第二章-態(tài)迭加原理與幾率流密度課件

第二節(jié)態(tài)疊加原理(StateSuperpositionPrinciple)一、態(tài)的概念及態(tài)的描述微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱(chēng)波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱(chēng)為態(tài)疊加原理。第二節(jié)態(tài)疊加原理一、態(tài)的概念及態(tài)的描述微觀粒子具有波動(dòng)性1經(jīng)典波的干涉作用：機(jī)械波（振動(dòng)位移）電磁波（電磁場(chǎng)量）某物理量的疊加疊加性是一切類(lèi)型的波動(dòng)的共有特征二、態(tài)疊加原理經(jīng)典波的干涉作用：機(jī)械波（振動(dòng)位移）某物理量的疊加疊加性是一2，則其在空若空間存在概率波和間相遇時(shí)產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為c1、c2可為復(fù)常數(shù)或包含時(shí)間的變量也是空間可能存在的概率波描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的概率波也具有疊加性。如有兩相干波y1和y2，當(dāng)其發(fā)生干涉時(shí)，干涉態(tài)（疊加態(tài)）可表示為y1和y2的線(xiàn)性疊加：y=y1+y2數(shù)學(xué)表示：，則其在空若空間存在概率波和間相遇時(shí)產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為c1、3粒子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)當(dāng)雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，粒子處于1和2的疊加態(tài)

＝c11＋c22通過(guò)單縫1的粒子處于1態(tài)通過(guò)單縫2的粒子處于2態(tài)12粒子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)當(dāng)雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，粒子處于1和2的疊加態(tài)4雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，電子出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：電子通過(guò)單縫1出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：說(shuō)明出現(xiàn)干涉現(xiàn)象相干項(xiàng)電子通過(guò)單縫2出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，電子出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：電子通過(guò)單縫1出5含義：當(dāng)粒子處于態(tài)1和態(tài)2的線(xiàn)性疊加態(tài)時(shí)，粒子既處在態(tài)1，又處在態(tài)2一般情況下，當(dāng)和是微觀體系可能存在的兩個(gè)狀態(tài)時(shí)，則它們的線(xiàn)性疊加也概率波的疊加原理（態(tài)疊加原理）也是體系可能存在的狀態(tài)含義：當(dāng)粒子處于態(tài)1和態(tài)2的線(xiàn)性疊加態(tài)時(shí)，一般情況下，6態(tài)疊加原理的更一般表述：當(dāng)ψ1,ψ2,ψ3,……ψn是體系的可能態(tài)時(shí)，它們的線(xiàn)性疊加ψ也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。或者當(dāng)體系處于ψ1,ψ2,ψ3,……ψn的疊加態(tài)ψ時(shí)，體系既可能處于ψ1態(tài)，又可能處于ψ2,ψ3……ψn態(tài)中，且處于各狀態(tài)的概率是確定的。數(shù)學(xué)形式為：量子力學(xué)的重要原理之一是“波的疊加性”與“波函數(shù)完全描述微觀體系的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)”兩者的高度概括與綜合。態(tài)疊加原理的更一般表述：當(dāng)ψ1,ψ2,ψ3,……ψn是體系7舉例：電子衍射實(shí)驗(yàn)GNi晶體電子槍舉例：電子衍射實(shí)驗(yàn)GNi晶體電子槍89

d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成取各種可能值的平面波的線(xiàn)性疊加，即

電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。9d電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)910

考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化而（2）（1）

即

衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果

顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對(duì)應(yīng),是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。10考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化而（2）（1）即衍射1011

若歸一化，則也是歸一化的

Prove:

以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間（動(dòng)量表象）波函數(shù)二者描寫(xiě)同一量子狀態(tài)

