2023學(xué)年上海七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重難點(diǎn)講義第12講-三角形的有關(guān)概念和內(nèi)角和(含詳解)

第12講三角形的有關(guān)概念和內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo).理解三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，體會分類思想；.理解三角形內(nèi)角和定理的是如何推導(dǎo)出來的，能夠熟練的運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決一些常見的計(jì)算問題；.靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行簡單的幾何推理.<5動探索.三角形的分類：按角分類:按邊分類:.三角形的主要性質(zhì)：(1)三角形的任何兩邊之和第三邊，任何兩邊之差 第三邊；(2)三角形的內(nèi)角之和等于；(3)三角形的一個(gè)外角等于和它;三角形的一個(gè)外角 任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。(4)三角形的外角和等于。小練習(xí)：.AASC中，如果NB=/A+NC,那么這個(gè)三角形是 三角形；.在“803已知N8=35°,ZC=55°,則此三角形是三角形。

.在A48B，已矢叱A：NB：ZC=1：2：3,則最大的一個(gè)角度數(shù)是度。.如果等腰三角形兩邊長分別為3,7,那么三角形的周長是；.AA8C中，4B=9,BC=4,那么4c的取值范圍是；.等腰三角形周長為16,且邊長都為整數(shù)，則能構(gòu)成不同形狀的三角形共有( )(A)1個(gè) (B)2個(gè) (03個(gè) (。)4個(gè).一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和.一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和8,(A)3或5 (B)5或7.下列說法正確的是( )(A)直角三角形的高只有一條((C)三角形中至少有一條高在形內(nèi)(.下列說法錯(cuò)誤的是( )(A)三角形的三條中線交于一點(diǎn)(C)三角形的三條高交于一點(diǎn).下列說法正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)(C)7或9 (D)9或11(B)三角形的角平分線、中線、高都在三角形內(nèi)部(D)直角三角形的三條高不能相交于一點(diǎn)(B)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(D)三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)(1)三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角(2)外角都是鈍角的三角形是銳角三角形(3)三角形的外角和是指三角形所有外角的和(4)外角中有一個(gè)角為90。的三角形是直角三角形精講提升A1 B2 C3 04精講提升例1.銳角三角形4BC中，ZC=2ZB,則NB的范圍是( )A.1A.10°<ZB<20°B.20°<Zfl<30°30°30°<ZB<45°45°<ZB<60°試一試：已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍，周長為12。求它的最小邊的長取值范圍。例2.已知：如圖，在A4BC中，ZC=90°,NEAB、NA6O是AABC的外角，AF、BF分別平分NE48及NA8O,求NAFB的度數(shù)。試一試：已知：AABC中，ZBAC=ZBCA=a,。點(diǎn)在8c的延長線上，Zfi=ZD,ZCAD=b,求。、加司的關(guān)系。BD例3.如圖，平面上有六個(gè)點(diǎn)A、B、C、。、E、尸構(gòu)成一個(gè)封閉折線圖形,求NA+NB+/C+NO+NE+N/的度數(shù)。試一試：如圖，求出任意一個(gè)五角星的頂角NA+NB+NC+NQ+NE的度數(shù)?1.（2021?上海市向東中學(xué)七年級期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長TOC\o"1-5"\h\z可能是（ ）.A.3 B.4 C.7 D.10（2021.上海市南洋模范初級中學(xué)七年級期中）在長度分別為12厘米、10厘米、5厘米、4厘米的四條線段中，任選三條線段可以組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）1個(gè)2個(gè)1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)（2。21?上海?九年級專題練習(xí)）已知,關(guān)于x的不等式組1XT；至少有三個(gè)整數(shù)解，且存在以3M,5為邊的三角形，則a的整數(shù)解有（ ）A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)（2021?上海徐匯?七年級期中）其中兩條邊長分別為五和4,第三條邊長為整數(shù)的三角形共有個(gè).（2021?上海市第二初級中學(xué)七年級期中）如圖，加油站A和商店3在馬路的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米.