巧用定積分求極限

時間：二O二一年七月二十九日定積分在求極限中的應用之巴公井開創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日1、知識準備微積分學在年夜學的數(shù)學學習中占有相當重要的位置.然而，求極限又是微積分學中經常要面臨的問題.因此，積累更多求極限的方法應是每位年夜學生必備的素養(yǎng).求極限的方法層見疊出，最經常使用的方法有極限的界說和性質，重要極限的結論,洛必達法則以及泰勒公式等.應用極限的界說時,往往是在極限的結果已經比力明顯，只需要根據(jù)極限的界說把相關式子進行放縮即可獲得相應的結果.可是，這種方法一方面敘述上比力麻煩，另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結論形式上要求非常嚴格，也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達法則是用于解決“』”型的極限和“』”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運算的問題，通過泰勒展式后可以到達某些項抵消效果.但如果仔細觀察這些方法，其特點不是表達較繁瑣就是僅僅應用到微分學知識.事實上，微分學和積分學的關系正如中小學時代學習過的加法與減法，乘法與除法,乘方與開方以及幕運算與取對數(shù)運算的關系一樣，他們互為逆運算.倘若也能用到積分學知識來解決求極限的問題，那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的界說：定積分：設函數(shù)L在閉區(qū)間」上有界說，在閉區(qū)間」內任意拔出n-1個分點將分成n個區(qū)間|，記I,|，作乘積|（稱為積分元），把這些乘積相加獲得和式_|（稱為積分形式）設I，若-|極限存在唯一且該極限值與區(qū)是」的分法及分點的取法無關，則稱這個唯一的極限值為函數(shù)I在」上的定積分，記作—|，即|.否則稱|在」上不成積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數(shù)有關，故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在,區(qū)間」進行特殊分割，分點進行特殊的取法獲得的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經常呈現(xiàn)，請讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是幾多只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關與積分變量用什么字母暗示無關，即仔細觀察定積分的界說，我們一定會發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個特征.第一，定積分是無窮項和式的極限,容易知道一般項在項數(shù)趨近于無窮年夜時極限值肯定趨近于零，否則和式極限不存在.第二，定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關系，它的一般項受到這一時間：二O二一年七月二十九日連續(xù)函數(shù)的約束，它是連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上進行了無窮的分割，各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長度的乘積的累加.對極限，年夜學主要學習了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關極限，而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關極限.那么就讓我們先一一來回憶它們吧！數(shù)列的極限設」為數(shù)列，為實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得那時I有二T，則稱數(shù)列」收斂于，實數(shù)稱為數(shù)列|的極限，并記作|或|.-（讀作：當趨于無窮年夜時，」的極限即是或一趨于）.