微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第二章習(xí)題詳解

第二章習(xí)題2-11.試?yán)帽竟?jié)定義limxn+k=a.5后面的注〔3〕證明：假設(shè)limxn=a,1.試?yán)帽竟?jié)定義limxn+k=a.n證：由limxnn，知0,N1,當(dāng)nN1時(shí)，有Xn a由數(shù)列極限的定義得2.試?yán)貌坏仁絅，設(shè)nlimXN時(shí)〔此時(shí)nX由數(shù)列極限的定義得2.試?yán)貌坏仁絅，設(shè)nlimXN時(shí)〔此時(shí)nXnXnk說明:假設(shè)limnxn=a,那么limInxnI=|a|.考察數(shù)列Xn=(-1)n，說明上述結(jié)論反之不成立證：■「limXXn ■「limXXn a0,N,使當(dāng)nN時(shí)，有XnxnxnXnN,使當(dāng)nN時(shí)，有由數(shù)列極限的定義得XnlimnXnN,使當(dāng)nN時(shí)，有由數(shù)列極限的定義得XnlimnXnXn aXn考察數(shù)列 xn(1)n，知lnimxn不存在，而XnlimnXn所以前面所證結(jié)論反之不成立。3.利用夾逼定理證明：(1)lim丄nn121(n1)212(1)lim丄nn121(n1)212=0；(2n)2limn2n=0.n!證:〔1〕因?yàn)閬A~~2n1(n1)21(2n)2而且2而且2limnnlimn1n1-120.(2n)2(n1)22n〔2〕因?yàn)?仝22—*—421——*-22r *-，而且lim— 0,n!123n1nn nn所以，由夾逼定理得2nlim0nn!4.禾U用單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)那么證明以下數(shù)列的極限存在⑴xn=-n1 ，n=1,2,…；e1⑵X1=,2,xn+1=.2Xn,n=1,2,…證：〔1〕略?！?〕因?yàn)閄1 22，不妨設(shè)Xk2，那么Xk1 ,2兀 222故有對于任意正整數(shù)n,有xn2，即數(shù)列人有上界，又 Xn1 Xn 、.、XnC，2 、.，人)，而X. 0,X. 2,所以 Xn1Xn0即 Xn1Xn,即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。綜上所述，數(shù)列Xn是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。習(xí)題2-21.證明：limf(x)=a的充要條件是f(x)在xo處的左、右極限均存在且都等于 a.xX0證：先證充分性：即證假設(shè) limf(x)limf(x)a，那么limf(x)a.XX)XX)XX0由limf(x)a及l(fā)imf(x)a知：XXoXX00,10,當(dāng)0Xo X1時(shí),有|f(x)a20當(dāng)0XX)2時(shí),有f(x)ao取min1,2，那么當(dāng)0X) X或0x時(shí)，有f(x)a而OXoX 或Oxxo 就是0X Xo于是0, 0,當(dāng)0xx0 時(shí)，有f(x)a,所以 limf(x)a.xX3再證必要性：即假設(shè)limf(x)a，貝Ulimf(x)limf(x)a,- xxo時(shí)，有f(x)a,，于是 0, 0，當(dāng)0xox或0x冷時(shí)，有f(x)a.所以 limf(x)limf(x)aXX。 xx0綜上所述，limf(x)=a的充要條件是f(x)在x。處的左、右極限均存在且都等于 a.xx012.(1)利用極限的幾何意義確定 lim(x2+a)，和lim；x0 x01(2)設(shè)f(x)=e，x0,，問常數(shù)a為何值時(shí)，limf(x)存在.2 x0xa,x0,解：〔1〕因?yàn)閤無限接近于0時(shí)，x2a的值無限接近于a，故lim(x2a)a.11當(dāng)x從小于0的方向無限接近于0時(shí)，e*的值無限接近于0,故limex 0.x0〔2〕假設(shè)limf(x)存在，那么limf(x)limf(x)，x0 x0 x0limxxf(x)a知,0,x0就是由〔1〕知2limf(x)lim(xa)2lim(xa)a，1limf(x)lime，0x0 x0所以，當(dāng)a0時(shí)，limf(x)存在。x0 \ /3.