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文檔簡介

小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

和相位同步報(bào)告人:韓芳2009.10.26小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

和相位同步報(bào)告人:韓芳主要內(nèi)容研究背景相關(guān)知識(shí)小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步總結(jié)主要內(nèi)容研究背景1.研究背景

大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)能夠?qū)崟r(shí)地從外部和內(nèi)部各種刺激中極其完美地提取和整合各種信息的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。它是在多重組織層次上運(yùn)作的:神經(jīng)元(neuron)、神經(jīng)元集群,即局部回路(localcircuits)、腦的特定區(qū)域(specialbrainareas)、皮層的大規(guī)模組織(large-scaleorganizationofthecortex)、全腦(theentirebrain)。早期的神經(jīng)科學(xué)研究:各腦區(qū)功能的定位現(xiàn)代的觀點(diǎn):運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法分析不同層次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜腦網(wǎng)絡(luò)的研究視角:結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)(structuralnetwork)、功能性網(wǎng)絡(luò)(functionalnetwork)、效率性網(wǎng)絡(luò)(effectivenetwork)。

1.研究背景大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)能夠1.研究背景

結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元及它們之間的連接所構(gòu)成,具有多重空間尺度和時(shí)間動(dòng)態(tài)演化性,是研究大腦功能的基礎(chǔ)。目前,從哺乳動(dòng)物諸如鼠、貓、猴等的實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)得到證明,其腦皮層區(qū)域的結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)連接情況顯示出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性。Olaf.Sporns和他的實(shí)驗(yàn)小組利用圖論工具量化了哺乳動(dòng)物的大規(guī)模皮層結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)以及人類大腦皮層區(qū)域結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)的特征,證明了其連接模式均呈現(xiàn)小世界特性,它們平均路徑長度很短,接近于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),而群集系數(shù)卻要高很多[注]。圖1.1

大腦皮層的結(jié)構(gòu)連接圖

[注]SpornsO,ZwiJ.Thesmallworldofthecerebralcortex.Neuroinfo,2004,2(2):141~162

1.研究背景結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元及它們之1.研究背景

同步現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一個(gè)基本性質(zhì),在神經(jīng)系統(tǒng),特別是大腦中同樣具有普遍性和重要性。大腦的層次分子神經(jīng)元神經(jīng)元群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大腦皮層功能分區(qū)神經(jīng)中樞發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象:如腦電圖、腦磁圖神經(jīng)系統(tǒng)同步在大腦的信息交流和處理過程中發(fā)揮了重要作用,表現(xiàn):學(xué)習(xí)、記憶等認(rèn)知功能、視覺目標(biāo)合成、神經(jīng)疾患等1.研究背景同步現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一個(gè)1.研究背景神經(jīng)系統(tǒng)同步的研究上個(gè)世紀(jì)80年代至今研究對象簡單的神經(jīng)元耦合系統(tǒng)(幾個(gè)神經(jīng)元耦合)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò):規(guī)則連接網(wǎng)絡(luò)(鏈?zhǔn)?、環(huán)式、星狀、方格子等連接方式)、全局連接網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)連接網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等研究內(nèi)容

完全同步、相同步、反相同步、簇同步、同步轉(zhuǎn)遷、一致共振、有序時(shí)空混沌現(xiàn)象研究方法

幾何奇異攝動(dòng)、分岔分析、混沌同步1.研究背景神經(jīng)系統(tǒng)同步的研究2.相關(guān)知識(shí)2.1大腦和神經(jīng)元

人腦的形態(tài)和構(gòu)成

圖2.1

大腦的外形和切片形狀數(shù)千億個(gè)神經(jīng)元神經(jīng)元間的連接2.相關(guān)知識(shí)2.1大腦和神經(jīng)元圖2.1大腦2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)

圖2.2

顯微鏡下的神經(jīng)細(xì)胞(神經(jīng)元)

軸突末梢樹突胞體軸突2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)圖2.2顯2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的數(shù)學(xué)描述

