復(fù)變函數(shù)考試題及答案

復(fù)變函數(shù)考試題及答案【篇一：《復(fù)變函數(shù)》考試試題與答案各種總結(jié)】xt>一、判斷題（20分）：若f(z在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z在z0解析.(23.{zn}收斂，則{rezn}{imzn}與都收斂.()若f(z在區(qū)域d內(nèi)解析，且f(z)0則f(z)?（常數(shù)）.()若函數(shù)f(z在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).()若z?z0limf(z)

z0是f(z的m階零點(diǎn)，則z0是1/f()

m階極點(diǎn).()7.存在且有限，則z0是函數(shù)f(z的)可去奇點(diǎn).()8若函數(shù)f(z在是區(qū)域d內(nèi)的單葉函數(shù)，則f(z)?0(?z?d).(9.ddc?cf(z)dz?0.()

f(z

區(qū)域d內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z在區(qū)域d（20dz? （n）、?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? .函數(shù)sinz的周期為 f(z)?設(shè)?1z2?1f(zn冪級(jí)數(shù)?nzn?0

孤立奇點(diǎn)有 .的收斂半徑為 .若函數(shù)f(z在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是 .若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，則 limezres(n,0)?z8. nsinz9.的孤立奇點(diǎn)為 zlimf(z)? zf()極點(diǎn)，則z?z00（401f(z)?(z?1)(z?)1

求f(z在d?{z:0?|z|?1內(nèi)的羅朗展式.dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3.設(shè)，其中c?{z:|z|?3，試求w?4.求復(fù)數(shù)z?1z?1的實(shí)部與虛部.四.證明題:f(z)?

區(qū)域d內(nèi)解析.證明：如果|f(z

d內(nèi)為常數(shù)，那么它在d內(nèi)在割去線段0?rez?1的z平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支,并求出支割線0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案一．判斷題?2?in?11.?；2.；3.2k，(k?z；4.0n?1?6.整函數(shù)；7.?；8.三．計(jì)算題.1.解因?yàn)??z?1,所以0?z?1?1?zn111n??z??().f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021

5.1；9.(n?1)!

10.?.?2?2z??2?lim1??1,coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1.coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0.z?2cosz?2?i(re??z??z?222?(?)?3??7??1,zz?3f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).z?a?bi,則w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2.2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b,.)?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故re(四.證明題.d內(nèi)f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0

f(z)?u?iv,兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得??uuy?vvy?0(1)(2)dux?vy,uy??vx.代入變?yōu)?uux?vvx?022ux(u?v)vx?0.?vux?uvx?01)若u?v?0,則f(z)?0為常數(shù).vx?0,(1)u?c1,v?c2.為常數(shù)).22f(z)?c1?ic22.證明f(z)?

ux?0,uy?0,vy?0.z?0,10?rez?1的z01zz?0,1z?

幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值,于是可認(rèn)為該分2?i?20,z??1f(?1)??.2《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）一.判斷題.（20分）若函數(shù)f(z)?u(x,y)?iv(xy)d內(nèi)連續(xù)，則u(x,y與v(x,y都在cos

sin

f(z

z0解析，則f(z在z0連續(xù).().界整函數(shù)必為常數(shù).().z0是函數(shù)f()z?z0

定不存在.()6.若函數(shù)f(z在z0可導(dǎo)，則f(z在z0解析.()dc?f(z)dz?0.c()

f(z在區(qū)域d內(nèi)8.{imzn}都收斂.()d內(nèi)解析，則|f(z|在d內(nèi)解析.(111

9.f(zf(zn?12n2n()二.填空題.(20分)設(shè)z??i，則|z|? ,argz? ,? z?1?i

f()?,n?1,2,....設(shè)limf(z)? .3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n? （n）冪級(jí)數(shù)?nzn的收斂半徑為 n?0?z0f(z

m階零點(diǎn)且m0，則z0是f(z) 零點(diǎn).6.函數(shù)ez的周期為 .7.方程2z5?z3?3z?8?0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .8.f(z)?1f(z1?z

