高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件

高等數(shù)學(xué)第五版上冊同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編高等數(shù)學(xué)第五版上冊1本學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分第六章定積分的應(yīng)用第一章函數(shù)與極限本學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的2§1.1映射與函數(shù)§1.2數(shù)列的極限§1.3函數(shù)的極限§1.4無窮小與無窮大§1.5極限運(yùn)算法則§1.6極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限§1.7無窮小的比較…………….第一章函數(shù)與極限§1.1映射與函數(shù)第一章函數(shù)與極限31.集合概念所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.§1.1映射與函數(shù)有限集一集合1.集合概念§1.1映射與函數(shù)有限集一集合4數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)52.集合的運(yùn)算2.集合的運(yùn)算6高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件7高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件8注意A與B的直積AB{(x,y)xA且yB}例.RR={(x,y)xR且yR}表示xoy面上全體點的集合RR常記為R2注意A與B的直積AB{(x,y)xA且yB}例93.區(qū)間、鄰域區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,3.區(qū)間、鄰域區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩10稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間：區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間11鄰域:注意：鄰域總是開集.記作鄰域:注意：鄰域總是開集.記作12映射概念定義：設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作二映射f:X→Y映射概念二映射f:X→Y13X到Y(jié)上的映射(滿射)：若Rf=Y，即Y中任意元素y都是X中某元素的像單射：若對X中任意兩個不同元素x1≠x2，它們的像f(x1)≠f(x2)一一映射(雙射)：若映射f既是單射又是滿射X到Y(jié)上的映射(滿射)：若Rf=Y，即Y中任意元素y都是142.逆映射與復(fù)合映射g:Rf→X定義域：值域：2.逆映射與復(fù)合映射g:Rf→X定義域：值15g:X→Y1，f:Y2→Zg:X→Y1，f:Y2→Z161.函數(shù)的概念三函數(shù)例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n邊形Or)1.函數(shù)的概念三函數(shù)例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n17因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域18函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取19如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫多值函數(shù)．函數(shù)的表示法：公式法、圖形法、表格法．如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個20例1求y=arcsin的定義域和值域.解：函數(shù)的定義域為:得定義域為x<0且解：例2求的定義域.例1求y=arcsin的定義域和值域.解：函數(shù)的定義21定義域不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy-1-11112定義域不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy-1-1111222定義域相同而對應(yīng)規(guī)則不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy定義域相同而對應(yīng)規(guī)則不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy23在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).在自變量的不同變化范圍中,24值域{?1，0，1}.例符號函數(shù)定義域(?∞,+∞).?°°–11oxy值域{?1，0，1}.例符號函數(shù)定義域(?∞,+∞).?°25例取整函數(shù)(階梯曲線)y=[x]為不超過x的最大整數(shù)部分.如圖:注:分段函數(shù)雖有幾個式子,但它們合起來表示一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).實際上是取左端點.°??°?????°°°°°oxy12–1–1–2例取整函數(shù)(階梯曲線)y=[x]為不超過x的最26oyM-Mxy=f(x)D有界無界M-MyxoD(1)函數(shù)的有界性:例y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù),

y=x,y=x2在(-∞,+∞)上無界.2.函數(shù)的特性oyM-Mxy=f(x)D有界無界M-MyxoD(1)函數(shù)27(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。xyo(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo例：y=[x],y=e28(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x29奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x30(4)函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.在(無窮)多個正周期中若存在一個最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。(4)函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期31一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均為周期。一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.如:f(x)=c例設(shè)c0,x(-,+),f(x+c)=-f(x),證明f(x)為周期函數(shù)。證明:∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)∴f(x)為周期為2c的函數(shù).事實上,對任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,323.反函數(shù)DRDR習(xí)慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y=(x)=f1(x).定義設(shè)有函數(shù)y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若對于R中每一個y值,都可由方程f(x)=y確定唯一的x值:x=(y),稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),讀“f逆”。3.反函數(shù)DRDR習(xí)慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y33