離子通道模型:描述神經(jīng)元膜內(nèi)外的離子交換特性,如HH模型、HR模型、FHN模型、IF模型、Chay模型等;電纜特性和房室模型:描述細(xì)胞內(nèi)電信號(hào)傳遞的特性,基于Rall電纜理論;突觸動(dòng)力學(xué)模型:突觸傳遞信息一般采用電傳遞和化學(xué)傳遞兩種方式進(jìn)行。電突觸的描述是利用歐姆定律進(jìn)行電位耦合,化學(xué)突觸的信號(hào)的詳細(xì)傳遞過程是電脈沖-化學(xué)信號(hào)-電脈沖;樹突動(dòng)力學(xué)模型:樹突形狀的變化可以引起不同的發(fā)放模式,樹突的結(jié)構(gòu)變化會(huì)導(dǎo)致電信號(hào)傳遞的時(shí)間延遲,對電位發(fā)放的影響也十分明顯;鈣信號(hào)的調(diào)節(jié)模型:刻畫各種從細(xì)胞膜和鈣庫中流進(jìn)和流出細(xì)胞質(zhì)的鈣離子。2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的數(shù)學(xué)描述離子通道模型2.相關(guān)知識(shí)2.2小世界網(wǎng)絡(luò)

小世界網(wǎng)絡(luò)理論的形成和發(fā)展

1967年,StanleyMilgram提出一個(gè)“六度分離”(sixdegreesofseparation)的假設(shè)。

1998年,美國Cornell大學(xué)理論和應(yīng)用力學(xué)系的博士生Watts及其導(dǎo)師Strogatz根據(jù)Milgram的“六度分離”假設(shè)提出了小世界網(wǎng)絡(luò)(Small-worldNetworks)模型(WS模型)。圖2.3WS模型示意圖N個(gè)節(jié)點(diǎn)以概率p隨機(jī)重連2k個(gè)鄰居2.相關(guān)知識(shí)2.2小世界網(wǎng)絡(luò)圖2.3WS模型示2.相關(guān)知識(shí)

由于WS小世界模型不利于分析并且在構(gòu)造過程中可能產(chǎn)生孤立的節(jié)點(diǎn)簇,Newman和Watts對WS模型作了少許改動(dòng),提出了NW模型:不去斷開原來環(huán)形初始網(wǎng)絡(luò)的任何一條邊、而只是在隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)對之間增加一條邊。小世界現(xiàn)象的產(chǎn)生不是因?yàn)樵诰W(wǎng)絡(luò)中存在一些長范圍的連接,而是因?yàn)樵诰W(wǎng)絡(luò)中存在一些具有高度連接或者其鄰居節(jié)點(diǎn)廣泛分布的節(jié)點(diǎn),據(jù)此,Dorogovtsev&Mendes提出了DM模型:在環(huán)形網(wǎng)格中間添加中心節(jié)點(diǎn),隨機(jī)選取環(huán)形網(wǎng)格的大量節(jié)點(diǎn)與這些中心結(jié)點(diǎn)相連。在真實(shí)世界里,只要給定社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的局部信息,人們非常擅于找到捷徑,而這一點(diǎn)在WS模型里得不到反映。因此,Kleinberg提出了一種節(jié)點(diǎn)距離可調(diào)的模型Kleinberg模型:在一個(gè)二維方格子里,在節(jié)點(diǎn)i和j之間以概率p添加長程邊,而概率p服從有關(guān)節(jié)點(diǎn)i和j之間距離的冪率分布,即。小世界網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn):同時(shí)具有較短的特征路長(即平均最短路長)和較大的群集系數(shù);在社會(huì)、生態(tài)網(wǎng)中均有體現(xiàn)。

2.相關(guān)知識(shí)由于WS小世界2.相關(guān)知識(shí)小世界網(wǎng)絡(luò)的基本參數(shù)

度(degree)和度分布(degreedistribution):網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度通常定義為這個(gè)節(jié)點(diǎn)具有的連接邊的數(shù)目。把具有相同度的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別統(tǒng)計(jì)起來,可以得到一張度的分布圖。

群集系數(shù)(clusteringcoefficient):群集系數(shù)的概念用來刻畫所關(guān)心的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的直接鄰居節(jié)點(diǎn)之間也互相連接的稠密程度,定義為0到1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)值。

