初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)特殊平行四邊形PPT

1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題:什么樣的四邊形是平行四邊形？它有哪些性質(zhì)呢？平行四邊形的性質(zhì)：邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線(xiàn)：相交并相互平分.角：對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ).一、新課導(dǎo)入活動(dòng):觀(guān)察下列圖片，

找出你所熟悉的圖形.問(wèn)題1:觀(guān)察上圖中的這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么 樣的共同特征？平行四邊形菱形菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系1二、講授新課

菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，但平行四邊形不一定是菱形.問(wèn)題2:菱形與平行四邊形有什么關(guān)系？結(jié)論平行四邊形菱形集合平行四邊形集合（1）做一做請(qǐng)同學(xué)們用菱形紙片折一折，回答下列問(wèn)題：

（1）菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱(chēng) 軸？對(duì)稱(chēng)軸之間有什么位置關(guān)系？

（2）菱形中有哪些相等的線(xiàn)段？菱形的性質(zhì)21.菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸(對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BD).2.菱形四條邊都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直(AC⊥BD).ABCOD

（2）

發(fā)現(xiàn)菱形的性質(zhì)已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交 于點(diǎn)O.求證:(1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD.

（3）證明菱形的性質(zhì)證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD

=BC（菱形的對(duì)邊相等）.又∵AB=AD;

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD求證：菱形的四條邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直.

思考：菱形的一條對(duì)角線(xiàn)所分成的兩個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系？試證明AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒(méi)有的特殊性質(zhì).對(duì)稱(chēng)性：是軸對(duì)稱(chēng)圖形.邊：四條邊都相等.對(duì)角線(xiàn)：互相垂直.

角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ).邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線(xiàn)：相交并相互平分.菱形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)總結(jié)歸納1.如圖，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，圖中的等腰三角形有______________________________，直角三角形有_____________________________

，而且它們是________（“全等”或“不全等”）.

口答：2.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.內(nèi)角和為360°B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直

C.對(duì)邊平行

D.對(duì)角線(xiàn)互相平分△ABD,△BCD，△ABC,△ADC△ABO，△ADO,△BCO,△CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5cm,BD=8cm.則：（1）BO=____________;(2)AC=_____________.（4）典例精析BACDO4cm6cm

菱形中已知邊長(zhǎng)或?qū)蔷€(xiàn)，求相關(guān)長(zhǎng)度問(wèn)題，一般利用菱形的對(duì)角線(xiàn)垂直平分，再結(jié)合勾股定理解題.歸納例2：如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.ABCOD在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA===∴AC=2OA=

（菱形的對(duì)角線(xiàn)相互平分）.ABCOD

若菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°，那么60°角的兩邊與較短的對(duì)角線(xiàn)可構(gòu)成等邊三角形，且兩條對(duì)角線(xiàn)把菱形分成四個(gè)全等的含30°角的直角三角形.歸納1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直D.對(duì)角線(xiàn)相等2.如圖，菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是6和8，則此菱形的周長(zhǎng)是（）A.40B.32C.24D.20CD三、課堂練習(xí)3.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分別為BC，CD的中點(diǎn)，那么∠EAF的度數(shù)是（）A.75°B.60°C.45°D.30°B6.已知菱形的一條對(duì)角線(xiàn)與邊長(zhǎng)相等，則菱形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為_(kāi)____________________.

4.已知菱形的周長(zhǎng)是12cm，那么它的邊長(zhǎng)是______.5.菱形ABCD中∠ABC＝120°，則∠BAC＝_______.ABCOD330°60°、60°、120°、120°7.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD

相交于點(diǎn)O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長(zhǎng).ABCOD解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直).

∴∠AOB=90°.

∴BO= =3(cm).