一個(gè)行人P在馬路MN上行走，當(dāng)P到A的距離與尸到8的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于米.（2021?上海?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級期末）如圖，“ABC中，ZB=40°,ZC=30°,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，將"Z）C沿直線折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，Zfl4E=3O°,則ND4c的度數(shù)為.AB CE（2021?上海浦東新?七年級期中）不等邊三角形的最長邊是9,最短邊是4,第三邊的邊長是奇數(shù)，則第三邊的長度是—.（2021?上海民辦浦東交中初級中學(xué)七年級期末）一個(gè)三角形的兩邊分別是3和7,如果第三邊長為整數(shù)，那么第三邊可取的最大整數(shù)是一.（2021?上海市西南模范中學(xué)七年級期中）如圖，E為AABC的邊BC上一點(diǎn)，。在BA的延長線上，DE交AC于點(diǎn)、F,NB=45。，/C=30。，NEFC=70。,的度數(shù)是（2021?上海市文來中學(xué)七年級期中）如圖，角4等于65度，角B等于75度，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在三角形A8C內(nèi)，則N1+N2的度數(shù).（2021?上海普陀?七年級期末）如圖，已知aABC中，ZBAC=90,根據(jù)下列要求畫圖并回答問題（1）畫BC邊上的高AD,過點(diǎn)A畫直線AE〃BC.（不要求寫畫法和結(jié)論）（2）在（1）的圖形中，如果8C=a,點(diǎn)B到直線AC的距離是3,點(diǎn)C到直線A8的距離是4,那么直線AE與BC間的距離等于.（用含a的代數(shù)式表示）的角平分線80、C￡相交于點(diǎn)0,若NA=80。，求ZBOC的度數(shù)，并說明理由.(2)如圖2,在aABC中，/ABC.ZAC8的三等分線交于點(diǎn)。-029若NA=m。，則zbo2c-zbozbo2c-zbo,c=。(用含有機(jī)的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果).(2021?上海市風(fēng)華初級中學(xué)七年級期中)在aABC中，G是邊8c上一點(diǎn)，。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,M為直線。E上一點(diǎn)，N為直線G。上一點(diǎn)，"MN=NB.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段DE上，點(diǎn)N在線段OG上時(shí)，/BDN與ZMND相等嗎,為什么？(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段七。的延長線上，點(diǎn)N在線段G。的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出NEW與NA/NO的數(shù)量關(guān)系.(3)在第(2)題的條件下，直線0G交AC的延長線于點(diǎn)尸，若NA=60。，4MND="0,則/F=°.（直接寫結(jié)果）（2021?上海金山?七年級期末）如圖，已知在△ABC中，ZA=20°,ZB=60°,C。平分NACB交A8于點(diǎn)。，求NCC8的度數(shù).飛.課后作業(yè)（2021?上海市第二初級中學(xué)七年級期中）下列說法中正確的是（A.三角形的三條高交于一點(diǎn)B.有公共頂點(diǎn)且相等的兩個(gè)角是對頂角C.兩條直線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯(cuò)角相等D.兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直（2021?上海金山?七年級期末）如圖，已知AABC中，8￡>、CE分別是A4BC的角平分線,BD與CE交于點(diǎn)、O,如果設(shè)/BAC="。（0<”<180）,那么NBOE的度數(shù)是（ ）AA.90°--n° B.90°+-n° C.45°+〃° D.180°-n°2 2（a-b）2的值是（）A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.大小不確定（2021?上海普陀?七年級期末）如圖，ABI/CD,44=56,ZC=27,那么NE=（2021?上海市南洋模范初級中學(xué)七年級期中）如圖，AB//CD,ZA=30°,ZC=50°,則NE= 度.E（2021?上海市向東中學(xué)七年級期末）如圖，在A8OE中，ZE=90°,AB\\CD,NABE=22°,則/E￡）C=.BC=2AD,點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，則△BEC的面積為.TOC\o"1-5"\h\z（2021?上海楊浦?七年級期末）如圖，在aABC中，AB=AC,ZBAC=4O°,點(diǎn)、D是邊AB上一點(diǎn)，將△BC￡）沿直線C￡>翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，如果E￡>〃8C,那么NACD等于 S.（2021?上海市川沙中學(xué)南校七年級期末）如圖，直線?！?在RSA8C中，點(diǎn)C在直線a上，若Nl=56。，N2=29。，則N4的度數(shù)為度.（202卜上海市西南模范中學(xué)七年級期中）在&48（7中，如果44=1/8=14',那么/42 3NB,NC分別等于_ ..