線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用

1第七章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用§1萊斯利人口模型§2列昂季耶夫投入產(chǎn)出分析最后兩次課的內(nèi)容是復習內(nèi)容.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!2§1萊斯利人口模型一、萊斯利人口模型的建立設婦女最大年齡為N,把年齡等分為n個年齡段，第i個年齡段為時間以一個年齡段為單位，從而時間離散化為設在時段t,第i個年齡段的人口數(shù)為第i個年齡段的生育率和存活率分別為和線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!33333(I)si線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!44444二、萊斯利矩陣的特征值和特征向量線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!5部分證明n=1時等式成立.設對于n等式成立.按最后一列展開得到遞推公式5(1)線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!6令,根據(jù)條件,求和號中至少有一項非零,f(x)是單調(diào)嚴格下降連續(xù)函數(shù),并且根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中間值定理,存在唯一,使得

即是唯一正特征值.是單根.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!7現(xiàn)在求屬于的特征向量.代數(shù)重數(shù)為一，故幾何重數(shù)也為一,故矩陣的行向量組線性相關,但后n-1個行向量線性無關,個行向量必定是后n-1個行向量線性組合線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!8(2)設相鄰兩個bi不等于零時，我們證明萊斯利矩陣的其他特征值的絕對值都小于.8線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!99如果設線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!1010101010線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!11線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!12本星期日課程內(nèi)容:四萊斯利人口模型補充題給定矩陣針對n=3,(1

)求特征多項式(2)證明有唯一正特征值(3)設證明的其他兩個特征值(可能為復數(shù))線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!13

重要矩陣對稱對應不同特征值的特征向量正交.正交矩陣保持向量長度和正交性方陣的多項式A有特征值,則f(A)有特征值f().可逆矩陣A有特征值,則f(A)有特征值f().例三階實對稱矩陣有特征值1,2,3,求的行列式.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!1414141414這種數(shù)學模型是由美國經(jīng)濟學家列昂季耶夫首先提出,多年來被各國廣泛使用,在編制經(jīng)濟計劃、經(jīng)濟預測以及研究污染、人口等社會問題中發(fā)揮了很大的作用.列昂季耶夫因此獲得了1973年諾貝爾經(jīng)濟學獎.列昂季耶夫提出以下假設:一國民經(jīng)濟劃分為幾個生產(chǎn)部門,每個部門生產(chǎn)一種產(chǎn)品;二每個部門將其他部門產(chǎn)品加工為本部門產(chǎn)品,在這一過程中,消耗的其他部門產(chǎn)品為“投入”,本部門產(chǎn)品為“產(chǎn)出”.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!1515151515他出生于德國慕尼黑，在俄羅斯的圣彼得堡成長，他的父親老列昂季耶夫（WassilyW.Leontief）是一位經(jīng)濟學教授。他15歲就進入了父親執(zhí)教的列寧格勒大學攻讀哲學，也選修了一些經(jīng)濟學的課程。19歲（1925年）時便獲學士學位，同年移居德國進入柏林大學專攻經(jīng)濟學，22歲時（1928年）獲經(jīng)濟學博士學位。他離開俄國的原因跟他公開反對共產(chǎn)主義有關，他甚至為此數(shù)度被逮捕和監(jiān)禁。線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!1616161616xi表示表示第i個部門總產(chǎn)出,xij表示第i個部門分配給第j個部門的產(chǎn)品數(shù)量，yi是第i個部門的最終產(chǎn)品數(shù)量，Nj是j部門的最初投入.根據(jù)每個部門總產(chǎn)出等于總投入的假設得平衡方程線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁投入產(chǎn)出方程由(1)和(3)得寫成矩陣形式這個方程稱為投入產(chǎn)出方程.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁投入產(chǎn)出方程解的存在唯一性和非負性定理1

如果A為非負矩陣,并且則方程組對于任意Y有唯一解.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!19191919定理2(霍金斯-西蒙)如果A為非負矩陣,

并且假設Y≧0,則方程組的解X≧0.證明根據(jù)上一個定理,E－A可逆,設其逆矩陣為我們證明B的每個元素非負.用反證法.設第k行有負元素,此行的最小元素記為由B(E－

A)=E得注意到我們得矛盾.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!L1的x1軸上的截距對于x1軸的斜率為L2的x2軸上的截距對于x1軸的斜率為L1和L2在象限相交，需要n=2時的幾何解釋.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!以上所作的初等變換不改變主子式的值,故子矩陣的非對角線上的元素為負,如此下去得到線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!22必要性證明.對于方程組有非負解X，設對于第i個分量為1其余分量為0的列向量Y，方程(*)有非負解X，考慮前I個等式，并且移項得相應系數(shù)矩陣線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!231969-2014諾貝爾經(jīng)濟學獎名單及其與數(shù)學的關系線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!24線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!25線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!262006埃德蒙·費爾普斯EdmundS.Phelps[60]

（美國）在宏觀經(jīng)濟跨期決策權衡領域所取得的研究成就美國哥倫比亞大學宏觀經(jīng)濟學2007里奧尼德·赫維茨LeonidHurwicz[61]

