經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課件4-2-

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應(yīng)用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無(wú)限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學(xué)的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)建議§4.1定積分的概念與性質(zhì)§4.3積分1

一.不定積分的概念

二.不定積分的性質(zhì)§4.2不定積分的概念與性質(zhì)

一.不定積分的概念二.不定積分的性質(zhì)2

乘法

一.不定積分的概念1.原函數(shù)定義

微分法

逆運(yùn)算

積分法

在微分學(xué)中,我們所研究的問(wèn)題是尋求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

但在許多實(shí)際問(wèn)題中,常常需要研究相反問(wèn)題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原來(lái)的函數(shù).

除法

逆運(yùn)算乘法一.不定積分的概念1.原函數(shù)定3案例已知曲線在橫坐標(biāo)為處的切線斜率為且曲線過(guò)點(diǎn),求該曲線的方程.

分析

這是已知曲線的切線斜率,求曲線方程的問(wèn)題.

又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線斜率我們已經(jīng)知道,也有等式

若是任意常數(shù),于是我們所求的曲線方程為依題設(shè),切線斜率

案例已知曲線在橫坐標(biāo)為4案例已知曲線在橫坐標(biāo)為處的切線斜率為且曲線過(guò)點(diǎn),求該曲線的方程.

我們所求的曲線方程為

這是一族拋物線

而我們要求的是在這一族拋物線中,過(guò)點(diǎn)的那一條,即當(dāng)時(shí),

我們可以用這個(gè)條件來(lái)確定任意常數(shù),即

從而,所求的曲線方程為案例已知曲線在橫坐標(biāo)為5

積分法逆運(yùn)算

微分法

微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導(dǎo)函數(shù).如已知函數(shù)要求它的導(dǎo)函數(shù):而案例中的問(wèn)題則是:已知函數(shù),要求一個(gè)函數(shù),使其導(dǎo)函數(shù)恰是:已知函數(shù),要求它的導(dǎo)函數(shù)

已知導(dǎo)函數(shù),要還原函數(shù)逆問(wèn)題積分法逆運(yùn)算微分法微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導(dǎo)6稱是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)

是任意常數(shù)

是函數(shù)的無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)

由此可知,一個(gè)函數(shù)若有原函數(shù),則它必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù).稱是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是71.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上,若有

或

則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).

例如,在區(qū)間上,有所以是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).

原函數(shù)的特性

若函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),即,

則對(duì)任意的常數(shù),函數(shù)族也是函數(shù)的原函數(shù),且包括了函數(shù)的所有原函數(shù).1.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上82.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)

函數(shù)的所有原函數(shù),稱為的不定積分,記作

被積表達(dá)式

被積函數(shù)

積分變量

積分號(hào)由不定積分的定義知

求被積函數(shù)的不定積分,關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)然后再加上任意常數(shù)其中

2.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)函數(shù)9練習(xí)1前述

解

因

有

因

有

求下列不定積分:

(1)

(2)

().(1)被積函數(shù)

因?yàn)?/p>

故

于是

特別地

練習(xí)1前述解因有因有求下列不定積分:(1)(10練習(xí)1解

求下列不定積分:

(2)

().(2)被積函數(shù)

由于

故

如

練習(xí)1解求下列不定積分:(2)(11如

如12練習(xí)2解

求不定積分被積函數(shù)

當(dāng)時(shí)無(wú)意義.

當(dāng)時(shí),因?yàn)?/p>

所以當(dāng)時(shí),因?yàn)?/p>

所以將上面兩式合并在一起寫(xiě),當(dāng)時(shí),就有練習(xí)2解求不定積分被積函數(shù)當(dāng)時(shí)無(wú)13

二.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或求微分互為逆運(yùn)算

性質(zhì)2不定積分運(yùn)算性質(zhì)

或

或

這些性質(zhì)均可由不定積分的定義得到.

