數(shù)學(xué)分析第八章課件微分的進(jìn)一步應(yīng)用

第八章微積分的進(jìn)一步應(yīng)用1優(yōu)秀課件，精彩無限！第八章微積分的進(jìn)一步應(yīng)用1優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：微分中值定理微商與微分研究函數(shù)（用二階微商判斷凹凸性）1、能否用高階微商研究函數(shù)？前面微分的應(yīng)用2、復(fù)雜的函數(shù)用簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表示多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式兩個(gè)不足1、精確度不高2、不能給出誤差估計(jì)§1泰勒公式2優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：微分中值定理微商與微分研究函數(shù)（用二階微商判斷能否用二次，三次，n次多項(xiàng)式近似？為了簡(jiǎn)單。先計(jì)（前面，

問題：給定一個(gè)函數(shù)要找一個(gè)在零點(diǎn)附近與近似的多項(xiàng)式要求與之前是比更高階的無窮小。怎樣找？3優(yōu)秀課件，精彩無限！能否用二次，三次，n次多項(xiàng)式近似？為了簡(jiǎn)單。先計(jì)（前面，問前面：這時(shí)

若用近似代替自然要求：------（2）

用次多項(xiàng)式-------（1），自然要求滿足：近似代替的具體形狀（系數(shù)）由于這些條件可以確定4優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：這時(shí)若用近似代替自然要求：------（2）定理8.1公式。在Taylor系數(shù)。的在稱為Taylor帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式有的為5優(yōu)秀課件，精彩無限！定理8.1公式。在Taylor系數(shù)。的在稱為Tay于是----代入（1）得由（2）得這就是我們要找的多項(xiàng)式

？問與相差多少即誤差是多少？是否是比更高階的無窮小？求各階導(dǎo)數(shù),取得-----對(duì)6優(yōu)秀課件，精彩無限！于是----代入（1）得由（2）得這就是我們要找的多項(xiàng)式例1，泰勤公式的一個(gè)應(yīng)用定理8.2定理8.3（唯一性）2.余項(xiàng)為其它形式的型余項(xiàng)：定性的描述誤差不能作誤差估計(jì)的定量描述能進(jìn)行誤差估計(jì)？能否給出誤差7優(yōu)秀課件，精彩無限！例1，泰勤公式的一個(gè)應(yīng)用定理8.22.余項(xiàng)為其它形式的型余（三種類型的余項(xiàng)）

定理8.4拉格朗日余項(xiàng)

.佩亞諾(Peano)余項(xiàng)

.麥克勞林（Maclaurin

）余項(xiàng)8優(yōu)秀課件，精彩無限?。ㄈN類型的余項(xiàng)）定理8.4拉格朗日余項(xiàng).佩亞諾(Pea3、初等函數(shù)的麥克勞林公式其中9優(yōu)秀課件，精彩無限！3、初等函數(shù)的麥克勞林公式其中9優(yōu)秀課件，精彩無限！其中10優(yōu)秀課件，精彩無限！其中10優(yōu)秀課件，精彩無限！類似可得其中11優(yōu)秀課件，精彩無限！類似可得其中11優(yōu)秀課件，精彩無限！其中12優(yōu)秀課件，精彩無限！其中12優(yōu)秀課件，精彩無限！已知其中類似可得13優(yōu)秀課件，精彩無限！已知其中類似可得13優(yōu)秀課件，精彩無限！§2微積分在幾何物理中的應(yīng)用

1.直角坐標(biāo)下平面圖形的面積由其中（）圍成的圖形的面積A用微元法和幾何意義來說明由軸和所圍成的面積A例1例214優(yōu)秀課件，精彩無限！§2微積分在幾何物理中的應(yīng)用1.直角坐標(biāo)下平面圖形的面積

所圍圖形的面積例1（兩種方法和公式）例2（重要變量替換）例3由例2例3引出公式由參數(shù)方程表示曲線的情形例3則若15優(yōu)秀課件，精彩無限！所圍圖形的面積例1（兩種方法和公式）例3則若15優(yōu)秀課件2．極坐標(biāo)下平面圖形的面積用定義推導(dǎo)公式：或用微分法與向徑所圍成的面積A為由曲線（扇形面積）rl例4求心臟線，所圍的面積解：16優(yōu)秀課件，精彩無限！2．極坐標(biāo)下平面圖形的面積用定義推導(dǎo)公式：或用微分法與向徑所3.已知截面面積的立體體積已知某立體介于平面和之間，其過點(diǎn)垂直于軸的平面所截的圖形面積為,則該立體的體積微元為從而體積為特別：旋轉(zhuǎn)體的體積：繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故由連續(xù)曲線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積，這時(shí)17優(yōu)秀課件，精彩無限！3.已知截面面積的立體體積已知某立體介于平面和之間，其過點(diǎn)4、曲線的弧長(zhǎng)：曲線：由方程

