考點一函數(shù)奇偶性的判斷，考點一函數(shù)奇偶性的判斷講練互動1—V[典例11(1)(2021?全國乙卷)設函數(shù)/'(x)=7：廠，則下1~?X列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A./(A--1)-1 B./U-D+1c./(a-+1)-1 D./V+D+1(2)(多選題)設函數(shù)/U),g(x)的定義域都為R,且/1(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論正確的是( )f(x)?g(x)是偶函數(shù)|f[x)|?g(x)是奇函數(shù)f{x)?|g(x)I是奇函數(shù)"(x)?g(x)|是偶函數(shù)fX+x,X0,(3)(一題多解)已知函數(shù)f(x)=一、八則該函數(shù)的奇偶性為 .[xx,x>0.2【解析】(D選B.y(x)=-i+-n?關于(-1,一D中心對稱，向右平移1個單位，向上平x十1移1個單位后關于(o,o)中心對稱，所以尸/?(*—1)+1為奇函數(shù).(2)選CD.對于A,f(—x)?g(—x)=-f(x)?g(x),函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B,4(一x)I?g(-x)=|/V)?g(x),函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C,f{-x)?g(—x)|=—f(x)Tg(x)|,函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；對于D,\f(-x)?g(—x)|=If(x)?g(x)|,函數(shù)是偶函數(shù)，故D正確.(3)方法一(定義法)：函數(shù)/'(*)的定義域為(-8,o)u(O,+8),關于原點對稱.因為當水0時，一工〉0,

則f[—x)――{—X)1~x=X—X=—f{x);當x>0時，一點0,則f(~x)=(-x)2-x=^-x=-f{x}；所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).方法二(圖象法)：畫出函數(shù)/'(X)的圖象，由圖象可知，函數(shù)/1(X)由圖象可知，函數(shù)/1(X)是奇函數(shù).答案：奇函數(shù)教師專用可【規(guī)律方法】教師專用可【規(guī)律方法】函數(shù)奇偶性判斷的三種常見方法1.1.定義法:2.圖象法:乂關于原點對稱)H/u)為奇函數(shù))〈2.圖象法:乂關于原點對稱)H/u)為奇函數(shù))〈(關于j軸對稱A(/b)為偶函數(shù))3.性質法:“奇+奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇?奇”是偶，“奇?奇”“偶+偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶?偶”是偶，“偶!偶”“奇?偶”是奇，“奇+偶”是奇.是偶;是偶;提醒：分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性.，對點訓練1.若函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,1],則下列函數(shù)中可能是偶函數(shù)的是()A.y=—f[x}A.y=—f[x}B.y=f(3x)C.y=f(-x)【解析】選D.由偶函數(shù)的定義知，函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，因為y=f(x)的定義域為[0,1],所以尸一/■(*)的定義域是[0,1],故不是偶函數(shù)；y=f(3x)的定義域是0,1,不是偶函數(shù)；y=f(-x)的定義域是[-1,0],不是偶函數(shù)；由0WVW1解得一1W后1,y=f(V)的定義域為[-1,1],故可能是偶函數(shù).2.函數(shù)f{x)=log?(2+x),g(x)=log"(2—x)(a〉0且aWl),則函數(shù)尸(x)=F(x)+g(x),G(x)=f(x)—g(x)的奇偶性是()Kx)是奇函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)Hx)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)b(x)是偶函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)b(x)是奇函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)【解析】選B.Rx),G(x)定義域均為(-2,2),由已知6(—x)=/■(_4)+g(—x)=log“(2—x)+log“(2+x)=F(x),G(—x)=f(—x)—g(一x)=log“(2—x)—log,(2+x)=—G(x),所以Kx)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù).★(命題?新視角)在平面直角坐標系中定義點P(x,力的“準奇函數(shù)點"為P'(2a-x,2b-y),若函數(shù)。上所有點的“準奇函數(shù)點”都在函數(shù)C上，則稱函數(shù)C為“準奇函數(shù)”.下列函數(shù)不是"準奇函數(shù)"的是( )C./(x)=e' D./■(*)="【解析】選C.根據(jù)題意，若函數(shù)的圖象關于點(a,6)對稱，則點P(x,力與P'(2a-x,26一力都在函數(shù)的圖象上，此時函數(shù)為“準奇函數(shù)”，若函數(shù)/'(x)存在對稱中心，JI則r(x)是“準奇函數(shù)”，對于A,f(x)=cos(x+D,存在對稱中心(An+萬-1,0),是“準奇函數(shù)”；9V—1 3對于B,f{x)=. =2---,其對稱中心為X十1 X十1