由于限于取正整數(shù)，所以在數(shù)列極限的記號中把|寫成|，即-|或L］.若數(shù)列」沒有極限,則稱」不收斂，或稱」為發(fā)散數(shù)列.注1：關于：①的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)a的接近水平，越小，暗示接近得越好；而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)a可以接近就任何水平:②有其任意性,但一經給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N;③的多值性.既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此界說1中的不等式|中的可用等來取代.從而“二［”可用“二［”取代;④正由于是任意小的正數(shù)，我們可以限定小于一個確定的正數(shù).注2:關于：①相應性，一般地，隨的變小而變年夜，因此時間：二O二一年七月二十九日常把界說作I來強調，是依賴于的；一經給定，就可以找到一個：②多值性的相應性其實不意味著是由唯一確定的，因為對給定的，若-1時能使得那時I,有I,則I不是唯一的.事實上,在許多場所下，最重要的是P1的存在性，而不是它的值有多年夜.基于此，在實際使用中的也不用限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“I”改為“I”也無妨.函數(shù)的極限設函數(shù)I在點，對任意給定的正數(shù)（不論它有何等?。?總存在某正數(shù)，使適當滿足不等式—I時,對應的函數(shù)值I都滿足不等式—I,那么常數(shù)就叫做函數(shù)I那時I的極限，記為I.可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限界說的思想是一致的，都是相應的某個表達上的值無限地接近某個常數(shù)值.分歧的是數(shù)列是離散的,數(shù)列中的項在跳躍式地接近，而函數(shù)是連續(xù)的，函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應的常數(shù)值以任意水平地接近.2、定積分與極限不難看出，無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限，它們都與定積分的界說存在著千絲萬縷的關系，那么就讓我們來揭曉它們之間玄機與奇妙吧.事實上，定積分的界說中蘊含著一列數(shù)｛二［｝的和，而且只要充沛地小，和式_|就可以任意地接近確定的實數(shù)J=1，這正是極限思想的存在，即1.這就為我們求極限提供了一種共同而有力的方法一一利用定積分求極限.因為在積分學中有年夜量的積分公式，所以我們運用之解決眾多類型的和式極限.先讓我們看一個簡單的例子：I分析:此極限式的求解，不容易直接用極限的界說解決，因為該法往往是用來一邊計算一邊證明某個極限結果已經比力明顯的問題，因此這里不適合;重要極限的結論顯然也在這里沒有用武之地,因為形式上根天職歧；再考慮洛必達法則，它不是無窮比無窮型的極限也非零比零型的極限，也不成能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用來解決連續(xù)函數(shù)的極限問題，通過泰勒展式往往能把非多項式形式的表達式轉化成多項式形式，以簡化形式從而求解，看來這里也不適用.那是不是就沒有什么合適的法子了呢？謎底固然是否定的，事實上，它從形式上與定積分的界說還是有一些相像的，那么就讓我們檢驗考試用定積分的法子來解決這個問題吧！解:把此極限式轉化為某個積分形式，從而計算定積分.為此做如下變形：.不難看出，其中的和式是函數(shù)_I在區(qū)間」上的一個積分和（這里取得是等量分割，I）.所以，J=I-從該例題的解法中可以看出，本題的關鍵是將極限和轉化為積分和，從而利用了定積分將所求極限迎刃而解.于是，我們可以總結出定積分在求極限中應用的一般方法步伐：Sept1將和式極限_|經過變形，使其成為積分形式|.這里常取|；Sept2確定積分函數(shù)的上下限.a=||；Sept3用x代換匚，寫出定積分表達式|，并求出原極限的值.通過以上的一般方法步伐,我們在面對無窮項和式的極限問題時就有方可依，有法可循了.現(xiàn)在讓我們再來看一個例子，并從中仔細體會以上方法步伐.