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

11若歸一化，則也是歸一化的Prov1112

此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，與的Fourer變換關(guān)系：如果僅考慮某一給定時(shí)刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)系，可取t=012此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，12第三節(jié)薛定諤方程(SchrodingerEquation)微觀粒子在時(shí)刻t的狀態(tài)由波函數(shù)ψ(r,t)來(lái)描述。問(wèn)題？當(dāng)t變化時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將怎樣隨之變化，并隨時(shí)間變化其遵從怎樣的規(guī)律？薛定諤方程

ErwinSchr?dinger

第三節(jié)薛定諤方程(SchrodingerEquatio13該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程。滿(mǎn)足一些物理?xiàng)l件：1）方程應(yīng)是一個(gè)線(xiàn)性方程：在方程中只能包含等項(xiàng)，而不能包含等項(xiàng)。當(dāng)ψ1和ψ2為方程的解時(shí)，ψ＝C1ψ1+C2ψ2也為方程的解；一、薛定諤方程的物理?xiàng)l件：該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程。滿(mǎn)足一些142）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿(mǎn)足的普遍性質(zhì)，方程中各系數(shù)只能為普適恒量（如h等）和表示粒子一般屬性的量（如質(zhì)量等），不能包含只表征某特殊狀態(tài)的量（如能量、動(dòng)量等）；3）波函數(shù)ψ的變量為r和t，方程是關(guān)于r和t的偏微分方程，規(guī)定此微分方程不高于二階；4）對(duì)于自由粒子，方程的解應(yīng)是平面波；2）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿(mǎn)足的普遍性質(zhì)，方3）波15思路：自由粒子得出方程推廣任意波函數(shù)滿(mǎn)足的方程二、自由粒子的薛定諤方程一個(gè)能量為E、動(dòng)量為，即波矢為平面波函數(shù)：的自由粒子，(1)對(duì)t求偏微商：不是所求方程！將(1)對(duì)坐標(biāo)求二次偏微商：(1)式改寫(xiě)為：思路：自由粒子得出方程推廣任意波函數(shù)滿(mǎn)足的方程二、自由粒子的16將(3)(4)(5)式相加：定義算符(劈形算符)：則得：同理：將(3)(4)(5)式相加：定義算符(劈形算符)：則得：同理17自由粒子的能量：μ為粒子質(zhì)量自由粒子的薛定諤方程自由粒子的能量：μ為粒子質(zhì)量自由粒子的薛定諤方程18劈形算符劈形算符19設(shè)粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能為U(r),則粒子能量與動(dòng)量滿(mǎn)足：注意：1）此方程不是從理論上推出，它的正確性來(lái)自實(shí)踐。2）此方程只對(duì)的粒子成立將(11)式兩邊同乘以波函數(shù)ψ(r,t):薛定諤波動(dòng)方程設(shè)粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能為U(r),則粒子能量與動(dòng)量滿(mǎn)足：注意：20建立復(fù)數(shù)表示式薛定諤方程實(shí)數(shù)表示式薛定諤方程也不是的解結(jié)論自由粒子的波函數(shù)必須用復(fù)數(shù)形式！建立復(fù)數(shù)表示式薛定諤方程實(shí)數(shù)表示式薛定諤方程也不是21體系包含N(N>1)個(gè)粒子,多粒子體系的薛定諤方程r1,r2,……rn表示N個(gè)粒子的坐標(biāo)，描述體系狀態(tài)的波函數(shù)為ψμi—第i個(gè)粒子的質(zhì)量pi—第i個(gè)粒子的動(dòng)量irixyz0體系包含N(N>1)個(gè)粒子,多粒子體系的薛定諤方程r1,r222體系的能量將(12)兩邊同乘波函數(shù)并用代換：多粒子體系的薛定諤波動(dòng)方程體系勢(shì)能：在外場(chǎng)中的能量和粒子間相互作用能量體系的能量將(12)兩邊同乘波函數(shù)并用代換：多粒子體系的薛定23第四節(jié)粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律(ParticleCurrentDensity&ConservationofParticleNumber)反映波函數(shù)的時(shí)空變化規(guī)律描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)粒子在t時(shí)刻、空間某點(diǎn)r處出現(xiàn)的概率密度：存在一個(gè)方程給出概率密度的時(shí)空變化規(guī)律推斷第四節(jié)粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律反映波函數(shù)的時(shí)空變化規(guī)律24設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為在時(shí)刻t在空間r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率密度幾率密度隨時(shí)間的變化率由薛定諤方程可得：將上兩式代入(1)中：薛定諤方程：設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為在時(shí)刻t在空間r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子25令(2)式寫(xiě)為：將(4)對(duì)空間任一體積V積分：將(5)式右方變?yōu)槊娣e分：SVds單位時(shí)間內(nèi)體積V中增加的幾率