∴BD=2BO=2×3=6(cm).8.已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．

ADCBFE菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)1.四邊相等2.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四、課堂小結(jié)見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)謝謝！五、課后作業(yè)1.1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)菱形的判定[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1.理解并掌握菱形的兩個(gè)判定方法.（重點(diǎn)）2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和

計(jì)算.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題：什么是菱形？菱形有哪些性質(zhì)？菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形的性質(zhì)：1.軸對(duì)稱(chēng)圖形. 2.四邊相等. 3.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分.ABCD導(dǎo)入新課動(dòng)手做一做思考：剪下來(lái)的是什么圖形？菱形的判定定理一

問(wèn)題：根據(jù)菱形的定義,鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外,你認(rèn)為還有什么條件可以判斷一個(gè)平行四邊形是菱形?1.小明的想法

平行四邊形的不少性質(zhì)定理與判定定理都是互逆命題.受此啟發(fā),我猜想:四邊相等的四邊形是菱形,對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形.講授新課2.小穎的想法

我覺(jué)得,對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形有可能是菱形.但“四邊相等的平行四邊形是菱形”實(shí)際上與“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”一樣.

3.你是怎么想的?你認(rèn)為小明的想法如何?猜想1:對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.猜想2:四邊相等的四邊形是菱形.通過(guò)探究，容易得到：對(duì)角線(xiàn)

互相垂直

的平行四邊形是菱形活動(dòng)1:

用一長(zhǎng)一短兩根木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周?chē)舷鹌そ?，做成一個(gè)四邊形．轉(zhuǎn)動(dòng)木條，木條端點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形嗎？什么時(shí)候變成菱形？驗(yàn)證活動(dòng)1平行四邊形菱形ABCOD已知：右圖中四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交 于點(diǎn)O

,AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn).

∴BA=BC.

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.

對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.定理證明猜想1定理運(yùn)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形,又∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.(對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形為菱形)ABCOD練一練√判斷對(duì)錯(cuò)：（1）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形。（）（2）對(duì)角線(xiàn)垂直且平分的四邊形是菱形。（）（3）對(duì)角線(xiàn)互相平分的平行四邊形是菱形。（）（4）對(duì)角線(xiàn)垂直且相等的四邊形是菱形。（）（5）有一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的四邊形是菱形。（）×××√小剛：分別以A、C為圓心,以大于

AC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩條 弧分別相較于點(diǎn)B

,

D,依次連接A、B、C、D四點(diǎn).活動(dòng)2：已知線(xiàn)段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對(duì)角線(xiàn)？CABD思考：1.你是怎么做的,你認(rèn)為小剛的作法對(duì)嗎？2.怎么驗(yàn)證四邊形ABCD是菱形？提示：AB=BC=CD=AD驗(yàn)證活動(dòng)2證明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD,

BC=AD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).ABCD已知：右圖中四邊形ABCD,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.定理證明猜想2定理的運(yùn)用格式∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形(四邊相等的四邊形為菱形).ABCD證明：在△AOB中. ∵AB=,

OA=2,OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.

∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形(對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形).例1：已知：如右圖,在□ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=,OA=2,OB=1.求證：□ABCD是菱形.ABCOD典例精析2例2：已知：如圖,在△ABC,

AD是角平分線(xiàn),點(diǎn)E、F分別在AB、

AD上,且AE=AC,EF

=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF證明：∵∠1=∠2,

又∵AE=AC,

∴△ACD≌

△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED, ∴四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.1四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線(xiàn)互相垂直對(duì)角線(xiàn)互相平分一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別平行或相等四邊形平行四邊形兩組對(duì)角分別相等歸納總結(jié)1.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（） A.AC⊥BD,AC與BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,AC

⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC

⊥BDABCODC當(dāng)堂練習(xí)2.如圖所示：在□ABCD中添加一個(gè)條件使其成為菱形：添加方式1：

.添加方式2：

.ABCODAB=BCAC⊥BD3.如圖,已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥FC.∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC,∴AO=OC.

∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.ABCDOE4.如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且AB=BD,DE∥AC,CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BD,

∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．5.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.BCADOEMN【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.再結(jié)合CE∥AB，可證得△ADO≌△CEO，從而根據(jù)由一組對(duì)邊平行且相等知，四邊形ADCE是平行四邊形.再結(jié)合∠AOD=90°可證得四邊形ADCE為菱形．證明：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線(xiàn)，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.

∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA）．∴AD=CE，OD=OE，∵OD=OE，OA=OC，∴四邊形ADCE是平行四邊形又∵∠AOD=90°，∴四邊形ADCE是菱形．ADOEM

6.已知線(xiàn)段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法做一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對(duì)角線(xiàn)嗎?ACBD有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.定理1：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.定理2：四邊相等的四邊形是菱形.菱形的判定定義定理課堂小結(jié)見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第3課時(shí)菱形的性質(zhì)、判定與其他知識(shí)的綜合[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1.能靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理及判定定理解決一

些相關(guān)問(wèn)題,并掌握菱形面積的求法。(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.經(jīng)歷菱形性質(zhì)定理及判定定理的應(yīng)用過(guò)程,體會(huì)

數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)1．平行四邊形的對(duì)邊

，對(duì)角

，對(duì)角線(xiàn)

．2．菱形具有

的一切性質(zhì)．3．菱形是

圖形也是

圖形．4．菱形的四條邊都

．5．菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相

．平行且相等相等互相平分平行四邊形

軸對(duì)稱(chēng)

中心對(duì)稱(chēng)

相等

垂直且平分復(fù)習(xí)引入導(dǎo)入新課6.平行四邊形的面積=_________.ABCDF底×高7.菱形是特殊的平行四邊形，如圖菱形ABCD的面積=_________.BC·DF思考：你能用菱形的對(duì)角線(xiàn)表示菱形的面積嗎？ABCOD菱形的面積一做一做：如圖，請(qǐng)用兩種方法表示菱形ABCD的面積.方法一：菱形ABCD的面積=底×高=CD·BE.ABCODE方法二：菱形ABCD的面積=4S△ABO

=4××AO×BO=×AC×BD.講授新課ABDCah(1)S=a·h.(2)S=AC·DB.O菱形的面積計(jì)算公式：總結(jié)歸納菱形的面積=

底×高=

對(duì)角線(xiàn)乘積的一半練一練如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，AC=4cm，BD=8cm，則這個(gè)菱形的面積是

cm2．

16例1如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m，∠ABC＝，沿著菱形的對(duì)角線(xiàn)修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積（結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2

）.BAOC60°典例精析BAOCD解：∵花壇ABCD是菱形，例2如圖所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.

典例精析解析：先利用菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度乘積的一半求得菱形的面積，又因?yàn)榱庑问翘厥獾钠叫兴倪呅?，其面積等于底乘高，也就是一邊長(zhǎng)與兩邊之間距離的乘積，從而求得兩對(duì)邊的距離．方法總結(jié)：菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度乘積的一半．解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，于是所以，S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.又因?yàn)榱庑蝺山M對(duì)邊的距離相等，所以，S菱形ABCD＝AB?h＝13h，即，13h＝120，得菱形的判定與性質(zhì)的綜合問(wèn)題二如圖兩張不等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是什么圖形？做一做平行四邊形如圖兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是什么圖形？為什么？菱形典例精析例3.如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為，∴菱形的面積為.方法總結(jié)：判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直，可以嘗試證出這個(gè)四邊形是平行四邊形，然后用定義法或判定定理1來(lái)證明菱形．1.已知菱形的周長(zhǎng)是24cm，那么它的邊長(zhǎng)是______.2.如圖，菱形ABCD中∠BAC＝120°，則∠BAC＝_______.6cm60°3.如圖，菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為10cm和24cm，則菱形的邊長(zhǎng)是（）CA.10cmB.24cmC.13cmD.17cmABCDO當(dāng)堂練習(xí)4.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線(xiàn)BD長(zhǎng)10cm.求：（1）對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度；（2）菱形ABCD的面積.ABCDE解:(1)

∵四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交 于點(diǎn)E. ∴∠AED=90°(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直),

DE=BD=

×10=5(cm).(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分)ABCDE∴

AE==12(cm).∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分）.(2)如圖，菱形ABCD的面積=BD×AC=120(cm2).5.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.ABCOD在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA===∴AC=2OA=