利用極限的幾何意義說明 limsinx不存在.x解：因?yàn)楫?dāng)x 時(shí)，sinx的值在-1與1之間來回振擺動(dòng)，即sinx不無限接近某一定直線yA，亦即yf(x)不以直線yA為漸近線，所以limsinx不存在。x習(xí)題2-31.舉例說明：在某極限過程中，兩個(gè)無窮小量之商、兩個(gè)無窮大量之商、無窮小量與無窮大量之積都不一定是無窮小量，也不一定是無窮大量sinx解：例1：當(dāng)x0時(shí)，tanx,sinx都是無窮小量，但由 cosx〔當(dāng)x0時(shí),tanxcosx1〕不是無窮大量，也不是無窮小量。2x例2:當(dāng)x時(shí)，2x與x都是無窮大量，但 2不是無窮大量，也不是無窮x小量。例3:當(dāng)x0時(shí)，tanx是無窮小量，而cotx是無窮大量，但tanxcotx1不是無窮大量，也不是無窮小量。判斷以下命題是否正確：無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量；有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量；有界函數(shù)與無窮大量之積為無窮大量；有限個(gè)無窮小量之和為無窮小量；有限個(gè)無窮大量之和為無窮大量；y=xsinx在(-+^內(nèi)無界，但limxsinx^°?無窮大量的倒數(shù)都是無窮小量;無窮小量的倒數(shù)都是無窮大量解：〔1〕錯(cuò)誤，如第1題例1；§2.3定理3；§2.3定理3；0時(shí)，cotx為無窮大量，sinx是有界函數(shù)，cotxsinxcosx〔3〕錯(cuò)誤，例當(dāng)x不是無窮大量；〔4〕正確，見教材§2.3定理2；但它們之和-x0不TOC\o"1-5"\h\z1 1但它們之和-x0不〔5〕錯(cuò)誤，例如當(dāng)x0時(shí)，一與一都是無窮大量,x x是無窮大量；〔6丨正確，因?yàn)椤?丨正確，因?yàn)镸0,正整數(shù)k,使2kn+ M，從而2n n n n)內(nèi)無界,f(2kn+_) (2kn+—)sin(2kn+—)2kn+M，即yxsinx在)內(nèi)無界,2222又M0,無論X多么大，總存在正整數(shù)k,使kn>X，使f(2knkusin(k"0M,時(shí),xsinx不無限增大，即時(shí),xsinx不無限增大，即limxsinxx〔7〕正確，見教材§2.3定理5；〔8〕錯(cuò)誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。零是無窮小量，但其倒數(shù)無意義。指出以下函數(shù)哪些是該極限過程中的無窮小量，哪些是該極限過程中的無窮大量(1)f(x)=x12 4,x^2;(2)f(x)=lnx,xF+,xt1,x~+^；(4)f(x)=—-arctanx,xi2⑸f(x)=1—sinx,xi8;221解：〔1〕因?yàn)閘im(x4) 0,即x2時(shí)，x4是無窮小量，所以—一是無窮TOC\o"1-5"\h\zx2 x43小量，因而———也是無窮大量。x2 4〔2〕從f(x)Inx的圖像可以看出，limlnx,limlnx0,limlnxx0 x1 x所以，當(dāng)x0時(shí)，x 時(shí)，f(x)lnx是無窮大量；當(dāng)x1時(shí)，f(x)lnx是無窮小量。111〔3〕從f(x)e'的圖可以看出，lime' ,lime'0，x0 x01所以，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex是無窮大量；1當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex是無窮小量。n〔4〕tlim( arctanx)0,x2n當(dāng)x 時(shí)，f(x)arctanx是無窮小量。21〔5〕T當(dāng)x時(shí)，一是無窮小量，Sinx是有界函數(shù)，x1sinx是無窮小量。x〔6〕當(dāng)x1時(shí)，一2是無窮小量，.1 —是有界變量,x.x1:1211是無窮小量。x；x習(xí)題2-41?假設(shè)limf(x)存在,xxqlim[f(x)g(x)]1?假設(shè)limf(x)存在,xxqlim[f(x)g(x)]是否存在,xxq:f(x)±(x):存在，貝y由TOC\o"1-5"\h\zxxq xxq為什么？解：假設(shè)limf(x)存在，limg(x)不存在，那么xxq X冷lim[f(x)±(x)]不存在。