復(fù)變函數(shù)試題及解答

上海交通大學(xué)2006～2007學(xué)年第一學(xué)期B(2006/12/31)（A卷）學(xué)號 姓名 成 EMAIL： TEL： 一、 填空題（每空3分，共24分）1. 設(shè)f(z)

||

21d，求f'(i＝ 2πi－12π.3z2.在下列函數(shù)中Resfz,0=0的是3zA、fz

zsinz

B、f(z)sinzez 1z2 z2sinzzcoszC、f(z) D、f(z)z2

ez 1z22z12z1 2z1

將區(qū)域D

/ z1z 保角地映射成區(qū)域（B）A、0argW ;3

B、argW;3 3 C、3

argW 3；

D、0argW 3 。4.f(z

1e1

的奇點有z=2kπi,z=1,z=∞，它們的奇點類型分別是ez1z=2kπi1z=1，z=∞非孤立奇點（點也要討論）.6.（1）z84z5z210;（2）z45z10 在|z|<1內(nèi)根的個數(shù)分別為 5 ; 1 . (2i)nz2n17. 冪級數(shù)n0

的收斂半徑R1/ 2.二、證明與計算（1～42題,81/ 2.解答：

(z1

(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。D內(nèi)有一收斂于a∈D2{zn}，在其上

(z)=f(z),則在D內(nèi)f(z)≡f(z)1 2 1 2

(z)－f12由零點的孤立性可得到矛盾，從而假設(shè)不成立。解答：⑴函數(shù)f(z)u(x;y)iv(x;y)在區(qū)域Dy)與v(x;y)在區(qū)域DC-R⑵對于單連通區(qū)域的連續(xù)函數(shù)來說⑶在區(qū)域D的任何一點的鄰域內(nèi)，可以展開為泰勒級數(shù)。f(z)函數(shù)在所有奇點上的留數(shù)（包括無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)）解答：證明除∞點外,設(shè)f(z)的有限個奇點為z

(k=1;2;…;n),且kC

(k=1;2;…;n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉k曲線.則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義,有Re[f(z),]nk1

Ref(z),z]k

1

f(z)dzC

1

f(z)dz0用兩種方法（LiouvilleRouche定理）解答：Liouville下面用Liouville定理證明代數(shù)學(xué)基本定理：任意復(fù)系數(shù)多項式P(z)aznazn1a za (a 0n0 1 n1 n 0證明。反證.假設(shè)P(z)在復(fù)平面內(nèi)無零點,故1/P(z)在全平面解析.因為limP(z),

1 0所以存在充分大的R,當(dāng)|z|>R時,有z zP(z)1P(z)1P(z)

1P(z)

在|z|<R有界,從而在全平面有界.由Liouville理知1 是常數(shù).于是P(z)必為常,這與假設(shè)矛.命題得.P(z)Rouche是域DD,若函數(shù)f(z)及在域D|f(z)-g(z)|<f(z);f(z)和g(z)在下面用Rouche定理證明代數(shù)學(xué)基本定理：證明因為limP(z)所以存在R0,使得當(dāng)|zR時，|P(z1且|zRz內(nèi)沒有|P(z1的零點.又由

P(z)

1

an1

...

可知lim

P(z)

1,所azn an n

aznn

naznnP(z)azP(z)aznnP(z)aznazn，|z|=Rn n

11由Rouche,P(z)和an

zn|z|Raznn在圓|z|<Rnp(z|z|<Rn（5～1051260）函數(shù)z各有怎樣的孤立奇點？無窮遠(yuǎn)z21點是各解析分支的什么點？求它們在這些點的留數(shù)；解答：Z=1Lnz＝ln|z|＋iArgz＝i*2kπ，k∈Z當(dāng)k=0z=10當(dāng)k≠0z=1ikπZ=－1時，Lnz＝ln|z|＋iArgz＝i*（2kπ+π）,k∈Z因此z=－1i(2k2無窮遠(yuǎn)點為可去奇點。6.1）sin2x2

dx;（2）

2 d0 12acosa2

,(0<a<1)；0解答：（1）Isin2xdx1cos2xdx 1dxcos2xdx0 x2

0 2x

0 2x

0 x2cos2xdxcos2xd2xcos2d10 x2

0 (2x)2 0 2xcos2x

sin2xd2xcos2x12x0 212x0

1212x0 10 2x

2x

12xcos2x－112xcos2x－12x0 0從而I2（2）0<a<1,0

故積分是cos

z1z12I

1 dz |z|1 zz 1 2a a22 1 dz|z|1i(1az)(za) f(z)dz|z|1在|z|=1a1Res[f(z),a] 1i(1a2)因此I 1a2試證方程

ze

a, (a1)在Rez0解答：證明：原方程化為a－z－e－z=0(a>1).取為半圓周：x=0;RyR 及|z|=R;Rez0(Ra1).設(shè)f(z)=a-(z)ez,在上，(z)f(z),即|(a-z)-(a-z–<||,所以在內(nèi)，原方程與a-z=0的根的個數(shù)相同，為一個.因R求一個分式線性變換 wf(z)，它將圓盤|z2 映為右半平面Rew0，并且使得f(0)1,argf'(0).2解答：做變換z 1

z,它將圓盤|z|<2映為圓盤|z|<1，2Im

>0

|<1的分式線性變換為z ei

z 于是

2 1zeiz121 z 22

2 z ei1

=－iz，將上半平面映為右半平面.3 2綜上wi

z2ei1z2ei1由題設(shè)f(0)=1,解得

i

，此時

z2ei'f'(w)

4ei z2ei

z2ei2f'(0)2

解得2

于是所求的分式線性變換為w

z2iz2isin zc

4 dzC1-1z21解答：由于被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點1和－1,則積分應(yīng)分為4種情況:C11,I=0;1C-1,1.此時,由柯西積分公式sinz22422I z1 dz1 2 C z1 2 2 2C1,由柯西積分公式sinz4I 3

z1 dz 2z1 2C11.則I I I i4 2 3設(shè)在|zRf(z)有泰勒展式f(z)zz20 1 1

...znn

...