(-1,2),是“準奇函數(shù)”;對于C,M=e',是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，不存在對稱中心，不是“準奇函數(shù)”；對于D,/Xx)=x,是正比例函數(shù)，函數(shù)圖象上存在無數(shù)個對稱中心，是“準奇函數(shù)”..設f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()/1(x)f(—x)是奇函數(shù)f(x)|f(一x)|是奇函數(shù)f(x)—f(—x)是偶函數(shù)/1(*)+f(—x)是偶函數(shù)【解析】選D.A中令￡(x)=f(x)f(—x),則以-x)=f(—x)f(x)=/(又)，即函數(shù)F{x}=f(x)f(—x)為偶函數(shù)，B中令b(x)=f(x)"(—x)|,F{—x)=f[-x)|MI,因f(x)為任意函數(shù)，故此時網x)與網一x)的關系不能確定，即函數(shù)/5)=/'5)"(一')|的奇偶性不確定,C中令6(x)=f(x)—f(—x),則6(—x)=f(—x)—f(x)=-6(x),即函數(shù)F[x}=f(x)—f(一x)為奇函數(shù)，D中令F(x)=f(x)+f(—x),6(—x)=f(—x)+f(x)=6(x),即函數(shù)6(x)=f(x)+f(—x)為偶函數(shù).2.若定義在R上的函數(shù)/Xx)滿足：對任意%,X2GR有/?(為+x2)=f(xj+f(%)+l，則下列說法一定正確的是()A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)C./'(")+1為奇函數(shù) D./Xx)+1為偶函數(shù)【解析】選C.因為對任意為，蒞eR有+苞)=f(外+Aa)+1,所以令用=也=0，得/'(0)=-1,所以令為=X,Xz=-x,得f(0)=f(x)+f(—x)+1,所以f{x}+1=-f(—x)—1=—[f(—x)+l],所以/'(*)+1為奇函數(shù).，考點二函數(shù)的周期性及應用 |自主練透(2022?漢臺區(qū)模擬)若偶函數(shù)f(x)滿足?Aa-+1)=1,A-2)=-l,則A2021)=()一22C一22C.1D.-1fl,x>0★(命題?新視角)已知符號函數(shù)sgn(*)=1(),x=0，偶函數(shù)/'(x)滿足/'(x+2)=f(x),l-l,KO當x￡[O,1]時，f5)=x,則()A.sgn(/(a))>0sgn(A2A))=0(AGZ)sgn(/(A))=|sgn(A)|(AEZ)3.(多選題)(2022?濰坊模擬)定義在R上的奇函數(shù)/Xx)滿足f(x+2)=f(2—x),且在［0,2］上是增函數(shù)，下面判斷正確的是()/'(X)的周期是4/1(2)是函數(shù)的最大值/"(x)的圖象關于點(一2,0)對稱f(x)在［2,6］上是減函數(shù)【解析】1.選D.因為/'(x)?f(x+l)=l,所以f(x+l)=「J、，f(x+2)=「(=1\X/ 1\X］1?=f(x),故函數(shù)是以7=2為周期的周期函數(shù)，因為/(-2)=-1且f(-2)r(-i)=i,所以/'(-1)=一1,因為/'(x)為偶函數(shù)，則/'(2O21)=A1)=A-1)=-1..選C.依題意，由/'(x+2)=f(x),可知函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù).因為當xC［0,1］時，/(%)=x,f(x)是偶函數(shù)，所以當—1,0］時，f(x)=-X函數(shù)/1(x)圖象如圖：-5-4-3-2-1O\12345*

根據(jù)圖象可得，O〈f(x)Wl,故sgn(f(x))20,選項A不正確；很明顯，當x=2k,時，f{x)=0,sgn(f(x))=0,選項C正確；'片)=d2X1010+習~2，故選項B不正確；當"=2時，sgn(/(2))=sgn(0)=0,|sgn(2)|=1,故選項D不正確..選BD.定義在R上的奇函數(shù)/'(x)滿足/'(x+2)=F(2—x),得/'(x+2+2)=f(2—x—2)=f(-x)=-F(x),即f(x+4)=-f(x),則f(x+8)=-f(x+4)=—[—f(x)]=f(x).所以f(x)的周期為8,A錯誤.函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，由圖可得，BD正確，C錯誤.教師專用?【規(guī)律方法】教師專用?【規(guī)律方法】函數(shù)周期性的三個常用結論⑴若f(x+a)——f{x),則T=2a(a>0)；⑵若f(x+a)='、，則T=2a(a〉0)；⑶若/(x+a)=一/.J-，則7=2a(a>0).1\X/多維探究7考點三函數(shù)性質的綜合應用多維探究高考考情：函數(shù)性質的綜合應用，尤其是單調性與奇偶性的綜合應用是高考的熱點，多以選擇題形式呈現(xiàn)，重點考查比較大小、求值、解不等式等問題，難度中檔.?角度1函數(shù)奇偶性的應用[典例2](1)(2019?全國卷H)設f(x)為奇函數(shù)，且當x20時，f(x)=e*—l,則當水0時，f(x)=( )A.e*—1A.e*—1B.e"r+l(2)(一題多解)(2021?全國甲卷)設函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+l)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶D.D.函數(shù)，當xG[l,2]時，/=a*+6.若/'(0)+f(3)=6,則9A--4【解析】(1)選D.