解:Septi化和式極限為積分形式.Sept2確定積分函數(shù)上下限.Sept3寫出積分表達式并求出積分值.原極限二|.對本題，我們是緊緊依照剛剛總結出的方法步伐進行的，并順利地求出了原題的極限值.這是一個具體的例子，那么我們是否可以總結出更為一般性結論呢？謎底自然是肯定的.3、應用定積分求極限至此，我們可以得出如下結論：結論1如果函數(shù)|在區(qū)間」上連續(xù)，將區(qū)間」進行等分,事實上，連續(xù)函數(shù)一定可積，而將區(qū)間」進行n等分也是分割_的一種特殊情況.根據(jù)定積分的界說，上述結論成立.固然,其實不是所有的用到定積分求極限的問題中都要嚴格用到上面總結出的三個步伐，我們可視情況靈活處置，比如無需用到某一步伐或者還需用到其他求極限的思想等.下面我們再看一組求極限的習題，以充沛感受結論1的用途.習題組11)I.這組習題都是無窮項式子和的極限問題，都可以把定積分的思想應用到求極限中去.現(xiàn)在就讓我們用結論1來解決這些求極限的問題，并從分歧習題中尋找出異同，以加深對結論1的掌握和認識.解：(1)分析原極限顯然可以看成I在」上的定積分.故分析先通過恒等變形，原極限式=|,被積函數(shù)_|,積分區(qū)間是」,于是原極限值=|分析原和式極限的通項是」不成以看成是關于一的某一個函數(shù)，可是注意到：應用結論1,上面不等式左端可以取極限，即,上面不等式右端可以取極限，即于是，由極限的迫斂性可知原極限值=_.這組題均典范地運用了定積分的計算，從而求出了各極限.我們發(fā)現(xiàn)，只要找到某個連續(xù)函數(shù)|,并能把這個和式極限>_|轉化成積分形式_|，我們就只需計算出f(x)在［0,1］上的積分值,從而確定出原極限值.這三個習題中，例題1的式子無需再進行恒等變形，因為其形式上已經是」f（_）_了；習題2與習題3形式上直觀上不是因f（』）上的形式，因為式子|與式子都不含一的項.為此，我們需要對習題2以及習題3極限的式子進行恒等變形，通過提取公因式等手段使其呈現(xiàn)』葺，例如習題3,我們可以用極限的一些性質，如極限的迫斂性，從而間接地求出原和式極限的極限值.接下來，我們對結論1進行適當?shù)耐茝V，以獲得更多形式的極限的求法.推論1如果函數(shù)|均在」上可積，證明：首先，|均在」上可積.又由于|，［，所以，|于是，二二I例3.求極限:解：由推論1可知，f（x）二于是，原極限式二推論2設例4.試求：I.推論3如果函數(shù)|在區(qū)間」上可積，且解:本題也可以直接運用推論3,這三個推論是對結論1的需要彌補與完善.形式上我們不單有無窮項式子和的極限，還衍生出了無窮項式子乘積的極限.它們都是順著結論1的思路繼續(xù)進行探索，從形式上豐富了定積分在求極限中應用這一思想,但從實質上講，它們與結論1是一致的.它們都緊緊抓住了定積分概念的實質，意識到定積分是無窮項和的極限，應用數(shù)學的一些基賦性質，對各式子進行恒等變形,盡量把分歧形式的極限向定積分界說中的和式上去靠攏.最終通過簡單明了的定積分公式,求出定積分的值來，以確定出原極限的值.由這三個推論來看，等形式的極限，我們都有方可循，用定積分的方法容易求出其極限來.對任何一種數(shù)學方法，只要我們仔細地觀察與推究，都能將其結論或應用范圍加以推廣，就像結論1.現(xiàn)在讓我們來看一組習題，以體會以上諸推論.現(xiàn)在，我們已經積累了多種求和式極限的方法，它們是今后應用定積分解決極限類問題的最佳模型與范例.那就再讓我們來看一組習題，以熟悉與現(xiàn)等形式的極限吧.卜面這組習題綜合用到了以上各結論與推論.習題組2用定積分的方法計算下列各極限.解:分析以上例題都容易恒等變形,使其滿足結論1或者推論1至推論3的條件.于是,

