時(shí)代杯2018年江蘇中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題含答案

“時(shí)代杯”2018年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題(初中組)(2018年12月6日下午14:00~15:40)題號(hào)一一三總分1—1011—1819202122得分注意事項(xiàng):1.本試卷有22題共4頁(yè).滿分150分.考試時(shí)間100分鐘.2.用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上.3.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目及考號(hào)填寫清楚.、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的.每小題5分，共50分）已知mw0,下列計(jì)算正確的是().A.m2+m3=m5B.m2m3=m6C.m3+m2=mD.(m2)3=m5已知四個(gè)數(shù):A.202,—3,—4,5,任取其中兩個(gè)數(shù)相乘,所得積的最大值是（12設(shè)a+1與2（a—1）的值互為相反數(shù)，則10a的值是（D.).A.3B.已知四個(gè)數(shù):A.202,—3,—4,5,任取其中兩個(gè)數(shù)相乘,所得積的最大值是（12設(shè)a+1與2（a—1）的值互為相反數(shù)，則10a的值是（D.).A.3B.C.0D.（n+1）邊形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和大（).360°180°90°D.60°5.現(xiàn)有二。。八年奧運(yùn)會(huì)福娃卡片5張，卡片正面分別印著貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮5.妮，每張卡片大小、質(zhì)地和背面圖案均相同.機(jī)一次抽出兩張，則抽到卡片貝貝的概率是（若將卡片正面朝下反扣在桌面上，從中隨妮，每張卡片大小、質(zhì)地和背面圖案均相同.機(jī)一次抽出兩張，則抽到卡片貝貝的概率是（若將卡片正面朝下反扣在桌面上，從中隨）.“1A.5B.Thereisapieceofwork.finish.Ittakesthem(10如圖，已知。O的半徑為C.IttakesMr.Aalone20daystofinish,andMr.B30alonedaysto)daystoworktogethertofinishthework.1215505,直線l與。O相交，點(diǎn)O到直線l的距離為2,則。O上到直線l的距離為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（432)D.已知方程x2—“1A.5B.Thereisapieceofwork.finish.Ittakesthem(10如圖，已知。O的半徑為C.IttakesMr.Aalone20daystofinish,andMr.B30alonedaysto)daystoworktogethertofinishthework.1215505,直線l與。O相交，點(diǎn)O到直線l的距離為2,則。O上到直線l的距離為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（432)D.已知方程x2—21x-15=0,則此方程的所有實(shí)數(shù)根的和為（0-22D.l1).8O.（第7題）已知實(shí)數(shù)a,b同時(shí)滿足a2+b2-11=0,a2-5b-5=0,則11,-6—1b的值是（-610.如圖，在^ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn).已知/ACB=90°,BE=4,AD=7,則AB的長(zhǎng)為（10C.2.1353D.215).（第10題）二、填空題（每小題5分，共40分）11.某人使用計(jì)算器計(jì)算全班50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分時(shí)，如果錯(cuò)將其中的一個(gè).分.成績(jī)115分輸入為15分，那么由此求出的平均分比實(shí)際平均分低.分.x123y113112.已知函數(shù)yi與y2x123y113112.已知函數(shù)yi與y2分別由下表給出，那么滿足yi>y2的x的值是（第14題）.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上,AF//EC,4AFD與四邊形AECF的面積相等.已知AB=6cm,BC=3cm,則AF與CE之間的距離是cm.（第15題）.設(shè)直線11是函數(shù)y=2x—4的圖象，將直線11繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90彳導(dǎo)到直線12,則l2與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是..如圖，在^ABC中，已知/ABC=90°,D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DELAC,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,以BA、BE為鄰邊作長(zhǎng)方形BAFE,連接FD,若/C=60°,DF=^3cm,則BC的長(zhǎng)為cm..在△ABC中，已知/ACB=90o,/A=40o.若以點(diǎn)C為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)。角到△DEC的位置，使B點(diǎn)恰好落在邊DE上（如圖所示）.則0=o.E三、解答題（第19-21題每題14分，第22題18分，共60分）.已知關(guān)于x的方程（a—1）x2-4x-1+2a=0的一個(gè)根為x=3.（1）求a的值及方程的另一個(gè)根;（2）如果一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)都是這個(gè)方程的根，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)..設(shè)a>0,也—a是整數(shù),則a的值為.在圖示的運(yùn)算流程中，若輸出的數(shù)y=5,則輸入的數(shù)x=.h（米）與時(shí)間h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）.(1)已知恒等式x3-x2-x+1=(x—1)(x2+kx—1),求k的值;丫3_x2_x+1.(2)若x是整數(shù)，求證：x20一是整數(shù).x2—2x+1.甲、乙兩個(gè)水池同時(shí)放水，其水面高度（水面離池底的距離）之間的關(guān)系如圖所示（甲、乙兩個(gè)水池底面相同）（1）在哪一段時(shí)間內(nèi)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度?（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此得到什么結(jié)論？（3）當(dāng)一個(gè)池中的水先放完時(shí)，另一個(gè)池中水面的高度是多少米？.某人用一張面積為S的三角形紙片ABC,剪出一個(gè)平行四邊形DEFG.記DDEFG的面積為T,(1)如圖1,如果DDEFG的頂點(diǎn)都在△ABC的各邊上，D、G分別是AB、AC的中點(diǎn).求T(用S表示)；1(2)如圖2,如果DDEFG的頂點(diǎn)都在△ABC的各邊上，求證：Tw/s；1(3)對(duì)任意男得的DDEFG,TW2s還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.2008年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題一、選擇題1.C2.二、填空題一、選擇題1.C2.二、填空題（每小題B3.（每小題參考答案5分，共50分）D4.B5.C6.B7.B8.A5分，共40分）9.A10.C.11,212.213.1,4,514.10,或1115.1.216.417.118.80.(說(shuō)明：第13題答對(duì)1個(gè)名1分，對(duì)2個(gè)給2分；第14題答對(duì)1個(gè)給2分)三、解答題（第19題?第21題每題14分，第22題18分.共60分）TOC\o"1-5"\h\z19.解：（1）由題設(shè)，得9（a—1）-4X3-1+2a=0.解得a=2.3分所以原方程為x2-4x+3=0.它的另一個(gè)根是1.7分（2）由題設(shè)知，三角形的三邊中至少有兩條邊相等，則有下列兩種情形：①三邊相等，邊長(zhǎng)為1,1,1;或3,3,3.那么三角形的周長(zhǎng)是3或9;11分②僅有兩邊相等，因?yàn)?+1=2<3,所以三角形的邊長(zhǎng)只能為3,3,1.那么三角形的周長(zhǎng)是7.由①、②知，三角形的周長(zhǎng)可以是3,或7,或9.14分20.解：（1）20.解：（1）由題設(shè)知,23(x1)僅kx1)x2(k1)x2(k1)x1,1,1,從而有1.所以x3x2x1x3（k1）x2（k1）x1,從而有1.解得k=0.TOC\o"1-5"\h\z322⑵x「x1（x1）（x21）x1.x2x1（x1）因?yàn)閤是整數(shù)，所以x+1是整數(shù).321故x—/一口是整數(shù).14分x2x121.解：（1）由圖知，甲池的放水速度為82（米/小時(shí)）.41當(dāng)0wtw3時(shí)，乙池的放水速度為一（米/小時(shí)）；35當(dāng)3vtW5時(shí)，乙池的放水速度為一（米/小時(shí)）.2因?yàn)橐籿2,2V—,32所以3vtw5時(shí)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度.4分（2）甲池中水面高度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h=—2t+8.1c當(dāng)0wtw3時(shí)，乙池中水面圖度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h-16.3