孤立奇點(diǎn)有 .29.函數(shù)|不解析點(diǎn)之集為 z?110.res(,1)? .4z三.計(jì)算題.3sin(2z的)冪級(jí)數(shù)展開式.1.求函數(shù)z在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及z?i處的值.??|z|dz，積分路徑為（1）單位圓（|z|?1）?ii計(jì)算積分：iz?2(z?)22dz.四.證明題.(20分)f(z

df(z

d內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f(z在d內(nèi)解析.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）參考答案一.判斷題.【篇二：復(fù)變函數(shù)題庫(包含好多試卷,后面都有答案)】>《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）一、判斷題（20分）：1若f(z在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z在z0解析.(23.{zn}收斂，則{rezn}與{imzn}都收斂.())區(qū)域d內(nèi)解析，且f(z)0則f(z)?c（常數(shù)）.()5函數(shù)f(z在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).()

f(z

mz0m階極點(diǎn).()z?z0z0f(z

數(shù)f(z在是區(qū)df(z)?0(?z?d).dc?cf(z)dz?0.()

9f(z在區(qū)域d內(nèi)解析,f(z

區(qū)域d內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z在區(qū)域d二.填空題（20分）dz1、?|z?z(z?z? .（n0|?10)n22.sin2z?cosz? .函數(shù)sinz的周期為 f(z)?1設(shè)z2f(z?

孤立奇點(diǎn)有 .冪級(jí)數(shù)?nzn的收斂半徑為 n?0若函數(shù)f(z在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是 limz1?z2?...?zn若zn??，則n??n? ezres(8.zn,0)? n）9.sinzz的孤立奇點(diǎn)為 .0z?z01(z?1)(z?2)dz.3??7??12limf(z)? .（40f(z)?1.設(shè)f(z2.?1cosz

?{z:0?|z|?1}內(nèi)的羅朗展式.|z|?1f(z)?w??c??zd?，其中c?{z:|z|?3，試求z?1z?1的實(shí)部與虛部.求復(fù)數(shù)四.證明題:f(z)?0?rez?1的z平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支,內(nèi)

區(qū)域d內(nèi)解析.證明：如果|f(z

d內(nèi)為常數(shù)，那么它在d并求出支割線0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）一.判斷題.（20分）若函數(shù)f(z)?u(x,y)?iv(xy)d內(nèi)連續(xù)，則u(x,y與v(x,y都在cos

sin

f(z

z0解析，則f(z在z0連續(xù).().界整函數(shù)必為常數(shù).().z0是函數(shù)f()z?z0

定不存在.()6.若函數(shù)f(z在z0可導(dǎo)，則f(z在z0解析.()dc?f(z)dz?0.c()

f(z在區(qū)域d內(nèi)若數(shù)列{imzn}都收斂.()9.f(zd內(nèi)解析，則|f(z|在d內(nèi)解析.()0f(z使f二.填空題.(2分)1n?1)?012n12nf()?,n?1,2,....()設(shè)z??i，則|z|? ,argz? ,? 22，則limf(z)? z?1?i3.?dz(z?z0)?|z?z0|?1n冪級(jí)數(shù)?nzn的收斂半徑為 n?0z0f(z

m階零點(diǎn)且m0，則z0是f(z) 零點(diǎn).6.函數(shù)ez的周期為 .7.方程2z5?z3?3z?8?0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .8.f(z)?11?z2f(z

孤立奇點(diǎn)有 .9.函數(shù)|不解析點(diǎn)之集為 .res(z?1z4,1)? 3三.計(jì)算題.1sin(2z)的冪級(jí)數(shù)展開式.zz?i處的值.計(jì)算積分：i??i?i|z|z積分路徑為（1）單位圓（|z|?）的右半圓.求sinzz?2(z??2)2.四.證明題.(20分)f(z

df(z

d內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f(z在d內(nèi)解析.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）一.判斷題.(20分).coszsin的周期均為2k?.()2若f(z在z0處滿足柯西黎曼條件,則f(z在z0解析.().函數(shù)f(z在z0處解析，則f(z在z0連續(xù).(){imzn數(shù)f(z是區(qū)域d內(nèi)解析且在d內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f()區(qū)域d內(nèi)為常數(shù).()6若函數(shù)f(z在z0解析，則f(z在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo).()7如果函數(shù)f(z在d?{z:|z|?1上解析且|f(z)|?1(|z||f(z)|?1(|z|?）8.若函數(shù)f()z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).().z0是f(z的m階零點(diǎn),則z0是z