因?yàn)榧僭O(shè)limxx) xx)g(x)f(x)[f(x) g(x)]或g(x)f(x)[f(x) g(x)]或g(x)[f(x) g(x)]f(x)以及極限的運(yùn)算法那么可得limg(x)，與題設(shè)矛盾。xxlxmosinXlim[f(x)g(x)]可能存在，也可能不存在，如：Xxo1o,lim不存在，但lim[f(x)g(x)]=limx°x 'x Xo1lxmosinXlim[f(x)g(x)]可能存在，也可能不存在，如：Xxo1o,lim不存在，但lim[f(x)g(x)]=limx°x 'x Xo1f(x)sinx,g(x)cosxlim[f(x)?(x)]limtanx不存在。xxo xn2?假設(shè)limf(x)和limg(x)均存在，且xxo xxo證:limf(x)=A，xxolimxxog(x)=B，那么X。1時(shí)，有min那么當(dāng)1f(x)sinx,g(x)—,那么x1.sinxxox貝Ulimsinxxnf(x)肴(x),f(x)，當(dāng)0x xo證明0存在。1lim 不存在，而x/cosx2limf(x)Nimg(x).xxo xxo分別存在1o, 2o,使得當(dāng)x xo時(shí)，有2時(shí)，有g(shù)(x)bf(x)g(x)從而AB2從而AB2，由的任意性推出AB即limf(x)limg(x).TOC\o"1-5"\h\zxxo xxo3.利用夾逼定理證明：假設(shè)a1,a2,…，am為m個(gè)正常數(shù)，那么limna；n 'n n八a2 am=A,其中A=max{a1,a2,…,am}.證：因?yàn)閚A7na；na2n…amQm*An，即 11limmnnAna：n n naa2 am m-A而limAnA,?AA，由夾逼定理得limna：a；…amA.n，TOC\o"1-5"\h\z4*.利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準(zhǔn)那么證明：假設(shè)X1='一?,X2’2 2,xn+1=J2xn〔n=1,2，…，那么limxn存在，并求該極限.n證：因?yàn)閤1 .2,x2 \22,有x2 x,今設(shè)Xk Xk1，那么Xk1 2Xk、.、2兀1 Xk，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意正整數(shù)n有Xn1Xn，即數(shù)列Xn單調(diào)遞增。又因?yàn)閤J2,今設(shè)Xk 2，那么XkiI牙"Xk T~22,由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意的正整數(shù)n有Xn2，即數(shù)列Xn有上界，由極限收斂準(zhǔn)那么知〞mXn存在。設(shè)limxnnb，對等式Xn1 2Xn兩邊取極限得b2b，即b2 2b，解得b2，b1〔由極限的保號(hào)性，舍去〕，所以limxnn2.5.求以下極限:(1)解:3n32n45n32nn1.n2n.n；112?,?12n113?,?1.刃3原式：=limn5-limnlimnlimn2 4nn1 1~~2~1⑵因?yàn)閚im(1 y)0,即當(dāng)n時(shí),量，由無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量得:〔3〕：lim(n2nn.n)limnn2⑵limn(4)limnlimn0，n2nn而limnlim(.n2nn)nlimn2n -n2nn1丄cosn；n22)n3n；(2)n1 3n廠羋是無窮小量，而cosn是有界變n21(1〒)cosn 0；n2lim—n(2)n13n1(limn1嚴(yán)昭33(1)nh|)3)n-3 3n1一1一n1,111(2),14[1(1)n1]1一1-4〔5〕lim——2—2nlim 2—lim一2n , 11n1(1)n13113nG)n1]331-33[1⑴limx(3)limx叫Hh3x29'6x3 42x43x2；(xh)3x3lXmi2x3x25x4,?sinxcosx⑷limx_cos2x2m3Hx(9)(11)01⑴limx(3)limx叫Hh3x29'6x3 42x43x2；(xh)3x3lXmi2x3x25x4,?sinxcosx⑷limx_cos2x2m3Hx(9)(11)01limx解:〔3〕x x2■x2 x；(x2sin1).xx(1)^7limx3(x3)(x(8)limxxsinxsinx(10)xm1(13)limx5x4)0,0(2x3)2x

