行列式的定義課件

行列式determinant?行列式的定義?行列式的性質(zhì)?行列式的計算?行列式的展開行列式determinant?行列式的定義?1計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)2計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)3計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)acdb計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)acdb4計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)5計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)6計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdc計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdc7計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdccdab計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdccdab8(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcbc(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/29(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcbc平行四邊形面積=(a+c)(b+d)-2bc-cd-ab=ad-bc.(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/210平行四邊形的面積

=ad-bc(a,b)(c,d)平行四邊形的面積

=ad-bc(a,b)(c,d)112階行列式函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。將f

記作下述兩行兩列的形式：2階行列式函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。將f12函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。例通常我們把

f

記作下述兩行兩列的形式：函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。例通常我們把f記13二階行列式：主對角線副對角線元素例二階行列式：主對角線副對角線元素例14定義：三階行列式＋－定義：三階行列式＋－15例計算三階行列式的例子：例計算三階行列式的例子：16行列式的記號最早由英國數(shù)學(xué)家Cayley提出，發(fā)表于CambridgeMathematicalJournal,Vol.II(1841),p.267-271

行列式的記號最早由英國數(shù)學(xué)家Cayley提出，發(fā)表于Cam17行列式的定義課件18解例

計算三階行列式的例子：＋－解例計算三階行列式的例子：＋－19三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義20三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義21三階行列式的幾何意義(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)(c1,c2,c3)0平行6面體的體積=三階行列式的幾何意義(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)22補充：1階行列式1階行列式就是那個數(shù)本身，注意在1階行列式中的記號，|x|不是數(shù)x的絕對值。如果上下文中既有1階行列式，也有數(shù)的絕對值，那么我們在使用這些記號時就需要特別聲明該記號到底是行列式呢，還是絕對值，以避免混淆。通常我們并不會遇到1階行列式。如果沒有特別說明，|a|表示數(shù)a的絕對值。補充：1階行列式1階行列式就是那個數(shù)本身，注意在1階23n階行列式---定義n階行列式---定義24方陣的行列式設(shè)A為n階方陣，則可以對A取行列式，記作|A|或者det(A).例方陣的行列式設(shè)A為n階方陣，則可以對A取行列式，25矩陣與行列式是不同的數(shù)學(xué)對象。行列式是一個數(shù)，而矩陣是一個表。例矩陣與行列式是不同的數(shù)學(xué)對象。例26n階行列式---定義主對角線副對角線在沒有特別說明的情形下，對角線就是指主對角線。n階行列式---定義主對角線副對角線在沒有特別說明的情形下27記號記號28記號記號29n階行列式---定義第1行第2行一共n行。n階行列式---定義第1行第2行一共n行。30n階行列式---定義第1列第2列一共n列。n階行列式---定義第1列第2列一共n列。31特點：?n

階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占一半，即都是n!/2項。?每一項的n個元素取自不同行不同列，即每行每列必需且只需取一個元素。?

n

階行列式中有個元素。特點：?n階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、32?n

階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占n!/2.?2階行列式的表達(dá)式有2=2！項，1正1負(fù)。?3階行列式的表達(dá)式有6=3！項，3正3負(fù)。?4階行列式的表達(dá)式有24=4！項，12正12負(fù)。?n階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占33?n

階行列式是n!項的代數(shù)和。?n!有多大？?其中?n階行列式是n!項的代數(shù)和。?n!有多大？?34?n

階行列式是n!項的代數(shù)和。?當(dāng)n較大時，n!是一個非常大的數(shù)字，因而按照定義來計算行列式就要作很多次運算。行列式中每一項都是n個數(shù)的乘積，也就是說要做(n-1)次乘法，那么行列式的計算一般來說總共要做(n-1)×n!次乘法。?n階行列式是n!項的代數(shù)和。?當(dāng)n較大時，35?n

階行列式是n!項的代數(shù)和?物理學(xué)家認(rèn)為宇宙中粒子的總數(shù)大約為?按照定義直接計算一個100階的行列式是不可能的。?n階行列式是n!項的代數(shù)和?物理學(xué)家認(rèn)為宇宙中粒36n階行列式---定義是一個非負(fù)整數(shù)。是一個n階排列。其中為該n階排列的逆序數(shù)。n階行列式---定義是一個非負(fù)整數(shù)。是一個n階排列。其37n階行列式---排列n階排列總共有n!個。全部3階排列，共6個：123,231,312,132,321,213.全部4階排列，共24個：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.n階行列式---排列n階排列總共有n!個。38對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，

