高一數學導學案（解析版）：湘教必修1第1章1.2.8　二次函數的圖象和性質-對稱性

1.學習目標重點難點1．能說出奇函數和偶函數的定義；2．會判斷具體函數的奇偶性；3．會分析二次函數圖象的對稱性；4．能求一個二次函數在閉區(qū)間上的最值.重點：知道奇函數、偶函數的定義，會判斷函數的奇偶性，能運用奇偶性解決簡單的問題．難點：二次函數的區(qū)間最值問題.1．函數的奇偶性(1)如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝F(x)成立，則稱F(x)為偶函數；(2)如果對一切使F(x)有定義的x，F(－x)也有定義，并且F(－x)＝－F(x)成立，則稱F(x)為奇函數．預習交流1奇函數和偶函數的定義域具有什么特點？提示：奇函數和偶函數的定義域必須關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的前提條件．若一個函數的定義域不關于原點對稱，則它一定是非奇非偶函數．預習交流2如果一個函數是奇函數，且在x＝0時有定義，那么能否求得f(0)的值？提示：必有f(0)＝0.因為f(－0)＝－f(0)＝f(0)，從而f(0)＝0.預習交流3是否存在既是奇函數又是偶函數的函數？提示：存在．所有定義域關于原點對稱，解析式經化簡后為零的函數既是奇函數又是偶函數，例如：y＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)，y＝eq\r(9－x2)＋eq\r(x2－9)等就是既奇又偶函數．2．二次函數圖象的對稱性(1)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的對稱軸是直線x＝－eq\f(b,2a)；(2)如果函數f(x)對任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h(huán))，那么f(x)的圖象關于直線x＝s對稱．預習交流4二次函數圖象的對稱軸與二次函數的單調性、最值有何關系？提示：二次函數的單調性與對稱軸有關，在對稱軸兩側的單調性恰好相反；二次函數的最值恰好在對稱軸處取得，若開口向上，則在對稱軸處取最小值，反之取最大值．一、函數奇偶性的判斷判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；(3)f(x)＝x2＋eq\r(x)；(4)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(5)f(x)＝eq\r(x2－4)＋eq\r(4－x2).思路分析：根據定義判斷函數的奇偶性時，首先看定義域是否關于原點對稱，即定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提；然后判斷表達式f(－x)與f(x)之間的關系，若總滿足f(－x)＝－f(x)，則為奇函數，若總滿足f(－x)＝f(x)，則為偶函數．解：(1)函數定義域為R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以該函數是奇函數；(2)函數定義域為R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以該函數是偶函數；(3)函數定義域是{x|x≥0}，不關于原點對稱，因此它是非奇非偶函數；(4)函數定義域是{x|x≠－1}，不關于原點對稱，因此它是非奇非偶函數；(5)要使函數有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4≥0，,4－x2≥0，))解得x＝±2，即函數的定義域是{2，－2}，這時f(x)＝0.所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此該函數既是奇函數又是偶函數．判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(2x,x2＋3)；(2)f(x)＝eq\f(x4,x2－1)；(3)f(x)＝(x2－1)eq\r(x＋1).解：(1)函數定義域為R，且f(－x)＝eq\f(－2x,(－x)2＋3)＝eq\f(－2x,x2＋3)＝－f(x)．故該函數是奇函數；(2)函數定義域為{x|x≠±1}，關于原點對稱，且f(－x)＝eq\f((－x)4,(－x)2－1)＝eq\f(x4,x2－1)＝f(x)．故f(x)是偶函數．(3)函數定義域是{x|x≥－1}，不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數．1．判斷函數的奇偶性，一般有以下幾種方法：(1)定義法：若函數定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；若函數定義域關于原點對稱，則應進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．注意當解析式中含有參數時，要對參數進行分類討論后再進行奇偶性的判定．(2)圖象法：若函數圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數．(3)還有如下性質可判定函數奇偶性：偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數；奇函數的和、差仍為奇函數；奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數；一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數．(注：利用以上結論時要注意各函數的定義域)2．判斷函數奇偶性前，不宜盲目化簡函數解析式，若必須化簡，要在定義域的限制之下進行，否則很容易影響判斷，得到錯誤結果．二、函數奇偶性的簡單應用(1)設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()．A．－3B．－1C．1D．3(2)若函數f(x)＝x3＋3x＋a是奇函數，則實數a＝__________.思路分析：對于(1)，可根據f(x)是奇函數得f(1)＝－f(－1)，而f(－1)的值可代入解析式求值；對于(2)，可按照奇函數的定義求解．也可由f(0)＝0求得a的值．答案：(1)A(2)0解析：(1)因為當x≤0時，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.又f(x)是奇函數，所以f(1)＝－f(－1)＝－3，選A．(2)(方法一)因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)對任意x∈R都成立，即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a對任意x∈R都成立．