機械陀螺的力學基礎(chǔ)課件

慣性器件原理主講教師：黃衛(wèi)權(quán)哈爾濱工程大學慣性器件原理主講教師：黃衛(wèi)權(quán)1慣性系統(tǒng)的兩個基本的組成部件：陀螺加速度計慣性技術(shù)中的許多問題可視為剛體繞定點的轉(zhuǎn)動。所以，我們首先需要以力學知識為基礎(chǔ)，在運動學上給予適當?shù)拿枋?。慣性系統(tǒng)的兩個基本的組成部件：慣性技術(shù)中的許多問題可視為剛體2第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法32.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的自由度自由度：確定物體在某坐標系中位置所需的獨立坐標數(shù)目。一個物體在空間運動共有六個自由度，即3個位移自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度。2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.1 定點轉(zhuǎn)動剛體4陀螺的自由度：自轉(zhuǎn)軸可繞其自由旋轉(zhuǎn)的正交軸的數(shù)目。試給出下列陀螺的自由度數(shù)目：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法陀螺的自由度：自轉(zhuǎn)軸可繞其自由旋轉(zhuǎn)的正交軸的數(shù)目。2.1 定52.1.2 用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.2 用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置2.1 定點轉(zhuǎn)6xyzRijki,j,k為單位矢量由圖可得其中，空間矢量的分解2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法xyzRijki,j,k為單位矢量由圖可得其中，空間矢量7o空間坐標系，繞任一軸旋轉(zhuǎn)一個角度后到達新的位置，即有新的坐標系。將新坐標系三個坐標軸分別投影到原坐標系中的三軸上，即2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法o空間坐標系，繞任一軸旋轉(zhuǎn)一個角度后到達新的位置，8進而，可化為矩陣形式：即稱為由坐標系到坐標系的方向余弦矩陣。o2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法進而，可化為矩陣形式：即稱為由坐標系到坐標系9方向余弦矩陣是

，具有以下性質(zhì)：兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣:兩個方向余弦矩陣互為可逆矩陣:方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置陣與可逆陣相等:因而可以得到矩陣等式：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法正交矩陣方向余弦矩陣是，具有以下性質(zhì)：因而可以得到矩102.1.3 用歐拉角描述定點轉(zhuǎn)動剛體的位置剛體坐標系相對參考坐標系的角位置，可用三次獨立轉(zhuǎn)動的三個轉(zhuǎn)角來確定，即歐拉法。這三個獨立的轉(zhuǎn)角即歐拉角。第一種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.3 用歐拉角描述定點轉(zhuǎn)動剛體的位置剛體坐標系相對參考11最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具體表達式是2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具12第二種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法第二種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法13最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具體表達式是：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具14第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法152.2.1慣性參考坐標系（i系）慣性坐標系即滿足牛頓力學定律的坐標系，一般取地球球心為原點。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.1慣性參考坐標系（i系）慣性坐標系即滿足牛頓力學定162.2.2 地球坐標系（e系）原點在地心，z軸沿地軸方向，x、y軸在赤道平面內(nèi)，x軸指向零度子午線，y軸指向東經(jīng)90度。坐標系與地球固連。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.2 地球坐標系（e系）原點在地心，z軸沿地軸方向，x172.2.3 地理坐標系（t系）原點位于載體在地球變面的位置點（或在地表的投影點），x軸沿當?shù)刂笘|，y軸指北。載體相對地球的運動會使地理坐標系相對地球坐標系轉(zhuǎn)動，它包括兩部分：1.地理坐標系相對地球坐標系的轉(zhuǎn)動角速度；2.地球坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.3 地理坐標系（t系）原點位于載體在地球變面的位置點182.2.4 地平坐標系（n系）原點位于載體所在點，x、y軸在當?shù)厮矫鎯?nèi)，y軸沿載體航向方向，z軸沿當?shù)卮咕€向上。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.4 地平坐標系（n系）原點位于載體所在點，x、y軸在192.2.5 載體坐標系（b系）原點與載體質(zhì)心重合，x軸沿載體橫軸向右，y軸沿載體縱軸向前，z軸與之形成右手坐標系。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.5 載體坐標系（b系）原點與載體質(zhì)心重合，x軸沿載體202.2.5陀螺坐標系xyz