(2021?上海徐匯?七年級期中)如圖，△ABC中，/BAC=60°,AO平分NBAC,點(diǎn)E在48上，EG//AD,EFLAD,垂足為F.(1)求N1和N2的度數(shù).(2)聯(lián)結(jié)OE,若觥形EFOG,猜想線段EG的長和4F的長有什么關(guān)系？說明理由.(2021?上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校七年級期末)如圖，已知NBAC=7O。，D為AABC的邊BC上的一點(diǎn)，且NC4￡>=NC,ZADB^ftT.求N8的度數(shù).D（2021?上海市第二初級中學(xué)七年級期中）折疊三角形紙片ABC,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)尸，且折痕若ZB=5O°,求ZBD尸的度數(shù)，并說明理由.（2021?上海市風(fēng)華初級中學(xué)七年級期末）aABC中，NA、DB、NC的外角的度數(shù)之比是2:3:4,求NA的度數(shù).第12講三角形的有關(guān)概念和內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo).理解三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，體會分類思想；.理解三角形內(nèi)角和定理的是如何推導(dǎo)出來的，能夠熟練的運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決一些常見的計(jì)算問題；.靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行簡單的幾何推理.動探索（以提問的形式回顧）動探索（以提問的形式回顧）.三角形的分類：按角分類：銳角三角形（三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形）直角三角形（有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形）鈍角三角形（有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形）按邊分類：不等邊二角形（二邊互不相等的二角形）等腰三角形（有兩邊相等的三角形）.三角形的主要性質(zhì)：（1）三角形的任何兩邊之和第三邊，任何兩邊之差 第三邊；（2）三角形的內(nèi)角之和等于;（3）三角形的一個(gè)外角等于和它;三角形的一個(gè)外角 任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。（4）三角形的外角和等于。（1）大于，小于；（2）180°；（3）不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，大于；（4）360°小練習(xí)：.AABC41＞如果NB=/A+NC,那么這個(gè)三角形是三角形；.在AA8O中，已知/8=35°,ZC=55°,則此三角形是 三角形。

.在A48B，已矢叱A：NB：ZC=1：2：3,則最大的一個(gè)角度數(shù)是度。.如果等腰三角形兩邊長分別為3,7,那么三角形的周長是；.AA8C中，4B=9,BC=4,那么4c的取值范圍是；.等腰三角形周長為16,且邊長都為整數(shù)，則能構(gòu)成不同形狀的三角形共有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （03個(gè) （。）4個(gè).一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和.一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和8,（A）3或5 （B）5或7.下列說法正確的是（ ）（A）直角三角形的高只有一條（C）三角形中至少有一條高在形內(nèi).下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（A）三角形的三條中線交于一點(diǎn)（C）三角形的三條高交于一點(diǎn).下列說法正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)第三邊的長為奇數(shù)，那么第三邊的長為（ ）(C)7或9 (D)9或11（B）三角形的角平分線、中線、高都在三角形內(nèi)部（D）直角三角形的三條高不能相交于一點(diǎn)（B）三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（D）三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（1）三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角（2）外角都是鈍角的三角形是銳角三角形（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和（4）外角中有一個(gè)角為90。的三角形是直角三角形A1 B2 C3 04參考答案：1、直角：2、直角；3,90；4、17；5、5cAe<13：6、C；7,C：8、C；9、C；10、BJ 精講提升（采用教師引導(dǎo)，學(xué)生輪流回答的形式）例1.銳角三角形A8C中，NC=2NB,則的范圍是（ ）A.10°<ZB<20°B,20°<ZB<30°C.30°<ZB<45°D.45°<ZB<60°解析：因?yàn)锳4BC為銳角三角形，所以0°<NB<90°又NC=2NB,.?.0。<2/8<90°.,.00<ZB<45°又為銳角，.?./4=180°-（/8+/。）