（菱形的對(duì)角線(xiàn)相互平分）.ABCOD課堂小結(jié)菱形的性質(zhì)與判定的綜合性問(wèn)題菱形的面積有關(guān)計(jì)算面積=底×高=兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時(shí)矩形的性質(zhì)[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1.了解矩形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；2.探索并證明矩形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.應(yīng)用矩形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題1:觀(guān)察下面的圖形,它們都是一種特殊的平行四邊形,請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)他們的特殊之處.問(wèn)題2：你能舉出生活中的一些此種圖形的實(shí)例嗎？導(dǎo)入新課矩形的定義一活動(dòng)：利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化,請(qǐng)同學(xué)們注意觀(guān)察.矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形講授新課

矩形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質(zhì),但平行四邊形不一定是矩形.歸納平行四邊形菱形集合平行四邊形集合矩形集合做一做：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片,折一折,觀(guān)察并思考.

（1）矩形是不是中心對(duì)稱(chēng)圖形?如果是,那么對(duì)稱(chēng)中心是什么？（2）矩形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形?如果是,那么對(duì)稱(chēng)軸有幾條?矩形的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性：

.對(duì)稱(chēng)軸：

.軸對(duì)稱(chēng)圖形2條矩形的性質(zhì)二活動(dòng)探究：準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位,測(cè)量身邊的矩形（如書(shū)本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長(zhǎng)度、四個(gè)角度數(shù)和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度及夾角度數(shù),并記錄測(cè)量結(jié)果.（2）根據(jù)測(cè)量的結(jié)果,猜想結(jié)論.當(dāng)矩形的大小不斷變化時(shí),

發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（3）通過(guò)測(cè)量、觀(guān)察和討論,你能得到矩形的特殊性質(zhì)嗎？ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測(cè)量（實(shí)物）（形象圖）填一填根據(jù)上面探究，猜想矩形的特殊性質(zhì)，并把結(jié)果填在下面橫線(xiàn)上.角：

.對(duì)角線(xiàn)：

.ABCD四個(gè)角為90°相等O證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形.

∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的對(duì)角線(xiàn))

AB∥DC(矩形的對(duì)邊平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.

又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.求證:矩形的四個(gè)角都是直角，且對(duì)角線(xiàn)相等.已知：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對(duì)角線(xiàn) AC與DB相較于點(diǎn)O.求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.證明猜想(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的對(duì)邊相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.1.矩形的四個(gè)角都是直角.2.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等.定理ABCDO歸納結(jié)論

矩形是特殊的平行四邊形,它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還有平行四邊形所沒(méi)有的特殊性質(zhì).對(duì)稱(chēng)性：是軸對(duì)稱(chēng)圖形.角：四條角都是90°.對(duì)角線(xiàn)：相等.

角：對(duì)角相等.邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線(xiàn)：相交并相互平分.矩形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)例1：如圖,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5

,求矩形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=

BD(矩形的對(duì)角線(xiàn)相等).

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD, (矩形對(duì)角線(xiàn)相互平分) ∴OA=OD.ABCDO典例精析ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個(gè)角都是直角）∴BD

=2AB

=

2×2.5=5.提示：∠AOD=120°→

∠AOB=60°→OA=OB=AB

→

AC=2OA=2×2.5=5.你還有其他解法嗎？例2：如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),AE=AD,DF⊥AE

,垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=

DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.已知：如右圖,四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)E.證明：在Rt△ABC中,BE=AC.ABCDE證明：∵四邊形ABCD是矩形. ∴AC=BD(矩形的對(duì)角線(xiàn)相等).