至此,我們已經深深的體會到了各種形式的定積分在極限中應用的作用.僅僅于此，我們尚不能滿足,我們可以把定積分在求極限中的應用思想借鑒到其他方面.例如，利用這種思想方法來證明一些不等式，或者用之解決一些復雜一點的求極限問題.下面將舉例說明.例6.證明：若函數(shù)|在上連續(xù)，且對|，有|,則證明：已知|與|在廠廠進行等分，分點是■一..在第K個區(qū)間上取[x[.由算數(shù)平均不小于幾何平均，有體會:本例恰巧反過來，將積分和轉化為極限和的形式，并運用了算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)這一結論，將問題化繁為簡.較好地認識與掌握定積分與極限之間的關系是解決本問題的關鍵.該例題說明，我們應該充沛認識到定積分在極限中的作用，并能做到靈活變通，適當情形下，二者可以相互轉化，將問題化難為易，從而到達解決問題的目的._I-分析:該問題似乎不能直接運用結論1或推論1至推論3來求極限.因為極限的表達式不容易化成以上結論或者推論的情形.可是，該問題的解決就真用不到定積分了嗎？謎底是否定的.在解決該問題之前，還是先讓我們看一下沃利斯公式的由來吧！沃利斯公式：|.證明:令|，則那時I用分部積分法容易求得移項并整理后可得遞推公式：|由于重復應用上面的遞推公式可得I，又由于I，再將I式代入，即可以獲得，因為，根據(jù)極限的迫斂性可知,故得沃利斯公式.而性可知,故得沃利斯公式.而現(xiàn)在讓我們來仔細看看沃利斯公式究竟與定積分有什么關系吧!事實上，在計算定積分X[時，我們巧妙地運用了定積分的遞推表達式，這樣我們才正真地尋找到了解決極限問題的金鑰匙，看來定積分的運算還是在其中發(fā)揮了不成低估的作用.那么就讓我們直接運用該公式來探究例8問題吧！問題.倘若我們采納其方法來求這個極限,恐怕會走一些彎路.我們知道反常積分也是定積分在極限下界說出來的.以上的所有求極限問題都是將極限的表達式整體轉化成積分形式，從而應用了定積分巧妙地求出了原極限的結果，那么能不能把定積分在求極限中局部應用呢？現(xiàn)在我們再來看一個有趣的問題，以便說明此問題.例8.證明：I.分析:這個例題分歧于前面所有的例題，前面的例題，我們都能迅速地將所求極限的表達式轉化成I,而本例不成，但它形式上與我們討論的定積分在求極限中應用的例子非常相像，因為式子中有無窮多項和」，所以我們就檢驗考試用定積分的方法來求它吧！把這個極限式子的分子進行適當變形_|.如果根據(jù)前面的經驗，我們知道x的.可是現(xiàn)在我們對兩個問題有所質疑.第一，我們并沒有把原極限式直接轉化成積分形式；第二,即使局部用到了定積分」，但我們知道＞」（這里我們統(tǒng)一了分子分母中的變量，統(tǒng)一用變量x，這里已經暗示變量x是逐步趨近，由數(shù)學分析中歸結原理”，這個手段是不影響極限結果的）.最后我們求得其結果，_I.由此可以看到，在求極限的問題中，定積分的思想不單可以對表達式整體使用，也可以對其進行局部使用.總之，只要我們善于思時間：二O二一年七月二十九日考書本上的一些概念以及分析它們之間聯(lián)系，我們就往往能夠游刃有余地把一種數(shù)學思想用于解決其他數(shù)學問題上.最后，讓我們再來總結一下,定積分在求極限中應用時所應該注意的幾個問題.第一，極限必需是無窮項和的極限，而且這些和的極限經過適當?shù)暮愕茸冃沃竽苻D化為定積分的形式.第二，應用定積分求極限時，往往還需要用到其他的一些求極限的方法和手段，例如極限的迫斂性，重要極限的結論，取對數(shù)手段等.第三，求極限一類問題往往需要使用各種手段，這樣才華做到事半功倍.4、論文總結通過以上探討，我們重新認識了數(shù)學.我們在進行推理與應用時,是有深切體會的.數(shù)學自己是一門嚴謹?shù)淖匀豢茖W，因為它是一種思維的工具，是一種思想方法，它還是一種理性的藝術.數(shù)學是一種思維的工具.第一，數(shù)學具籠統(tǒng)性.數(shù)學概念是以極度籠統(tǒng)的形式呈現(xiàn)的.本文中討論的定積分以及極限更是如此.與此同時，數(shù)學的研究方法也是籠統(tǒng)的，這就是說數(shù)學命題的真理性不能建立在經驗之上，而必需依靠于嚴格的證明.當數(shù)學應用于實際問題的研究時，其關鍵在于能建立一個較好的數(shù)學模型.我們在運用定積分求極限時，就已經擁有了較好的數(shù)學模型一一函數(shù)模型.在一個較好的數(shù)學模型上展開數(shù)學的推導和計算，以形成對問題的認識，判斷和預測.這就是運用籠統(tǒng)思維去解決現(xiàn)實問題的體現(xiàn).第二,數(shù)學賦予科學知識以邏輯的嚴密性和結論的可靠性，是使認識從感性階段發(fā)展到理性階段，并使理性認識進一步深化的重要手段.在數(shù)學中，每一個公式，定理都要嚴格地從邏輯上加以證明以后才華夠確立.當我們發(fā)現(xiàn)了“結論1”之后，相繼經過嚴密的推理與論證后才拓展到了“推論1”至“推論3”.第三，數(shù)學是一種輔助工具和暗示方式.