二.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積14練習(xí)3求下列不定積分:

解(1)(1)

(2)

由不定積分的運(yùn)算性質(zhì)解(2)由不定積分的運(yùn)算性質(zhì)練習(xí)3求下列不定積分:解(1)(1)(2)由不定積分的15

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應(yīng)用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無(wú)限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學(xué)的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)建議§4.1定積分的概念與性質(zhì)§4.3積分16

一.不定積分的概念

二.不定積分的性質(zhì)§4.2不定積分的概念與性質(zhì)

一.不定積分的概念二.不定積分的性質(zhì)17

乘法

一.不定積分的概念1.原函數(shù)定義

微分法

逆運(yùn)算

積分法

在微分學(xué)中,我們所研究的問(wèn)題是尋求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

但在許多實(shí)際問(wèn)題中,常常需要研究相反問(wèn)題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原來(lái)的函數(shù).

除法

逆運(yùn)算乘法一.不定積分的概念1.原函數(shù)定18案例已知曲線在橫坐標(biāo)為處的切線斜率為且曲線過(guò)點(diǎn),求該曲線的方程.

分析

這是已知曲線的切線斜率,求曲線方程的問(wèn)題.

又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線斜率我們已經(jīng)知道,也有等式

若是任意常數(shù),于是我們所求的曲線方程為依題設(shè),切線斜率

案例已知曲線在橫坐標(biāo)為19案例已知曲線在橫坐標(biāo)為處的切線斜率為且曲線過(guò)點(diǎn),求該曲線的方程.

我們所求的曲線方程為

這是一族拋物線

而我們要求的是在這一族拋物線中,過(guò)點(diǎn)的那一條,即當(dāng)時(shí),

我們可以用這個(gè)條件來(lái)確定任意常數(shù),即

從而,所求的曲線方程為案例已知曲線在橫坐標(biāo)為20

積分法逆運(yùn)算

微分法

微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導(dǎo)函數(shù).如已知函數(shù)要求它的導(dǎo)函數(shù):而案例中的問(wèn)題則是:已知函數(shù),要求一個(gè)函數(shù),使其導(dǎo)函數(shù)恰是:已知函數(shù),要求它的導(dǎo)函數(shù)

已知導(dǎo)函數(shù),要還原函數(shù)逆問(wèn)題積分法逆運(yùn)算微分法微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導(dǎo)21稱是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)

是任意常數(shù)

是函數(shù)的無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)

由此可知,一個(gè)函數(shù)若有原函數(shù),則它必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù).稱是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是221.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上,若有

或

則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).

例如,在區(qū)間上,有所以是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).

原函數(shù)的特性

若函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),即,

則對(duì)任意的常數(shù),函數(shù)族也是函數(shù)的原函數(shù),且包括了函數(shù)的所有原函數(shù).1.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上232.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)

函數(shù)的所有原函數(shù),稱為的不定積分,記作

被積表達(dá)式

被積函數(shù)

積分變量

積分號(hào)由不定積分的定義知

求被積函數(shù)的不定積分,關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)然后再加上任意常數(shù)其中

2.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)函數(shù)24練習(xí)1前述

解

因

有

因

有

求下列不定積分:

(1)

(2)

().(1)被積函數(shù)

因?yàn)?/p>

故

于是

特別地

練習(xí)1前述解因有因有求下列不定積分:(1)(25練習(xí)1解

求下列不定積分:

(2)

().(2)被積函數(shù)

由于

故

如

練習(xí)1解求下列不定積分:(2)(26如

如27練習(xí)2解

求不定積分被積函數(shù)

當(dāng)時(shí)無(wú)意義.

當(dāng)時(shí),因?yàn)?/p>

所以當(dāng)時(shí),因?yàn)?/p>

所以將上面兩式合并在一起寫(xiě),當(dāng)時(shí),就有練習(xí)2解求不定積分被積函數(shù)當(dāng)