m階極點(diǎn).()0.z01.f(z)?1z?12

res(f(z),z0)?0.()二.填空題.(20分)f(z1n

定義域?yàn)?.函數(shù)e的周期為 .3.若n?21?n?i(1?)n，則limz? n??n4.sin2z?cos2z? 5.?dz(z?z0)?|z?z0|?1n? （n）冪級(jí)數(shù)?nxn的收斂半徑為 n?0f(z)?8.設(shè)z1z?12f(z

孤立奇點(diǎn)有 .??1，則z? .z0z?z0zn.

極點(diǎn)，則limf(z)? ez,0)? 1三.計(jì)算題.(40分)0?z??laurent級(jí)數(shù).2??試求冪級(jí)數(shù)?nn?n!znn的收斂半徑.算下列積分：?edzz(z?9)2zc22，其中c是|z|?1.4.z?2z?z?8z?2?0在1.數(shù)96

區(qū)域d內(nèi)解析.證明：如果|f(z

d內(nèi)為常數(shù)，那么它d|nr及m，z|?r時(shí)|f(z)|?mz|n證明f()一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)?！酒簭?fù)變函數(shù)試題與答案】>一、選擇題1．當(dāng)z?1?i時(shí)，z100?z75?z50的值等于（）1?i（a）i（b）?i（c）1（d）?1zarc(z?2)??z?（）61331?i（d）??i2222（a）?1?3i（b）?3．復(fù)數(shù)z?tan??i(3?i（c）??????)的三角表示式是（）2???)?i??)]（b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)]22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)]zz?2z（）2222（a）z??2z（b）z??2z（d）不能比較大小x,y為實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)(x,y)z1?x??yi,z2?x??yiz1?z2?12的軌跡是（）（a）（b）橢圓（c）雙曲線（d）旋轉(zhuǎn)?3（）（a）2（b）1?i（c）3?i（d）3?i1z2?zz（）2（a）不存在的（b）唯一的（c）純虛數(shù)（d）實(shí)數(shù)８．設(shè)z為復(fù)數(shù)，則方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i（b）?i（c）?i（d）??i4444z?i?2z（）（a）有界區(qū)域（b）無界區(qū)域（c）有界閉區(qū)域（d）無界閉區(qū)域z?2?3i?2所代表的曲線是（）（a）2?3i2（b）中心為?2?3i的圓周（c）中心為?2?3i2（d）2?3i的圓周下列方程所表示的曲線中，不是圓周的為（）（a）z?1?2（b）z?3?z?3?4z?2z?a?1(a?1)（d）z?a?z?a?c?0(c?0)1?az（c）1．設(shè)f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?,則f(z1?z2）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（）x?x0z?z0（a））等于?0（d）不存在z0?x0?iy0（）（a）u(x,y在(x0,y0處連續(xù)（b）v(x,y在(x0,y0處連續(xù)（d處連續(xù)2

(x0,y0)z2?z?115z?cz?1（）z（a）?3（b）?2（c）?1（d）1二、填空題．設(shè)z?(1?i)(2?i)(3i則z?(3?i)(2?i)．設(shè)z?(2?3i)(?2?i，則argz?z?(cos5??isin5?)2復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為2(cos3??isin3?)z?7?iz?2?z?2?5所表示的區(qū)域是曲線的內(nèi)部62z?1?i?1所表示曲線的直角坐標(biāo)方程為2?(1?i)zz?1?2i?z?2?i2i22，圓周x?(y?1)?1的像曲線為z410．lim(1?z?2z)?z?1?izz?2a?0cz2?2z?a.z??izz?1im(z)?0.21?z3六、對(duì)于映射??11(z?)，求出圓周z?4的像.2z七、試證１.z1?0(z2?0)的充要條件為z1?z2?z1?z2；z2