距離(distance)和平均最短路徑長度(averageshortestpath-length,也稱為特征路長,characteristicspath-length):兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離可以有許多不同的定義,其中最簡單也最常用的就是它們之間最短連邊的條數(shù)。

介數(shù)(betweenness):介數(shù)分節(jié)點(diǎn)介數(shù)和連邊介數(shù),前者定義為網(wǎng)絡(luò)中兩兩相連的節(jié)點(diǎn)對之間通過該節(jié)點(diǎn)的所有連邊的總數(shù)量;后者定義為網(wǎng)絡(luò)中兩兩相連節(jié)點(diǎn)對之間通過該邊的所有連邊的總數(shù)量。

2.相關(guān)知識(shí)小世界網(wǎng)絡(luò)的基本參數(shù)度(degree2.相關(guān)知識(shí)NW小世界網(wǎng)絡(luò)的定量性質(zhì)特征路長的定量描述:其中,

2.相關(guān)知識(shí)NW小世界網(wǎng)絡(luò)的定量性質(zhì)2.相關(guān)知識(shí)

圖2.4NW小世界網(wǎng)絡(luò)特征路長與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)N,p,k(k=z/2)的關(guān)系特征路長L分別是N的單調(diào)增函數(shù)、p的單調(diào)減函數(shù)、k的單調(diào)減函數(shù)。

2.相關(guān)知識(shí)圖2.4NW小世界網(wǎng)絡(luò)特征路長與2.相關(guān)知識(shí)2.3同步周期系統(tǒng)的同步:鎖頻鎖相混沌系統(tǒng)的同步:完全同步:兩個(gè)相同的混沌系統(tǒng)在耦合參數(shù)的變化下,經(jīng)過足夠長的時(shí)間后,系統(tǒng)的軌道能夠完全重合。相位同步:兩個(gè)耦合的混沌系統(tǒng)或有周期外力激勵(lì)的單個(gè)混沌系統(tǒng),當(dāng)它們在時(shí)間連續(xù)變化時(shí),相位(或頻率)保持一致或相位差(或頻率差)保持恒定,而振幅不相關(guān)。滯后同步:兩個(gè)振子的狀態(tài)幾乎相同,只是在時(shí)間上一個(gè)系統(tǒng)滯后于另一個(gè)系統(tǒng);還有期望同步、射影同步、廣義同步等。2.相關(guān)知識(shí)2.3同步3.1數(shù)學(xué)模型

HR神經(jīng)元模型

3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.1數(shù)學(xué)模型3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

圖3.2HR模型的ISI隨外界直流激勵(lì)I(lǐng)變化的分岔圖圖3.1在不同外界直流激勵(lì)下HR模型的膜電位3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.2HR模型的ISI隨NW小世界HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型

矩陣G具有如下性質(zhì):(1)G是一個(gè)N維的不可約的對稱方陣;(2)G的非對角元素或者是1或者是0;(3)G的元素滿足;(4)G的特征值滿足關(guān)系。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步NW小世界HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型思路:MSF方法適用的條件(1)耦合振子是全同的;(2)任意振子的輸出函數(shù)相同;(3)同步流形是不變流形;(4)節(jié)點(diǎn)的耦合可由同步流形處的線性算子來近似。系統(tǒng)(3.2)滿足這些條件,故可以通過尋找HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)來研究小世界網(wǎng)絡(luò)的完全同步。由系統(tǒng)(3.2),可得到其變分方程其中A是單個(gè)HR神經(jīng)元在同步流形處的Jacobia矩陣,H為輸出函數(shù),這里,,表示矩陣的直乘運(yùn)算。3.2研究方法:MSF(MasterStabilityFunction)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步思路:MSF方法適用的條件(1)耦合振子是全同的;(2)任意

將G對角化后變分方程形成n個(gè)形式如下的塊狀方程;

它們的不同僅在于網(wǎng)絡(luò)連接矩陣G的特征值。一般地,我們可考慮系統(tǒng)