決定的構(gòu)成的平面點(diǎn)集1、。稱為平面曲線2、曲線的方向3、曲線是可求長(zhǎng)的?；￠L(zhǎng)。4、光滑曲線光滑曲線是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為定理3.118優(yōu)秀課件，精彩無限！4、曲線的弧長(zhǎng)：曲線：由方程決定的構(gòu)成的平面點(diǎn)集1、。稱注：在上述推導(dǎo)過程，遇到了必須處理和式的極限問題。但是和式不是和，通常把它改寫為一個(gè)和加上一個(gè)尾項(xiàng)再利用一致連續(xù)性證明此尾項(xiàng)為無窮小量，在定積分應(yīng)用中，證明見P258這是常用的一種典型方法。19優(yōu)秀課件，精彩無限！注：在上述推導(dǎo)過程，遇到了必須處理和式的極限問題。但是和式不下面考慮曲線段不是直接由參數(shù)方程給出的情形1、曲線由

給出2、曲線由極坐標(biāo)方程

則20優(yōu)秀課件，精彩無限！下面考慮曲線段不是直接由參數(shù)方程給出的情形1、曲線由給例、橢圓

解：其參數(shù)方程：于是其中于是橢圓弧長(zhǎng)為這個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)。的弧長(zhǎng)稱為橢圓離心率我們把這種類型的積分稱為“橢圓積分”21優(yōu)秀課件，精彩無限！例、橢圓解：其參數(shù)方程：于是其中于是橢圓弧長(zhǎng)為這個(gè)被積5.弧微分幾何解釋：P259：22優(yōu)秀課件，精彩無限！5.弧微分幾何解釋：P259：22優(yōu)秀課件，精彩無限！1）z曲線段的平均曲率：2）曲線在一點(diǎn)的曲率：3）曲率半徑4）曲率的計(jì)算公式：6.曲線的曲率（平面曲線）參數(shù)方程直角坐標(biāo)23優(yōu)秀課件，精彩無限！1）z曲線段的平均曲率：2）曲線在一點(diǎn)的曲率：3）曲率半徑6.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面積參數(shù)方程直角坐標(biāo)

7、平面曲線弧現(xiàn)平面圖形的質(zhì)心。8、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量24優(yōu)秀課件，精彩無限！6.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面積參數(shù)方程直角坐標(biāo)7、平小結(jié)泰勒公式麥克勞林公式微積分在幾何物理中的應(yīng)用25優(yōu)秀課件，精彩無限！小結(jié)泰勒公式25優(yōu)秀課件，精彩無限！習(xí)題1、求函數(shù)解:的三階泰勒公式在點(diǎn)26優(yōu)秀課件，精彩無限！習(xí)題1、求函數(shù)解:的三階泰勒公式在點(diǎn)26優(yōu)秀課件，精彩無其中27優(yōu)秀課件，精彩無限！其中27優(yōu)秀課件，精彩無限！已知2、

計(jì)算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立

,因此的麥克勞林公式為28優(yōu)秀課件，精彩無限！已知2、計(jì)算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:令3、利用泰勒公式求極限求：解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),29優(yōu)秀課件，精彩無限！3、利用泰勒公式求極限求：解:由于用洛必塔法則不方便!用4、

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.30優(yōu)秀課件，精彩無限！4、用近似公式計(jì)算cosx的近似值,使其精確到0.兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當(dāng)

時(shí),等式左邊為整數(shù);矛盾!5、

證明

e

為無理數(shù)

.