=180-3/。為銳角.-.0<180-3ZS<90/.30<ZB<60，綜上.?.30°<N8<45°,故選擇C。試一試：己知：三角形的一邊是另一邊的兩倍，周長為12。求它的最小邊的長取值范圍。分析：首先應(yīng)根據(jù)已知條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長與邊的關(guān)系加以證明。解：如圖，設(shè)8c的三邊為。、b、c,其中a=2c,a-c<b<a+c,a=2c..c<b<3c因此，c是最小邊，/>=12-a-c=12-3c所以：c<12-3c<3c,解不等式得，2<c<3例2.已知：如圖，在AABC中，ZC=90°,NEAB、NAB。是AABC的外角，A尸、BF分別平分NE4B及N48O,求/4FB的度數(shù)。EACEAC解：VZEAB=ZABC+ZCZABD=ZCAB+ZCNA8C+NC+NCA8=180。，ZC=90°??.ZEAB+/ABD=ZABC+ZC+ZC4B+ZC=180。+90。=270°'：AF.B尸分別平分NE4B及NA8D/.NFAB+ZFBA=:(ZEAB+ZABD)=gx270°=135°在AABE中，ZAFB=180°-(ZE4B+ZF&4)=45°試一試：已知：A鉆。中，ZBAC=ZBCA=a,。點(diǎn)在BC的延長線上，ZB=ZD,ZCAD=b,求a、b間的關(guān)系。解析：a=ZD+b/B=/D=a-bZB+ZflCA+NBAC=180°,NBCA=NBAC=a3a-8=180°例3.如圖，平面上有六個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、尸構(gòu)成一個(gè)封閉折線圖形,求NA+NB+/C+NO+NE+N尸的度數(shù)。

參考答案：360°試一試：如圖，求出任意一個(gè)五角星的頂角NA+N8+NC+NO+/E的度數(shù)？參考答案：180°/達(dá)標(biāo)PK.（2021?上海市向東中學(xué)七年級期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長可能是（ ）.A.3 B.4 C.7 D.10【答案】C【解析】【分析】

根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系即可判定.【詳解】解：設(shè)第三邊長為x,則4<x<10,所以選項(xiàng)中符合條件的整數(shù)只有7.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊.（2021?上海市南洋模范初級中學(xué)七年級期中）在長度分別為12厘米、10厘米、5厘米、4厘米的四條線段中，任選三條線段可以組成三角形的個(gè)數(shù)為（A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】從4條線段里任取3條線段組合，分4種情況討論，看哪種情況不符合三角形三邊關(guān)系，舍去即可.【詳解】根據(jù)兩邊之和大于第三邊才能組成三角形，可知能組成兩個(gè)三角形，分別為：12厘米，10厘米，5厘米；12厘米，10厘米，4厘米.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3.（3.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）已知，關(guān)于x的不等式組x-2a<02x-1..7至少有三個(gè)整數(shù)解,且存在以3,a,5為邊的三角形，則a的整數(shù)解有（ ）A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)不等式組至少有三個(gè)整數(shù)解，即可得到。>3,再根據(jù)存在以3,a,5為邊的三角形，可得2<。<8,進(jìn)而得出“的取值范圍是3<。<8,即可得到"的整數(shù)解有4個(gè).【詳解】Jx-2a<0?解：上1.7②解不等式①，可得x<2a,解不等式②，可得后4,不等式組至少有三個(gè)整數(shù)解，?\a>3,又?.?存在以3,a,5為邊的三角形，.,.2<a<8,?'-a的取值范圍是3<a<8,二。的整數(shù)解有4、5、6、7共4個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，求不等式組的解集應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.（2021?上海徐匯?七年級期中）其中兩條邊長分別為正和4,第三條邊長為整數(shù)的三角形共有個(gè).【答案】5【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三條邊長為整數(shù)，即可求解.【詳解】解：設(shè)第三條邊長為x?.?三角形的兩條邊長分別為77和4,：.4-yf7<X<4+y/l?.?第三條邊長為整數(shù)，.\x=2或3或4或5或6.第三條邊長為整數(shù)的三角形共有5個(gè).故答案為：5.【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.也考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.（2021?上海市第二初級中學(xué)七年級期中）如圖，加油站A和商店E在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，4?=700米.一個(gè)行人?在馬路MN上行走，當(dāng)戶到A的距離與P到B的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于米.