系統(tǒng)(3.5)的最大Lyapunov指數(shù)與的關(guān)系,就是HR神經(jīng)元耦合系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)。令小于零的的范圍,即HR系統(tǒng)的同步區(qū)域。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步將G對角化后變分方程形成n個(gè)形式如下的塊狀方程;

同步區(qū)域:即,只要滿足,系統(tǒng)(3.4)就是穩(wěn)定的,進(jìn)而系統(tǒng)(3.2)的同步狀態(tài)就是穩(wěn)定的。圖3.3

耦合混沌HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.3耦合混沌HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)3.小世界神

由于同步區(qū)域是半有界區(qū)域,而耦合矩陣G的特征值滿足關(guān)系,所以只要滿足,其它特征值就自動(dòng)滿足關(guān)系。因此,只要,同步流形就是穩(wěn)定的,據(jù)此可立即求出HR神經(jīng)元系統(tǒng)達(dá)到同步對耦合強(qiáng)度的約束條件即,達(dá)到完全同步的臨界耦合強(qiáng)度僅僅依賴于網(wǎng)絡(luò)矩陣的最大非零特征值。值越大,要達(dá)到同步的耦合強(qiáng)度越大,網(wǎng)絡(luò)也就越不容易達(dá)到同步狀態(tài)。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步由于同步區(qū)域是半有界區(qū)域3.3數(shù)值模擬結(jié)果

小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)完全同步的影響

圖3.4

臨界耦合強(qiáng)度與加邊概率在不同情況下的關(guān)系:(a)不同的神經(jīng)元數(shù)N(k=5);(b)不同的初始節(jié)點(diǎn)度k(N=300)

3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.3數(shù)值模擬結(jié)果小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)完全同步的影圖3.5

不同情況下最大同步誤差與耦合強(qiáng)度的關(guān)系:(a)N(k=5,p=0.01),(b)k(N=300,p=0.01),(c)p(N=300,k=4)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.5不同情況下最大同步誤差與耦合強(qiáng)度的關(guān)系:3.小世界網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對完全同步的影響異質(zhì)性系數(shù)的引入:在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取

個(gè)神經(jīng)元作為中心節(jié)點(diǎn),在網(wǎng)絡(luò)中添加

m

條長程邊,要求每個(gè)長程邊至少連接一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)。這樣,網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性可由系數(shù)來控制。當(dāng)時(shí),特征路長最短。圖3.6(a)m=100和(b)m=200時(shí)臨界耦合強(qiáng)度與異質(zhì)性系數(shù)的關(guān)系(N=300,k=5)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對完全同步的影響圖3.6(a)m=100和圖3.7最大同步誤差與異質(zhì)性參數(shù)的關(guān)系(N=300,k=5,m=200)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.7最大同步誤差與異質(zhì)性參數(shù)的關(guān)系(N=300,k4.1數(shù)學(xué)模型4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步4.1數(shù)學(xué)模型4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步4.2相位的三種定義方法4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步(1)解析信號(hào)逼近的方法:基于Hilberttransformation;(2)針對圍繞一個(gè)參照點(diǎn)做固定旋轉(zhuǎn)的振子的直觀方法:將HR神經(jīng)元模型的運(yùn)動(dòng)軌道投影在相平面上,則相位可以定義為:(3)基于Poincare映射的方法:選取Poincaré截面為,規(guī)定膜電位增加的方向?yàn)檎较?,則瞬時(shí)相位可以定義為:4.2相位的三種定義方法4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步(1圖4.1HR神經(jīng)元的混沌觸發(fā)(上圖)和相位定義(下圖)4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步圖4.1HR神經(jīng)元的混沌觸發(fā)(上圖)和相位定義(下圖)4.4.3數(shù)值模擬結(jié)果小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)相位同步的影響(1)4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步4.3數(shù)值模擬結(jié)果4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)相位同步的影響(2)圖4.2在不同情況下最大平均相差與耦合強(qiáng)度的關(guān)系(前圖)N(k=5,p=0.01),(左圖)k(N=300,p=0.01),(右圖)p(N=300,k=4)

4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)相位同步的影響(2)圖4.2在不同情況下最異質(zhì)性對網(wǎng)絡(luò)相位同步的影響圖4.3

