用數(shù)學(xué)語言說話課件

《數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)》入門篇之用數(shù)學(xué)語言說話1.用數(shù)學(xué)說話的重要性1.1.學(xué)生的問題數(shù)學(xué)語言并沒有內(nèi)化到自己的語言系統(tǒng)中。不會對問題進(jìn)行閱讀、理解、轉(zhuǎn)換和編碼。應(yīng)更加重視“理解”和“轉(zhuǎn)換”。這就是美國數(shù)學(xué)教師全國委員會將“學(xué)會數(shù)學(xué)地交流”列為學(xué)校數(shù)學(xué)教育5類基本目標(biāo)之一的重要原因。例子：過曲面上某點(diǎn)的所有曲線的切線共面。本節(jié)素材來自《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》，版權(quán)歸《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》所有1.2.用數(shù)學(xué)語言說話的好處通過用數(shù)學(xué)語言說話可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)感覺。前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教育家維林金在《中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)》中認(rèn)為數(shù)學(xué)語言具有消除煩瑣性、清除多值性和擴(kuò)展表達(dá)的可能性的作用。這只是從數(shù)學(xué)語言的功能的角度而言的。在更高層次上，數(shù)學(xué)語言是一種要被數(shù)學(xué)共同體所公認(rèn)并共同遵守的規(guī)范形式，因此在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺上具有特別的意義。數(shù)學(xué)感覺是以數(shù)學(xué)符號為主要詞匯，以數(shù)學(xué)公理、定理、公式等為語法規(guī)則構(gòu)成的感覺。通過數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界，對數(shù)學(xué)思想、理論、知識等進(jìn)行表述、加工、交流、記錄時，就會逐漸形成數(shù)學(xué)感覺?！皵?shù)學(xué)語言”包括兩個不同范疇的概念，狹義的概念是指“數(shù)學(xué)所使用的語言”，廣義的概念是指“數(shù)學(xué)就是一種人們進(jìn)行交流的語言”，因此學(xué)生通過用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流，就會形成數(shù)學(xué)感覺。例子：ax+by的三種解釋。（行話）1.3.用數(shù)學(xué)語言說話的訓(xùn)練結(jié)構(gòu)1建立符號基本單位系統(tǒng)：語素2直接解碼單詞和詞組3閱讀與翻譯句子和句群4用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段落5整合與數(shù)學(xué)化篇章情景2.建立符號基本單位系統(tǒng)：語素進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的交流與表達(dá)，如同任何一種語言一樣，必須具有構(gòu)成語言系統(tǒng)的基本單位，類似于英語中的字母或漢字中的語素，是最小的語音語義結(jié)合體。在數(shù)學(xué)語言中基本的語素包括的范圍更加廣泛，例如點(diǎn)、線、面也是基本的語素內(nèi)容。通過這些基本單位再來進(jìn)行組合形成內(nèi)涵豐富的單詞和詞組。數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)中的基本形式有：文字語言、符號語言、圖形語言。2.1.文字語言

是表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容最基本的語言形式，是數(shù)學(xué)概念、符號關(guān)系與自然語言的有機(jī)融合。文字語言的基本形式為：數(shù)學(xué)概詞，即表示數(shù)學(xué)概念的語言基本單位；數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)詞，即將數(shù)學(xué)概詞進(jìn)行組合。具體來說，文字語言系統(tǒng)包括最基本的數(shù)學(xué)概念，例如自然數(shù)、負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、概率、正態(tài)分布等。2.2.符號語言