在體積V的邊界面S上法向分量的面積分令(2)式寫(xiě)為：將(4)對(duì)空間任一體積V積分：將(5)式右方26幾率流密度矢量——單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)S面上單位面積的幾率SVds(6)式含義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)體積V中增加的幾率，等于從體積V的邊界面S流進(jìn)V內(nèi)的幾率。幾率流密度矢量——單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)S面上單位面積的幾率SVds27—粒子數(shù)守恒的微分形式—粒子數(shù)守恒的積分形式表明：伴隨幾率分布隨時(shí)間的變化，有幾率在空間流動(dòng)，一處幾率減小時(shí)，另一處幾率必然增加，總的幾率不變。幾率的流動(dòng)是粒子運(yùn)動(dòng)所引起的，幾率守恒的物理本質(zhì)是物質(zhì)守恒?！Ｗ訑?shù)守恒的微分形式—粒子數(shù)守恒的積分形式表明：伴隨幾率分28以粒子質(zhì)量μ乘ω和單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過(guò)V的邊界面S流進(jìn)或流出的質(zhì)量。量子力學(xué)中的質(zhì)量守恒定律將(7)式對(duì)空間任意體積V積分得：以粒子質(zhì)量μ乘ω和單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過(guò)V的29以粒子電荷e乘ω和量子力學(xué)中的電荷守恒定律以粒子電荷e乘ω和量子力學(xué)中的電荷守恒定律30波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：有限性、連續(xù)性、單值性2)連續(xù)性：波函數(shù)及其各階微商具有連續(xù)性，在空間各點(diǎn)都有粒子出現(xiàn)的可能；3)單值性：波函數(shù)應(yīng)是坐標(biāo)和時(shí)間的單值函數(shù)，使粒子的幾率密度在時(shí)刻t、在點(diǎn)r處有唯一確定值。1)有限性：要求有限，保證為有限值；波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：有限性、連續(xù)性、單值性2)連續(xù)性：波函數(shù)及31例：波函數(shù)求該波函數(shù)相應(yīng)的粒子流密度。解：粒子流密度定義為：例：波函數(shù)求該波函數(shù)相應(yīng)的粒子流密度。解：粒子流密度定義為：32作業(yè)：1、一維運(yùn)動(dòng)的粒子所處的狀態(tài)為其中λ>0。①將此波函數(shù)歸一化；②求粒子坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；③在何處找到粒子的概率最大？2、書(shū)上：44頁(yè)：2.1,2.2作業(yè)：1、一維運(yùn)動(dòng)的粒子所處的狀態(tài)為其中λ>0。①將此波函數(shù)33第二節(jié)態(tài)疊加原理(StateSuperpositionPrinciple)一、態(tài)的概念及態(tài)的描述微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱(chēng)波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱(chēng)為態(tài)疊加原理。第二節(jié)態(tài)疊加原理一、態(tài)的概念及態(tài)的描述微觀粒子具有波動(dòng)性34經(jīng)典波的干涉作用：機(jī)械波（振動(dòng)位移）電磁波（電磁場(chǎng)量）某物理量的疊加疊加性是一切類(lèi)型的波動(dòng)的共有特征二、態(tài)疊加原理經(jīng)典波的干涉作用：機(jī)械波（振動(dòng)位移）某物理量的疊加疊加性是一35，則其在空若空間存在概率波和間相遇時(shí)產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為c1、c2可為復(fù)常數(shù)或包含時(shí)間的變量也是空間可能存在的概率波描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的概率波也具有疊加性。如有兩相干波y1和y2，當(dāng)其發(fā)生干涉時(shí)，干涉態(tài)（疊加態(tài)）可表示為y1和y2的線(xiàn)性疊加：y=y1+y2數(shù)學(xué)表示：，則其在空若空間存在概率波和間相遇時(shí)產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為c1、36粒子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)當(dāng)雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，粒子處于1和2的疊加態(tài)