（美國）為機制設計理論奠定了基本美國明尼蘇達大學微觀經(jīng)濟學埃里克·馬斯金EricS.Maskin[62]

（美國）美國普林斯頓高等研究院羅杰·梅爾森RogerB.Myerson[63-64]

（美國）美國芝加哥大學2008保羅·克魯格曼PaulKrugman[65-66]

（美國）對經(jīng)濟活動的貿(mào)易模式和區(qū)域的分析美國普林斯頓大學國際經(jīng)濟學，區(qū)域經(jīng)濟學2009埃莉諾·奧斯特羅姆ElinorOstrom[67-71]

（美國）經(jīng)濟治理，尤其是對普通民眾作出的貢獻和經(jīng)濟治理分析，尤其是企業(yè)邊際領域方面的貢獻。美國印第安納大學，美國亞利桑那州立大學經(jīng)濟治理線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!2727272727>L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]);det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!28證明中用到的知識：1.重根如果多項式在有重根,則證2.

棣莫弗(DeMoivre,A.)公式

3.三角不等式如果等號成立的充分必要條件是存在使得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!29即等式對于n+1也成立,根據(jù)數(shù)學歸納法,等式對于任意自然數(shù)成立.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!3030>plot(x^3-x^2-x-1,x=-3..3,thickness=3);線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!31取自由未知量xn=1,得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!3232設設是和不同的特征值.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!33P的列是33(3)設L可以對角化,即存在可逆矩陣P,使得線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!34萊斯利矩陣及其應用——佛坪大熊貓種群發(fā)展的預測研究

郭瑞海(西南民族學院數(shù)學系)袁曉鳳(中國科學院成都計算所數(shù)理室)第22卷第2期JournalofSouthwestNationalitiesCollegeNaturalScienceEdition

May1996三、萊斯利矩陣對于大熊貓種群發(fā)展的預測線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!36幾個特殊矩陣的特征值(1)萊斯利矩陣的主特征值和特征向量.(2)是n維列向量，的特征值為(n-1)重.(3)B

有特征值nb,0(n-1)重，A有特征值1+(n-1)b，1-b(n-1)重.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!3737373737§2列昂季耶夫投入產(chǎn)出分析簡介國民經(jīng)濟各部門間存在某種連鎖關系.一個經(jīng)濟部門倚賴其他部門的產(chǎn)品或半成品,同時也為其他部門提供條件.如何在特定的經(jīng)濟形勢下確定各個經(jīng)濟部門的產(chǎn)出水平以滿足整個社會的經(jīng)濟需要是一個十分重要的問題.投入產(chǎn)出模型就是利用數(shù)學方法綜合地描述各經(jīng)濟部門間產(chǎn)品的生產(chǎn)和消耗關系的一種經(jīng)濟數(shù)學模型.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!38383838投入產(chǎn)出模型創(chuàng)始人

瓦西里·瓦西里耶維奇·列昂季耶夫（俄語：ВасилийВасильевичЛеонтьев；英語：WassilyLeontief，1905年8月5日－1999年2月5日）是一位俄裔美國經(jīng)濟學家，后移居美國任教于哈佛大學.他以“投入產(chǎn)出理論”對于經(jīng)濟學的貢獻獲得了1973年諾貝爾經(jīng)濟學獎.1928年他以國民政府鐵道部的顧問身份訪問中國一年，往后他不時地利用在中國時的經(jīng)驗解釋“投入產(chǎn)出理論”.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!3939393939一、投入產(chǎn)出表設有n個生產(chǎn)部門，分別用1,2,…，n表示，第i個部門只生產(chǎn)產(chǎn)品i，根據(jù)報告期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)列表如下中間產(chǎn)品中間投入最初投入總投入最終產(chǎn)品總產(chǎn)出投入部門間流量產(chǎn)出線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!4040404040二、投入產(chǎn)出數(shù)學模型

表示j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗的的i部門產(chǎn)品數(shù)量，稱為j部門對于i部門的直接消耗系數(shù).矩陣稱為直接消耗系數(shù)矩陣,顯然A是非負矩陣,并且有1.直接消耗系數(shù)矩陣如果線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!4141414141由(2),(3)得寫成矩陣形式線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!42證明我們要證E-A

可逆.用反證法.若E-A

不可逆,則E-AT不可逆.于是存在非零列向量X矛盾.線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!43定理3(霍金斯-西蒙)設A為直接消耗系數(shù)矩陣.當Y≧0時投入產(chǎn)出方程(E－A)X=Y有非負解的充分必要條件是E－A的順序主子式為正,即線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!證明充分性(用初等變換法)對于n階方程組的矩陣為設假定其順序主子式都大于零.第i(i≥2)行加行的倍得到線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!由初等變換的過程知故解線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!對這個矩陣進行初等行變換，由充分性的證明知道這個矩陣變?yōu)檫f推得46線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!47線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!48線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!49線性代數(shù)第7章線性代數(shù)在經(jīng)濟學中的應用共50頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!502010彼得·戴蒙德PeterA.Diamond[73-75]

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