(a)m=100(b)m=200時(shí)臨界耦合強(qiáng)度與異質(zhì)性的關(guān)系(N=300,k=5)4.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步異質(zhì)性對網(wǎng)絡(luò)相位同步的影響圖4.3(a)m=100(

(一)完全同步利用主穩(wěn)定性函數(shù)法,研究了小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對全同混沌HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步的影響。研究結(jié)果表明,較大的神經(jīng)元數(shù)目、節(jié)點(diǎn)度和加邊概率都有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到完全同步。至于異質(zhì)性對網(wǎng)絡(luò)行為的影響,一般來說,具有較小的異質(zhì)性,即趨于均勻的網(wǎng)絡(luò)更容易達(dá)到同步,在網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜程度較高(長程邊數(shù)目較多)時(shí)候尤其如此。通過分析發(fā)現(xiàn),特征路長顯然不是自然選擇唯一關(guān)注的因素,神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)趨向于以較大的特征路長的代價(jià)來擁有較大的神經(jīng)元數(shù)目和較小的異質(zhì)性。5.總結(jié)(一)完全同步5.總結(jié)(二)相同步采用數(shù)值模擬的方法,研究了小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對非全同的混沌HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相同步的影響,研究結(jié)果表明,與小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)完全同步類似,較大的神經(jīng)元數(shù)目、節(jié)點(diǎn)度和加邊概率都有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到相同步,而較小的異質(zhì)性使網(wǎng)絡(luò)更容易達(dá)到同步,且隨著異質(zhì)性的增加,網(wǎng)絡(luò)的同步能力有個(gè)先難后易的過程。5.總結(jié)(二)相同步5.總結(jié)ThanksThanks35小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

和相位同步報(bào)告人:韓芳2009.10.26小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

和相位同步報(bào)告人:韓芳主要內(nèi)容研究背景相關(guān)知識(shí)小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的相位同步總結(jié)主要內(nèi)容研究背景1.研究背景

大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)能夠?qū)崟r(shí)地從外部和內(nèi)部各種刺激中極其完美地提取和整合各種信息的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。它是在多重組織層次上運(yùn)作的:神經(jīng)元(neuron)、神經(jīng)元集群,即局部回路(localcircuits)、腦的特定區(qū)域(specialbrainareas)、皮層的大規(guī)模組織(large-scaleorganizationofthecortex)、全腦(theentirebrain)。早期的神經(jīng)科學(xué)研究:各腦區(qū)功能的定位現(xiàn)代的觀點(diǎn):運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法分析不同層次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜腦網(wǎng)絡(luò)的研究視角:結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)(structuralnetwork)、功能性網(wǎng)絡(luò)(functionalnetwork)、效率性網(wǎng)絡(luò)(effectivenetwork)。

1.研究背景大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)能夠1.研究背景

結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元及它們之間的連接所構(gòu)成,具有多重空間尺度和時(shí)間動(dòng)態(tài)演化性,是研究大腦功能的基礎(chǔ)。目前,從哺乳動(dòng)物諸如鼠、貓、猴等的實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)得到證明,其腦皮層區(qū)域的結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)連接情況顯示出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性。Olaf.Sporns和他的實(shí)驗(yàn)小組利用圖論工具量化了哺乳動(dòng)物的大規(guī)模皮層結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)以及人類大腦皮層區(qū)域結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)的特征,證明了其連接模式均呈現(xiàn)小世界特性,它們平均路徑長度很短,接近于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),而群集系數(shù)卻要高很多[注]。圖1.1

大腦皮層的結(jié)構(gòu)連接圖

[注]SpornsO,ZwiJ.Thesmallworldofthecerebralcortex.Neuroinfo,2004,2(2):141~162

1.研究背景結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)由神經(jīng)元及它們之1.研究背景