＝c11＋c22通過(guò)單縫1的粒子處于1態(tài)通過(guò)單縫2的粒子處于2態(tài)12粒子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)當(dāng)雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，粒子處于1和2的疊加態(tài)37雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，電子出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：電子通過(guò)單縫1出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：說(shuō)明出現(xiàn)干涉現(xiàn)象相干項(xiàng)電子通過(guò)單縫2出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：雙縫同時(shí)打開(kāi)時(shí)，電子出現(xiàn)在P點(diǎn)的幾率密度為：電子通過(guò)單縫1出38含義：當(dāng)粒子處于態(tài)1和態(tài)2的線(xiàn)性疊加態(tài)時(shí)，粒子既處在態(tài)1，又處在態(tài)2一般情況下，當(dāng)和是微觀體系可能存在的兩個(gè)狀態(tài)時(shí)，則它們的線(xiàn)性疊加也概率波的疊加原理（態(tài)疊加原理）也是體系可能存在的狀態(tài)含義：當(dāng)粒子處于態(tài)1和態(tài)2的線(xiàn)性疊加態(tài)時(shí)，一般情況下，39態(tài)疊加原理的更一般表述：當(dāng)ψ1,ψ2,ψ3,……ψn是體系的可能態(tài)時(shí)，它們的線(xiàn)性疊加ψ也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)?；蛘弋?dāng)體系處于ψ1,ψ2,ψ3,……ψn的疊加態(tài)ψ時(shí)，體系既可能處于ψ1態(tài)，又可能處于ψ2,ψ3……ψn態(tài)中，且處于各狀態(tài)的概率是確定的。數(shù)學(xué)形式為：量子力學(xué)的重要原理之一是“波的疊加性”與“波函數(shù)完全描述微觀體系的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)”兩者的高度概括與綜合。態(tài)疊加原理的更一般表述：當(dāng)ψ1,ψ2,ψ3,……ψn是體系40舉例：電子衍射實(shí)驗(yàn)GNi晶體電子槍舉例：電子衍射實(shí)驗(yàn)GNi晶體電子槍4142

d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成取各種可能值的平面波的線(xiàn)性疊加，即

電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。9d電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)4243

考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化而（2）（1）

即

衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果

顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對(duì)應(yīng),是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。10考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化而（2）（1）即衍射4344

若歸一化，則也是歸一化的

Prove:

以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間（動(dòng)量表象）波函數(shù)二者描寫(xiě)同一量子狀態(tài)

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

11若歸一化，則也是歸一化的Prov4445

此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，與的Fourer變換關(guān)系：如果僅考慮某一給定時(shí)刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)系，可取t=012此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，45第三節(jié)薛定諤方程(SchrodingerEquation)微觀粒子在時(shí)刻t的狀態(tài)由波函數(shù)ψ(r,t)來(lái)描述。問(wèn)題？當(dāng)t變化時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將怎樣隨之變化，并隨時(shí)間變化其遵從怎樣的規(guī)律？薛定諤方程