\I、I '、:M P N【答案】700【解析】【分析】"'|A、B、P構(gòu)成三角形時(shí)，AP與的差小于第三邊AB,所以A、B、尸在同一在線上時(shí)，A尸與BP的差最大，算出這個(gè)最大值即可.【詳解】當(dāng)A、8、尸三點(diǎn)不在同一宜線上時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)構(gòu)成三角形.???兩邊小與8P的差小于第三邊AB,B、尸在同一直線上，尸到A的距離與尸到B的距離之差最大，'??此時(shí)，PA-PB=AB???當(dāng)尸到A的距離與P到B的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于700米故答案為：700.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形的三邊關(guān)系求線段差的最大值問題.解題關(guān)鍵是弄清楚當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)距離之差最大.（2021?上海?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級期末）如圖，中，NB=40。，NC=30。，點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，將aADC沿直線AO折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，NBAE=30°,則NZMC的度數(shù)為.AE【答案】40。##40度【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得"47=110。，可得/￡4。=80。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得【詳解】解：?.屋ABC中，ZB=40°,ZC=30°,ZBAC=180°-ZB-ZC=180o-40o-30o=110°,,/ZBAE=3OP,：.AEAC=ZBAC-ZBAE=l10°-30°=80°,由折疊性質(zhì)可知ND4C=NE4O=gNE4C=40°.故答案為：40°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到N￡WC=NE4O=gNE4C=是解決本題的關(guān)鍵.（2021?上海浦東新?七年級期中）不等邊三角形的最長邊是9,最短邊是4,第三邊的邊長是奇數(shù)，則第三邊的長度是—.【答案】7【解析】【分析】由題意根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求得第三邊的范圍，從而由不等邊三角形和奇數(shù)的定義確定第三邊的長度.【詳解】解：設(shè)第三邊長是c,則9-4VcY9+4,即5<c<13,又?.?第三邊的長是奇數(shù)，不等邊三角形的最長邊為9,最短邊為4,故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，注意掌握已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于己知的兩邊的差，而小于兩邊的和.（2021?上海民辦浦東交中初級中學(xué)七年級期末）一個(gè)三角形的兩邊分別是3和7,如果第三邊長為整數(shù)，那么第三邊可取的最大整數(shù)是一.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和“，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得第三邊長的最大值.【詳解】解：設(shè)第三邊為。，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：7-3<a<3+7,即4<a<10,為整數(shù)，''a的最大值為9.故答案為：9.【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系.注意第三邊是整數(shù)的已知條件.（2021?上海市西南模范中學(xué)七年級期中）如圖，E為AABC的邊BC上一點(diǎn)，。在84的延長線上，OE交AC于點(diǎn)尸，NB=45。,NC=3。。,NEFC=7Q。,NO的度數(shù)是【答案】35°【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得NDA尸=NB+NC,根據(jù)對頂角相等可得NAFD=NEFC,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NO=180?！狽D4F-NAF￡>,即可求得/。的度數(shù).【詳解】ZDAF=NB+NC=75°,ZAFD=NEFC=70°,ND=180°-ZDAF-ZAFD=180°-75°-70°=35°,故答案為:35°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.（2021?上海市文來中學(xué)七年級期中）如圖，角4等于65度，角8等于75度，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在三角形A8C內(nèi)，則N1+N2的度數(shù).B【答案】80°【解析】【分析】利用三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和即可求得.