證:時(shí),當(dāng)故e

為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).31優(yōu)秀課件，精彩無限！兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e為有理數(shù)(p,q附加題

1、余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有32優(yōu)秀課件，精彩無限！附加題33優(yōu)秀課件，精彩無限！33優(yōu)秀課件，精彩無限！2、利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:34優(yōu)秀課件，精彩無限！2、利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:34優(yōu)秀課件，精計(jì)算解:原式3、35優(yōu)秀課件，精彩無限！計(jì)算解:原式3、35優(yōu)秀課件，精彩無限！由題設(shè)對(duì)有且4、證：36優(yōu)秀課件，精彩無限！由題設(shè)對(duì)有且4、證：36優(yōu)秀課件，精彩無限！下式減上式,得令37優(yōu)秀課件，精彩無限！下式減上式,得令37優(yōu)秀課件，精彩無限！作業(yè)P2461(1,3,5,7)P2462(2,4)P24711,12,1338優(yōu)秀課件，精彩無限！作業(yè)P2461(1,3,5,7)38優(yōu)秀課件，精彩無限第八章微積分的進(jìn)一步應(yīng)用39優(yōu)秀課件，精彩無限！第八章微積分的進(jìn)一步應(yīng)用1優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：微分中值定理微商與微分研究函數(shù)（用二階微商判斷凹凸性）1、能否用高階微商研究函數(shù)？前面微分的應(yīng)用2、復(fù)雜的函數(shù)用簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表示多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式兩個(gè)不足1、精確度不高2、不能給出誤差估計(jì)§1泰勒公式40優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：微分中值定理微商與微分研究函數(shù)（用二階微商判斷能否用二次，三次，n次多項(xiàng)式近似？為了簡(jiǎn)單。先計(jì)（前面，

問題：給定一個(gè)函數(shù)要找一個(gè)在零點(diǎn)附近與近似的多項(xiàng)式要求與之前是比更高階的無窮小。怎樣找？41優(yōu)秀課件，精彩無限！能否用二次，三次，n次多項(xiàng)式近似？為了簡(jiǎn)單。先計(jì)（前面，問前面：這時(shí)

若用近似代替自然要求：------（2）

用次多項(xiàng)式-------（1），自然要求滿足：近似代替的具體形狀（系數(shù)）由于這些條件可以確定42優(yōu)秀課件，精彩無限！前面：這時(shí)若用近似代替自然要求：------（2）定理8.1公式。在Taylor系數(shù)。的在稱為Taylor帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式有的為43優(yōu)秀課件，精彩無限！定理8.1公式。在Taylor系數(shù)。的在稱為Tay于是----代入（1）得由（2）得這就是我們要找的多項(xiàng)式

？問與相差多少即誤差是多少？是否是比更高階的無窮??？求各階導(dǎo)數(shù),取得-----對(duì)44優(yōu)秀課件，精彩無限！于是----代入（1）得由（2）得這就是我們要找的多項(xiàng)式例1，泰勤公式的一個(gè)應(yīng)用定理8.2定理8.3（唯一性）2.余項(xiàng)為其它形式的型余項(xiàng)：定性的描述誤差不能作誤差估計(jì)的定量描述能進(jìn)行誤差估計(jì)？能否給出誤差45優(yōu)秀課件，精彩無限！例1，泰勤公式的一個(gè)應(yīng)用定理8.22.余項(xiàng)為其它形式的型余（三種類型的余項(xiàng)）

定理8.4拉格朗日余項(xiàng)

.佩亞諾(Peano)余項(xiàng)

.麥克勞林（Maclaurin

）余項(xiàng)46優(yōu)秀課件，精彩無限！（三種類型的余項(xiàng)）定理8.4拉格朗日余項(xiàng).佩亞諾(Pea3、初等函數(shù)的麥克勞林公式其中47優(yōu)秀課件，精彩無限！3、初等函數(shù)的麥克勞林公式其中9優(yōu)秀課件，精彩無限！其中48優(yōu)秀課件，精彩無限！其中10優(yōu)秀課件，精彩無限！類似可得其中49優(yōu)秀課件，精彩無限！類似可得其中11優(yōu)秀課件，精彩無限！其中50優(yōu)秀課件，精彩無限！其中12優(yōu)秀課件，精彩無限！已知其中類似可得51優(yōu)秀課件，精彩無限！已知其中類似可得13優(yōu)秀課件，精彩無限！§2微積分在幾何物理中的應(yīng)用

1.直角坐標(biāo)下平面圖形的面積由其中（）圍成的圖形的面積A用微元法和幾何意義來說明由軸和所圍成的面積A例1例252優(yōu)秀課件，精彩無限！§2微積分在幾何物理中的應(yīng)用1.直角坐標(biāo)下平面圖形的面積