同步現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一個(gè)基本性質(zhì),在神經(jīng)系統(tǒng),特別是大腦中同樣具有普遍性和重要性。大腦的層次分子神經(jīng)元神經(jīng)元群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大腦皮層功能分區(qū)神經(jīng)中樞發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象:如腦電圖、腦磁圖神經(jīng)系統(tǒng)同步在大腦的信息交流和處理過程中發(fā)揮了重要作用,表現(xiàn):學(xué)習(xí)、記憶等認(rèn)知功能、視覺目標(biāo)合成、神經(jīng)疾患等1.研究背景同步現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的一個(gè)1.研究背景神經(jīng)系統(tǒng)同步的研究上個(gè)世紀(jì)80年代至今研究對象簡單的神經(jīng)元耦合系統(tǒng)(幾個(gè)神經(jīng)元耦合)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò):規(guī)則連接網(wǎng)絡(luò)(鏈?zhǔn)健h(huán)式、星狀、方格子等連接方式)、全局連接網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)連接網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等研究內(nèi)容

完全同步、相同步、反相同步、簇同步、同步轉(zhuǎn)遷、一致共振、有序時(shí)空混沌現(xiàn)象研究方法

幾何奇異攝動(dòng)、分岔分析、混沌同步1.研究背景神經(jīng)系統(tǒng)同步的研究2.相關(guān)知識(shí)2.1大腦和神經(jīng)元

人腦的形態(tài)和構(gòu)成

圖2.1

大腦的外形和切片形狀數(shù)千億個(gè)神經(jīng)元神經(jīng)元間的連接2.相關(guān)知識(shí)2.1大腦和神經(jīng)元圖2.1大腦2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)

圖2.2

顯微鏡下的神經(jīng)細(xì)胞(神經(jīng)元)

軸突末梢樹突胞體軸突2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)圖2.2顯2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的數(shù)學(xué)描述

離子通道模型:描述神經(jīng)元膜內(nèi)外的離子交換特性,如HH模型、HR模型、FHN模型、IF模型、Chay模型等;電纜特性和房室模型:描述細(xì)胞內(nèi)電信號(hào)傳遞的特性,基于Rall電纜理論;突觸動(dòng)力學(xué)模型:突觸傳遞信息一般采用電傳遞和化學(xué)傳遞兩種方式進(jìn)行。電突觸的描述是利用歐姆定律進(jìn)行電位耦合,化學(xué)突觸的信號(hào)的詳細(xì)傳遞過程是電脈沖-化學(xué)信號(hào)-電脈沖;樹突動(dòng)力學(xué)模型:樹突形狀的變化可以引起不同的發(fā)放模式,樹突的結(jié)構(gòu)變化會(huì)導(dǎo)致電信號(hào)傳遞的時(shí)間延遲,對電位發(fā)放的影響也十分明顯;鈣信號(hào)的調(diào)節(jié)模型:刻畫各種從細(xì)胞膜和鈣庫中流進(jìn)和流出細(xì)胞質(zhì)的鈣離子。2.相關(guān)知識(shí)神經(jīng)元的數(shù)學(xué)描述離子通道模型2.相關(guān)知識(shí)2.2小世界網(wǎng)絡(luò)

小世界網(wǎng)絡(luò)理論的形成和發(fā)展

1967年,StanleyMilgram提出一個(gè)“六度分離”(sixdegreesofseparation)的假設(shè)。

1998年,美國Cornell大學(xué)理論和應(yīng)用力學(xué)系的博士生Watts及其導(dǎo)師Strogatz根據(jù)Milgram的“六度分離”假設(shè)提出了小世界網(wǎng)絡(luò)(Small-worldNetworks)模型(WS模型)。圖2.3WS模型示意圖N個(gè)節(jié)點(diǎn)以概率p隨機(jī)重連2k個(gè)鄰居2.相關(guān)知識(shí)2.2小世界網(wǎng)絡(luò)圖2.3WS模型示2.相關(guān)知識(shí)