計算逆序數(shù)的方法：從排列的第一個數(shù)起，找出后面比此數(shù)小的數(shù)的個數(shù)，累加起來，則得逆序數(shù)。例

求132、436512的逆序數(shù)。解n階排列：排列與逆序大前小后叫逆序記為例排列(123…n)的逆序數(shù)為0.所有的數(shù)都按照自然順序排列著。全部的逆序為43,41,42,31,32,65,61,62,51,52.對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，39逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。排列與逆序逆序數(shù)為奇數(shù)的稱為奇排列。可見：交換任何兩個元素（對換）改變了排列的奇偶性。定理對換改變排列的奇偶性。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，132是奇排列，43651240定理當(dāng)n≥2時,在全部n!個n階排列中，奇偶排列的個數(shù)相同，都有n!/2個。證明：令X表示全部偶排列構(gòu)成的集合，Y表示全部奇排列構(gòu)成的集合。我們證明X,Y之間有一一對應(yīng)關(guān)系，于是二者元素個數(shù)相同。設(shè)i1i2i3…in為一個偶排列，將其映射為i2i1i3…in.這個映射實際上就是交換排列的前兩個元素。容易證明如下幾點：1，這個映射將偶排列映射為奇排列。2，單射。即不同的偶排列映射為不同的奇排列。3，滿射。即任意奇排列都是某個偶排列的像。定理當(dāng)n≥2時,在全部n!個n階排列中，奇41定理

若集合X,Y之間有一一對應(yīng)，則集合X,Y中包含的元素個數(shù)相等。某些原始社會的人，計數(shù)能力極為有限，最多可以數(shù)到3，超過3就只能稱為很多、太多、數(shù)不清了，等等。一個隨之而來的問題：如果兩個原始人要進(jìn)行一項交易，比如說，約定一頭牛換一匹馬，現(xiàn)在他們有很多牛和馬要相互交換，比如其中一個人有6頭牛，但這個原始人自己不知道到底是多少頭牛。那么，他們就不能數(shù)出6頭牛和6匹馬來作交易，因為他們不知道6這個數(shù)字。但是交易仍然可以進(jìn)行。他們在每一頭牛的前面放一匹馬，這樣6頭牛前就有了6匹馬。這些原始人不知道有幾頭牛、幾匹馬，但他們知道牛和馬的數(shù)目是相同的。事實上，這些原始人是在牛和馬之間建立了一個一一對應(yīng)關(guān)系，于是知道二者數(shù)目相同。定理若集合X,Y之間有一一對應(yīng)，則集合X,Y42

n

階行列式定義2階：3階：n階：1階：

n階行列式定義2階：3階：n階：1階：43幾種特殊行列式：例解

由定義，只有下三角形行列式幾種特殊行列式：例解由定義，只有下三角形行列式44上三角形行列式等于對角線上元素之乘積類似可得：特別：

對角形行列式等于對角線上元素之乘積OO上三角形行列式等于對角線上元素之乘積類似可得：特別：對角形45例例46例例47歷史上，對行列式的研究始于18世紀(jì)中葉，早于矩陣。矩陣(matrix)這個詞是英國數(shù)學(xué)家Sylvester最早使用的，他在1850年的一個學(xué)術(shù)刊物上最先使用了這個名詞。行列式和矩陣在19世紀(jì)受到很大的注意，有上千篇的關(guān)于這兩個課題的文章，現(xiàn)在成為了最基本的數(shù)學(xué)工具和語言之一。歷史上，對行列式的研究始于18世紀(jì)中葉，早于矩陣。48行列式的書寫方式并不是一開始就是我們現(xiàn)在看到的那樣。兩條豎線是由英國數(shù)學(xué)家Cayley在1841年引進(jìn)的。行列式的書寫方式并不是一開始就是我們現(xiàn)在看到的那樣49接行列式的性質(zhì)接行列式的性質(zhì)50行列式determinant?行列式的定義?行列式的性質(zhì)?行列式的計算?行列式的展開行列式determinant?行列式的定義?51計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)52計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)53計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)acdb計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)acdb54計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)55計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)56計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdc計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdc57計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdccdab計算平行四邊形的面積(a,b)(c,d)abdccdab58(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcbc(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/259(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/2ab/2bcbc平行四邊形面積=(a+c)(b+d)-2bc-cd-ab=ad-bc.(a,b)(c,d)abdccdabcd/2cd/2ab/260平行四邊形的面積

=ad-bc(a,b)(c,d)平行四邊形的面積

=ad-bc(a,b)(c,d)612階行列式函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。將f

記作下述兩行兩列的形式：2階行列式函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。將f62函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。例通常我們把

f

記作下述兩行兩列的形式：函數(shù)f定義為：函數(shù)f有4個變量。例通常我們把f記63二階行列式：主對角線副對角線元素例二階行列式：主對角線副對角線元素例64定義：三階行列式＋－定義：三階行列式＋－65例計算三階行列式的例子：例計算三階行列式的例子：66行列式的記號最早由英國數(shù)學(xué)家Cayley提出，發(fā)表于CambridgeMathematicalJournal,Vol.II(1841),p.267-271