所圍圖形的面積例1（兩種方法和公式）例2（重要變量替換）例3由例2例3引出公式由參數(shù)方程表示曲線的情形例3則若53優(yōu)秀課件，精彩無限！所圍圖形的面積例1（兩種方法和公式）例3則若15優(yōu)秀課件2．極坐標(biāo)下平面圖形的面積用定義推導(dǎo)公式：或用微分法與向徑所圍成的面積A為由曲線（扇形面積）rl例4求心臟線，所圍的面積解：54優(yōu)秀課件，精彩無限！2．極坐標(biāo)下平面圖形的面積用定義推導(dǎo)公式：或用微分法與向徑所3.已知截面面積的立體體積已知某立體介于平面和之間，其過點(diǎn)垂直于軸的平面所截的圖形面積為,則該立體的體積微元為從而體積為特別：旋轉(zhuǎn)體的體積：繞軸旋轉(zhuǎn)一周，故由連續(xù)曲線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積，這時(shí)55優(yōu)秀課件，精彩無限！3.已知截面面積的立體體積已知某立體介于平面和之間，其過點(diǎn)4、曲線的弧長(zhǎng)：曲線：由方程

決定的構(gòu)成的平面點(diǎn)集1、。稱為平面曲線2、曲線的方向3、曲線是可求長(zhǎng)的?；￠L(zhǎng)。4、光滑曲線光滑曲線是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為定理3.156優(yōu)秀課件，精彩無限！4、曲線的弧長(zhǎng)：曲線：由方程決定的構(gòu)成的平面點(diǎn)集1、。稱注：在上述推導(dǎo)過程，遇到了必須處理和式的極限問題。但是和式不是和，通常把它改寫為一個(gè)和加上一個(gè)尾項(xiàng)再利用一致連續(xù)性證明此尾項(xiàng)為無窮小量，在定積分應(yīng)用中，證明見P258這是常用的一種典型方法。57優(yōu)秀課件，精彩無限！注：在上述推導(dǎo)過程，遇到了必須處理和式的極限問題。但是和式不下面考慮曲線段不是直接由參數(shù)方程給出的情形1、曲線由

給出2、曲線由極坐標(biāo)方程

則58優(yōu)秀課件，精彩無限！下面考慮曲線段不是直接由參數(shù)方程給出的情形1、曲線由給例、橢圓

解：其參數(shù)方程：于是其中于是橢圓弧長(zhǎng)為這個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)。的弧長(zhǎng)稱為橢圓離心率我們把這種類型的積分稱為“橢圓積分”59優(yōu)秀課件，精彩無限！例、橢圓解：其參數(shù)方程：于是其中于是橢圓弧長(zhǎng)為這個(gè)被積5.弧微分幾何解釋：P259：60優(yōu)秀課件，精彩無限！5.弧微分幾何解釋：P259：22優(yōu)秀課件，精彩無限！1）z曲線段的平均曲率：2）曲線在一點(diǎn)的曲率：3）曲率半徑4）曲率的計(jì)算公式：6.曲線的曲率（平面曲線）參數(shù)方程直角坐標(biāo)61優(yōu)秀課件，精彩無限！1）z曲線段的平均曲率：2）曲線在一點(diǎn)的曲率：3）曲率半徑6.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面積參數(shù)方程直角坐標(biāo)

7、平面曲線弧現(xiàn)平面圖形的質(zhì)心。8、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量62優(yōu)秀課件，精彩無限！6.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面積參數(shù)方程直角坐標(biāo)7、平小結(jié)泰勒公式麥克勞林公式微積分在幾何物理中的應(yīng)用63優(yōu)秀課件，精彩無限！小結(jié)泰勒公式25優(yōu)秀課件，精彩無限！習(xí)題1、求函數(shù)解:的三階泰勒公式在點(diǎn)64優(yōu)秀課件，精彩無限！習(xí)題1、求函數(shù)解:的三階泰勒公式在點(diǎn)26優(yōu)秀課件，精彩無其中65優(yōu)秀課件，精彩無限！其中27優(yōu)秀課件，精彩無限！已知2、

計(jì)算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立

,因此的麥克勞林公式為66優(yōu)秀課件，精彩無限！已知2、計(jì)算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:令3、利用泰勒公式求極限求：解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),67優(yōu)秀課件，精彩無限！3、利用泰勒公式求極限求：解:由于用洛必塔法則不方便!用4、

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,