是數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)的推理過程等做出表述的一種語言形式，它具有形式化、公理化、模式化的特征。符號系統(tǒng)一般可分為：象形符號（如符號≠、≌等）、縮寫符號（如f表示函數(shù)，ln表示對數(shù)，sin表示正弦等）約定符號（如用表示增量，表示求和）。這些符號有的是通用的固定符號，如阿拉伯?dāng)?shù)字、運(yùn)算符號、數(shù)的標(biāo)識、輔助運(yùn)算符號、關(guān)系符號、邏輯符號、圖形符號、集合號、組合號、函數(shù)號、重要常數(shù)等，不同分支的特殊約定符號。有一些是臨時約定的符號，非通用符號每次都要有相關(guān)說明，這樣便于針對特定數(shù)學(xué)問題創(chuàng)造性的構(gòu)造和應(yīng)用符號系統(tǒng)。2.4.數(shù)學(xué)語言的擴(kuò)展數(shù)學(xué)語言中的語素發(fā)展隨著學(xué)生不斷的學(xué)習(xí)而不斷擴(kuò)展并不斷抽象。在幼兒園階段基本的語素單元包括生動直觀的圖像和圖表，以加減乘除為代表的語素則是進(jìn)入小學(xué)階段的標(biāo)志。在中學(xué)階段，方程、函數(shù)、平面和立體幾何中的線和面等語素成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主題，這標(biāo)志著由常量數(shù)學(xué)上升到變量數(shù)學(xué)的水平。進(jìn)入大學(xué)，基本的語素被擴(kuò)展為極限、導(dǎo)數(shù)、積分、向量、矩陣、概率等，并向抽象和多維擴(kuò)展。以后的發(fā)展則是專業(yè)化語素的出現(xiàn)，最高層次就是對新的語素符號的創(chuàng)造。3.直接解碼單詞和詞組詞是代表一定的意義、由語素或語素組構(gòu)成可以獨(dú)立運(yùn)用的最小的語言單位。詞所表達(dá)的概念一般是單純的固定的，其內(nèi)部的語義組合關(guān)系往往是融合性的。語素不是語言的“獨(dú)立運(yùn)用”單位，它不能充當(dāng)句子結(jié)構(gòu)中的成分。而詞則可以作為句子的結(jié)構(gòu)要素，是最小的獨(dú)立運(yùn)用的充當(dāng)句子成分的結(jié)構(gòu)要素。（極限是語素，極限的和是詞組了。）只有對單詞和詞組進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，才是真正掌握數(shù)學(xué)語言的第一步。否則，當(dāng)基本的語言單位體系完全建立后，學(xué)生仍然不能夠用數(shù)學(xué)語言靈活地表達(dá)實(shí)際問題。最基礎(chǔ)的練習(xí)方法是學(xué)會對單詞和詞組的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換時，必須做的是將日常生活單詞給換一個說法。國籍姓名比賽成績（秒）日期(按時間排序)比賽地點(diǎn)當(dāng)時年齡牙買加博爾特9.582009年8月17日德國柏林23牙買加博爾特9.692008年8月16日中國北京22牙買加博爾特9.722008年6月1日美國紐約22牙買加鮑威爾9.742007年9月9日意大利雷蒂25牙買加鮑威爾9.772005年6月14日希臘雅典23美國蒙哥馬利9.782002年9月14日法國巴黎26美國格林9.791999年6月16日希臘雅典25加拿大貝利9.841996年7月27日美國亞特蘭大29美國伯勒爾9.851994年6月7日瑞士洛桑25美國劉易斯9.861991年8月25日日本東京30美國伯勒爾9.901991年6月14日美國紐約22美國劉易斯9.921988年9月24日韓國漢城27美國史密斯9.931983年7月3日科羅拉多22美國海因斯9.951968年10月14日墨西哥首都22德國哈里10.01960年6月21日瑞士蘇黎世