當水0時，則一才＞0,則有/■(一切二屋"一1,又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(—X)=—f(x),所以/'(x)=-e-'+l.(2)選D.因為f(x+l)是奇函數(shù)，所以f(—x+1)=-f(x+l)①；因為/1(x+2)是偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(—x+2)②.令x=l,由①得：f(0)=-f(2)=—(4a+6),由②得：/(3)=/(D=a+^因為因0)+f(3)=6,所以一(4a+b)+a+b=6=a=—2,令x=0,由①得f(l)=-f(l)=f(l)=0=6=2,所以f(x)=-2x+2.方法一：從定義入手.方法二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)/1（X）的周期7=4.?角度2函數(shù)單調性、奇偶性的綜合應用[典例3]（2020?新高考I卷）若定義在R的奇函數(shù)/?（￡在（-8,0）單調遞減，且/'（2）=0,則滿足Xf(x-l)20的X的取值范圍是()A.[-1,1]U[3,+8) B.[-3,-1]U[0,1]C.[-1,0]U[1,+8) D.[-1,0]U[1,3]【解析】選D.因為f(x)為奇函數(shù)，且在(一8,0)上單調遞減，f(2)=0,所以f(x)在(0,+8)上單調遞減，/1(-2)=0,當*〉0時，f(x—l)20=f(2),即0<x—lW2,解得1〈后3,當x=0或x=l時，顯然符合題意，當K0時，f(x—l)W0=f(-2),即一2Wx-l<0,解得一1WK0,所以不等式xf(x—D20的解集為[-1,0]U[l,3],，規(guī)律方法.函數(shù)奇偶性的常見應用及解題策略(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/'(x)土/'(-x)=0得到關于參數(shù)的恒等式.由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值..利用函數(shù)奇偶性與單調性解不等式的方法(1)結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x)"(X2)或f(xj〉f(x2)的形式；(2)根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，去掉不等式中的“尸轉化為簡單不等式(組)求解.，多維訓練1.已知函數(shù)f(x)=/%]不為-1)是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，則[&)=()A.3B.1C.-D.-1【解析】選〃由題意，函數(shù)f(x)=logs(―JTj--1)是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，則f(0)XI1=log3a-i)=o,解得a=2.經檢驗當a=2時，f(x)是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，則f(x)=/。白卜1一1),故f!-1.log.-1..(2021?全國甲卷)設f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/U+x)=f(-x),若.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(一8,0］上是減函數(shù)，若f(a)>f(2),則實數(shù)a的取值范圍是()A.aW2 B.a<—2或a>2C.a2-2 D.-2WaW2【解析】選B.因為尸f(x)是R上的偶函數(shù)且在(-8,0］上是減函數(shù)，所以y=f(x)在［0,+8)是增函數(shù)，因為/'(a)>f(2),所以|a|>2,所以aV—2或a>2.官司【加練備選】.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x—4)=—f(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則()f(一25)"(1D<F(8O)/'(80XA11XA-25)/(11)</(80)</(-25)/1(-25)</(80)</(11)【解析】選D.因為/'(x)滿足f(x—4)=-f(x),所以/'(x—8)=f(x),所以函數(shù)/'(X)是以8為周期的周期函數(shù)，則/'(一25)="—1),A80)=f(0),All)=A3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x—4)=-f(x),得All)=/(3)=—/(—1)=AD.因為/■(*)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，/'(X)在R上是奇函數(shù)，所以/'(x)在區(qū)間［-2,2］上是增函數(shù)，所以A-1XA0XA1),即/,(-25)</(80)</(11).2xi+i? 3?22.已知函數(shù)/1(x)= 二工]—的最大值為機最小值為勿，則〃+勿等于( )乙I1A.0B.2C.4D.8人”皿.田八。/、 2?(2ix'+l)+yc，f【解析]選C.f(x)= 2.*+] =2+2*+],設g(x)=2=+],則g(—x)=-g(x)(xCR),所以g(x)為奇函數(shù)，所以爪乃皿十爪力0二。.因為kf(x)皿=2+g(x)111aX，m=f(x)*=2+g{x)ai?,所以〃+勿=2+g(x)s+2+g(x).in=4.備選考點函數(shù)的對稱性[典例4](1)已知偶函數(shù)/'(x)的圖象關于(1,0)對稱，且當xG(0,1)時，Ax)=Z則xG(9,10)時，F(xiàn)(x)=.(2)已知偶函數(shù)/W的圖象關于直線x=l對稱，且當“6(