ErwinSchr?dinger

第三節(jié)薛定諤方程(SchrodingerEquatio46該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程。滿(mǎn)足一些物理?xiàng)l件：1）方程應(yīng)是一個(gè)線(xiàn)性方程：在方程中只能包含等項(xiàng)，而不能包含等項(xiàng)。當(dāng)ψ1和ψ2為方程的解時(shí)，ψ＝C1ψ1+C2ψ2也為方程的解；一、薛定諤方程的物理?xiàng)l件：該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程。滿(mǎn)足一些472）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿(mǎn)足的普遍性質(zhì)，方程中各系數(shù)只能為普適恒量（如h等）和表示粒子一般屬性的量（如質(zhì)量等），不能包含只表征某特殊狀態(tài)的量（如能量、動(dòng)量等）；3）波函數(shù)ψ的變量為r和t，方程是關(guān)于r和t的偏微分方程，規(guī)定此微分方程不高于二階；4）對(duì)于自由粒子，方程的解應(yīng)是平面波；2）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿(mǎn)足的普遍性質(zhì)，方3）波48思路：自由粒子得出方程推廣任意波函數(shù)滿(mǎn)足的方程二、自由粒子的薛定諤方程一個(gè)能量為E、動(dòng)量為，即波矢為平面波函數(shù)：的自由粒子，(1)對(duì)t求偏微商：不是所求方程！將(1)對(duì)坐標(biāo)求二次偏微商：(1)式改寫(xiě)為：思路：自由粒子得出方程推廣任意波函數(shù)滿(mǎn)足的方程二、自由粒子的49將(3)(4)(5)式相加：定義算符(劈形算符)：則得：同理：將(3)(4)(5)式相加：定義算符(劈形算符)：則得：同理50自由粒子的能量：μ為粒子質(zhì)量自由粒子的薛定諤方程自由粒子的能量：μ為粒子質(zhì)量自由粒子的薛定諤方程51劈形算符劈形算符52設(shè)粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能為U(r),則粒子能量與動(dòng)量滿(mǎn)足：注意：1）此方程不是從理論上推出，它的正確性來(lái)自實(shí)踐。2）此方程只對(duì)的粒子成立將(11)式兩邊同乘以波函數(shù)ψ(r,t):薛定諤波動(dòng)方程設(shè)粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能為U(r),則粒子能量與動(dòng)量滿(mǎn)足：注意：53建立復(fù)數(shù)表示式薛定諤方程實(shí)數(shù)表示式薛定諤方程也不是的解結(jié)論自由粒子的波函數(shù)必須用復(fù)數(shù)形式！建立復(fù)數(shù)表示式薛定諤方程實(shí)數(shù)表示式薛定諤方程也不是54體系包含N(N>1)個(gè)粒子,多粒子體系的薛定諤方程r1,r2,……rn表示N個(gè)粒子的坐標(biāo)，描述體系狀態(tài)的波函數(shù)為ψμi—第i個(gè)粒子的質(zhì)量pi—第i個(gè)粒子的動(dòng)量irixyz0體系包含N(N>1)個(gè)粒子,多粒子體系的薛定諤方程r1,r255體系的能量將(12)兩邊同乘波函數(shù)并用代換：多粒子體系的薛定諤波動(dòng)方程體系勢(shì)能：在外場(chǎng)中的能量和粒子間相互作用能量體系的能量將(12)兩邊同乘波函數(shù)并用代換：多粒子體系的薛定56第四節(jié)粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律(ParticleCurrentDensity&ConservationofParticleNumber)反映波函數(shù)的時(shí)空變化規(guī)律描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)粒子在t時(shí)刻、空間某點(diǎn)r處出現(xiàn)的概率密度：存在一個(gè)方程給出概率密度的時(shí)空變化規(guī)律推斷第四節(jié)粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律反映波函數(shù)的時(shí)空變化規(guī)律57設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為在時(shí)刻t在空間r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率密度幾率密度隨時(shí)間的變化率由薛定諤方程可得：將上兩式代入(1)中：薛定諤方程：設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為在時(shí)刻t在空間r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子58令(2)式寫(xiě)為：將(4)對(duì)空間任一體積V積分：將(5)式右方變?yōu)槊娣e分：SVds單位時(shí)間內(nèi)體