物理奧賽例題及答案-對(duì)稱法

練習(xí)題五:對(duì)稱法A1、一半徑為R入黨半圓均勻薄片質(zhì)心的位置？求一厚度和密度都均勻的扇形薄片，其半徑為R,頂角為2A,求質(zhì)心？建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)半圓的對(duì)稱性得知xc=0:y^hnfypds :y^hnfypds -y2dyvc-" m m二-^2vJr2-v2dv恃33尿47?"位置為：(0,——)

-2{Ad&\\rdr建立如圖所示的坐標(biāo)系,根據(jù)扇形的對(duì)稱性得知xc=0-2{Ad&\\rdrvc=■Z[ydmfvc=■Zm=—FdO[rcos^dr$」dJq=—[cos6dd[^r2dr2 1-=——?smA^-R"AR1 32R.」=——smA3And因此，扇形的質(zhì)心比為(O^sin.4)A2、如圖7—6所示，長(zhǎng)為1的兩塊相同的均勻長(zhǎng)方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對(duì)于B磚伸出-，B磚放在水平桌面上，磚的端面與桌面平行。為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的5最大長(zhǎng)度是多少？解析：此題可用力矩平衡求解，但用對(duì)稱法求解，會(huì)直觀簡(jiǎn)潔。把A磚右端伸出B端的丄截5去，補(bǔ)在B磚的右端，則變成圖7—6—甲所示的對(duì)稱形狀。伸出最多時(shí)對(duì)稱軸應(yīng)恰好通過(guò)桌邊。圏7—6圖丁圏7—6圖丁一石甲所以：l—x=x+5解得B磚右端伸出桌面的最大長(zhǎng)度為：x=215

A3、如圖7—11所示，三根等長(zhǎng)的細(xì)絕緣棒連接成等邊三角形，A點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，B點(diǎn)與三角形共面且與A相對(duì)ac棒對(duì)稱，三棒帶有均勻分布的電荷，此時(shí)測(cè)得A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)各為UA、UB，現(xiàn)將aeA B棒取走，而ab、be棒的電荷分布不變，求這時(shí)A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)U，、U。A B解析：ab、be、ae三根棒中的電荷對(duì)稱分布，各自對(duì)A點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)相同，ae棒對(duì)B點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)和對(duì)A點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)相同，而ab、be棒對(duì)B點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)也相同。ab、be棒在B點(diǎn)的電勢(shì)為設(shè)ab、be、ae棒各自在A點(diǎn)的電勢(shì)為U1,U2。由對(duì)稱性知，aeab、be棒在B點(diǎn)的電勢(shì)為由電勢(shì)疊加原理得：U—3A=3U-U=BA23U1=U—3A=3U-U=BA2TOC\o"1-5"\h\z由①、②兩式得：U［=匕，U2= _ =」1 3 2 2將ae棒取走后，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為：2U；=ua—U,=2UaaA1 3AA4、電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)C與球心O的軸線，如圖所示，P、Q為CD軸線上在O點(diǎn)兩側(cè)，離O點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為UP，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)Uq。解析：可以設(shè)想一個(gè)均勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個(gè)完整的均勻帶電球面，根據(jù)對(duì)稱性來(lái)解。由對(duì)稱性可知，右半球在P點(diǎn)的電勢(shì)U，等于左半球在Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ。即：U，=UQp Q p Q所以有：UP+UQ=Up+u;而Up+U；正是兩個(gè)半球在P點(diǎn)的電勢(shì)，因?yàn)榍蛎婢鶆驇щ?，所以Up+U；=K絲pp ppR由此解得Q點(diǎn)的電勢(shì)：UQ=2Kq—Up。QRA5一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)線彎成如圖7—8所示的平面圖形，其中AB是半徑為R的半圓弧，AA'平行于BB',試求圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解析：如圖7一8甲所示，左上1/4圓弧內(nèi)的線元AL］與右下直線上的線元AL3具有角元A0對(duì)稱關(guān)系。AL］電荷與AL3電荷在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)AE］與AE3方向相反，若它們的大小也相等，則左上與右下線元電場(chǎng)強(qiáng)度成對(duì)抵消，可得圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零。圖7—& 圖？一劉卩設(shè)電荷線密度為常量入，因A0設(shè)電荷線密度為常量入，因A0很小,AL］電荷與AL3電荷可看做點(diǎn)電荷，其帶電量:當(dāng)AO很小時(shí),有：=3J2cos0-cos0又因?yàn)锳Ei=kR2，AE2=電=K豁.詈=K詈，與平的大小相同，且AEi與AE2方向相反。所以圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。A6、如圖7—15所示，兩塊豎直放置的平行金屬板A、B之間距離為d，兩板間電壓為U,在兩板間放一半徑為R的金屬球殼，球心到兩板的距離相等，C點(diǎn)為球殼上的一點(diǎn)，位置在垂直于兩板的球直徑的靠A板的一端，試求A板與點(diǎn)C間的電壓大小為多少？解析：將金屬球殼放在電場(chǎng)中達(dá)到靜電平衡后，球殼為等勢(shì)體，兩極板之間的電場(chǎng)由原來(lái)的勻強(qiáng)電場(chǎng)變?yōu)槿鐖D7—15甲所示的電場(chǎng)，這時(shí)C與A板間電勢(shì)差就不能用公式UAC=EdAC來(lái)計(jì)算。我們利用電場(chǎng)的對(duì)稱性求解。由于電場(chǎng)線和金屬球關(guān)于球心O對(duì)稱，所以A板與金屬板的電勢(shì)差UAO和金屬球與B板的電勢(shì)差uob相等，即：U=UAOOB又A、B兩板電勢(shì)差保持不變?yōu)閁，即：U+U=UAOOB由以上兩式解得：UAO=u=UAOOB2所以得A、C兩點(diǎn)間電勢(shì)差:UAC=UAO=UACAO2B1、沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個(gè)彈性小球A，拋出點(diǎn)離水平地面的高度為h，距離墻壁的水平距離為s，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點(diǎn)距墻壁的水平距離為2s，如圖7—1所示。求小球拋出時(shí)的初速度。