BE=

DE=

BD,AE=CE=

AC(矩形對(duì)角線(xiàn)相互平分), ∴BE=

AC.直角三角形斜邊上的中線(xiàn)上的性質(zhì)三直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.定理例3：如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，試說(shuō)明GF⊥DE.解：連接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.∴EG＝DG.又∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴GF⊥DE.解析：本題的已知條件中已經(jīng)有直角三角形，有斜邊上的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想到應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”這一定理．練一練：根據(jù)右圖填空已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線(xiàn).(1)若BD=3cm,則AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105歸納總結(jié)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)上的性質(zhì)常見(jiàn)類(lèi)型1.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC

,

BD交于點(diǎn)O,已知∠AOB=60°,

AC=16,則圖中長(zhǎng)度為8的線(xiàn)段有（）

A.2條 B.4條 C.5條 D.6條DABCDO60°當(dāng)堂練習(xí)2.如圖,四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,

BO=4,求四邊形ABED的面積.ABCDOE（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積= (4+8)×

= .ABCDOE平行四邊形1.矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形2.矩形四個(gè)角都是直角3.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且相互平分矩形性質(zhì)有一個(gè)角是直角轉(zhuǎn)換直角三角形等腰三角形課堂小結(jié)見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)矩形的判定[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1．理解并掌握矩形的判定方法．（重點(diǎn)）2．能應(yīng)用矩形判定解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題:什么是矩形？矩形有哪些性質(zhì)？ABCDO矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形.矩形性質(zhì)：①是軸對(duì)稱(chēng)圖形;

②四個(gè)角都是直角; ③對(duì)角線(xiàn)相等且平分.導(dǎo)入新課矩形判定的定理及其證明一活動(dòng)1:利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)時(shí),注意觀(guān)察兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度.問(wèn)題1:我們會(huì)看到對(duì)角線(xiàn)會(huì)隨著∠α變化而變化,當(dāng)兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等時(shí),平行四邊形有什么特征？α講授新課已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對(duì)角線(xiàn),

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=

DC,BC

=CB,AC

=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC

=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC

+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.

猜想:當(dāng)對(duì)角線(xiàn)相等時(shí)，該平行四邊形可能是矩形.ABCD

對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.定理活動(dòng)2:李芳同學(xué)通過(guò)畫(huà)“邊－直角、邊－直角、邊－直角、邊”這樣四步畫(huà)出一個(gè)四邊形.①②③④問(wèn)題2:李芳覺(jué)得按照以上步驟可以得到一個(gè)矩形？你認(rèn)為她的判斷正確嗎？如果正確,你能證明嗎？已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.猜想:當(dāng)三個(gè)角都是直角,該四邊形可能是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.定理例1：如圖,在□ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O

,△ABO是等邊三角形,

AB=4,求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形,∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.定理的應(yīng)用二典例精析ABCDO∴□ABCD是矩形（對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）

.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4× =ABCDO例2：如圖，在△ABC中,

AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD

,

EC.（1）求證：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.證明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.ADCEB(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四邊形ADCE是平行四邊形.而∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形.ADCEB1.如圖,直線(xiàn)EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的角平分線(xiàn),則四邊形ABCD是（）

A.菱形B.平行四邊形C.矩形 D.不能確定DEFMNQPABCC當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點(diǎn)E，四邊形CEBO是矩形嗎？說(shuō)出你的理由.DABCEO解：四邊形CEDO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵DE∥AC,CE∥BD，∴四邊形CEDO是平行四邊形.

∴四邊形CEDO是矩形（矩形的定義）.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.定理1：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明.矩形的判定定義定理課堂小結(jié)見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第3課時(shí)矩形的性質(zhì)、判定與其他知識(shí)的綜合[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1．回顧矩形的性質(zhì)及判定方法．2．矩形的性質(zhì)和判定方法與其他有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題1:矩形有哪些性質(zhì)？ABCDO①是軸對(duì)稱(chēng)圖形;