lim

x12x5x0,即limx?2xx5x4limx6x342x43x2limx4~4limnx—2sinxcosxcos2x.n

sin2ncos-2cosna叫Hha叫Hh2XXX/V2X

/VX2hXmo2hXmoHhhX23Xlim_(2x_3)_9(丄_2)x3(x1)4(、、2x3 3)2(x3)(x12)(x3)(.2x33)

lim2(—J1—2)x32x332〔7〕limx1

2lim(x1)(xx1

1)…(xn1)101(X1)(x2n11)…(x1)n(n21);〔8〕；|imxsinxlimxxsinxxsinx1〔無窮小量一與有界函數(shù)sinx之積為無窮小量〕x’sinxlimx 1;x sinx1-x〔9〕lim(.x2xx2x)limx(x2x)(x2x)〔10〕〔11〕limxlimx(1101lim-x11x2x.x2x.x2x3-limxx1；2)(x1)xx2)(x2)?當(dāng)x0時(shí)，x2是無窮小量,2x1sin是有界函數(shù)，x2.1xsin2.1xsin它們之積xsin 是無窮小量，即limx0習(xí)題2-5求以下極限〔其中a>0,a^l為常數(shù)〕：sin5xtan2xlim ；2.limx03xx0sin5x5..1cosxxcos5xcos2x2xcotxxa1lim13sinx ；8.limx0x0x啊3limxln(1x)lnxxlimarcsinxx01.lim血x03xtan2xlimx0sin5x3.I^xcotx;6.limx9.moIKxcotx11.limx14.x叫l(wèi)im5止x035xsin2x

cos2xsin5x2xx22x12.limxx2arctanxx5lim血53x05x32 1 sin2x5xlimx05cos2x2xsin5x?lim」lim沁?lim旦25x0cos2x2x02x5x°sin5x5x叫\(zhòng)1cosxcosxlimx(—-limcosx0sinxx0.xsin—2xlimxcos01；xsin一—2xmoIK.x

sin2x±12cos5xcos2x2x2sinlimx叫IK7煦〔2〕23.7sinx2.3sinx2273xx227x.3xsin22.7

sinx2.3

sinx

2211；XX1X^11.4.7.10.13.解:2.3.4.5.6.cotx7.Iim(1 3sinx) I叫13sinx)Vlim(113sinx嚴(yán)e，lim03coscosxsinxlim(13sinx)3sinxx03cosx阿13sinx)cotx8?令uax，那么xloga(1u〕，當(dāng)limxlimU0loga(1U)limu01-loga(1u)u1limloga(1ufu01