TOC\o"1-5"\h\zh2t8,t-,5-28由1解得5所以P(—,—)，即P(1.2,5.-).h-t-.「28553h—.由此說(shuō)明，當(dāng)t=1.2小時(shí)時(shí)，兩池中水面的高度相等.10分（3）由圖知，甲池中的水4小時(shí)放完.525當(dāng)3vtW5時(shí)，乙池中水面圖度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h-1——.22?.5.一當(dāng)t=4時(shí)，h—,即h=2.5.2所以當(dāng)甲池中的水先放完時(shí)，乙池中水面的高度是2.5米.14分注：（1）中，答3<t<4,不扣分.22.解：(1)因?yàn)镈、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，1所以DG//BC,且DG=]BC.分別過(guò)點(diǎn)A、D作AM^BC,DNXBC.則/DNB=/AMB.11因?yàn)?B=/B,所以△DNBs^AMB.又因?yàn)镈B=^AB,所以DNn^AM.一1故T=2S.(2)過(guò)點(diǎn)G作GH//AB,交BC于點(diǎn)H,則/B=ZGHF.因?yàn)镈E=GF,DE//GF,所以/DEB=/GFH.從而有△DBE0^GHF.因?yàn)镈G//BC,所以/ADG=ZB,從而有△ADG^AABC.同理，△GHC^AABC.設(shè)AD=kAB(0vkv1),則Saadg=k2S.同理，Saghc=(1-k)2S.T=s—Smdg—$△GHC=[1—k2—(1—k)2]sc1c1=(—2k2+2k)S=-2[(k—2)2—4]s=-2（k—12s+拉圣.12分（3）分以下四種情形討論：第一種情形：如果剪得的平行四邊形有三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，第四個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上.①當(dāng)其中有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊時(shí)，如圖3-1所示，延長(zhǎng)DG交AC于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)G作GF7/GF,交BC于點(diǎn)F易知四邊形DEFG是平行四邊形，則TWS口defg，.…1由（2）知，S口defg,W^s.所以TWaS.②當(dāng)三點(diǎn)分別在三角形的三邊時(shí)，如圖3-2,過(guò)A點(diǎn)作-AH//DE交EF、DG于F'、G',問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（2）和圖3-1兩種情形，則

-T=S口DEF'G'+SDFGGF<2字ABH+'S^AHC=S.第二種情形：如果剪得的平行四邊形有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上.①當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊上時(shí)，如圖3-3,延長(zhǎng)DG與三角形的兩邊AB、AC分別交于點(diǎn)L、K,作平行四邊形MNKL.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（2）.則T=S口defgWSomnklW?S.②當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的兩邊上時(shí)，如圖3-4.延長(zhǎng)口￡、GF交BC于點(diǎn)K、M,過(guò)點(diǎn)K作KN//DG,交GM于點(diǎn)N.易得四邊形DKNG是平行四邊形，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖3-2的情形，則1T=S口DEFG<SaDKNGW]S.第三種情形：如果剪得的平行四邊形只有一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的的邊上，另三個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上.如圖3-5,延長(zhǎng)ED、BECFG分別交AB、AC于點(diǎn)K、M,過(guò)點(diǎn)K作KN//D