美國威廉姆斯10.11956年8月3日德國柏林

美國歐文斯10.201936年6月20日德國柏林

加拿大威廉斯10.301930年8月9日多倫多

美國帕多克10.401921年4月23日

美國利平科特10.61912年7月6日

美國伯克11.81896年

通俗定義給出一列數(shù)，隨著這列數(shù)的個數(shù)的無限增加，這一列數(shù)會慢慢靠近一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是這一列數(shù)的極限STEP1：原始單詞解碼STEP2：派生單詞解碼STEP3：綜合單詞解碼綜合前面的描述（許多時候需要多次反復(fù)，逐步深入），可以得到極限的精確定義：對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行操作所出現(xiàn)的困難一方面是在實(shí)際生活單詞及其數(shù)學(xué)術(shù)語之間不能建立有效的聯(lián)系，例如看到“近”后不知道可以用“距離”表示。有時候?qū)W生表現(xiàn)出的困難是在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生很難構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表示所研究的數(shù)學(xué)術(shù)語。例如，同樣是“距離”，在直線上和在平面上的距離在表達(dá)形式上是有所區(qū)別的，在解釋問題時僅僅需要符號“d”就可以了，但在運(yùn)算時，則可能需要符號。

4.閱讀與翻譯句子和句群由“詞”到“句子”有三種途徑：(1)詞組成詞組，詞組再帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句子；(2)詞帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句子；(3)詞直接組合成句子。在數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化過程中，主要是詞或詞組直接組合成句子的過程。詞匯是構(gòu)成語句的最小意義單元，對語句的理解是以正確理解單個詞匯意義為前提的。但掌握了詞義信息并不能保證能夠正確理解語言，因?yàn)榫渥又械脑~匯都是按照一定的句法關(guān)系組織起來的，只有在正確理解這些句法關(guān)系的前提下，才能把不同的詞語意義連貫起來組成完整的語義概念。在具體的對句子進(jìn)行翻譯的過程中，常常使用的手段有：(1)順序譯法，如果漢語句子的邏輯順序與數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣大致相同，就可以按照原句的順序譯出來；(2)倒敘譯法，數(shù)學(xué)語言和漢語是兩種有各自特點(diǎn)的語言，它們在行文習(xí)慣和表達(dá)方式等方面必然存在許多差異。有時數(shù)學(xué)語言和漢語的敘述層次相反，需要在理解的基礎(chǔ)上，改變原句的順序；(3)拆譯法，有時根據(jù)邏輯的需要，可以將原有的漢語句子拆譯為兩個或兩個以上的句子，而有時則需要用連接成分將原有的兩句話連成一句。STEP2：尋找新語素，簡化表示STEP3：單詞解碼，逐步表示

學(xué)生出現(xiàn)的問題在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，用數(shù)學(xué)語言對句子進(jìn)行識別過程中的問題主要是學(xué)生不能識別數(shù)學(xué)語言的基本屬性及其暗示的信息，包括不能識別數(shù)學(xué)語言的基本屬性及其所表示的數(shù)學(xué)對象以及不能識別符號語言的暗示功能。用數(shù)學(xué)語言理解句子中的問題包括學(xué)生在理解數(shù)學(xué)詞語、數(shù)學(xué)命題等數(shù)學(xué)語言信息時產(chǎn)生了困難，從而不能完全理解數(shù)學(xué)語言并把握它們之間的關(guān)系。例如本案例中，出現(xiàn)了多個“無窮小”的概念，學(xué)生往往都把他們看成是處于一個地位，不加以區(qū)別，在識別和理解上都會出現(xiàn)困難。另外的困難是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言進(jìn)行推理、運(yùn)算的過程中出現(xiàn)錯誤。5.用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段落正如段落是由一組語義相關(guān)的句子構(gòu)成一樣,篇章是由一組相互關(guān)聯(lián)的段落構(gòu)成的,段落是篇章組織的基本構(gòu)成單位。段落作為介于語篇與句子之間的語篇單位，段落有表示始末的句法標(biāo)記，作為文章基本單位的段落,它是由一組相互關(guān)聯(lián)的、能表達(dá)同一個中心思想的句子包括主題句、支持句及結(jié)論句構(gòu)成。段落語言的數(shù)學(xué)表達(dá)練習(xí)中，因?yàn)橛猩舷挛牡膸椭圆捎糜鼗乇磉_(dá)方式一般都能準(zhǔn)確或比較準(zhǔn)確地表達(dá)出作者的意圖。在完全理解段落的意圖后，對段落用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行結(jié)構(gòu)的主要手段是發(fā)現(xiàn)主題句中的關(guān)鍵詞，對主題句的限定語句，以及支持句中的關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)表達(dá)。案例3：馬步問題