解析：因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞，故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對(duì)稱性，碰撞后小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與無(wú)墻壁阻擋時(shí)小球繼續(xù)前進(jìn)的軌跡相對(duì)稱，如圖7—1—甲所示，所以小球的運(yùn)動(dòng)可以轉(zhuǎn)換為平拋運(yùn)動(dòng)處理，效果上相當(dāng)于小球從A'點(diǎn)水平拋出所做的運(yùn)動(dòng)。x=vt根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：＜01y=尹22s—— 2s——I I圖7—1甲圖7—1因?yàn)閽伋鳇c(diǎn)到落地點(diǎn)的距離為2s—— 2s——I I圖7—1甲圖7—1mD1 2 3B2、如圖所示，完全相同的三塊木塊并排固定在水平面上，一顆子彈以速度v水平射入，若子彈在木塊中做勻減速運(yùn)動(dòng)，且穿過(guò)第三塊木塊后速度恰好為零，則子彈依次射入每塊木塊時(shí)的速度之比和穿過(guò)每塊木塊的時(shí)間之比。mD1 2 3解：子彈勻減速穿過(guò)三木塊，末速度為零，我們假設(shè)子彈從右向左作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).貝U：子彈依次穿過(guò)321三木塊所用時(shí)間之比：t3：t2：t1=1：V(2-1)：V(3-2)得：子彈依次穿過(guò)123三木塊所用時(shí)間之比：t1：t2：t3=V(3-2)：V(2-1)：1設(shè)子彈穿過(guò)第三木塊所用時(shí)間為1秒，則穿過(guò)3,2兩木塊時(shí)間為:t3+t2=V2秒，穿過(guò)3,2,1三木塊時(shí)間為：t3+t2+t1=V3秒貝U：子彈依次穿過(guò)3,2,1三木塊時(shí)速度之比為：1：V2:丁3所以，子彈依次穿過(guò)1,2,3三木塊時(shí)速度之比為：3: 2:1故答案為：丁3:V2:1；V(3—2)：V(2-1)：1B3(1)豎直上拋運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)的等價(jià)性;彈簧振子伸長(zhǎng)與壓縮運(yùn)動(dòng)過(guò)程的等價(jià)性;光線傳播過(guò)程的可逆性。