行列式的記號最早由英國數(shù)學(xué)家Cayley提出，發(fā)表于Cam67行列式的定義課件68解例

計算三階行列式的例子：＋－解例計算三階行列式的例子：＋－69三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義70三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義71三階行列式的幾何意義(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)(c1,c2,c3)0平行6面體的體積=三階行列式的幾何意義(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)72補充：1階行列式1階行列式就是那個數(shù)本身，注意在1階行列式中的記號，|x|不是數(shù)x的絕對值。如果上下文中既有1階行列式，也有數(shù)的絕對值，那么我們在使用這些記號時就需要特別聲明該記號到底是行列式呢，還是絕對值，以避免混淆。通常我們并不會遇到1階行列式。如果沒有特別說明，|a|表示數(shù)a的絕對值。補充：1階行列式1階行列式就是那個數(shù)本身，注意在1階73n階行列式---定義n階行列式---定義74方陣的行列式設(shè)A為n階方陣，則可以對A取行列式，記作|A|或者det(A).例方陣的行列式設(shè)A為n階方陣，則可以對A取行列式，75矩陣與行列式是不同的數(shù)學(xué)對象。行列式是一個數(shù)，而矩陣是一個表。例矩陣與行列式是不同的數(shù)學(xué)對象。例76n階行列式---定義主對角線副對角線在沒有特別說明的情形下，對角線就是指主對角線。n階行列式---定義主對角線副對角線在沒有特別說明的情形下77記號記號78記號記號79n階行列式---定義第1行第2行一共n行。n階行列式---定義第1行第2行一共n行。80n階行列式---定義第1列第2列一共n列。n階行列式---定義第1列第2列一共n列。81特點：?n

階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占一半，即都是n!/2項。?每一項的n個元素取自不同行不同列，即每行每列必需且只需取一個元素。?

n

階行列式中有個元素。特點：?n階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、82?n

階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占n!/2.?2階行列式的表達(dá)式有2=2！項，1正1負(fù)。?3階行列式的表達(dá)式有6=3！項，3正3負(fù)。?4階行列式的表達(dá)式有24=4！項，12正12負(fù)。?n階行列式是n!項的代數(shù)和，是一個數(shù)，正、負(fù)項各占83?n

階行列式是n!項的代數(shù)和。?n!有多大？?其中?n階行列式是n!項的代數(shù)和。?n!有多大？?84?n

階行列式是n!項的代數(shù)和。?當(dāng)n較大時，n!是一個非常大的數(shù)字，因而按照定義來計算行列式就要作很多次運算。行列式中每一項都是n個數(shù)的乘積，也就是說要做(n-1)次乘法，那么行列式的計算一般來說總共要做(n-1)×n!次乘法。?n階行列式是n!項的代數(shù)和。?當(dāng)n較大時，85?n

階行列式是n!項的代數(shù)和?物理學(xué)家認(rèn)為宇宙中粒子的總數(shù)大約為?按照定義直接計算一個100階的行列式是不可能的。?n階行列式是n!項的代數(shù)和?物理學(xué)家認(rèn)為宇宙中粒86n階行列式---定義是一個非負(fù)整數(shù)。是一個n階排列。其中為該n階排列的逆序數(shù)。n階行列式---定義是一個非負(fù)整數(shù)。是一個n階排列。其87n階行列式---排列n階排列總共有n!個。全部3階排列，共6個：123,231,312,132,321,213.全部4階排列，共24個：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.n階行列式---排列n階排列總共有n!個。88對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，

計算逆序數(shù)的方法：從排列的第一個數(shù)起，找出后面比此數(shù)小的數(shù)的個數(shù)，累加起來，則得逆序數(shù)。例

求132、436512的逆序數(shù)。解n階排列：排列與逆序大前小后叫逆序記為例排列(123…n)的逆序數(shù)為0.所有的數(shù)都按照自然順序排列著。全部的逆序為43,41,42,31,32,65,61,62,51,52.對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，89逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。排列與逆序逆序數(shù)為奇數(shù)的稱為奇排列。可見：交換任何兩個元素（對換）改變了排列的奇偶性。定理對換改變排列的奇偶性。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，132是奇排列，43651290定理當(dāng)n≥2時,在全部n!個n階排列中，奇偶排列的個數(shù)相同，都有n!/2個。證明：令X表示全部偶排列構(gòu)成的集合，Y表示全部奇排列構(gòu)成的集合。我們證明X,Y之間有一一對應(yīng)關(guān)系，于是二者元素個數(shù)相同。設(shè)i1i2i3…in為一個偶排列，將其映射為i2i1i3…in.這個映射實際上就是交換排列的前兩個元素。容易證明如下幾點：1，這個映射將偶排列映射為奇排列。2，單射。即不同的偶排列映射為不同的奇排列。3，滿射。即任意奇排列都是某個偶排列的像。定理當(dāng)n≥2時,在全部