2018年北大等十三校聯(lián)考(北約)自主招生數(shù)學(xué)試卷

自主招生數(shù)學(xué)試卷1,已知平行四邊形兩邊長(zhǎng)分別是3和5,一條對(duì)角線(xiàn)是丘求另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度.P2求過(guò)拋物線(xiàn)尸=22”1）=-5/+2/+3兩交點(diǎn)的直線(xiàn)方程…3等差數(shù)列4"滿(mǎn)足的=-13,%=3s這個(gè)數(shù)列的前口項(xiàng)和為“馥列%中哪一項(xiàng)最??？并求出這個(gè)最小值.心.在44^曲，如果b+832c證明/CW6CT-.是否存在匹個(gè)正實(shí)數(shù)，它們兩兩乘積分別是2,3.5,邑1口，16*曰設(shè)G和5是平面上兩個(gè)不重合的固定圓周.設(shè)C是該平面上的一個(gè)動(dòng)園，它與5和心均相切.間；C的扇I心軌跡是何種曲線(xiàn)？證明你的結(jié)論.m.求卜-1|+疝-1|++|201lx-1|的最小值。4第7題解答，由絕對(duì)值的幾何意義聯(lián)想到菠璃的最小值，如|汗-工|+|工一切的最小值應(yīng)該是在數(shù)軸上4步兩點(diǎn)之間取得，為|］-5卜所以將『0）整理為，11111Ix-l|+1x--|+|x--|+|%--|+|X--I+Ix--|+TOC\o"1-5"\h\z*"+1x—1+1x—1+-rr+1x_2+3++2011=1006x201則/O）可以理解為工至“這1006x2011個(gè)點(diǎn)的距離之和.從兩端開(kāi)始向中間靠攏，每?jī)蓚€(gè)絕對(duì)值和的最小值都是在相應(yīng)的零點(diǎn)之間取得,而且范圍是包含關(guān)系，比如|“1|+|彳,|的最小值是在彳［’,1］上取得，/1,20112011|X-1|+1*媼I的最小值是在Xw［右,；］,所以」（Q的最小值應(yīng)該在正中間的某個(gè)零點(diǎn)或相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間取得.由—=503x2011可知取得最小值的范圍在第503x2011位零點(diǎn)和第503x2011+1個(gè)零點(diǎn)之間（這兩個(gè)零點(diǎn)也肯相等）"由叱也4503x2011宜得總W1421,所以第503x2011個(gè)零點(diǎn)和第503M2011+1個(gè)零2點(diǎn)均為，，則丁（工）

1422=/(1422)=592043711當(dāng)加時(shí)，解：由零點(diǎn)分區(qū)間法討論去絕對(duì)值:當(dāng)加時(shí)，/(x)=(l-x)+(l-2x)+-+(l-2011x)f斜率與=_1-2—……-2011當(dāng)代（熹焉時(shí)./(x)=Q-x)+Q-2x)+…+(l-201(H)+(201lx-I),斜率&-一1一2一……-2010+2011.當(dāng)X"麻，而寸時(shí)’/(x)=(1-x)+??+(1-2009x)+(2010x-l)+(2011x-1),斜率用=-1一2-……-2009+2010+2011./(。=(1)+.+(lfIr)+Km+!)IJ+…+(20111)斜率％2_=_1-2斜率％2_=_1-2-網(wǎng)+(xn+l)++2011./(r)=(l-x)+--+(l-(w-l)r)+(mr-l)+-4-(201lx-1)斜率%.--l-2-(w-l)+m++2011—f'O,即

0-l-2-m+(m+l)+……+2011<0一1一2—(川-1)+根—f'O,即

0由于泓WW,解得由于泓WW,解得m=1422.所以當(dāng)小焉，焉］時(shí),/(x)=(l-r)+-+(l-1422r)+(1