O2.2.5陀螺坐標系xyzO21第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法222.3.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩繞定點o轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)所有質(zhì)點動量對o點之矩的和，稱為剛體對該點的動量矩。表達式為又因為故，2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩繞定點o轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)所有質(zhì)點23剛體質(zhì)點的和可在動坐標系下分解為同樣地，動量矩在動坐標系下可分解為2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程剛體質(zhì)點的和可在動坐標系下分解為同樣地，動量矩在動坐24當動坐標系的各軸與剛體的慣性主軸重合時，剛體對各動坐標系的慣量積都等于零。此時，定點轉(zhuǎn)動剛體動量矩表達式可簡化為2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程當動坐標系的各軸與剛體的慣性主軸重合時，剛體對各動坐標系的慣252.3.2 動量矩定理將動量矩表達式對時間求一階導數(shù)，等式最右邊第一項為零。第二項表示外力對o點的力矩和，用表示。故有這就是矢量形式的動量矩定理：2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.2 動量矩定理將動量矩表達式對時間求一階導數(shù)，等式最26動量矩定理表明：剛體對任一定點的動量矩對時間的導數(shù)，等同于繞同一點作用于剛體的外力矩。注意：動量矩的變化率是以慣性坐標系為參考系動量矩定理另一種表達將看成動量矩矢量端點的速度，即于是，動量矩定理又可寫成定理表明：剛體對定點的動量矩的矢量速度，等于繞同一點作用于剛體的外力矩。2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程動量矩定理表明：剛體對任一定點的動量矩對時間的導數(shù)，等同于繞272.3.3 剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉動力學方程剛體動量矩在動坐標系中可表示為慣性系中動量矩對時間求導： 動坐標系中動量矩對時間求導：剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉方程，實際即為動量矩定理在動坐標系中的表述。2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.3 剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉動力學方程剛體動量矩在動坐標系28容易看出所以有最后可以寫出動量矩的絕對導數(shù)和相對導數(shù)的關(guān)系：根據(jù)動量矩定理，可得這就是矢量形式的歐拉動力學方程2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程容易看出所以有最后可以寫出動量矩的絕對導數(shù)和相對導數(shù)的關(guān)系：29沿動坐標系各軸投影，可以得到：動系各軸與剛體慣性主軸重合時，進一步得到：2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程沿動坐標系各軸投影，可以得到：動系各軸與剛體慣性主軸重合時，30第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法312.4.1 哥氏（Coriolis）加速度產(chǎn)生分析2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程1、使相對速度方向改變的加速度：2、使牽連速度方向改變的加速度：（向心加速度）3、使牽連速度大小改變的加速度：2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度產(chǎn)生分析2.4 哥322.4.1 哥氏（Coriolis）加速度哥氏加速度是由于相對運動和牽連運動相互影響而形成的哥氏加速度一般表達式：2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度哥氏加速度是由于相332.4.2 絕對加速度的表達式（哥氏定理）由圖，可以寫出位置矢量方程在慣性系中，對時間求一階導其中所以，2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程2.4.2 絕對加速度的表達式（哥氏定理）由圖，可以寫出位置34對時間再次求導，有又因為最終得到載體絕對加速度的表達式：2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程當動點的牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度應等于相對加速度、牽連加速度與哥氏加速度的矢量和：對時間再次求導，有又因為最終得到載體絕對加速度的表達式：2.352.4.3 比力方程慣導系統(tǒng)中，加速度是由加速度計測量的。加速度計實際測量點不是載體的加速度，而是比力。其中，a為載體的絕對加速度，G為引力加速度。2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程2.4.3 比力方程慣導系統(tǒng)中，加速度是由加速度計測量的。加36對于一般精度的慣導系統(tǒng)，比力方程可改寫為因為比力方程可進一步寫成其中，是有害加速度，導航計算需要的是載體相對地球的加速度。2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程對于一般精度的慣導系統(tǒng)，比力方程可改寫為因為比力方程可進一步37謝謝謝謝38慣性器件原理主講教師：黃衛(wèi)權(quán)哈爾濱工程大學慣性器件原理主講教師：黃衛(wèi)權(quán)39慣性系統(tǒng)的兩個基本的組成部件：陀螺加速度計慣性技術(shù)中的許多問題可視為剛體繞定點的轉(zhuǎn)動。所以，我們首先需要以力學知識為基礎(chǔ)，在運動學上給予適當?shù)拿枋?。慣性系統(tǒng)的兩個基本的組成部件：慣性技術(shù)中的許多問題可視為剛體40第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度與比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法412.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的自由度自由度：確定物體在某坐標系中位置所需的獨立坐標數(shù)目。一個物體在空間運動共有六個自由度，即3個位移自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度。2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.1 定點轉(zhuǎn)動剛體42陀螺的自由度：自轉(zhuǎn)軸可繞其自由旋轉(zhuǎn)的正交軸的數(shù)目。試給出下列陀螺的自由度數(shù)目：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法陀螺的自由度：自轉(zhuǎn)軸可繞其自由旋轉(zhuǎn)的正交軸的數(shù)目。2.1 定432.1.2 用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.2 用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置2.1 定點轉(zhuǎn)44xyzRijki,j,k為單位矢量由圖可得其中，空間矢量的分解2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法xyzRijki,j,k為單位矢量由圖可得其中，空間矢量45o空間坐標系，繞任一軸旋轉(zhuǎn)一個角度后到達新的位置，即有新的坐標系。將新坐標系三個坐標軸分別投影到原坐標系中的三軸上，即2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法o空間坐標系，繞任一軸旋轉(zhuǎn)一個角度后到達新的位置，46進而，可化為矩陣形式：即稱為由坐標系到坐標系的方向余弦矩陣。o2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法進而，可化為矩陣形式：即稱為由坐標系到坐標系47方向余弦矩陣是

