概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差課件

4.2方差

前面曾提到在檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏離程度．那么，怎樣去度量這個偏離程度呢？用E[X–E(X)]來描述是不行的，因為這時正負(fù)偏差會抵消；用E[|X–E(X)|]來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；通常用E{[X–E(X)]2}來描述隨機變量與均值的偏離程度．第四章隨機變量的數(shù)字特征4.2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征

4.2.1方差的概念與計算定義4.3設(shè)X是隨機變量，若E{[X–E(X)]2}存在，則稱其為X的方差，記為D(X)(或Var(X))，即稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差．特別地，如果X是離散型隨機變量，分布律為則如果X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則4.2.1方差的概念與計算將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得

即今后我們會經(jīng)常利用這個式子來計算隨機變量X的方差D(X).4.2.1方差的概念與計算將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得4.2.【例4.13】求例4-2中隨機變量X的方差D(X).

解：由于

1161所以4.2.1方差的概念與計算【例4.13】求例4-2中隨機變量X的方差D(X).4.2.4.2.1方差的概念與計算【例4.14】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，求D(X)．

解：由于X的分布律為，k=0，1，2，…，在例4-4中已經(jīng)求出，下面計算E(X

2)：故4.2.1方差的概念與計算【例4.14】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.15】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為（

>0）的指數(shù)分布，求D(X)．

解：由于指數(shù)分布的概率密度為在例4-7中已求出，故有4.2.1方差的概念與計算【例4.15】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.16】設(shè)隨機變量X服從(a，b)上的均勻分布，求D(X)．

解：由于均勻分布的概率密度為所以4.2.1方差的概念與計算【例4.16】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.17】設(shè)(X，Y)的概率密度為求D(X)及D(Y)．解：記D：|y|<x，0<x<1，如圖，則,4.2.1方差的概念與計算【例4.17】設(shè)(X，Y)的概4.2.1方差的概念與計算【例4.18】已知隨機變量X的概率密度為又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．

解：由于從上面三個方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．4.2.1方差的概念與計算【例4.18】已知隨機變量X的4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)c，即P{X=c}=1．4.2.2方差的性質(zhì)4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；證明：(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機變量，則D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；證明：

4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=4.2.2方差的性質(zhì)(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；證明：當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，

4.2.2方差的性質(zhì)(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，4.2.2方差的性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略.由性質(zhì)(2)和(3)容易推廣得到，若X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，為常數(shù)，則前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項分布的數(shù)學(xué)期望，現(xiàn)在再用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)來求它的期望和方差。4.2.2方差的性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略.4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

解：X可視為n重伯努利試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，p為每次試驗中A發(fā)生的概率．引入隨機變量Xi（i=1，2，…，n）：則又4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設(shè)隨機變量X服從二項分4.2.2方差的性質(zhì)因為X1，X2，…，Xn相互獨立，且由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得4.2.2方差的性質(zhì)因為X1，X2，…，Xn相互獨立，且4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機場班車載有20名乘客自機場開出，途中有10個車站可以下車，如果到達(dá)一個車站沒人下車則不停車，用X表示班車的停車次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)及標(biāo)準(zhǔn)差．（設(shè)每位乘客在各個車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨立）解：依題意，每位乘客在第i個車站下車的概率均為1/10，不下車的概率均為9/10,則班車在第i個車站不停車的概率為所以4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機場班車載有20名乘4.2.2方差的性質(zhì)從而，4.2.2方差的性質(zhì)從而，4.2.2方差的性質(zhì)【例4.21】設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布求D(X)．

解：設(shè)，由于所以Z～N(0，1)，從而又E(Z)=0，所以故4.2.2方差的性質(zhì)【例4.21】設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分【實驗4-1】用Excel計算例4-2中隨機變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望與方差．實驗準(zhǔn)備：函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多個區(qū)域array1,array2,array3,...對應(yīng)數(shù)值乘積之和．X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0【實驗4-1】用Excel計算例4-2中隨機變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望

實驗步驟：(1)整理數(shù)據(jù)如圖4-2左所示．

圖4-2計算數(shù)學(xué)期望(2)計算E(X)，在單元格B8中輸入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如圖4-2右所示．實驗步驟：

(3)為了計算方差，首先計算[xi–E(X)]2，在單元格C2中輸入公式：=(A2-B$8)^2并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域C3:C7中，如圖4-3左所示．