由于WS小世界模型不利于分析并且在構(gòu)造過程中可能產(chǎn)生孤立的節(jié)點(diǎn)簇,Newman和Watts對WS模型作了少許改動(dòng),提出了NW模型:不去斷開原來環(huán)形初始網(wǎng)絡(luò)的任何一條邊、而只是在隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)對之間增加一條邊。小世界現(xiàn)象的產(chǎn)生不是因?yàn)樵诰W(wǎng)絡(luò)中存在一些長范圍的連接,而是因?yàn)樵诰W(wǎng)絡(luò)中存在一些具有高度連接或者其鄰居節(jié)點(diǎn)廣泛分布的節(jié)點(diǎn),據(jù)此,Dorogovtsev&Mendes提出了DM模型:在環(huán)形網(wǎng)格中間添加中心節(jié)點(diǎn),隨機(jī)選取環(huán)形網(wǎng)格的大量節(jié)點(diǎn)與這些中心結(jié)點(diǎn)相連。在真實(shí)世界里,只要給定社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的局部信息,人們非常擅于找到捷徑,而這一點(diǎn)在WS模型里得不到反映。因此,Kleinberg提出了一種節(jié)點(diǎn)距離可調(diào)的模型Kleinberg模型:在一個(gè)二維方格子里,在節(jié)點(diǎn)i和j之間以概率p添加長程邊,而概率p服從有關(guān)節(jié)點(diǎn)i和j之間距離的冪率分布,即。小世界網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn):同時(shí)具有較短的特征路長(即平均最短路長)和較大的群集系數(shù);在社會(huì)、生態(tài)網(wǎng)中均有體現(xiàn)。

2.相關(guān)知識(shí)由于WS小世界2.相關(guān)知識(shí)小世界網(wǎng)絡(luò)的基本參數(shù)

度(degree)和度分布(degreedistribution):網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度通常定義為這個(gè)節(jié)點(diǎn)具有的連接邊的數(shù)目。把具有相同度的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別統(tǒng)計(jì)起來,可以得到一張度的分布圖。

群集系數(shù)(clusteringcoefficient):群集系數(shù)的概念用來刻畫所關(guān)心的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的直接鄰居節(jié)點(diǎn)之間也互相連接的稠密程度,定義為0到1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)值。

距離(distance)和平均最短路徑長度(averageshortestpath-length,也稱為特征路長,characteristicspath-length):兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離可以有許多不同的定義,其中最簡單也最常用的就是它們之間最短連邊的條數(shù)。

介數(shù)(betweenness):介數(shù)分節(jié)點(diǎn)介數(shù)和連邊介數(shù),前者定義為網(wǎng)絡(luò)中兩兩相連的節(jié)點(diǎn)對之間通過該節(jié)點(diǎn)的所有連邊的總數(shù)量;后者定義為網(wǎng)絡(luò)中兩兩相連節(jié)點(diǎn)對之間通過該邊的所有連邊的總數(shù)量。

2.相關(guān)知識(shí)小世界網(wǎng)絡(luò)的基本參數(shù)度(degree2.相關(guān)知識(shí)NW小世界網(wǎng)絡(luò)的定量性質(zhì)特征路長的定量描述:其中,

2.相關(guān)知識(shí)NW小世界網(wǎng)絡(luò)的定量性質(zhì)2.相關(guān)知識(shí)

圖2.4NW小世界網(wǎng)絡(luò)特征路長與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)N,p,k(k=z/2)的關(guān)系特征路長L分別是N的單調(diào)增函數(shù)、p的單調(diào)減函數(shù)、k的單調(diào)減函數(shù)。

2.相關(guān)知識(shí)圖2.4NW小世界網(wǎng)絡(luò)特征路長與2.相關(guān)知識(shí)2.3同步周期系統(tǒng)的同步:鎖頻鎖相混沌系統(tǒng)的同步:完全同步:兩個(gè)相同的混沌系統(tǒng)在耦合參數(shù)的變化下,經(jīng)過足夠長的時(shí)間后,系統(tǒng)的軌道能夠完全重合。相位同步:兩個(gè)耦合的混沌系統(tǒng)或有周期外力激勵(lì)的單個(gè)混沌系統(tǒng),當(dāng)它們在時(shí)間連續(xù)變化時(shí),相位(或頻率)保持一致或相位差(或頻率差)保持恒定,而振幅不相關(guān)。滯后同步:兩個(gè)振子的狀態(tài)幾乎相同,只是在時(shí)間上一個(gè)系統(tǒng)滯后于另一個(gè)系統(tǒng);還有期望同步、射影同步、廣義同步等。2.相關(guān)知識(shí)2.3同步3.1數(shù)學(xué)模型