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.34例1例2證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：的反函數(shù)是∴反函數(shù)是奇函數(shù)。例3解:當(dāng)x0時,y1,當(dāng)x<0時,y<1,x=y-1,例1例2證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)354.復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=(x),xD,其值域為(D)={u|u=(x),xD}U，則稱函數(shù)y=f[(x)]為x的復(fù)合函數(shù).代入法4.復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(u),uU，函數(shù)u=36注:不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.注:不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;復(fù)合函數(shù)可以375.初等函數(shù)定義:由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)5.初等函數(shù)定義:由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算38一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但例1所示的分段函數(shù)是初等函數(shù)。例1復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)那就是說，原函數(shù)與是同一個函數(shù)，因此它也是初等函數(shù)。一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但例1所示的分段函數(shù)是初等函39基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)402.指數(shù)函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)413.對數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)424.三角函數(shù)正弦函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)43余弦函數(shù)余弦函數(shù)44正切函數(shù)正切函數(shù)45余切函數(shù)余切函數(shù)46正割函數(shù)正割函數(shù)47余割函數(shù)余割函數(shù)485.反三角函數(shù)5.反三角函數(shù)49高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件50高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件51冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初52高等數(shù)學(xué)第五版上冊同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編高等數(shù)學(xué)第五版上冊53本學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分第六章定積分的應(yīng)用第一章函數(shù)與極限本學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的54§1.1映射與函數(shù)§1.2數(shù)列的極限§1.3函數(shù)的極限§1.4無窮小與無窮大§1.5極限運(yùn)算法則§1.6極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限§1.7無窮小的比較…………….第一章函數(shù)與極限§1.1映射與函數(shù)第一章函數(shù)與極限551.集合概念所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.§1.1映射與函數(shù)有限集一集合1.集合概念§1.1映射與函數(shù)有限集一集合56數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)572.集合的運(yùn)算2.集合的運(yùn)算58高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件59高等數(shù)學(xué)第五版上冊課件60注意A與B的直積AB{(x,y)xA且yB}例.RR={(x,y)xR且yR}表示xoy面上全體點的集合RR常記為R2注意A與B的直積AB{(x,y)xA且yB}例613.區(qū)間、鄰域區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,3.區(qū)間、鄰域區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩62稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間：區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間63鄰域:注意：鄰域總是開集.記作鄰域:注意：鄰域總是開集.記作64映射概念定義：設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作二映射f:X→Y映射概念二映射f:X→Y65X到Y(jié)上的映射(滿射)：若Rf=Y，即Y中任意元素y都是X中某元素的像單射：若對X中任意兩個不同元素x1≠x2，它們的像f(x1)≠f(x2)一一映射(雙射)：若映射f既是單射又是滿射X到Y(jié)上的映射(滿射)：若Rf=Y，即Y中任意元素y都是662.逆映射與復(fù)合映射g:Rf→X定義域：值域：2.逆映射與復(fù)合映射g:Rf→X定義域：值67g:X→Y1，f:Y2→Zg:X→Y1，f:Y2→Z681.函數(shù)的概念三函數(shù)例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n邊形Or)1.函數(shù)的概念三函數(shù)例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n69因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域70函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取71如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫多值函數(shù)．函數(shù)的表示法：公式法、圖形法、表格法．如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個72例1求y=arcsin的定義域和值域.解：函數(shù)的定義域為:得定義域為x<0且解：例2求的定義域.例1求y=arcsin的定義域和值域.解：函數(shù)的定義73定義域不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy-1-11112定義域不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy-1-1111274定義域相同而對應(yīng)規(guī)則不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy定義域相同而對應(yīng)規(guī)則不同的兩個不同的函數(shù)00xxyy75在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).在自變量的不同變化范圍中,76值域{?1，0，1}.例符號函數(shù)定義域(?∞,+∞).?°°–11oxy值域{?1，0，1}.例符號函數(shù)定義域(?∞,+∞).?°77例取整函數(shù)(階梯曲線)y=[x]為不超過x的最大整數(shù)部分.如圖:注:分段函數(shù)雖有幾個式子,但它們合起來表示一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).實際上是取左端點.°??°?????°°°°°oxy12–1–1–2例取整函數(shù)(階梯曲線)y=[x]為不超過x的最78oyM-Mxy=f(x)D有界無界M-MyxoD(1)函數(shù)的有界性:例y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù),

y=x,y=x2在(-∞,+∞)上無界.2.函數(shù)的特性oyM-Mxy=f(x)D有界無界M-MyxoD(1)函數(shù)79(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。xyo(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo例：y=[x],y=e80(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x81奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x82(4)函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.在(無窮)多個正周期中若存在一個最小數(shù)，此最小數(shù)稱為最小正周期。(4)函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期83一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均為周期。一般函數(shù)的周期均指最小正周期，但并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.如:f(x)=c例設(shè)c0,x(-,+),f(x+c)=-f(x),證明f(x)為周期函數(shù)。證明:∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)∴f(x)為周期為2c的函數(shù).事實上,對任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意一個周期函數(shù)有無窮多個周期，

如y=sinx，±2π,843.反函數(shù)DRDR習(xí)慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y=(x)=f1(x).定義設(shè)有函數(shù)y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若對于R中每一個y值,都可由方程f(x)=y確定唯一的x值:x=(y),稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),讀“f逆”。3.反函數(shù)DRDR習(xí)慣上,反函數(shù)x=(y)寫成y85

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.86例1例2證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：的反函