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文檔簡介
上海交通大學(xué)2006~2007學(xué)年第一學(xué)期B(2006/12/31)(A卷)學(xué)號 姓名 成 EMAIL: TEL: 一、 填空題(每空3分,共24分)1. 設(shè)f(z)
||
21d,求f'(i= 2πi-12π.3z2.在下列函數(shù)中Resfz,0=0的是3zA、fz
zsinz
B、f(z)sinzez 1z2 z2sinzzcoszC、f(z) D、f(z)z2
ez 1z22z12z1 2z1
將區(qū)域D
/ z1z 保角地映射成區(qū)域(B)A、0argW ;3
B、argW;3 3 C、3
argW 3;
D、0argW 3 。4.f(z
1e1
的奇點有z=2kπi,z=1,z=∞,它們的奇點類型分別是ez1z=2kπi1z=1,z=∞非孤立奇點(點也要討論).6.(1)z84z5z210;(2)z45z10 在|z|<1內(nèi)根的個數(shù)分別為 5 ; 1 . (2i)nz2n17. 冪級數(shù)n0
的收斂半徑R1/ 2.二、證明與計算(1~42題,81/ 2.解答:
(z1
(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。D內(nèi)有一收斂于a∈D2{zn},在其上
(z)=f(z),則在D內(nèi)f(z)≡f(z)1 2 1 2
(z)-f12由零點的孤立性可得到矛盾,從而假設(shè)不成立。解答:⑴函數(shù)f(z)u(x;y)iv(x;y)在區(qū)域Dy)與v(x;y)在區(qū)域DC-R⑵對于單連通區(qū)域的連續(xù)函數(shù)來說⑶在區(qū)域D的任何一點的鄰域內(nèi),可以展開為泰勒級數(shù)。f(z)函數(shù)在所有奇點上的留數(shù)(包括無窮遠(yuǎn)點的留數(shù))解答:證明除∞點外,設(shè)f(z)的有限個奇點為z
(k=1;2;…;n),且kC
(k=1;2;…;n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉k曲線.則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義,有Re[f(z),]nk1
Ref(z),z]k
1
f(z)dzC
1
f(z)dz0用兩種方法(LiouvilleRouche定理)解答:Liouville下面用Liouville定理證明代數(shù)學(xué)基本定理:任意復(fù)系數(shù)多項式P(z)aznazn1a za (a 0n0 1 n1 n 0證明。反證.假設(shè)P(z)在復(fù)平面內(nèi)無零點,故1/P(z)在全平面解析.因為limP(z),
1 0所以存在充分大的R,當(dāng)|z|>R時,有z zP(z)1P(z)1P(z)
1P(z)
在|z|<R有界,從而在全平面有界.由Liouville理知1 是常數(shù).于是P(z)必為常,這與假設(shè)矛.命題得.P(z)Rouche是域DD,若函數(shù)f(z)及在域D|f(z)-g(z)|<f(z);f(z)和g(z)在下面用Rouche定理證明代數(shù)學(xué)基本定理:證明因為limP(z)所以存在R0,使得當(dāng)|zR時,|P(z1且|zRz內(nèi)沒有|P(z1的零點.又由
P(z)
1
an1
...
可知lim
P(z)
1,所azn an n
aznn
naznnP(z)azP(z)aznnP(z)aznazn,|z|=Rn n
11由Rouche,P(z)和an
zn|z|Raznn在圓|z|<Rnp(z|z|<Rn(5~1051260)函數(shù)z各有怎樣的孤立奇點?無窮遠(yuǎn)z21點是各解析分支的什么點?求它們在這些點的留數(shù);解答:Z=1Lnz=ln|z|+iArgz=i*2kπ,k∈Z當(dāng)k=0z=10當(dāng)k≠0z=1ikπZ=-1時,Lnz=ln|z|+iArgz=i*(2kπ+π),k∈Z因此z=-1i(2k2無窮遠(yuǎn)點為可去奇點。6.1)sin2x2
dx;(2)
2 d0 12acosa2
,(0<a<1);0解答:(1)Isin2xdx1cos2xdx 1dxcos2xdx0 x2
0 2x
0 2x
0 x2cos2xdxcos2xd2xcos2d10 x2
0 (2x)2 0 2xcos2x
sin2xd2xcos2x12x0 212x0
1212x0 10 2x
2x
12xcos2x-112xcos2x-12x0 0從而I2(2)0<a<1,0
故積分是cos
z1z12I
1 dz |z|1 zz 1 2a a22 1 dz|z|1i(1az)(za) f(z)dz|z|1在|z|=1a1Res[f(z),a] 1i(1a2)因此I 1a2試證方程
ze
a, (a1)在Rez0解答:證明:原方程化為a-z-e-z=0(a>1).取為半圓周:x=0;RyR 及|z|=R;Rez0(Ra1).設(shè)f(z)=a-(z)ez,在上,(z)f(z),即|(a-z)-(a-z–<||,所以在內(nèi),原方程與a-z=0的根的個數(shù)相同,為一個.因R求一個分式線性變換 wf(z),它將圓盤|z2 映為右半平面Rew0,并且使得f(0)1,argf'(0).2解答:做變換z 1
z,它將圓盤|z|<2映為圓盤|z|<1,2Im
>0
|<1的分式線性變換為z ei
z 于是
2 1zeiz121 z 22
2 z ei1
=-iz,將上半平面映為右半平面.3 2綜上wi
z2ei1z2ei1由題設(shè)f(0)=1,解得
i
,此時
z2ei'f'(w)
4ei z2ei
z2ei2f'(0)2
解得2
于是所求的分式線性變換為w
z2iz2isin zc
4 dzC1-1z21解答:由于被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點1和-1,則積分應(yīng)分為4種情況:C11,I=0;1C-1,1.此時,由柯西積分公式sinz22422I z1 dz1 2 C z1 2 2 2C1,由柯西積分公式sinz4I 3
z1 dz 2z1 2C11.則I I I i4 2 3設(shè)在|zRf(z)有泰勒展式f(z)zz20 1 1
...znn
...
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