圖4-3計算方差(4)計算方差，在單元格B9中輸入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得計算結(jié)果如圖4-3右所示．(3)為了計算方差，首先計算[xi–E(X)]2

【建模實例】解(1)建立概率模型【建模實例】解(1)建立概率模型因為Ｙ的概率密度為所以因為Ｙ的概率密度為所以(2)模型求解(2)模型求解分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布B(n,p)泊松分布π()均勻分布U(a,b)指數(shù)分布Exp()正態(tài)分布N(,2)

重要分布的期望和方差分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布B(n,p)泊松分布

4.2方差

前面曾提到在檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏離程度．那么，怎樣去度量這個偏離程度呢？用E[X–E(X)]來描述是不行的，因為這時正負(fù)偏差會抵消；用E[|X–E(X)|]來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；通常用E{[X–E(X)]2}來描述隨機變量與均值的偏離程度．第四章隨機變量的數(shù)字特征4.2方差第四章隨機變量的數(shù)字特征

4.2.1方差的概念與計算定義4.3設(shè)X是隨機變量，若E{[X–E(X)]2}存在，則稱其為X的方差，記為D(X)(或Var(X))，即稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差．特別地，如果X是離散型隨機變量，分布律為則如果X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則4.2.1方差的概念與計算將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得

即今后我們會經(jīng)常利用這個式子來計算隨機變量X的方差D(X).4.2.1方差的概念與計算將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得4.2.【例4.13】求例4-2中隨機變量X的方差D(X).

解：由于

1161所以4.2.1方差的概念與計算【例4.13】求例4-2中隨機變量X的方差D(X).4.2.4.2.1方差的概念與計算【例4.14】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，求D(X)．

解：由于X的分布律為，k=0，1，2，…，在例4-4中已經(jīng)求出，下面計算E(X

2)：故4.2.1方差的概念與計算【例4.14】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.15】設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為（

>0）的指數(shù)分布，求D(X)．

解：由于指數(shù)分布的概率密度為在例4-7中已求出，故有4.2.1方差的概念與計算【例4.15】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.16】設(shè)隨機變量X服從(a，b)上的均勻分布，求D(X)．

解：由于均勻分布的概率密度為所以4.2.1方差的概念與計算【例4.16】設(shè)隨機變量X服從4.2.1方差的概念與計算【例4.17】設(shè)(X，Y)的概率密度為求D(X)及D(Y)．解：記D：|y|<x，0<x<1，如圖，則,4.2.1方差的概念與計算【例4.17】設(shè)(X，Y)的概4.2.1方差的概念與計算【例4.18】已知隨機變量X的概率密度為又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．

解：由于從上面三個方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．4.2.1方差的概念與計算【例4.18】已知隨機變量X的4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)c，即P{X=c}=1．4.2.2方差的性質(zhì)4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；證明：(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機變量，則D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；證明：

4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=4.2.2方差的性質(zhì)(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；證明：當(dāng)X，Y是相互獨立的隨機變量時，

4.2.2方差的性質(zhì)(3)設(shè)X，Y是兩個隨機變量，4.2.2方差的性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略.由性質(zhì)(2)和(3)容易推廣得到，若X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，為常數(shù)，則前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項分布的數(shù)學(xué)期望，現(xiàn)在再用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)來求它的期望和方差。4.2.2方差的性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略.4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

解：X可視為n重伯努利試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，p為每次試驗中A發(fā)生的概率．引入隨機變量Xi（i=1，2，…，n）：則又4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設(shè)隨機變量X服從二項分4.2.2方差的性質(zhì)因為X1，X2，…，Xn相互獨立，且由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得4.2.2方差的性質(zhì)因為X1，X2，…，Xn相互獨立，且4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機場班車載有20名乘客自機場開出，途中有10個車站可以下車，如果到達(dá)一個車站沒人下車則不停車，用X表示班車的停車次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)及標(biāo)準(zhǔn)差．（設(shè)每位乘客在各個車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨立）解：依題意，每位乘客在第i個車站下車的概率均為1/10，不下車的概率均為9/10,則班車在第i個車站不停車的概率為所以4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機場班車載有20名乘4.2.2方差的性質(zhì)從而，4.2.2方差的性質(zhì)從而，4.2.2方差的性質(zhì)【例4.21】設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布求D(X)．

解：設(shè)，由于所以Z～N(0，1)，從而又E(Z)=0，所以故4.2.2方差的性質(zhì)【例