所以a＝0.(方法二)因為f(x)是奇函數且在x＝0處有定義．必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.1．已知f(x)是偶函數，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值為()．A．5B．10C．8D．不確定答案：B解析：∵f(x)是偶函數，∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×2．若函數y＝(x＋1)(x－a)為偶函數，則a＝()．A．－2B．－1C．1D．2答案：C解析：因為f(x)是偶函數，∴f(－x)＝f(x)對任意x∈R都成立，即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)．整理得2(a－1)x＝0，∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.1．利用奇偶性求值時，主要根據f(x)與f(－x)的關系將未知轉化為已知求解，若需要借助解析式求值，代入自變量值時，該自變量值必須在該解析式對應的區(qū)間上，否則不能代入求值，而應轉化．2．已知函數是奇函數或偶函數，求解析式中參數值時，通常有兩種辦法：一是利用奇、偶函數的定義建立關于參數的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0處有定義的奇函數，還可根據f(0)＝0求解．三、二次函數的區(qū)間最值問題已知函數f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)當a＝－1時，求函數f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函數f(x)在區(qū)間[－5,5]上的最值．思路分析：對于(1)，可將a＝－1代入f(x)解析式，然后配方，寫出最值；對于(2)，由于a的值不確定，f(x)圖象的對稱軸不確定，那么f(x)在[－5,5]上的單調性就不確定，因此要對a的值分類討論才能求出相應的最值．解：(1)當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因為1∈[－5,5]，故當x＝1時，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；當x＝－5時，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函數f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的圖象開口向上，對稱軸為x＝－a.①當－a≤－5，即a≥5時，函數在區(qū)間[－5,5]上遞增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10af(x)min＝f(－5)＝27－10a②當－5＜－a≤0，即0≤a＜5時，函數圖象如圖(1)所示．由圖象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a③當0＜－a＜5，即－5＜a＜0時，函數圖象如圖(2)所示，由圖象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10af(x)min＝f(－a)＝2－a2；④當－a≥5，即a≤－5時，函數在區(qū)間[－5,5]上遞減，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10求函數f(x)＝－x2－mx＋6(m＜0)在區(qū)間[0,2]上的最大值．解：f(x)＝－x2－mx＋6＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋eq\f(m2,4)＋6，該函數曲線開口向下，對稱軸為直線x＝－eq\f(m,2).(1)當－eq\f(m,2)＞2，即m＜－4時，f(x)在[0,2]上單調遞增，其最大值為f(2)＝2－2m.(2)當0＜－eq\f(m,2)≤2，即－4≤m＜0時，f(x)在[0,2]上的最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)))＝eq\f(m2,4)＋6.1．對于定義域為R的二次函數，其最值和值域可通過配方法求解．2．若求二次函數在某閉(或開)區(qū)間(非R)內的最值或值域，則以對稱軸是否在該區(qū)間內為依據分類討論：(1)若對稱軸不在所求區(qū)間內，則可根據單調性求值域；(2)若對稱軸在所求區(qū)間內，則最大值和最小值可在區(qū)間的兩個端點處或對稱軸處取得，比較三個數所對應函數值的大小即可求出值域．1．下列函數為奇函數的是()．A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝eq\f(1,x)D．y＝－x2＋4答案：C解析：A項和D項中的函數為偶函數，B項中的函數是非奇非偶函數，選C．2．對于定義在R上的函數f(x)，給出下列判斷：(1)若f(－2)＝f(2)，則函數f(x)是偶函數；(2)若f(－2)≠f(2)，則函數f(x)不是偶函數；(3)若f(－2)＝f(2)，則函數f(x)不是奇函數．其中正確的判斷的個數是()．A．0B．1C．2D．3答案：B解析：(1)僅有f(－2)＝f(2)不足以確定函數的奇偶性，不滿足奇函數、偶函數定義中的“任意”，故(1)錯誤；(2)當f(－2)≠f(2)時，該函數就一定不是偶函數，故(2)正確；(3)若f(－2)＝f(2)，則不能確定函數f(x)不是奇函數．如若f(x)＝0，x∈R，則f(－2)＝f(2)，但函數f(x)＝0，x∈R既是奇函數又是偶函數，故(3)錯誤．3．函數y＝eq\r(x－1)·eq\r(x＋1)()．A．是奇函數B．既是奇函數又是偶函數C．是偶函數D．是非奇非偶函數答案：D解析：函數定義域是{x|x≥1}，不關于原點對稱，是非奇非偶函數，選D．4．函數f(x)＝－2x2＋x－1在區(qū)間[－1,2]上的值域是()．A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,8)))B．[－7，－4]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－7，－\f(7,8)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(7,8)))答案：C解析：由于f(x)＝－2x2＋x－1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(7