B4、如圖7—13所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，用長(zhǎng)為1的絕緣細(xì)線，拴住質(zhì)量為m、帶電量為q的小球，線的上端O固定，開始時(shí)將線和球拉成水平，松開后，小球由靜止開始向下擺動(dòng)，當(dāng)擺過(guò)60°角時(shí)，速度又變?yōu)榱?。?圖？一13屮A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差圖？一13屮電場(chǎng)強(qiáng)度多大？解析：(1)小球在A、B間擺動(dòng)，根據(jù)能量守恒定律有：￡pa=￡pb取A點(diǎn)為零勢(shì)能的參考點(diǎn)，即￡pB=0所以UBA=^U=—Nmg1AB 2q貝I」：EpB=—所以UBA=^U=—Nmg1AB 2q(2)小球在平衡位置的受力如圖7—13甲。根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件：有：qE=mgtan60°解得電場(chǎng)強(qiáng)度：E=”3mgq圖7—13三只獵犬的位置構(gòu)成三角B5、A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v,A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對(duì)方，它們同時(shí)起動(dòng)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可捕捉到獵物？解析圖7—13三只獵犬的位置構(gòu)成三角由題意作圖7—3，設(shè)頂點(diǎn)到中心的距離為s，則由已知條件得：s=$a3由運(yùn)動(dòng)合成與分解的知識(shí)可知，在旋轉(zhuǎn)的參考系中頂點(diǎn)向中心運(yùn)動(dòng)的速度為：V=vcos30°=——v2由此可知三角形收縮到中心的時(shí)間為：t=-=2av'3v(此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。)C1(1)如圖7—25所示的四面體框架由電阻同為R的6根電阻絲聯(lián)結(jié)而成，求任意兩個(gè)廠 R頂點(diǎn)A、B間的等效電阻Rab =~AB AB2(2)6個(gè)相同的電阻R構(gòu)成一個(gè)如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求AB間和AD間的等效電阻。

圖丁一器圖丁一器C2、電路如圖10所示，已知各電阻阻值均為R,求RAc、Rab、Rao各為多少歐?R二16RAB30C3(1)電路如圖7—21所示，每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間電阻的阻值為R,求A、B間總電阻RAB.答案：RAB答案：RAB=2R(2)(2)在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中,每一小段電阻均為R,試求AB之間的等效電阻RABoR12R/2A圖10OCD分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)于過(guò)R12R/2A圖10OCD分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)于過(guò)A、B對(duì)角線的對(duì)稱性，據(jù)等電勢(shì)點(diǎn)之間可以拆開也可以合并的思想簡(jiǎn)化電路即可。圖11可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根解法(a)：簡(jiǎn)化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將3、O兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn)短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得Rao=Rob=5R/14Rab=Rao+Rob=5R/7解法(b)：簡(jiǎn)化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的O點(diǎn)上下斷開，如圖11所示，最后不難算得Rab=5R/7C4、有7個(gè)電阻同為R的網(wǎng)絡(luò)如圖17所示，試求A、B間的等效電阻RaboABBBB圖17解：將Y網(wǎng)絡(luò)O-ABC變換成A網(wǎng)絡(luò)如圖18所示其中R=(RR+RR+RR)/R=5RABabbccacR尸(RR+RR+RR)/R=5R/2BC'abbcca，aR=(RR+RR+RR)/R=5RCA'abbcca，b這樣就是一個(gè)簡(jiǎn)單電路了，很容易算得R=7R/5AB求A、G之間的電阻是多少?C5、如圖求A、G之間的電阻是多少?分析：假設(shè)在A、G兩點(diǎn)之間加上電壓時(shí)，顯然由于對(duì)稱性D、B、E的電勢(shì)是相等的，C、F、H的電勢(shì)也是相等的，把這些點(diǎn)各自連起來(lái)，原電路就變成了如圖7所示的簡(jiǎn)單電路。CGDTF CGDTF —I I—解:由簡(jiǎn)化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得Rag=5R/6Ag(同學(xué)們想一想，若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡(jiǎn)化？)C6、限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖28所示。所有正六邊型每邊的電阻均為R0,求間位結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻。分析：假設(shè)有電流I自a電流入，向四面八方流到無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么必有I/3電流由a流向c,有I/6電流由c流向b.再假設(shè)有電流I由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有I/6電流由f流向c,有I/3電流由c流向b.解：將以上兩種情況結(jié)合，由電流疊加原理可知I=I/3+I/6=I/2(由a流向c)acIcb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)因此ab之間的等效電阻為Rb=Ub/I=(IR0+IbR0)/I=R0ababac0cb0 0C7(1)圖27所示是一個(gè)無(wú)窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻。分析：假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，向四面八方流到無(wú)窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對(duì)稱性，有I/4電流由A點(diǎn)流到B點(diǎn)。假設(shè)電流I經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到B點(diǎn)后流出，根據(jù)對(duì)稱性，同樣有I/4電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn)。解：從以上分析看出，AB段的電流便由兩個(gè)I/4疊加而成，為I/2因此UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2(2).如圖7—18所示是一個(gè)由電阻絲構(gòu)成的平面正方形無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)各小段電阻絲的電阻均為R時(shí)，A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻為R/2,今將A，B之間的一小段電阻絲換成電阻為R'的另Rab二端電阻絲，試問(wèn)調(diào)換后ARab二練習(xí)題一：整體法的補(bǔ)充：一根質(zhì)量為