HR神經(jīng)元模型

3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.1數(shù)學(xué)模型3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步

圖3.2HR模型的ISI隨外界直流激勵(lì)I(lǐng)變化的分岔圖圖3.1在不同外界直流激勵(lì)下HR模型的膜電位3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.2HR模型的ISI隨NW小世界HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型

矩陣G具有如下性質(zhì):(1)G是一個(gè)N維的不可約的對稱方陣;(2)G的非對角元素或者是1或者是0;(3)G的元素滿足;(4)G的特征值滿足關(guān)系。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步NW小世界HR神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型思路:MSF方法適用的條件(1)耦合振子是全同的;(2)任意振子的輸出函數(shù)相同;(3)同步流形是不變流形;(4)節(jié)點(diǎn)的耦合可由同步流形處的線性算子來近似。系統(tǒng)(3.2)滿足這些條件,故可以通過尋找HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)來研究小世界網(wǎng)絡(luò)的完全同步。由系統(tǒng)(3.2),可得到其變分方程其中A是單個(gè)HR神經(jīng)元在同步流形處的Jacobia矩陣,H為輸出函數(shù),這里,,表示矩陣的直乘運(yùn)算。3.2研究方法:MSF(MasterStabilityFunction)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步思路:MSF方法適用的條件(1)耦合振子是全同的;(2)任意

將G對角化后變分方程形成n個(gè)形式如下的塊狀方程;

它們的不同僅在于網(wǎng)絡(luò)連接矩陣G的特征值。一般地,我們可考慮系統(tǒng)

系統(tǒng)(3.5)的最大Lyapunov指數(shù)與的關(guān)系,就是HR神經(jīng)元耦合系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)。令小于零的的范圍,即HR系統(tǒng)的同步區(qū)域。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步將G對角化后變分方程形成n個(gè)形式如下的塊狀方程;

同步區(qū)域:即,只要滿足,系統(tǒng)(3.4)就是穩(wěn)定的,進(jìn)而系統(tǒng)(3.2)的同步狀態(tài)就是穩(wěn)定的。圖3.3

耦合混沌HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.3耦合混沌HR神經(jīng)元系統(tǒng)的主穩(wěn)定性函數(shù)3.小世界神

由于同步區(qū)域是半有界區(qū)域,而耦合矩陣G的特征值滿足關(guān)系,所以只要滿足,其它特征值就自動(dòng)滿足關(guān)系。因此,只要,同步流形就是穩(wěn)定的,據(jù)此可立即求出HR神經(jīng)元系統(tǒng)達(dá)到同步對耦合強(qiáng)度的約束條件即,達(dá)到完全同步的臨界耦合強(qiáng)度僅僅依賴于網(wǎng)絡(luò)矩陣的最大非零特征值。值越大,要達(dá)到同步的耦合強(qiáng)度越大,網(wǎng)絡(luò)也就越不容易達(dá)到同步狀態(tài)。3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步由于同步區(qū)域是半有界區(qū)域3.3數(shù)值模擬結(jié)果

小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)完全同步的影響

圖3.4

臨界耦合強(qiáng)度與加邊概率在不同情況下的關(guān)系:(a)不同的神經(jīng)元數(shù)N(k=5);(b)不同的初始節(jié)點(diǎn)度k(N=300)

3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步3.3數(shù)值模擬結(jié)果小世界參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)完全同步的影圖3.5

不同情況下最大同步誤差與耦合強(qiáng)度的關(guān)系:(a)N(k=5,p=0.01),(b)k(N=300,p=0.01),(c)p(N=300,k=4)3.小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的完全同步圖3.5不同情況下最大同步誤差與耦合強(qiáng)度的關(guān)系:3.小世界網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對完全同步的影響異質(zhì)性系數(shù)的引入:在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取

個(gè)神經(jīng)元作為中心節(jié)點(diǎn),在網(wǎng)絡(luò)中添加

m

條長程邊,要求每個(gè)長程邊至少連接一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)。這樣,網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性可由系數(shù)來控制。當(dāng)時(shí)

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