logaeIna.x

a9.lim 一x0 xlim(ax1)(axx010.11.〔利用了第limxlimx1)limx0xa1

limx0xxa1limx08題結(jié)論InaInaIna〕；2lnln(1x)Inxlimxlimx11

In-x1—In(1xx

丄)xlim—limxxln(1丄〕0；xx32x2xlimx12xlimxx2x22x2xlim(1x'■'limxlimx2x22x2xe,limxx2x22xlim(1xx2i 1x2lim1limln(1^)xxxx xelimxIne〔111x2lim丄ln(1 )xx x x2ex0Inee13.令arcsinxu，那么xsinu，當(dāng)x0,u0,arcsinx ulim lim一11;X0xu0sinusinulimu0u14.令arctanxu，那么Xtanu，當(dāng)x0,u0,arctanxuu 1limlim limcosulim limcosu1x0Xu0tanuu0sinu u0sinuu0u習(xí)題2-6證明：假設(shè)當(dāng)XTX0時(shí)， 〔x〕TO，Hx〕T0且〔x〕工,那么當(dāng)XTxo時(shí)， 〔x〕?^x〕的TOC\o"1-5"\h\z充要條件是lim 兇=0.xx> 〔x〕證：先證充分性假設(shè)lim-(X) (X)=0,那么lim(1-(X))=0X X0(X)X X0(X)即1lim(X)0，即lim〔X〕1.Xx0 (x)XX(X)也即lim()1，所以當(dāng)XX。時(shí)，〔X〕~ (X).xx0 (x)再證必要性：假設(shè)當(dāng)xX0時(shí)，〔X〕-(X)，那么lim-〔X〕1,X X0(X)TOC\o"1-5"\h\z(x) (x) (x) (x) 1所以lim =lim(1 )=1lim 1 110.xx0 (x)xx0 (x)xx0(x)lim(x)xx0 (x)綜上所述，當(dāng)XTxo時(shí)，(x)?^x)的充要條件是lim(x) °)=o.X人 (x)2.假設(shè)Rx〕刊limRx)=0且lim(X)存在，證明lim(x)=0.X X0 x X0(X)XX0證:lim(X)(x)lim (x)lim(x)lim(X)(x)lim 00X x°XX。(x)Xx0(x)xx0x人(x)即lim(x) 0.xX0ab3.證明：假設(shè)當(dāng)xF時(shí)，f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)，那么f(x)g(x)=o(x)，其中a,b都大于0,并由此判斷當(dāng)xf0時(shí)，tanx—sinx是x的幾階無窮小量.證：???當(dāng)XF0時(shí)，f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)0)，叭嚟!f(x)g(x)?lim^^A(Ax0xa '于是：limf(x)g(x)x0xm0xaB(B0)lim卑X0x???當(dāng)xF時(shí)，f(x)g(x)O(xab),■/tanxsinxtanx(1cosx)而當(dāng)xf0時(shí)，tanxO(x),1cosxO(x2),由前面所證的結(jié)論知，tanx(1cosx)O(x3),所以，當(dāng)xf0時(shí),tanxsinx是x的3階無窮小量.4.利用等價(jià)無窮小量求以下極限：sinax(b工0)tanbx(1)(2)lim1coskxx0ln(1_x)；1，2 .1cosx；1x2 1limx0arctanx.;arcsinxaxbxee龍叫sinaxsinbx(?；lncos2x；;lncos3xsinax「ax解(1)lim limx0tanbxx(8)f(x)3100求xm0f(x).axa0bxb1coskx⑵叭—x0x(3)lim0叱一x)-x0■.1x1^(kx)2x叫h-k2.2lim-x0x22.4241__cosx⑷lim—x0 2V1x1cosx)、.1x2 1lim(12_ x0x、2Acosx1x2x、、2 .1cosx——1 x2 1lim一x02'1cosxarctanxx

(5)lim lim1.x0arcsinxx0xaxebxesinbx(eax 1)(ebx1)cab.ab2cosxsinx22axemoIK2cos_bxsin-_bx22xmebx12cos_bxsin―bx22asoc2moHXaxa-soc2moHXbxmo