②四個(gè)角都是直角;③對(duì)角線(xiàn)相等且平分.導(dǎo)入新課①定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形②有一組鄰邊相等的矩形③有一個(gè)角是直角的菱形問(wèn)題2:矩形有判定方法有哪些？例1：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長(zhǎng).分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數(shù)，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，又由AD=6，即可求得AE的長(zhǎng).矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用典例精析講授新課解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴AE=AD=3.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.例2：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線(xiàn)，AN是△ABC外角∠CAM的平分線(xiàn)，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；（3）線(xiàn)段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線(xiàn)，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線(xiàn)，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四邊形ADCE為矩形；（1）求證：四邊形ADCE為矩形；分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線(xiàn)，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線(xiàn)，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得：四邊形ADCE為矩形；解：四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；分析：利用（1）中矩形的對(duì)角線(xiàn)相等推知：AC=DE；結(jié)合已知條件可以推知AB∥DE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形；解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四邊形ADCE為矩形，∴AF=CF，∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位線(xiàn)，∴DF∥AB，DF=AB（3）線(xiàn)段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.分析：由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線(xiàn)，即可得DF是△ABC的中位線(xiàn)，則可得DF∥AB，DF=AB.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三線(xiàn)合一以及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.例3：如圖，在△ABC中,

AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD

,

EC.（1）求證：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.證明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.ADCEB(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四邊形ADCE是平行四邊形.而∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形.ADCEB例4：如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF＝BD.連接BF.(1)BD與DC有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC；分析：根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”可得AF＝CD，再利用等量代換即可得BD＝CD；(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足AB＝AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四邊形AFBD是矩形．【方法總結(jié)】本題綜合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．分析：先利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知△ABC滿(mǎn)足的條件必須是AB＝AC.例5：如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線(xiàn)MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CM＝CN；(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值．典例精析(1)求證：CM＝CN；解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，由折疊知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值．解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，設(shè)DN＝x，則CM＝3x，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥BC于點(diǎn)K，∵DC⊥BC，∴NK∥DC，又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，由(1)知CN＝CM＝3x，∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，

當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關(guān)系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2B2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，AH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，若DF＝10cm，則EH等于(

)A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cmB3.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝____度．754．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為

．5.如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN∥AB，DN交AC于點(diǎn)M，MA＝MC.(1)求證：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：(1)證△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四邊形ADCN是平行四邊形，∴CD＝AN.

(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴?ADCN是矩形.

與全等三角形的結(jié)合矩形的性質(zhì)與判定課堂小結(jié)與平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合折疊問(wèn)題見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時(shí)正方形的性質(zhì)[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1.了解正方形的定義及其與平行四邊形的關(guān)系.2.探索并證明正方形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）3.應(yīng)用正方形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng):觀(guān)察這些圖片，你什么發(fā)現(xiàn)？正方形四條邊有什么關(guān)系？四個(gè)角呢？導(dǎo)入新課正方形的定義一活動(dòng)1：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開(kāi)，得到一個(gè)四邊形.問(wèn)題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？正方形講授新課活動(dòng)2：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀(guān)察這時(shí)菱形框架的形狀.問(wèn)題2：經(jīng)過(guò)變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.正方形正方形的性質(zhì)探究和證明二ABCD填一填：角：

邊：

對(duì)角線(xiàn)：

對(duì)稱(chēng)性：

四個(gè)角都是直角.四條邊相等.對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分.aaaa軸對(duì)稱(chēng)圖形（4條對(duì)稱(chēng)軸）.1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分.定理已知：如右圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=BC.（正方形的定義）

又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形,（矩形的定義） 正方形是菱形.(菱形的定義) ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.定理證明已知：如右圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手完成以上證明？提示：可以先通過(guò)證明來(lái)得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理來(lái)完成該題.想一想：正方形是矩形嗎？是菱形嗎？

矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四邊形、矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.歸納歸納結(jié)論正方形對(duì)角線(xiàn)邊邊對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)角對(duì)邊平行且相等相互平分相等四個(gè)角相等都是90°相互垂直且平分對(duì)角四邊相等對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)圖形（4條對(duì)稱(chēng)軸）例1：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.正方形性質(zhì)定理的應(yīng)用三典例精析解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFEABDFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.CM例2：如圖，已知四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O

,

MN∥AB

,且分別于OA

,

OB相交于點(diǎn)M

,

N.求證：（1）BM

=CN;（2）BM⊥CN.ABCDOMN證明：（1）∵M(jìn)N∥AB.∴∠1

=∠2

=∠3

=∠4

=

45°. ∴OM=ON. ∵OA=OB, ∴OA-OM=OB-ON,AM=BN.

