華中師范大學(xué)量子力學(xué)

一、填空題（共10題，每題2分，共20分）若某種光的波長為，則其光子的能量，動量大小。戴維遜—革末實(shí)驗(yàn)主要表現(xiàn)出電子具。,t是歸一化的波函數(shù)，則,t2d表 ?與??,?i? 定性關(guān)系。厄米算符在自身表象矩陣。從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看氫原子中核外電子的運(yùn)動不再是圓軌道上的運(yùn)動而 是 電 子 云 的 圖 像 ， 電 子 云；設(shè)氫原子處于態(tài)r,,2R(r)Y

(,)

(r)Y

(,)，求氫原53 21 105

3

11子的角動量z分量的平均 證明電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)。1j1

1,j2

耦合的總角動量J 2共振躍遷意思。共振躍遷意思是 當(dāng)周期性微擾的頻率不等于兩能級間的玻爾頻率時(shí)，即

時(shí)，躍遷概率不大；當(dāng) mn

時(shí)，即吸收過程和輻射過程，其躍遷概率隨時(shí)間而增大，稱為共振躍遷。二、判斷題（共10題，每題1分，共10分）光電效應(yīng)證實(shí)了光的粒子性，康普頓效應(yīng)進(jìn)一步證實(shí)了光的粒子性。 若, , 是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性 1 2 nCCC（CC,

,為復(fù)常數(shù)）也是體系的1 1 2 2 n n 1 2 n一個(gè)可能狀態(tài)。不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)。因?yàn)樽鴺?biāo)與動量算符均是厄米算符，所以它們的乘積一定是厄米算符。若兩個(gè)力學(xué)量算符不對易，則它們一般沒有共同本征態(tài)。就不是守恒量。U(x)U(x數(shù)一定具有確定的宇稱。?必須是交換反對稱的，波色子體系的哈密頓算符?必須是交換對稱的。自由粒子所處的狀態(tài)只能是平面波。三、簡答題（5420分）簡述玻爾的量子論，并對它進(jìn)行簡單的評價(jià)。處于定態(tài)的體系具有哪些性質(zhì)。隧道效應(yīng)。躍遷的選擇定則及其理論依據(jù)。分波法的基本思想。四、證明題（共2題，每題8分，共16分）用狄拉克符號證明：厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)；厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非簡并情形（8分）1s，2p3d態(tài)的氫原子，分別在ra0

，4a0

和9a0

的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率最大。（提示：氫原子波函數(shù)

nlm

(r,,)Rnl

Ylm

(,)，其中2 r

1 r ra 3R (r) e a0 ， R (r) e 2a0 ，a 310 a3/2023/2

1 r2 r

21 (2a0

)3/20R (r)

3a0（8分）811532 a a81150 0五、計(jì)算題（共3題，共34分）質(zhì)量為的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)為0（10分）

(x)

ex2其中 ，2（ex2dx20

,1ex2dx0.75）202???的矩陣表示分別為z x y010 0 i 0L 101L i 0 i，求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，22x y 22010 0 i 0 Lx

和L 對角化（12分）y1 c 0 。已知某表象中哈密頓算符的矩陣形式Hc 3 0 。 0 0 c2 設(shè)c 1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級近似；（12分）備用：B卷一、簡答題（每小題4分，共36分）態(tài)疊加原理波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋及波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件全同性原理和泡利不相容原理量子力學(xué)基本假設(shè)是什么隧道效應(yīng)嗎？共振躍遷分波法的基本思想電子云二、計(jì)算題（共64分）x證明對易關(guān)系?,?ih?（8分）x設(shè) 氫 原 子 處 于 歸 一 化 狀 態(tài)3r,,1R 3

(,)

R

(,)，求其能量、角動量平方2 21 10

2 21 z（12分）3. 3. A,BA20,AAAABA（（1）B2B；（2）在B表象中求出A的矩陣。（共12分）4. 1 c 0 Hc 3 0 0 0 c2 設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級近似；求哈密頓算符的本征值的精確解；（15分）5.5.求0和0i的本征值和本征矢（8分）x210y2i0（5分）12

,

(1)

(S )

(S )S1 2 S

1/2

1/2 2zz分量的本征值為（6分）設(shè)算符在A表象的矩陣表示為F0 ，

為實(shí)常數(shù)，求（1）的ei 0 eA（2）FU（12分）

iE

iEt設(shè)粒子處于狀態(tài)

r,

re1

re2