我們在解決數(shù)學問題自己時，還必需依賴于數(shù)學中的其他相關方法思路.另外數(shù)學反映的是一種復雜而籠統(tǒng)事物內部關系，可是我們仍然有簡明的數(shù)學符號與形象鮮明的圖形等來暗示它.無論是定積分還是極限，其中都用到了豐富的數(shù)學符號，離開這些數(shù)學符號，我們的表達似乎顯得步履維艱.數(shù)學是一種思想方法.數(shù)學是研究量的科學.它研究客觀對象量的變動，關系等，并在提煉量的規(guī)律性的基礎上形成各種有關量的推導和演算的方法.數(shù)學的思想方法體現(xiàn)著它作為一般方法論的特征和性質，是物質世界質與量的統(tǒng)一，內容與形式的統(tǒng)一的最有效的暗示方式.無論是定積分還是極限都離不開計算，這就意味著它們中都蘊含著量的變動.數(shù)學還是一種理性的藝術.一般我們覺得，藝術與數(shù)學是兩種風格與實質都有著明顯分歧的事物.它們一個處于高度理性化的峰頂，另一個則位于精神世界的樞紐地帶;一個是自然科學的代表，另一個則是美學的杰作.可是，在種種概況上無關甚至完全分歧的現(xiàn)時間：二O二一年七月二十九日象身后卻隱藏著藝術與數(shù)學相當一致的一般意義.我們進行學術研究純潔是我們進取以及求知欲的驅使.藝術與數(shù)學都是公認的地球語言.藝術與數(shù)學在描繪萬事萬物的過程中，還同時完善了自身的暗示形式，這種暗示形式最基本的載體即是藝術與數(shù)學各自共同的語言特征.其共同特點有（1）超文化性.藝術與數(shù)學所表達的是一種帶有普遍意義的人類共同的心聲,因而它們可以超越時間和地區(qū)界限，實現(xiàn)分歧文化群體之間的廣泛傳布和交流.（2）整體性.藝術的整體性來自于其藝術暗示的普遍性和廣泛性；數(shù)學的整體性來自于數(shù)學統(tǒng)一的符號體系，各個分支之間的有力聯(lián)系，共同的邏輯法則和既約的表達方式.（3）簡明性.它首先暗示為很高的籠統(tǒng)水平,其次是凝凍與濃縮.（4）代表性.藝術與數(shù)學語言各自代表性可以誘發(fā)某種強烈的情感體驗，喚起某種美的享受，而意義則在于把注意力轉向思維，上升為理念，成為暗示人類內心意圖的方式.（5）形式性.在藝術與數(shù)學各自進行的符號與信息的含義交換中，其共同的特征就是到達了實體與形式的分離.我們研究的定積分在求極限中的應用，那種思想以及符號呈現(xiàn)方式可被世界人悅納.藝術與數(shù)學具有共同的精神價值.其共同的特點有：（1）自律性.數(shù)學價值的自律性是與數(shù)學價值的客觀性相關聯(lián)的;藝術的價值也是不能以人的意志而轉移.藝術與數(shù)學的價值基本上是在自身框架內被鑒別，鑒賞和評價的.（2）超越性.它們可以超越時空，彰顯永恒.在藝術與數(shù)學的價值超越過程中，現(xiàn)實得以擴張，延伸.藝術與數(shù)學的超越性還暗示為超前的價值.(3)非功利性.藝術與數(shù)學的非功利性是其價值判斷異于其他種類文化與科學的顯著特征之一.(4)多樣化，物質化與廣泛化.在現(xiàn)代技術與商業(yè)化的推動下，藝術與數(shù)學的價值也開始發(fā)生升華，呈現(xiàn)了各自價值在許多領域內的散射，滲透，應用，交叉等情況.定積分在求極限中的應用，不單僅貢獻于數(shù)學自己,它將逐漸在其他領域也發(fā)揮一定的作用.我們已經見到了定積分在求極限問題中應用的各種形式.事實上,只要我們對學過的某些概念用心的體會，并加以深刻的思考，我們就可能將其精髓運用到數(shù)學的其他領域.正如我們這里把定積分與極限結合起來，并進行了適當推廣，獲得了較為滿意的結論和推論.本文主要給年夜家介紹了定積分在求極限中應用.一開始我們就回憶了定積分以及極限等年夜學數(shù)學學習中的重要概念.然后剖析它們之間的內在聯(lián)系，進而尋找到了一種共同的求極限的法子一一借助定積分求極限.固然，這種思想也其實不是空穴來風，它是源于教材中某些例題中具有立異性思想方法或者一些共同的步伐.因為不是所有的數(shù)學概念之間經過思考推理，相互之間就能建立起聯(lián)系來.因此，在平時的數(shù)學學習中，我們務必對教材中的基本概念加深體會，尤其是要把相互之間或多或少存在著某種關系的概念加以比力與分析.然后對其進行年夜膽的假設，并進行一定的邏輯證明.如果我們的假設成立，那就是我們發(fā)現(xiàn)的新事物，這對我