【詳解】解：ZA+ZB+ZC=180°,NC=l80°-NA-N8=180°-65°-75°=40°①，NC+NCED+ZCDE=180°,ZCED+ZCDE=180°-ZC=180°-40°=140°②,ZB+ZA+ZCED+ZCDE+Zl+Z2=360。③，把①②分別代入③得75°+65°+140°+Nl+Z2=360°,解得Nl+N2=80。故填80°.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及四邊形的內(nèi)角和為360。，是中學(xué)階段的基本題目.（2021.上海普陀?七年級期末）如圖，已知中，ZBAC=90,根據(jù)下列要求畫圖并回答問題（1）畫BC邊上的高AD,過點(diǎn)A畫直線AE//8C.（不要求寫畫法和結(jié)論）⑵在（1）的圖形中，如果8C=a,點(diǎn)8到直線AC的距離是3,點(diǎn)。到宜線AB的距離是4,那么直線AE與BC間的距離等于.（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）畫圖見解析：（2）-a【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)等面積法求解即可.按照題意畫圖如下圖所示：AABC中N8AC=90°,即AB_LAC,又點(diǎn)8到直線AC的距離是3,即AB=3；點(diǎn)C到直線48的距離是4,即AC=4又AABC的面積A8xAC+2=BCxA￡）+2,BC=a12所以40=一,a因?yàn)锳￡〃BC,ADA.BC12所以直線AELjBC之間的距離等于一a12故答案為：一a【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高，點(diǎn)到直線的距離，等面積法求三角形的高，掌握三角形的高的意義是解題的關(guān)鍵.（2021?上海市風(fēng)華初級中學(xué)七年級期中）（1）如圖1,在aASC中，已知NABC和N4cB的角平分線B。、CE相交于點(diǎn)O,若乙4=80。，求ZBOC的度數(shù)，并說明理由.ZBOW-NBO、C=。（用含有膽的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出NABC+NACB=100。，根據(jù)角平分線的定義得出NCBO+N8co=50。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出4OC的度數(shù)即可；(2)先根據(jù)NA=m。，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，用表示H|N80c和NBOQ,算出ZBO2C-ZBO,C=1(180-w)0即可.【詳解】(1)?.,在aABC中,ZA=80°,ZABC+ZACB=100°.?.?8。平分448。，CE平分ZACB,NCBO+ZBCO=NABC+NAC8)=50°,在aBOC中，Z.BOC=180°-Z.CBO-Z.BCO=180°-50°=130°,故NBOC=130°.(2)在aABC中，VZA=m°,ZABC+ZACB=(180-/n)°,?.?BO-80?為N4BC的三等分線，CO,,CO?為ZACB的三等分線，2 2:.NCBO、+NBCO、=-(ZABC+ZACB)=-(180-m)°,zcbo2+nbco2=g(NABC+NACB)=；(180-⑺。，2：.N8QC=180°-NCBq-NBCQ=180°--(180-/n)°,NBO￡=180°-ZCBO2-ZBCO2=180-1(180°-/n)°,2 IZBO2C-ZBO,C=180°一一(180-n?)o-180o+-(180-^)o=-(180-/n)°,^ZBO2C-ZBOIC=^(180-m)°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)角的等分線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理找*規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.(2021?上海市風(fēng)華初級中學(xué)七年級期中)在aABC中，G是邊BC上一點(diǎn)，D、E分別在邊43、AC上，DE//BC,歷為直線。E上一點(diǎn)，N為直線GO上一點(diǎn)，Z.DMN=ZB.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上，點(diǎn)N在線段OG上時(shí)，NBDN與ZMND相等嗎,為什么？(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段EQ的延長線上，點(diǎn)N在線段GO的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出NBZW與的數(shù)量關(guān)系.(3)在第(2)題的條件下，直線。G交AC的延長線于點(diǎn)尸，若NA=60。，ZMND=75°,則ZF=°.(直接寫結(jié)果)【答案】(1)相等，證明見解析⑵NBZW+NA/M)=180°⑶15【解析】【分析】(1)根據(jù)OE〃BC,可得NB=NA￡>E,從而得到ZADE=NDMN,進(jìn)而得到A8〃MM即可求解；(2)根據(jù)?！辍?C,可得NB=NA￡)E,從而得到NAOE=NOWN,進(jìn)而得到AB〃MN,即可求解；(3)由(2)可得：AB//MN,從而得到41N￡>=NA￡W=75。，Mil角形外角的性質(zhì)可得NA+NF=NADN=75。，即可求解.解：相等，理由如下：'：DE//BC,：.ZB=ZADE,'：/DMN=NB,ZADE=NDMN,：.AB//MN,：.ZBDN=ZMND.