馬在國際象棋棋盤中的某個位置，按照馬步規(guī)則，移動馬并讓馬訪問所有的格子，每個格子每次訪問且僅僅訪問一次，請問能否走？如何走？說明：我們不關(guān)注如何解決這個問題，而是關(guān)注如何將問題數(shù)學(xué)化。

STEP2：語素對應(yīng)，解碼關(guān)鍵詞STEP3：單詞連接，回到段落學(xué)生遇到的問題在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的主要問題首先是不能正確理解數(shù)學(xué)詞語，這仍然屬于前面的問題。其次，由于文本內(nèi)容長度增加，一方面學(xué)生難以理解各個數(shù)學(xué)語言信息塊，另一方面學(xué)生也更加難以正確理解數(shù)學(xué)語言信息塊之間的關(guān)系。學(xué)生在數(shù)學(xué)語言的理解過程中，應(yīng)該重視體現(xiàn)自己的已有知識對語言理解的程度，缺乏有關(guān)的信息，或者未能激活記憶中的相關(guān)信息，就會導(dǎo)致數(shù)學(xué)語言理解障礙。最后就是有的題目，思路有了，因語言遲鈍，就是寫不清、道不明。6.整合與數(shù)學(xué)化篇章情景當(dāng)讀者加工一篇文章時，首先是對篇章文字表層的解碼，獲得表層結(jié)構(gòu)，然后將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一連串基本命題，這些命題按照語義關(guān)系被組織起來。篇章的這種語義結(jié)構(gòu)包括兩種水平：一是微結(jié)構(gòu)水平，一是宏結(jié)構(gòu)水平。微觀結(jié)構(gòu)又稱課文基面，是篇章的局部水平，即一個個命題以及它們間關(guān)系的結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)是一個更為全局、整體性的結(jié)構(gòu)。篇章理解是一個從微觀結(jié)構(gòu)到宏觀結(jié)構(gòu)不斷循環(huán)往復(fù)的過程。讀者在加工篇章中特定的命題以形成宏觀結(jié)構(gòu)的過程中，需要對某些命題運(yùn)用一定的規(guī)則，譬如刪除、概括和構(gòu)造等。通過一系列這樣的宏規(guī)則，能夠濃縮、抽象篇章基面的細(xì)節(jié)、要點(diǎn)，以產(chǎn)生篇章的主題意思，即宏觀結(jié)構(gòu)案例4（人口預(yù)測問題）