又∵∠2=∠NBC,AB=BC. ∴△ABM≌△BCN(SAS)∴BM=CN.1234ABCDOMN(2)延長(zhǎng)CN交線(xiàn)段MB于點(diǎn)Q.∵△ABM≌△BCN.∴∠6=∠8.∵∠OCB=∠ABO=45°.∴∠5=∠7.又∵∠ONC=∠QNB.∴180°-∠5-∠ONC

=180°-∠7-∠QNB,∠CON=∠NQB=90°.∴BM⊥CN.Q57681．在正方形ABC中,∠ADB=

,∠DAC=

,

∠BOC=

.2.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第1題第2題45°當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，已知正方形ABCD

,以AB為邊向正方形外作等邊△ABE,連結(jié)DE

、

CE

,求∠DEC的度數(shù).DAEBC解：∵△ABE是等邊三角形.∴AB=AE=BE,

∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.

又∵四邊形ABCD是正方形.∴AD=BC=AE=BE,

∠DAB=∠ABC=90°.∴∠DAE=∠CBE=150°.∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.1.四個(gè)角都是直角2.四條邊都相等3.對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分正方形性質(zhì)定義有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（另：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形）課堂小結(jié)見(jiàn)本課時(shí)練習(xí)課后作業(yè)謝謝！1.3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)正方形的判定[義務(wù)教育教科書(shū)](BS)九上數(shù)學(xué)課件1．掌握正方形的判定方法．（重點(diǎn)）2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題1：什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角;

②四條邊都相等; ③對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分.O導(dǎo)入新課問(wèn)題2：你是如何判斷是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個(gè)角是直角四條邊相等定義三個(gè)判定定理定義對(duì)角線(xiàn)相等定義對(duì)角線(xiàn)垂直正方形判定的定理一動(dòng)一動(dòng)：過(guò)點(diǎn)A作射線(xiàn)AM的垂線(xiàn)AN,分別在AM

,

AN上取點(diǎn)B

,

D

,使AB=AD

,作DC∥AB

,

BC∥AD

,得四邊形ABCD.AMNBDC問(wèn)題1：上面所畫(huà)四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？講授新課想一想：將矩形紙片對(duì)折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開(kāi)后是個(gè)正方形？（1）（2）（3）（4）菱形問(wèn)題2：滿(mǎn)足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對(duì)角線(xiàn)互相垂直問(wèn)題3：滿(mǎn)足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角對(duì)角線(xiàn)相等1.對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.

2.對(duì)角線(xiàn)垂直的矩形是正方形.

3.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個(gè)直角對(duì)角線(xiàn)相等一組鄰邊相等對(duì)角線(xiàn)垂直例1：如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC

,

CE平分∠DCB

,

BF∥CE

,

CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.正方形判定定理的應(yīng)用二典例精析FABECD解析：先由兩組平行線(xiàn)得出四邊形BECF平行四邊形；再由一個(gè)直角，得出是矩形；最后由一組鄰邊相等可得正方形；45°45°FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC

=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC

=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC

=45°,∠ECB

=45°,∴∠BEC

=90°,∴菱形BECF是正方形.例2：已知：如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

,∠ABC的平分線(xiàn)于點(diǎn)D,

DE⊥BC于點(diǎn)E

,

DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形.證明:如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵DF⊥AC

,

DE⊥BC

,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四邊形CEDF是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）.∴AD平分∠BAC

,

DF⊥AC

,

DG⊥AB.∴DF=DG.同理可得DE=DG

,∴DE=DF.∴四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如圖，EG,FH過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF做一做：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH中點(diǎn)四邊形三總結(jié)歸納常見(jiàn)中點(diǎn)四邊形比較1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形2．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形DC當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對(duì)角線(xiàn)BD平分ABC

,

P