解：畫圖如下，DE//BC,??ZB=ZADE.:/DMN=/B,：.ZADE=ZDMN,：,AB//MN,：./BDN+/MND=180。,故答案為：ZBDN+ZMND=ISO°.由(2)得：AB//MN,??4MND=ZADN=75。,：.ZA+NF=ZADN=75。,/ZA=60°,JZF=15°.故答案是：15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理，三角形的外角性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.（2021?上海金山?七年級期末）如圖，已知在△ABC中，ZA=20°,NB=60。，8平分NAC8交A8于點(diǎn)。，求NCD8的度數(shù).【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/C的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NACO的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得答案.【詳解】解：在aABC中，ZA=20°,NB=60。，,ZACB=180°-ZA-ZB=100°,??,CO平分NAC8,ZACD=-ZACB=50°,2NCDB=ZACD+ZACB=70°.【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定理，外角定理，熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.課后作業(yè)（2021?上海市第二初級中學(xué)七年級期中）下列說法中正確的是（ ）A.三角形的三條高交于一點(diǎn)B.有公共頂點(diǎn)且相等的兩個(gè)角是對頂角C.兩條直線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯(cuò)角相等D.兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直【答案】D【解析】【分析】分別對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可解題.【詳解】A選項(xiàng)：三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，所以本選項(xiàng)不符合題意，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線兩個(gè)角是對頂角，所以本選項(xiàng)不符合題意，故B錯(cuò)誤：C選項(xiàng)：兩條平行直線被第三條直線所截，所得的內(nèi)錯(cuò)角相等，所以本選項(xiàng)不符合題意，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，本選項(xiàng)符合題意，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線所在直線交于一點(diǎn)，對頂角的定義，平行線內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.（2021?上海金山?七年級期末）如圖，已知△A8C中，B。、CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點(diǎn)O,如果設(shè)（0V/1VI80）,那么NBOE的度數(shù)是（）

A2【答案】A—n°2CA2【答案】A—n°2C.45°+n°D.180°-n°【解析】【分析】根據(jù)BD、CE分別是△ABC的角平分線和一角形的外角，得至ljNBOE=i(NABC+NACB),再利用三角形的內(nèi)角和，得到ZABC+NACB=180。-NBAC=180。-,代入數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】解：???80、CE分別是△A8C的角平分線,：.ZDBC=-NABC,NECB=-ZACB,2 2:.NBOE=ZDBC+ZECB=-ZABC+-ZACB=g(NABC+ZACB),ZABC+ZAC8=180°—NBAC=180°—,ZBOE=；(ZABC+ZACB)=，x(180。-〃。)=90。-；故答案選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì).涉及角平分線的性質(zhì).三角形的內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180。.三角形的個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.(2021?上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中)已知。、6、c是三角形的邊長，那么代數(shù)式(a-b)2-,2的值是()A.小于零B.等于零A.小于零B.等于零C.大于零D.大小不確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可以得至ija+c>b,a<b+c,即。+c-力>0,a-b-c<0,再根據(jù)(a-fe)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)求解即可.【詳解】解：Ya、b、c是三角形的邊長，，a+c>b,a<b+c,?tz+c—Z?>0,a—b—c<0,?(a-b)-c?