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。試從中國的實(shí)際情況和人口增長的上述特點(diǎn)出發(fā)，建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測（2007年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題）。STEP1：情景分析，設(shè)定模型首先需要從語篇中首先獲得表層結(jié)構(gòu)，即對語篇文字表層的解碼。本問題是一個對我國人口數(shù)量進(jìn)行中短期和長期預(yù)測問題。對人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測目前有許多比較成熟的方法，但根據(jù)我國目前人口狀況的新的特點(diǎn)和形勢，所選擇的預(yù)測模型必須要考慮到我國老齡化程度的加快、人口性別比例失調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實(shí)際。人口系統(tǒng)是一個典型的社會動態(tài)系統(tǒng)，因此人口預(yù)測應(yīng)是一項(xiàng)實(shí)時性研究，需要根據(jù)人口生育水平和死亡水平的最新變化特點(diǎn)，不斷跟蹤分析人口發(fā)展態(tài)勢。為了清晰地了解生育率、死亡率及遷移率等因素對人口系統(tǒng)的影響，在此利用帶有Leslie矩陣的狀態(tài)空間簡化模型來研究人口系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)。我們選擇利用矩陣方法進(jìn)行人口數(shù)量預(yù)測的動態(tài)模型，該模型比較全面地考慮了上述問題。使用的主要參數(shù)包括：各年齡段的嬰兒出生比例，可用來研究我國目前人口比例逐漸不合理問題，人口死亡率和存活率指標(biāo)可以用來研究老齡化進(jìn)程加快的影響，遷移人口指標(biāo)可以用來刻畫城鎮(zhèn)化加劇的影響。STEP2：篇章分解，表示模型然后將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一系列基本命題，命題按照語義關(guān)系組織在一起，形成一個連貫的語義表征。為此先要用一些符號表示關(guān)鍵詞，將關(guān)鍵詞連接為句子，包括一些隱含的限制條件。則有下面的人口變動條件：（1）t+1年0歲人口總數(shù)=（1－嬰兒死亡率）*（t時刻各年齡段性別比例、t時刻各年齡段的婦女生育率和t時刻各年齡段人口總數(shù)的乘積之和）＋凈遷移人數(shù)；（2）t+1時刻i+1歲的人口總數(shù)=（1-i歲人口死亡率）*t時刻人數(shù)+t時刻i歲凈遷移人數(shù)；將上述條件符號化，得到：STEP3：歸納整理，形成模型最后是通過宏觀規(guī)則建立語篇的整體意義結(jié)構(gòu)，它呈現(xiàn)語篇的整體聯(lián)系。整合階段的主要務(wù)是產(chǎn)生新的激活向量，使得文章網(wǎng)絡(luò)中與問題要求有關(guān)的重要信息有較高的激活性，無關(guān)信息失去活，從而突出表征中的有用節(jié)點(diǎn)，剔除無用信息，形成一個高度整合的篇章表征。但進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時，由于數(shù)據(jù)資料的限制，上述數(shù)據(jù)不可能全部得到，為此需要進(jìn)行數(shù)據(jù)的補(bǔ)充。寫成矩陣的形式為：學(xué)生出現(xiàn)的困難在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的困難主要是數(shù)學(xué)語言組織困難，它是指學(xué)生在接收數(shù)學(xué)語言信息時不能有效地進(jìn)行篩選、整合、貯存等加工過程。數(shù)學(xué)語言組織困難包括三個層次，第一個層次是由于語篇的巨大長度，學(xué)生難以在短時間內(nèi)把握語篇的要點(diǎn)，不能明確解決問題的思路，得出解決問題的方法。第二個層次是不能篩選出有關(guān)數(shù)學(xué)語言特征的信息，審題發(fā)生困難，理解出現(xiàn)偏差，例如本案例中所選擇的預(yù)測模型必須要考慮到我國老齡化程度的加快、人口性別比例失調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實(shí)際。第三個層次是不能分析出數(shù)學(xué)語言之間的聯(lián)系，列出關(guān)系式，不能歸納出各個數(shù)學(xué)公式間的關(guān)系，不能再現(xiàn)概念的定義、公式和定理的證明等，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言信息輸入學(xué)生頭腦時，不能順利地對舊語言信息進(jìn)行回憶（提?。?，使新舊信息之間建立聯(lián)系。在本案例中的表現(xiàn)是不能找到人口的變化方程，找到方程后不會用矩陣符號進(jìn)行轉(zhuǎn)換和簡化。案例5：飛行管理問題（1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題）在約10000m高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時,記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計(jì)算并判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會碰撞

,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角,以避免碰撞.現(xiàn)假設(shè)條件如下:1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度;3)所有飛機(jī)飛行速度均為每小時為800km;4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時,與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上;5)最多考慮6架飛機(jī);6)不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況;請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型.列出計(jì)算步驟,對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過0.01度),要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小

.設(shè)該區(qū)域4個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).記錄數(shù)據(jù)為:

飛機(jī)編號橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363