，具有以下性質(zhì)：兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣:兩個方向余弦矩陣互為可逆矩陣:方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置陣與可逆陣相等:因而可以得到矩陣等式：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法正交矩陣方向余弦矩陣是，具有以下性質(zhì)：因而可以得到矩482.1.3 用歐拉角描述定點轉(zhuǎn)動剛體的位置剛體坐標系相對參考坐標系的角位置，可用三次獨立轉(zhuǎn)動的三個轉(zhuǎn)角來確定，即歐拉法。這三個獨立的轉(zhuǎn)角即歐拉角。第一種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.1.3 用歐拉角描述定點轉(zhuǎn)動剛體的位置剛體坐標系相對參考49最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具體表達式是2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具50第二種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法第二種歐拉角2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法51最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具體表達式是：2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法最終得到0系與r系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系：最早的轉(zhuǎn)動矩陣放在最右邊具52第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法532.2.1慣性參考坐標系（i系）慣性坐標系即滿足牛頓力學定律的坐標系，一般取地球球心為原點。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.1慣性參考坐標系（i系）慣性坐標系即滿足牛頓力學定542.2.2 地球坐標系（e系）原點在地心，z軸沿地軸方向，x、y軸在赤道平面內(nèi)，x軸指向零度子午線，y軸指向東經(jīng)90度。坐標系與地球固連。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.2 地球坐標系（e系）原點在地心，z軸沿地軸方向，x552.2.3 地理坐標系（t系）原點位于載體在地球變面的位置點（或在地表的投影點），x軸沿當?shù)刂笘|，y軸指北。載體相對地球的運動會使地理坐標系相對地球坐標系轉(zhuǎn)動，它包括兩部分：1.地理坐標系相對地球坐標系的轉(zhuǎn)動角速度；2.地球坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.3 地理坐標系（t系）原點位于載體在地球變面的位置點562.2.4 地平坐標系（n系）原點位于載體所在點，x、y軸在當?shù)厮矫鎯?nèi)，y軸沿載體航向方向，z軸沿當?shù)卮咕€向上。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.4 地平坐標系（n系）原點位于載體所在點，x、y軸在572.2.5 載體坐標系（b系）原點與載體質(zhì)心重合，x軸沿載體橫軸向右，y軸沿載體縱軸向前，z軸與之形成右手坐標系。2.2 慣性技術(shù)中常用坐標系2.2.5 載體坐標系（b系）原點與載體質(zhì)心重合，x軸沿載體582.2.5陀螺坐標系xyz

O2.2.5陀螺坐標系xyzO59第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.4 哥氏加速度、絕對加速度和比力方程第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法602.3.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩繞定點o轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)所有質(zhì)點動量對o點之矩的和，稱為剛體對該點的動量矩。表達式為又因為故，2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.1 定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩繞定點o轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)所有質(zhì)點61剛體質(zhì)點的和可在動坐標系下分解為同樣地，動量矩在動坐標系下可分解為2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程剛體質(zhì)點的和可在動坐標系下分解為同樣地，動量矩在動坐62當動坐標系的各軸與剛體的慣性主軸重合時，剛體對各動坐標系的慣量積都等于零。此時，定點轉(zhuǎn)動剛體動量矩表達式可簡化為2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程當動坐標系的各軸與剛體的慣性主軸重合時，剛體對各動坐標系的慣632.3.2 動量矩定理將動量矩表達式對時間求一階導數(shù)，等式最右邊第一項為零。第二項表示外力對o點的力矩和，用表示。故有這就是矢量形式的動量矩定理：2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.2 動量矩定理將動量矩表達式對時間求一階導數(shù)，等式最64動量矩定理表明：剛體對任一定點的動量矩對時間的導數(shù)，等同于繞同一點作用于剛體的外力矩。注意：動量矩的變化率是以慣性坐標系為參考系動量矩定理另一種表達將看成動量矩矢量端點的速度，即于是，動量矩定理又可寫成定理表明：剛體對定點的動量矩的矢量速度，等于繞同一點作用于剛體的外力矩。2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程動量矩定理表明：剛體對任一定點的動量矩對時間的導數(shù)，等同于繞652.3.3 剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉動力學方程剛體動量矩在動坐標系中可表示為慣性系中動量矩對時間求導： 動坐標系中動量矩對時間求導：剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉方程，實際即為動量矩定理在動坐標系中的表述。2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程2.3.3 剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉動力學方程剛體動量矩在動坐標系66容易看出所以有最后可以寫出動量矩的絕對導數(shù)和相對導數(shù)的關(guān)系：根據(jù)動量矩定理，可得這就是矢量形式的歐拉動力學方程2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程容易看出所以有最后可以寫出動量矩的絕對導數(shù)和相對導數(shù)的關(guān)系：67沿動坐標系各軸投影，可以得到：動系各軸與剛體慣性主軸重合時，進一步得到：2.3 動量矩、動量矩定理及歐拉動力學方程沿動坐標系各軸投影，可以得到：動系各軸與剛體慣性主軸重合時，68第二章力學基礎(chǔ)知識2.1 定點轉(zhuǎn)動剛體角位置的表示方法2.2 慣性技術(shù)中常用的坐標系2.3