=(a—6+c)(a—6—c)<0,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，平方差公式，解題的關(guān)鍵在于能熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.(2021?上海普陀?七年級期末)如圖，AB//CD,44=56,ZC=27,那么NE=【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)可得ZDFE=ZA，/DFE是4CE尸的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】解：VAB//CD,ZDFE=^A=56.,/ZC=27°,?'?NE=ZDFE-ZA=56-27。=29°.故答案為：29【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19.（2021?上海市南洋模范初級中學(xué)七年級期中）如圖，AB//CD,ZA=3O°,ZC=50°,則NE=度.【答案】20【解析】【分析】山AB//CD得到ZEFB=ZC=50°,再利用三角形的外角定理可以求出ZE.【詳解】,/AB//CD,二NC=ZEFB,VZC=50o,，NEFB=50°,又,.?NEFB=NA+N￡,而/A=30。，ZE=NEFB-NA=50°-30°=20°,故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角定理，利用外角定理得到是解題關(guān)鍵.三角形外角定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（2021?上海市向東中學(xué)七年級期末）如圖，在ABOE中，ZE=90°,AB\\CD,NABE=22°,則NEOC=.【答案】68。##68度【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得NEB￡HNEDB=90。，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解.【詳解】解：VZE=90°,NEBD+NEDB=90°,?：AB//CD,：.ZABD+ZCDB=180°,ZEDC=180°-(ZEBD+ZEDB)-NABE=180o-90°-22o=68°故答案為：68°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.(2021?上海市民辦文綺中學(xué)七年級期中)已知梯形A8C。的面積是12,AD//BC,且8C=2A￡),點(diǎn)E為B。的中點(diǎn)，則△BEC的面積為.【答案】4【解析】【分析】利用平行線間的距離處處相等，結(jié)合BC=2A￡＞得到SAAMugsAKD，再由S四邊形ABCO=54即+S4BCD=12解題即可.【詳解】解：VAD//BC,BC=2AD,?,S&ABD=5S&bcD?又?S四邊族JBCZ>=S4ABD+S4BCD=12,S^BCD=8故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查平行線間的距離，涉及三角形面積等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.（2021?上海楊浦?七年級期末）如圖，在aABC中，AB=AC,ZBAC=40°,點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，將△*:￡＞沿直線8翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，如果E￡）〃5C,那么NAC￡）等于【答案】15【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180。求出NB=NACB=70。，由折疊可得NBDC=NEDC,由DE〃AC可得NEDC=NBCD,在等腰三角形BDC中求出/BCD的度數(shù)，根據(jù)角度關(guān)系可求NACD的度數(shù).【詳解】解：如圖,BEAB=AC,ZBAC=40/.ZB=ZACB=70°,由折疊可知ZBDC=NEDC,.DE//BC,：./BCD=NEDC=NBDC,vZB=70°,;.NBCD=NBDC=55°,：.ZACD=ZACB-/BCD=70°-55。=15。.故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，涉及到平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.（2021?上海市川沙中學(xué)南校七年級期末）如圖，直線a〃仇在RtAABC中，點(diǎn)C在直線a上，若Nl=56。，Z2=29°,則乙4的度數(shù)為 度.【答案】27【解析】【分析】如圖，Z3=Z1,由N3=N2+NA計(jì)算求解即可.【詳解】解：如圖'：a//b,Zl=56°Z3=Z1=56°?/Z3=Z2+ZA,Z2=29°/.ZA=Z3-N2=56°-29°=27°故答案為：27.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)中的同位角，三角形的外角等知識.解題的關(guān)鍵在于正確的表示角的數(shù)量關(guān)系.（2021?上海市西南模范中學(xué)七年級期中）在4A8C中，如果= =那么NA,NB,NC分別等于.【答案】30°,60°,90°【解析】【分析】根據(jù)NC設(shè)出NA=x,則NB=2x,ZC=3x,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求2 3出各角的度數(shù)即可.【詳解】*.*NB=-NC,2 3設(shè)N4=x,則N8