HXa-soca-soc(7)lim皿空x0Incos3xIn1(cos2x1)limx01n1(cos3x1)1(2x)200—2那3x)21cos2xlimx01cos3x(8)由limQf(x)32

x100，及l(fā)imxx00知必有00f(x)3]lim0f(x)所以limf(x) 3.x0習(xí)題2-71.研究以下函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形：3x(1)f(x)=31,0x,1x1,x2;解：(1)limx0f(x)lim(x0x3???f(x)在x=0處右連續(xù)，又’?Timx1f(x)lim(3x)x1cos2xlimx0cos3x14x2lim2x09x惻f(x)3]0,⑵f(x)=x,1,x1)1f(0)0,x1,1.limx1limx1f(x)f(x)3lim(x1)x1limf(x) 2f(1)x1???f(x)在x=1處連續(xù)?又 ximmf(x)!叩3X)1f(2)?f(x)在x=2處連續(xù).又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù)，綜上所述,f(x)在［0,2］上連續(xù).圖形如下(2)丁!叫f(x)(2)丁!叫f(x)limxx1limf(x)lim11x1 x1limf(x)limf(x) 1f(1)x1 x1?f(x)在x=1處連續(xù).又limf(x)lim11x 1x 1limf(x)limx1x 1x 1故limx1f(x)limx1f(x)?f(x)在x=-1處間斷，x=-1是跳躍間斷點(diǎn)又f(x)在(,1),(1,1),(1,)顯然連續(xù).綜上所述函數(shù)f(x)在x=-1處間斷，在( ,1),(1,)上連續(xù).圖形如下?又有什么聯(lián)系？說明函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo?又有什么聯(lián)系？?試舉例說明?試舉例說明解:函數(shù)在其第二類間斷點(diǎn)處的左、右極限不一定均不存在x例如f(x) 1x0，x0是其的一個(gè)第二類間斷點(diǎn) ，但limf(x)lix0 xx0即在1limx0x4.求以下函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說明間斷點(diǎn)的類型:x0處左極限存在，而limf(x)x0，即在x0處右極限不存在?⑴f(x)=2xx2 :1；3x2⑵f(x)=sinxx；sinx⑶f(x)=(4)f(x)=⑸f(x)=.1

xsinx解：(1)由3x2 0得x=-1,x=-2limx1f(x)lim2(1x1x23x2(x1)(xlimx1(x1)(x1)2)lim^ 2x1x2limf(x)x2???x=-1是可去間斷點(diǎn)，x=-2是無窮間斷點(diǎn)?⑵由sinx=0得xkn,k為整數(shù)?sinxxi 0sinxlimf(x)limx0lim(i」2sinx(3)vf(x) (1(1limxk(k0)1x)x1x)xf(x)limx0f(x)lim(1x001x)，e,limx0lim(1x0?-x=0是跳躍間斷點(diǎn).⑷由x2-4=0得x=2,x=-2...x2lim2 x2x4lim—x2x2f(x)1x)xlinn[(1 (e1limx2x2J4?x=2是無窮間斷點(diǎn),x=-2是可去間斷點(diǎn).0,f(x)0,f(x)在x=0無定義(5)■/limf(x)limxsin—x0 x0 x故x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).5?5?適中選擇a值,使函數(shù)f(x)=x0在點(diǎn)x=0處連續(xù).x,x0解：???f(0)=a,limf(x)x0limf(x)x0lim(ax0limexx0要f(x)在x=0處連續(xù),必須limx0即a=1.6.設(shè)f(x)=limxx)a,1,f(x)limf(x)f(0).x0解：f(x)lima所以,f(x)在(7.求以下極限：..2xlim2 x2xx(1)x xa ax xa ax xa ax xa a,0)U(0,，討論f(x)的連續(xù)性.limaa2x1a2x100sgn(x)0)上連續(xù),x=0為跳躍間斷點(diǎn).⑵lim■,32xx2；x0冋ln(x-1)